四川省成都市東部新區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期半期調(diào)研期中文科試題含解析

Page2四川省成都市東部新區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期半期調(diào)研（期中）考試文科試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念即可得出答案.【詳解】因為，所以.故選：B.2.為了解某高校學(xué)生運用手機支付和現(xiàn)金支付狀況，抽取了部分學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計其喜愛的支付方式，并制作出如下等高條形圖：依據(jù)圖中的信息，下列結(jié)論中不正確的是（）A.樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量B.樣本中喜愛手機支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量C.樣本中多數(shù)男生喜愛手機支付D.樣本中多數(shù)女生喜愛現(xiàn)金支付【答案】D【解析】【分析】由條形圖數(shù)據(jù)對選項逐一推斷【詳解】對于A，由左圖知，樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量，故A正確，對于B，由右圖知，樣本中喜愛手機支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量，故B正確，對于C，由右圖知，樣本中多數(shù)男生喜愛手機支付，故C正確，對于D，由右圖知，樣本中多數(shù)女生喜愛手機支付，故D錯誤．故選：D3.若直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線的參數(shù)方程化為一般方程，然后干脆得出斜率,【詳解】因為直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），所以直線的一般方程為：.所以該直線的斜率為：.故選：C.4.極坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：或，故選：A5.柱坐標(biāo)對應(yīng)的點的直角坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：∵柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為：，∴，故選：B6.某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下表關(guān)系134573040605070y與x的線性回來方程為，當(dāng)廣告支出5萬元時，隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為（）A.20 B.-10 C.10 D.-6.5【答案】D【解析】【分析】利用線性回來方程，令，求得，再求殘差即可.【詳解】解：因為y與x的線性回來方程為，當(dāng)時，，則，所以當(dāng)廣告支出5萬元時，隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為-6.5，故選：D7.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)零點個數(shù)及在區(qū)間上的圖象位置，利用解除法可得到答案.【詳解】的定義域，函數(shù)只有一個零點，可以解除CD，又因為當(dāng)，，所以，其圖象在軸下方，所以可解除B.故選：A.8.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，由可得答案.【詳解】，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B9.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．由此可推斷乙沒去過的另一城市為（）A.A B.B C.C D.不確定【答案】B【解析】【分析】可先由乙推出可能去過A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一個，再由丙即可推出結(jié)論.【詳解】先從乙說的動身，可以推出乙可能去過A城市或B城市，再由甲說的，可以推出甲去過兩個城市A、C，乙只能去過A和B城市中的一個，再結(jié)合丙說的，利用集合交集的思想，即可推斷出乙肯定去過A城市，沒有去過B城市.故選：B.10.若曲線的切線方程為，則（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】C【解析】【分析】先切點為，利用斜率相等，切點即在直線上，又在曲線上，即可求解.【詳解】解：設(shè)切點為，又，則有，解得：，故選：C11.定義方程f(x)＝f′(x)的實數(shù)根x0為函數(shù)f(x)的“和諧點”．假如函數(shù)g(x)＝x2(x∈(0，＋∞))，h(x)＝sinx＋2cosx，φ(x)＝ex＋x的“和諧點”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<b【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意得到g′(x)＝2x，由x2＝2x可得x＝2，即a＝2；h′(x)＝cosx－2sinx，由題意可得sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，<b<π；φ′(x)＝ex＋1，可得ex＋1＝ex＋x，解得x＝1=c.【詳解】函數(shù)g(x)＝x2，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝2x，由x2＝2x可得x＝2，即a＝2；函數(shù)h(x)＝sinx＋2cosx，h′(x)＝cosx－2sinx，由題意可得sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，即tanx＝－>－，∵x∈(0，π)，∴<x<π，即<b<π；函數(shù)φ(x)＝ex＋x，由φ′(x)＝ex＋1，可得ex＋1＝ex＋x，解得x＝1，即c＝1.綜上可知c<a<b.故答案為D.【點睛】這個題目考查了對新定義的理解和應(yīng)用，實質(zhì)考查了方程的應(yīng)用以及常見函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用；求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下：(1)遇到連乘積的形式，先綻開化為多項式形式，再求導(dǎo)；(2)遇到根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)；(3)遇到困難分式，先將分式化簡，再求導(dǎo).12.已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，若滿意且，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點求解的解集，再利用轉(zhuǎn)化關(guān)系求的解集.【詳解】令，則，∴函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，又，∴，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，；∴的解集為，故選：D.第Ⅱ卷（選擇題，共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)數(shù)值．【詳解】∵函數(shù)，∴，∴故答案為：14.在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離為______．【答案】【解析】【分析】由極坐標(biāo)系下點與直線的位置關(guān)系及幾何意義即可求解.【詳解】由題，點到直線的距離為，故答案為：15.已知在處導(dǎo)數(shù)，則______．【答案】2【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】解：因為在處的導(dǎo)數(shù)，所以，，，故答案為：216.曲線:（為參數(shù)）上的動點P到直線的最長距離為______．【答案】【解析】【分析】利用點到直線距離公式表示，為關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題，設(shè)動點到直線的距離為，則，則當(dāng)時，的最大值為，故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.實數(shù)m取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)分別是：（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】（1）或（2）且（3）【解析】【分析】（1）復(fù)數(shù)為實數(shù)，則虛部為零，即可得出答案.（2）復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則虛部為不為零，即可得出答案.（3）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實部為零，虛部為不為零，即可得出答案.【小問1詳解】當(dāng)，即或時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)；【小問2詳解】當(dāng)，即且時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；【小問3詳解】當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．18.為調(diào)查學(xué)生近視狀況，東部新區(qū)從不同地域環(huán)境的甲、乙兩所學(xué)校各抽取100名學(xué)生參加調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為“近視”與“非近視”兩類，結(jié)果統(tǒng)計如下表：近視人數(shù)非近視人數(shù)合計甲校5050100乙校7030100合計12080200（1）甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生近視的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為近視人數(shù)與不同地域環(huán)境的學(xué)校有關(guān)？附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.5；0.7（2）有99%的把握認(rèn)為甲校成果優(yōu)秀與乙校成果優(yōu)秀有差異【解析】【分析】（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)分別求出頻率即可；（2）計算出卡方，即可推斷；【小問1詳解】解：由表格數(shù)據(jù)得，甲校學(xué)生近視的頻率是，乙校學(xué)生近視的頻率是．【小問2詳解】將誒：由題意可得的觀測值為，所以有的把握認(rèn)為甲校成果優(yōu)秀與乙校成果優(yōu)秀有差異．19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若，求函數(shù)的極值．【答案】（1）；（2）在定義域內(nèi)無極值.【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，從而求切線方程；（2）先求函數(shù)的定義域再求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即得.【詳解】（1）所以即直線斜率由得曲線在點處的切線方程為即（2）由已知，定義域為所以當(dāng)時，，，，此時為減函數(shù)當(dāng)時，，，，此時為減函數(shù)所以，在定義域內(nèi)無極值．20.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝2處取得極值－14.(1)求a，b的值；(2)若f(x)≥kx在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1))f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2處取得極值－14，解方程即可；（2）f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，設(shè)g(x)＝x2＋－12，對函數(shù)求導(dǎo)探討函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2處取得極值－14，得即解得經(jīng)檢驗，a＝1，b＝－12符合題意，∴a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋2，由f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，設(shè)g(x)＝x2＋－12，x∈，則g′(x)＝2x－＝，當(dāng)0<x<1時，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)1<x≤2時，g′(x)>0，g(x)在(1，2]上單調(diào)遞增．故g(x)在x＝1處取得微小值g(1)＝－9，也是最小值，故得k≤－9，即k的取值范圍為(－∞，－9]．【點睛】對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分別，參變分別，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者干脆求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分別成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為(a，3a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a)和(3a，＋∞)，極大值為0，微小值為－a3；（3）【解析】【詳解】解：（1）∵當(dāng)時，∴，，∴所求切線方程為即．（2）∵．當(dāng)時，由，得；由，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為和．∵，∴當(dāng)時，函數(shù)的極大值為0，微小值為．（3）∵在區(qū)間上單調(diào)遞減∴當(dāng)時，取得最大值當(dāng)時，取得最小值．∵不等式恒成立∴解得故a的取值范圍是．【點睛】對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分別，參變分別，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者干脆求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分別成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).（請考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做則按所做的第一題記分．）[選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，點P的極坐標(biāo)是，曲線C的極坐標(biāo)方程為，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為-1的直線l經(jīng)過點P．（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l和曲線C相交于兩點A，B，求的值．【答案】（1）（t為參數(shù)），（2）【解析】【分析】（1）干脆寫出直線l的參數(shù)方程；由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式得到曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線參數(shù)方程t的幾何意義即可求解.【小問1詳解】點P的直角坐標(biāo)是，直線l的傾斜角為∴直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）又由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為【小問2詳解】將代入得設(shè)A，B對應(yīng)參數(shù)分別為，，則，，依據(jù)直線參數(shù)方程t幾何意義得：.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（1）分，，三種狀況解