四川省南充市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次月考試題理

級(jí)高二下學(xué)期其次次月考數(shù)學(xué)試題（理科）（時(shí)間：120分鐘；總分150分；）一、選擇題（本題12小題，每題5分，共60分）1．若，則（

）A． B． C．1 D．02．若復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（

）A．2i B． C．2 D．3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．（0，） B．（e，+∞） C．（，+∞） D．（，e）4．已知條件p：，條件q：表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，則的最大值是（

）A． B． C．10 D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n≥2)的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊（

）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了兩項(xiàng)，，又削減了一項(xiàng)D．增加了一項(xiàng)，又削減了一項(xiàng)7．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得微小值 D．函數(shù)在處取得極大值8．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種9．七巧板被譽(yù)為“東方模板”，是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的宏大獨(dú)創(chuàng)之一，由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丟一粒種子，則種子落入黑色部分的概率為（

）A． B． C． D．10．春鋤園為節(jié)水推行噴灌技術(shù)，噴頭裝在管柱的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀，如圖所示.現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面，點(diǎn)B到管柱所在直線的距離為，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，以為半徑的圓上，則管柱的高度為（

）A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)，其中，存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．12．已知，，，則（

）A． B． C． D．二、填空題（本題4小題，每題5分，共20分）13．現(xiàn)有4種不同顏色，要對(duì)如圖四個(gè)部分進(jìn)行涂色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為_(kāi)______.14．已知復(fù)數(shù)滿足，則(為虛數(shù)單位)的最小值為_(kāi)______．15．如圖，，是雙曲線：（，）的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓相切，切點(diǎn)為，且交雙曲線的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率______.16．已知函數(shù)，若對(duì)隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________.三、解答題（共70分）17．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的一般方程；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求的值．18．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在上的最值.19．（12分）某學(xué)校有學(xué)生人，為了解學(xué)生對(duì)本校食堂服務(wù)滿足程度，隨機(jī)抽取了名學(xué)生對(duì)本校食堂服務(wù)滿足程度打分，依據(jù)這名學(xué)生的打分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校學(xué)生滿足度打分不低于分的人數(shù)；（2）若采納分層抽樣的方法，從打分在的受訪學(xué)生中隨機(jī)抽取人了解狀況，再?gòu)闹羞x取人進(jìn)行跟蹤分析，求這人至少有一人評(píng)分在的概率.20．（12分）如圖所示多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四邊形ABCD是菱形，，，（1）求證：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)連接成的四邊形為正方形.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的取值范圍.22．（12分）已知函數(shù)，．（1）探討的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，證明：．理科數(shù)學(xué)參考答案：1．D2．B3．C4．A5．B6．C7．D8.B9．C【詳解】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)1，可得黑色平行四邊形底為，高；黑色等腰直角三角形直角邊為2，斜邊2，大正方形邊長(zhǎng)2，落入黑色部分10．B【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，記且垂足為，在軸上的投影點(diǎn)為，設(shè)拋物線方程為，由題意可知：，所以，所以，代入拋物線方程可知，所以，所以拋物線方程為，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的高度為，D【詳解】函數(shù)可視為動(dòng)點(diǎn)M(x,2lnx)與動(dòng)點(diǎn)N(a,2a)間距離的平方,動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=2lnx上,動(dòng)點(diǎn)N在直線y=2x上,即直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離,由y=2lnx得,解得x=1,所以曲線上的點(diǎn)(1,0)到直線y=2x的距離最小,距離平方的最小值為,則,又存在使得成立,則,此時(shí)N為垂足,,解得a=12．A【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.因?yàn)椋?，，因?yàn)椋瑒t，則，故.13．種.14．15．【詳解】連接，過(guò)作，由，則易知，，，，，所以在中，，整理得，所以雙曲線的離心率.16．【詳解】設(shè)，則，∴為奇函數(shù)，又∵，∴在上單調(diào)遞增，由已知得，則，∴，∴，即，又∵，∴，令，則，則轉(zhuǎn)化為在上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方，設(shè)的切點(diǎn)為且過(guò)原點(diǎn)的方程為，將原點(diǎn)代入求得，即切線方程為，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．【解析】（1）∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴曲線的一般方程為．∵直線的極坐標(biāo)方程為，∴．∵，．∴直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，．設(shè)，是上述方程的兩根，∴，，．∴．18．【解析】（1），，解得，則，若，則；若，則或,即函數(shù)在處有極大值且極大值為，符合題意，故：（2）由（1）知，，，若，則；若，則或,在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,又，.19．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得.該校學(xué)生滿足度打分不低于分的人數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，打分在和內(nèi)的頻率分別為和，抽取的人采納分層抽樣的方法，在內(nèi)的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人.設(shè)內(nèi)的人打分分別為，，內(nèi)的人打分分別為，，，則從的受訪學(xué)生中隨機(jī)抽取人，人打分的基本領(lǐng)件有：，，共種.其中兩人都在內(nèi)的可能結(jié)果為，則這人至少有一人打分在的概率.20．【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，平面平面所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）連接交于，取中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，所以兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，，令平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，.所以二面角正弦值為.21．【詳解】（1）由題意可得，，又因?yàn)闄E圓中，所以，，，故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立得，，即，所以，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，?dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，且，所以，解得，又因?yàn)樵跈E圓上，則，所以，，所以，綜上的取值范圍為.22．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋字?dāng)時(shí)，若，則，若，則；當(dāng)時(shí)，若或，則，若，則；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，若