天津市南開區(qū)2024-2025學年高二數學上學期1月階段性質量監(jiān)測試題含解析

Page13Page13天津市南開區(qū)2024-2025學年高二數學上學期1月階段性質量監(jiān)測試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共100分，考試時間100分鐘．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，直線，，斜率分別為，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據圖象得傾斜角范圍以及大小關系，再依據斜率與傾斜角關系確定斜率大小.【詳解】令直線，，的傾斜角分別為，，，由圖像可得，所以，即．所以故選：A.2.是首項和公比均為3的等比數列，假如，則n等于（）．A2024 B.2024 C.2024 D.2024【答案】D【解析】【分析】依據題意求出通項公式即可得出答案.【詳解】依據題意可知的通項公式為，當時，故選：D3.橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出、的值，可得出橢圓的離心率的值.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，橢圓的離心率為.故選：B.4.在等差數列中，，則（）．A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】應用等差數列項數相同且下標和相等的性質即可確定答案.【詳解】由等差數列的性質知：.故選：C.5.已知點，，則直線的傾斜角為（）A.30 B.60 C.120 D.150【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率即得解.【詳解】解：由題得直線的斜率，設直線的傾斜角為，所以.故選：B6.雙曲線的漸近線方程是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據雙曲線的標準方程可干脆得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.7.在數列中，，（，），則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用數列的遞推公式求出數列的前4項，推導出為周期數列，從而得到的值【詳解】，，，可得數列是以3為周期的周期數列，，故選：A8.已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【詳解】試題分析：拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解實力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時常常用到，可以簡化運算.9.如圖，在三棱錐中，點N為棱的中點，點M在棱上，且滿意，設，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為點為棱的中點，且，所以.故選：.10.已知，是雙曲線（，）的左、右焦點，點關于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解F1到漸近線的距離，結合OA∥F2M，可得∠F1MF2為直角，結合勾股定理可得解【詳解】由題意,F1(?c,0),F2(c,0)，設一條漸近線方程為y=x,則F1到漸近線的距離為.設F1關于漸近線的對稱點為M,F1M與漸近線交于A,∴|MF1|=2b,A為F1M的中點，又O是F1F2的中點,∴OA∥F2M,∴∠F1MF2直角，∴△MF1F2為直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4(c2?a2),∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2.故選：C第Ⅱ卷二、填空題：本大題共5個小題，每小題3分，共15分．請將答案填在題中橫線上．11.已知直線與平行，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】依據給定條件利用兩直線平行性質列式計算即可.【詳解】因為直線與平行，所以當時，兩條直線不平行，不符合題意；當時，，解得.故答案為：.12.已知圓與相交于A，B兩點，則直線的方程是__________．【答案】【解析】【分析】依據兩相交圓與公共弦關系，兩相交圓方程相減所得方程即是公共弦方程．【詳解】兩圓方程相減，得故答案為：13.數列的前項和，則_____.【答案】【解析】【分析】依據來求得數列的通項公式.【詳解】當時，，當時，.當時上式也符合，所以.故答案為：14.等比數列是遞減數列，前n項的積為，若，則________．【答案】2【解析】【分析】由題意可得，且，由條件可得，化簡得，再由，求得的值．【詳解】解：等比數列是遞減數列，其前項的積為，若，設公比為，則由題意可得，且．，．又由等比數列的性質可得，．故答案為：2．15.已知分別是，上的兩個動點，點是直線上的一個動點，則的最小值為_____________.【答案】5【解析】【分析】運用數形結合思想，畫圖確定最值位置，再求解最小值即可.【詳解】如圖，圓是圓關于直線的對稱圓，所以圓的方程為，圓心為，且由圖知，五點共線時，有最小值，此時，所以的最小值為5.故答案為：5.三、解答題：（本大題共5個小題，共55分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知等差數列滿意，其前項和；數列是單調遞增的等比數列，且滿意，.（1）求數列和通項公式．（2）求數列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設數列的公差為，由已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出等差數列的通項公式，依據等比數列的單調性與基本性質可求得、的值，可求得等比數列的公比，進而可得出數列的通項公式；（2）利用等比數列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：設數列的公差為，由已知可得，解得，所以，．因為數列是單調遞增的等比數列，由已知可得，解得，所以，數列的公比為，所以．【小問2詳解】解：.17.已知圓，直線．（1）寫出圓的圓心坐標和半徑，并推斷直線與圓的位置關系；（2）設直線與圓交于A、兩點，若直線的傾斜角為120°，求弦的長．【答案】（1）圓心，半徑，與圓相交；（2）﹒【解析】【分析】（1）將圓的方程化為標準方程即可求其圓心C和半徑r，求出直線l經過的定點，推斷定點與圓的位置關系即可推斷l(xiāng)與圓的位置關系；（2）求出圓心到直線的距離d，依據即可求弦長．【小問1詳解】由題設知圓：，∴圓的圓心坐標為C，半徑為r＝．又直線可變形為：，則直線恒過定點，∵，∴點在圓內，故直線必定與圓相交．【小問2詳解】由題意知，∴直線l的斜率，∴圓心到直線：的距離，∴．18.已如數列的前項和為，，當時，．（1）證明數列為等差數列，并求；（2）求數列的前項和為．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由可得，即可證明數列是以為首項，為公差的等差數列，從而求出；（2）由（1）知，利用錯位相減法計算可得.【小問1詳解】解：當時，由，得，所以數列是以為首項，為公差的等差數列．所以，即．【小問2詳解】解：由（1）知，所以，①所以，②①②得，所以．19.如圖，在直三棱柱中，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，利用坐標法證明即可；（2）依據空間向量坐標法求解即可；（3）依據空間向量坐標法求解即可；【小問1詳解】解：依題意，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，則．，因為，所以．【小問2詳解】解：結合（1）得，設平面的法向量為，則令，得．設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．【小問3詳解】解：結合（1），設平面的法向量為，則令，則，由（2）知平面的法向量為設平面和平面的夾角為，則．所以，平面與平面的夾角余弦值為.20.已知橢圓上隨意一點到兩個焦點，的距離的和為4．經過點且不經過點的直線與橢圓C交于P，Q兩點，直線與直線交于點E，直線與直線交于點N．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求證：的面積為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據焦點坐標得出，依據橢圓的定義得出，依據的關系得出，即可得出橢圓方程；（2）直線方程為，點，，聯立方程依