四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試?yán)砜圃囶}含解析

四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試?yán)砜圃囶}一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）．1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合的運(yùn)算的定義求解.【詳解】由解得,所以,又因?yàn)?所以,所以.故選:B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿意，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)z，即可求出答案.【詳解】，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D.3.如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，樣本極差分別為和，則（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】視察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在之間，利用平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差的定義可得解.【詳解】視察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在之間，由平均數(shù)的計(jì)算可知，樣本極差樣本B的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，故，故選：B4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增加分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題假如利用，求出的值，可能還須要分象限探討其正負(fù)，通過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一探討．5.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直線與圓相交，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】曲線表示圓心，半徑為的圓，由題意可知，圓心到直線的距離應(yīng)小于等于半徑，所以，，解得.故選：C.6.如圖，，為以的直徑的半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，為以的直徑的半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)則//，且又為線段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)故選：A.7.下列命題中，不正確的是（）A.“若，則”的否命題為假命題B.在銳角中，不等式恒成立C.在中，若，則必是等腰直角三角形D.在中，若，則必是等邊三角形【答案】C【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)和正弦定理，余弦定理即可推斷求解.【詳解】對(duì)于A，原命題的否命題為“若，則”，由得，，得或或，所以該否命題為假命題，故A正確；對(duì)于B，在銳角中，因?yàn)?所以,因?yàn)?所以，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即，故B正確；對(duì)于C，在中，由，利用正弦定理可得：，或，得或，是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，故D正確，故選:C.8.函數(shù)，其部分圖像如圖所示，下列說(shuō)法正確的有（）①；②；③是函數(shù)的極值點(diǎn)；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；⑤函數(shù)的振幅為1．A.①②④ B.②③④ C.①②⑤ D.③④⑤【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的部分圖像求出函數(shù)的解析式，即可推斷①②⑤是否正確；若是函數(shù)的極值點(diǎn)則，可推斷③是否正確；求出的單調(diào)增、減區(qū)間，即可驗(yàn)證④是否正確；【詳解】設(shè)的最小正周期為，依據(jù)函數(shù)的部分圖像可知，，是函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)，，，，故①正確；依據(jù)函數(shù)部分圖像可知，,故⑤正確；，，，，將代入中，，，，，當(dāng)時(shí)，，故②正確；，若是函數(shù)的極值點(diǎn)則必有，而，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；由，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，由得，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上不單調(diào)，故④錯(cuò)誤.故選：C9.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列式子正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，，兩式作差得，再求得，，得數(shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，求得時(shí)，，，代入推斷可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)?，所以，兩式作差得，即，所以，又，，解得，，所以?shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，所以，，，所以，故A不正確，B不正確；，所以，故C不正確，D正確，故選：D.10.設(shè)，分別為雙曲線（a>0，b>0）的左?右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使得，且，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的定義得到，再由題意知，，三個(gè)式子組合即可得到，解出的值，在由雙曲線的離心率為，即可得到答案.【詳解】，即①.依據(jù)雙曲線的定義可得，即②，①減去②得.，故，解得或（舍）.雙曲線的離心率為.故選：B11.已知函數(shù)若正實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)結(jié)合奇偶性得出在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得出，最終由基本不等式得出答案.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?，易知和均奇函?shù)，所以為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增由得即，所以，即則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)較為綜合，解決時(shí)關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)得出，進(jìn)而由基本不等式得出最值.12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）①棱上肯定存在點(diǎn)，使得②三棱錐的外接球的表面積為③過(guò)點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為④設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出滿意題意的位置即可，經(jīng)計(jì)算可知點(diǎn)不存在，故①錯(cuò)誤；依據(jù)三棱錐的幾何特征，可計(jì)算出其外接球半徑為，所以②正確；由圖可知，過(guò)點(diǎn)的截面為邊長(zhǎng)是的正六邊形，即可計(jì)算其面積，所以③正確；利用空間向量寫(xiě)出與所成角的余弦值的表達(dá)式求其最值即可，所以④正確.【詳解】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，所以，若棱上存在點(diǎn)，使得，則，整理得，此方程無(wú)解，①不正確;設(shè)的中點(diǎn)為，則四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，其外接圓的半徑為，又底面，所以三棱錐的外接球的半徑為；所以其表面積為，②正確;過(guò)點(diǎn)作正方體的截面，截面如圖中六邊形所示，因?yàn)檫呴L(zhǎng)均為，且對(duì)邊平行，所以截面六邊形為正六邊形，其面積為，③正確;點(diǎn)在平面內(nèi)，設(shè)，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令可得，即，因?yàn)槠矫?，所以，即，設(shè)與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，所以與所成角的余弦值的最大值為，故④正確;故選：C二填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）．13.已知實(shí)數(shù)，滿意則的最大值為_(kāi)______．【答案】5【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，屬基礎(chǔ)題，依據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成直線，直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，視察可得何時(shí)目標(biāo)值取得要求的最值，進(jìn)而得解.【詳解】解：依據(jù)方程組畫(huà)出可行域如圖所示，可以求得B(1,1),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最大值為5，故答案為：5.14.已知平面對(duì)量，，若向量，則______．（其中用坐標(biāo)形式表示）【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得答案.【詳解】解：因?yàn)槠矫鎸?duì)量，，所以，所以，故答案為：.15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c．若，，△ABC的面積為，則△ABC的外接圓的半徑為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用三角形面積公式求解,再利用余弦定理求得,進(jìn)而得到外接圓半徑.【詳解】由，解得．．解得．，解得．故答案為:．16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為4，設(shè)點(diǎn)M為拋物線C準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下命題：①若△MAF為正三角形時(shí)，則拋物線C方程為；②若于M，則拋物線在A點(diǎn)處的切線平分；③若，則拋物線C方程為；④若的最小值為，則拋物線C方程為．其中全部正確的命題序號(hào)是________．【答案】①②③④【解析】【分析】依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的幾何性質(zhì)依次推斷即可.【詳解】①若△MAF為正三角形時(shí)，，故①正確；②若于M，設(shè)，過(guò)的切線方程為:，代入得，，又，，，所以過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，因?yàn)椋赃^(guò)的切線，又,故拋物線在A點(diǎn)處的切線平分，②正確③若，則三點(diǎn)共線，，由三角形的相像比得，故③正確；④設(shè)則，關(guān)于準(zhǔn)線l對(duì)稱，，，,解得，故④正確.故答案為:①②③④三．解答題（本題共6小題，共70分，寫(xiě)清晰必要的文字說(shuō)明與演算步驟）17.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式，并推斷是否成等差數(shù)列？【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2），，，成等差數(shù)列【解析】【分析】（1）由已知可得：，，解得，可得，可得，即可證明；（2）由（1）知，，可得，．只要計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】證明：，，，，，，，是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，，，，即，，成等差數(shù)列．18.某校高二期中考試后，教務(wù)處安排對(duì)全年級(jí)數(shù)學(xué)成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從男、女生中各隨機(jī)抽取100名學(xué)生，分別制成了男生和女生數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖，如圖所示.（1）若所得分?jǐn)?shù)大于等于80分認(rèn)定為優(yōu)秀，求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人？（2）在（1）中的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中隨意任取2人，求至少有1名男生的概率．【答案】（1）男30人，女45人（2）【解析】分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖求出男、女生優(yōu)秀人數(shù)即可；（2）求出樣本中的男生和女生的人數(shù)，寫(xiě)出全部的基本領(lǐng)件以及滿意條件的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，從而求出滿意條件的概率即可．【詳解】（1）由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為人，女生優(yōu)秀人數(shù)為人；（2）因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是，所以樣本中包含男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為人．設(shè)兩名男生為，，三名女生為，．則從5人中隨意選取2人構(gòu)成的全部基本領(lǐng)件為：，，，，，，，，，共10個(gè)，記事務(wù)：“選取的2人中至少有一名男生”，則事務(wù)包含的基本領(lǐng)件有：，，，，，，共7個(gè)．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布問(wèn)題，考查了古典概型概率問(wèn)題，是一道中檔題．19.如圖1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中點(diǎn)，將沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐，其中平面平面ABCE．（1）設(shè)F為的中點(diǎn)，若M為線段AB上的一點(diǎn)，滿意．求證：平面；（2）求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)N，證明AMFN是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）取AE的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)Q，連接EF，，由平面平面AECB，得到平面AECB，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d，由求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖所示：取的中點(diǎn)N，連AN、NF，則，，∵，當(dāng)時(shí)，，，是且，所以AMFN是平行四邊形，則．又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】如圖所示：取AE的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)Q，連接EF，．易知，．因?yàn)椋?，所以，平面平面，平面平面AECB，平面，所以平面AECB．設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d．在中，，，所以．在中，因?yàn)?，，所以．由，得．即解得?0.已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，且，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積；（3）求證：直線與直線的交點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為定值．【答案】（1）；（2）面積不存在；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求出，再由離心率為和，求出與，即可得到橢圓方程.（2）把直線與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，得到，直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故的面積不存在．（3）設(shè)直線l的方程并和橢圓進(jìn)行聯(lián)立，由直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，再由，T，M在同一條直線上，得；，T，N在同一條直線上，.化簡(jiǎn)得，故交點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為定值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)殡x心率為，所以，設(shè)，則，，又，即，解得或（舍去），所以，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】由得，所以直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故的面積不存在．【小問(wèn)3詳解】由題意知，直線l的方程為，設(shè)，，則，整理得，則，因?yàn)橹本€和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，則，設(shè)，因?yàn)椋琓，M在同一條直線上，則，因?yàn)?，T，N在同一條直線上，則，由于，所以，則交點(diǎn)T恒在一條直線上，故交點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為定值.21.已知函數(shù)（），.（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有極大值點(diǎn)，無(wú)微小值點(diǎn)，（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)推斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)推斷函數(shù)的極點(diǎn)；（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，求解的最值，即可得到的取值范圍【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值點(diǎn)，無(wú)微小值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有極大值點(diǎn)，無(wú)微小值點(diǎn)，（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，所以?duì)恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的零點(diǎn)，使得，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算實(shí)力，屬于較難題選做題（多做，做錯(cuò)均依據(jù)第一題計(jì)分）22.如圖，