四川省宜賓市敘州區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理試題含解析

Page21四川省宜賓市敘州區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中（理）試題考試時間：120分鐘滿分：150分第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.不等式的解集是（）A. B.C D.【答案】C【解析】分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【詳解】解：解得：.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再依據(jù)充分條件、必要條件的定義推斷即可.【詳解】解：因為，所以，，，或，當(dāng)時，或肯定成立，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)或時，不肯定成立，所以“”是“”的不必要條件.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的取值范圍為，則輸出s的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由程序圖可得，，再分段求解函數(shù)的值域，即可求解．【詳解】由程序圖可得，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，綜上所述，的取值范圍為，．故選：A．4.點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)點關(guān)于線對稱的特點，利用中點坐標公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則，解得.所以點的坐標為故選：A.5.若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于點在圓的外部，所以，從而可求出的取值范圍【詳解】解：由題意得，解得，故選：C．6.在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D7.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式可得，依據(jù)，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由，，得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），的最小值為.故選：C.8.直線被圓所截得的弦長為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，依據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最終利用垂徑定理可干脆求解弦長.【詳解】由已知，圓，圓心坐標為，半徑為，所以點到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為.故選：A.9.已知命題關(guān)于的方程沒有實根；命題，.若和都是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出當(dāng)命題為真命題時實數(shù)的取值范圍，以及當(dāng)命題為真命題時實數(shù)的取值范圍，由題意可知真假，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題為真命題，則，解得；若命題為真命題，，，則.由于和都是假命題，則真假，所以，可得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題考查利用復(fù)合命題、全稱命題的真假求參數(shù)，考查計算實力，屬于中等題.10.關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分類探討一元二次不等式的解，依據(jù)解集中只有一個整數(shù)，即可求解.【詳解】由得，若，則不等式無解．若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數(shù)解，則此時個整數(shù)解為，則．若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數(shù)解，則此時個整數(shù)解為，則．綜上，滿意條件的的取值范圍是故選：C．11.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.12.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過點，如圖，有，，設(shè)，則，明顯有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點睛】方法點睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得得值，依據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特別值法：通過取特別值或特別位置，求出離心率.第II卷非選擇題（90分）二、填空題（5分每題，共20分）13.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上全部產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取___________件．【答案】【解析】【分析】依據(jù)分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上全部產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取個數(shù)為件.故答案為：.14.若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為______．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)直線與平行求出參數(shù)，再由兩平行直線間的距離公式可得答案.【詳解】∵直線與平行，∴，解得，∴直線：，直線：，∴直線與之間的距離．故答案為：15.已知實數(shù)滿意，則目標函數(shù)的最大值為______．【答案】-4【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合圖形找出最優(yōu)解，從而求出目標函數(shù)的最大值．【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如陰影部分所示；平移直線，由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最小，此時最大．，解得，即，所以的最大值為-4．故答案為-4．【點睛】本題考查了簡潔的線性規(guī)劃，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．16.已知過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB經(jīng)過拋物線C的焦點F，則___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點的坐標，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合題意和韋達定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進而求得的值.【詳解】設(shè)，在拋物線，過切點A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點的切線方程為，即，同理，設(shè)，在拋物線，過切點B與拋物線相切的直線，又因為在切線和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過拋物線的焦點，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答17.已知點，直線，直線.（1）求點A關(guān)于直線的對稱點B的坐標；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點，則由題意可得，解方程組求出，從而可得點B的坐標，（2）先求出兩直線的交點坐標，再在直線上任取一點，求出其關(guān)于直線的對稱點，從而可求出直線關(guān)于直線的對稱直線方程【小問1詳解】設(shè)點，則由題意可得，解得，所以點B的坐標為，【小問2詳解】由，得，所以兩直線交于點，在直線上取一點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，所以，所以直線為，即，所以直線關(guān)于直線的對稱直線方程為18.已知圓C：．（1）若過點的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動點，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值．【答案】（1）或.（2）8【解析】【分析】（1）先推斷當(dāng)斜率不存在時,不滿意條件；再推斷當(dāng)斜率存在時,設(shè)利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結(jié)CA、CB，得到.推斷出當(dāng)時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標準方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當(dāng)斜率不存在時,x=1代入圓方程得,弦長為,不滿意條件；（2）當(dāng)斜率存在時,設(shè)即.圓心C到直線l距離，解得:或k=0,所以直線方程為或.【小問2詳解】過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結(jié)CA、CB，則.因為,所以所以.所以當(dāng)時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O(shè)為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對運用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①運用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，依據(jù)三角形相像知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于困難圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的相識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個美麗的公式，在許多題目的解析中敏捷運用三面角公式可以使得問題更加簡潔、直觀、快速.20.已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿意，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面對量的學(xué)問可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；當(dāng)時，；綜上，直線斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因為，所以．于是，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點評】方法一依據(jù)向量關(guān)系，利用代點法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達式，然后利用分類探討，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達式，得到直線的斜率關(guān)于的表達式，結(jié)合運用基本不等式，求得直線斜率的最大值.21.已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為．（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用雙曲線的離心率、點在雙曲線上及得到關(guān)于、、的方程組，進而求出雙曲線的標準方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用