天津市南開區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期1月階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

Page13Page13天津市南開區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期1月階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共100分，考試時(shí)間100分鐘．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖，直線，，斜率分別為，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)圖象得傾斜角范圍以及大小關(guān)系，再依據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系確定斜率大小.【詳解】令直線，，的傾斜角分別為，，，由圖像可得，所以，即．所以故選：A.2.是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，假如，則n等于（）．A2024 B.2024 C.2024 D.2024【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意求出通項(xiàng)公式即可得出答案.【詳解】依據(jù)題意可知的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，故選：D3.橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出、的值，可得出橢圓的離心率的值.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，橢圓的離心率為.故選：B.4.在等差數(shù)列中，，則（）．A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)相同且下標(biāo)和相等的性質(zhì)即可確定答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知：.故選：C.5.已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A.30 B.60 C.120 D.150【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率即得解.【詳解】解：由題得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，所以.故選：B6.雙曲線的漸近線方程是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可干脆得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.7.在數(shù)列中，，（，），則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前4項(xiàng)，推導(dǎo)出為周期數(shù)列，從而得到的值【詳解】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，故選：A8.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【詳解】試題分析：拋物線焦點(diǎn)在軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力.點(diǎn)評(píng)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)常常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.9.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)N為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱上，且滿意，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且，所以.故選：.10.已知，是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解F1到漸近線的距離，結(jié)合OA∥F2M，可得∠F1MF2為直角，結(jié)合勾股定理可得解【詳解】由題意,F1(?c,0),F2(c,0)，設(shè)一條漸近線方程為y=x,則F1到漸近線的距離為.設(shè)F1關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M,F1M與漸近線交于A,∴|MF1|=2b,A為F1M的中點(diǎn)，又O是F1F2的中點(diǎn),∴OA∥F2M,∴∠F1MF2直角，∴△MF1F2為直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4(c2?a2),∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2.故選：C第Ⅱ卷二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分．請(qǐng)將答案填在題中橫線上．11.已知直線與平行，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定條件利用兩直線平行性質(zhì)列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以當(dāng)時(shí)，兩條直線不平行，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得.故答案為：.12.已知圓與相交于A，B兩點(diǎn)，則直線的方程是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩相交圓與公共弦關(guān)系，兩相交圓方程相減所得方程即是公共弦方程．【詳解】?jī)蓤A方程相減，得故答案為：13.數(shù)列的前項(xiàng)和，則_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)來(lái)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)上式也符合，所以.故答案為：14.等比數(shù)列是遞減數(shù)列，前n項(xiàng)的積為，若，則________．【答案】2【解析】【分析】由題意可得，且，由條件可得，化簡(jiǎn)得，再由，求得的值．【詳解】解：等比數(shù)列是遞減數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，若，設(shè)公比為，則由題意可得，且．，．又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，．故答案為：2．15.已知分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____________.【答案】5【解析】【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，畫圖確定最值位置，再求解最小值即可.【詳解】如圖，圓是圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓，所以圓的方程為，圓心為，且由圖知，五點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，所以的最小值為5.故答案為：5.三、解答題：（本大題共5個(gè)小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.已知等差數(shù)列滿意，其前項(xiàng)和；數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且滿意，.（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，依據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性與基本性質(zhì)可求得、的值，可求得等比數(shù)列的公比，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，由已知可得，解得，所以，．因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，由已知可得，解得，所以，數(shù)列的公比為，所以．【小問2詳解】解：.17.已知圓，直線．（1）寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并推斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓交于A、兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為120°，求弦的長(zhǎng)．【答案】（1）圓心，半徑，與圓相交；（2）﹒【解析】【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求其圓心C和半徑r，求出直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，推斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可推斷l(xiāng)與圓的位置關(guān)系；（2）求出圓心到直線的距離d，依據(jù)即可求弦長(zhǎng)．【小問1詳解】由題設(shè)知圓：，∴圓的圓心坐標(biāo)為C，半徑為r＝．又直線可變形為：，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線必定與圓相交．【小問2詳解】由題意知，∴直線l的斜率，∴圓心到直線：的距離，∴．18.已如數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由可得，即可證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而求出；（2）由（1）知，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以，即．【小問2詳解】解：由（1）知，所以，①所以，②①②得，所以．19.如圖，在直三棱柱中，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法證明即可；（2）依據(jù)空間向量坐標(biāo)法求解即可；（3）依據(jù)空間向量坐標(biāo)法求解即可；【小問1詳解】解：依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則．，因?yàn)?，所以．【小?詳解】解：結(jié)合（1）得，設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．【小問3詳解】解：結(jié)合（1），設(shè)平面的法向量為，則令，則，由（2）知平面的法向量為設(shè)平面和平面的夾角為，則．所以，平面與平面的夾角余弦值為.20.已知橢圓上隨意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離的和為4．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)E，直線與直線交于點(diǎn)N．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：的面積為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出，依據(jù)橢圓的定義得出，依據(jù)的關(guān)系得出，即可得出橢圓方程；（2）直線方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立方程依