2025屆廣東省鶴山一中高三一診考試數(shù)學試卷含解析

2025屆廣東省鶴山一中高三一診考試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．22．設函數(shù)，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．4．若，，，點C在AB上，且，設，則的值為（）A． B． C． D．5．如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調遞減的是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．09．已知復數(shù)，則對應的點在復平面內位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價元，乙每件進價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件11．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元12．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)14．已知數(shù)列的前項滿足，則______.15．函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________________.16．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，若，，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；（2）當為中點時，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當為何值時，軸為曲線的切線；（2）用表示、中的最大值，設函數(shù)，當時，討論零點的個數(shù).20．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.21．（12分）如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若為的中點，求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.22．（10分）隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展，我國對于環(huán)境保護越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強.現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用預算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，則立即同時啟動另外2套系統(tǒng)進行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標情況相互獨立.（1）當時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運行成本為300元/小時（不啟動則不產生運行費用），除運行費用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

推導出，由此能求出的值．【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足，∴，故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用，屬于中檔題.2、A【解析】

由求出范圍，結合正弦函數(shù)的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.3、A【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.4、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應用，向量的基本定理的應用及向量共線定理等知識的綜合應用．5、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．6、B【解析】由題意可得c=，設右焦點為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在．7、C【解析】

由每個函數(shù)的單調區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調區(qū)間，屬基礎題.8、D【解析】分析：因為題設中給出了的值，要求的值，故應考慮兩者之間滿足的關系.詳解：由題設有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結論之間的關系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關系.9、A【解析】

利用復數(shù)除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.10、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當經過時，最大.故選：D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出可行域，本題是一道基礎題.11、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．12、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意，，即,解得；因為所以，當時，.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應用,難度一般.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)組合的知識，結合組合數(shù)的公式，可得結果.【詳解】由題可知：項來源可以是：（1）取1個，4個（2）取2個，3個的系數(shù)為：故答案為：【點睛】本題主要考查組合的知識，熟悉二項式定理展開式中每一項的來源，實質上每個因式中各取一項的乘積，轉化為組合的知識，屬中檔題.14、【解析】

由已知寫出用代替的等式，兩式相減后可得結論，同時要注意的求解方法．【詳解】∵①，∴時，②，①－②得，∴，又，∴（）．故答案為：．【點睛】本題考查求數(shù)列通項公式，由已知條件．類比已知求的解題方法求解．15、【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用，屬于難題.16、127【解析】

已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以，則有，通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學生分析問題的能力,難度較易.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿足即可，從而得到點E為中點;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【詳解】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點E為PC中點.法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D－XYZ，由題意知PD＝CD＝1，，設，，，由，得，即存在點E為PC中點.（2）由（1）知，，，，，，設面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值為.【點睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）求解出導函數(shù)，分析導函數(shù)的單調性，再結合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；（2）根據(jù)導函數(shù)零點，判斷出的單調性，從而可確定，利用以及的單調性，可確定出之間的關系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：∵，∴.∵在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，∴函數(shù)在上單調遞增.又，令，，則在上單調遞減，，故.令，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函數(shù)在上單調遞增.∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.∴.由（*）式得.∴，顯然是方程的解.又∵是單調遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點個數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1）判斷函數(shù)的零點個數(shù)時，可結合函數(shù)的單調性以及零點的存在性定理進行判斷；（2）函數(shù)的“隱零點”問題，可通過“設而不求”的思想進行分析.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）設切點坐標為，然后根據(jù)可解得實數(shù)的值；（2）令，，然后對實數(shù)進行分類討論，結合和的符號來確定函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1），，設曲線與軸相切于點，則，即，解得.所以，當時，軸為曲線的切線；（2）令，，則，，由，得.當時，，此時，函數(shù)為增函數(shù)；當時，，此時，函數(shù)為減函數(shù).，.①當，即當時，函數(shù)有一個零點；②當，即當時，函數(shù)有兩個零點；③當，即當時，函數(shù)有三個零點；④當，即當時，函數(shù)有兩個零點；⑤當，即當時，函數(shù)只有一個零點.綜上所述，當或時，函數(shù)只有一個零點；當或時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有三個零點.【點睛】本題考查了利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，關鍵是分類討論思想的應用，屬難題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）把點代入橢圓方程，結合離心率得到關于的方程，解方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關于的一元二次方程，利用韋達定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（Ⅰ）由已知橢圓過點得，，又，得，所以，即橢圓方程為.（Ⅱ）證明：由，得，由，得，由韋達定理可得，，設的中點為，得，即，，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過點.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題；考查運算求解能力和知識的綜合運用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關鍵;屬于中檔題.21、(1)見解析(2)【解析】

（1）設EC與DF交于點N，連結MN，由中位線定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；（2）取CD中點為G，連結BG，EG，則可證四邊形ABGD是矩形，由面面垂直的性質得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，從而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入體積公式即可計算出體積．【詳解】（1）證明：設與交于點，連接，在矩形中，點為中點，∵為的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）取中點為，連接，，平面平面，平面平面，平面，，∴平面，同理平面，∴的長即為四棱錐的高，在梯形中，，∴四邊形是平行四邊形，，∴平面，又∵平面，∴，又，，∴平面，.注意到，∴，，∴.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、