九年級數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（浙教版）-第03講 解直角三角形（7類題型）（解析版）

第03講解直角三角形（7類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.解直角三角形的應(yīng)用；1.掌握解直角三角形；2.掌握解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問題；3、掌握解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題；4、掌握解直角三角形的應(yīng)用——坡度、坡角問題；5、掌握解直角三角形的綜合應(yīng)用；知識點1：解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）【即學(xué)即練1】1．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)定義解題即可．【詳解】解：如圖：∵∴故選：C．知識點2：解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；【即學(xué)即練2】2（2023上·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為α度，若米，則樹高為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；過點B作于點C，在中根據(jù)，求出的高度．【詳解】解：過點B作于點C，在中，．故選B．知識點3：解直角三角形的應(yīng)用——方位角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．【即學(xué)即練3】3．（2023上·山東泰安·九年級校考階段練習(xí)）如圖，某貨船以24海里/時的速度從A處向正東方向的D處航行，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時測得該島在北偏東30°的方向上．則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）

A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里【答案】B【分析】過點作，利用，結(jié)合銳角三角函數(shù)，列式計算即可．【詳解】解：如圖，過點作，

由題意，得：，在中，，在中，，∴，∴；故選B【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．知識點4：解直角三角形的應(yīng)用—:坡度、坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．【即學(xué)即練4】4．（2023上·山西臨汾·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）汾河水庫位于山西省太原市西北婁煩縣境內(nèi)下靜游村至下石家莊之間．如圖，水庫某段橫截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，則坡面的長度約為（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用：坡度坡角問題，熟記坡度的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度的概念求出，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：∵迎水坡的坡度，由勾股定理得：，故選：C．知識點5:解直角三角形的綜合應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．【即學(xué)即練5】5．（2023上·山西臨汾·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）為慶祝國慶，某校要在如圖所示的五角星中（圖中所有線段的長度均相等，且），從頂點A開始，沿邊每隔40厘米裝一盞閃光燈，如果F，J兩點間的距離為米，那么需要安裝閃光燈的盞數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】此題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，解直角三角形，連接，過點A作，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，，然后利用代數(shù)求出，然后求出總長度，進(jìn)而求解即可．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．【詳解】如圖所示，連接，過點A作，根據(jù)題意可得，，∴是等腰三角形，∵，，∴，，∴，即，解得米，∴米，∴米，∵20米厘米，∴．∴需要安裝閃光燈的盞數(shù)是50．故選：C．題型01解直角三角形的相關(guān)計算1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點A作于A，作于，連接，交于，證明，得，再證明，可得，確定點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，再由弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，過點A作于A，作于，連接，交于，是等邊三角形，，，，，，，是的垂直平分線，，在中，，，，，，，，，，點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，點P的運動路徑長為．故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動點的運動軌跡等知識，確定點的運動軌跡是解本題的關(guān)鍵．2．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個頂點分別在，，上，則．

【答案】【分析】作于．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，過作的垂線．顯然有為等邊三角形，，都是有一個角為30°的直角三角形，所以．勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示作于則，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，過作的垂線，交分別于點，

∴為等邊三角形，則∴∵，∴∴，∴，∵，∴故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校?？计谥校┪覀兌x：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（），如圖①，在中，，頂角A的正對記作，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

(1)________．(2)對于，的正對值的取值范圍是________．(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖，,，所以.（2）如圖，當(dāng)點A向靠近時，增大，逐漸接近，腰長接近，相應(yīng)的；當(dāng)點A遠(yuǎn)離時，減小，逐漸接近，腰長逐漸增大，相應(yīng)的；于是．（3）如圖，在上截取，過H作于D，設(shè)，則,．解，，．【詳解】（1）解：如圖，,,∵,∴.

（2）解：如圖，點A在的中垂線上，當(dāng)點A向靠近時，增大，逐漸接近，腰長接近，相應(yīng)的；當(dāng)點A遠(yuǎn)離時，減小，逐漸接近，腰長逐漸增大，相應(yīng)的逐漸接近0，；∴

（3）解：如圖，在上截取，過H作于D，，設(shè)，則，,∴．中，，∴．

【點睛】本題考查新定義，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性質(zhì)；添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．題型02解非直角三角形1．（2020·哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在處測得點在北偏東方向上，在處測得點在北偏東方向上，若千米，則點兩點的距離為（）千米．A．4 B． C．2 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，，千米，則根據(jù)三角函數(shù)可求、，再根據(jù)，利用三角函數(shù)可求BC，則．【詳解】解：由題意可知，，，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義，正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．2．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點，則的值（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，易得，由可得，進(jìn)而用勾股定理分別將BD、BC長用AB表示出來，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，故選：D【點睛】本題主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．【答案】1或13【分析】過點作于點，分高在三角形內(nèi)部和三角形外部兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】解：過點作于點，分兩種情況討論：①當(dāng)在的外部時，如圖：

∵，∴設(shè)，則：，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)在的內(nèi)部時，如圖：

同法可得：，∴；綜上：1或13；故答案為：1或13．【點睛】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解．題型03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積1．（22·23下·益陽·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進(jìn)行計算即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖所示

，，，四邊形的面積為48故選：A．【點睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．2．（22·23下·專題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長為，的面積為．【答案】【分析】過作，如圖所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面積公式代值求解即可得到．【詳解】解：過作，如圖所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案為：，．【點睛】本題考查解非直角三角形問題以及求三角形面積，涉及三角函數(shù)定義、勾股定理及三角形面積公式，熟練掌握解非直角三角形的方法是解決問題的關(guān)鍵．3．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，連接、，，，，則的值為．【答案】【分析】延長交于點，過點作于點，根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，延長、相交于點，過點作于點，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，設(shè)，則，，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形．正確的添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟記直角三角形的邊角關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．題型04仰角俯角問題1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點、、、、在同一平面內(nèi)，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延長交的延長線于，作于，首先根據(jù)坡度求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于，作于，

由題意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度約為米．故選：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（22·23·一模）安裝了軟件“”的智能手機(jī)可以測量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測量手機(jī)離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度．如圖，小明測得大樹底端點俯角，頂端點的仰角，點離地面的高度米，則大樹的為（

）

A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【分析】過點作，垂足為，由題意得：，，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，

，由題意得：，，，在中，，，在中，，，，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】銅像的高度是；【分析】根據(jù)題意可得，從而求出，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴銅像的高度是；【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．題型05方位角問題1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】要求的長，需要構(gòu)造直角三角形，作輔助線，然后根據(jù)題目中的條件利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：如圖，作于點，

海里,，，，，，，，解得：海里，海里，故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答．2．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為．

【答案】【分析】過點作，垂足為，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，

在中，海里，，（海里），在中，，（海里），處與燈塔的距離為海里，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學(xué)?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向上，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險（參考數(shù)據(jù)：、、）【答案】(1)10海里(2)有危險(3)沒有危險【分析】（1）過C作垂直，通過證明，即可求出的長；（2）求出點C到的距離是否大于9，如果大于9則無觸礁危險，反之則有；（3）過點C作，首先求出，然后根據(jù)三角函數(shù)求出的長，進(jìn)而比較求解即可．【詳解】（1）過C作垂直，

為漁船向東航行到C道最短距離∵在A處測得島C在北偏東的∴又∵B處測得島C在北偏東，∴，，∴，∴（海里）；（2）∵，∴∴（海里）∴（海里）∵∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險；（3）如圖所示，過點C作，

根據(jù)題意可得，∴，即解得（海里）∵∴沒有危險．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角度得到，再通過三角函數(shù)計算出相關(guān)距離．題型06坡度坡比問題1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的長，進(jìn)而利用坡度的定義得出答案．【詳解】解：由題意可得：（米），則山坡的坡度為：，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．2．（22·23下·太原·一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量建筑物的高度，如圖，建筑物前有一段坡度為的斜坡，用測角儀測得建筑物屋頂?shù)难鼋菫?，接著小明又向下走了米，剛好到達(dá)坡底處，這時測到建筑物屋頂?shù)难鼋菫?，在同一平面?nèi)，若測角儀的高度米，則建筑物的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）

A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米【答案】D【分析】設(shè)米，延長交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性質(zhì)得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)米，延長交于，作于，于，

，在中，米，，米，米，四邊形是矩形，四邊形是矩形，米，在中，，米，米，米，在中，，，，米，米，故選：D．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用的輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．3．（21·22下·江門·模擬預(yù)測）如圖，在距某居民樓樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C點到坡頂D點的距離m，在坡頂D點處測得居民樓樓頂A點的仰角為28°，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】82.1m【分析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計算出、，進(jìn)而求出．【詳解】如圖，由題意得，，在中，∵山坡的坡度，

∴，設(shè)則，由勾股定理可得，又，即，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查解直角三角形、坡比；添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型07解直角三角形的其他應(yīng)用1．（2022春·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當(dāng)然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計算【答案】B【分析】設(shè)這個秋千的繩索，得到，求出的值即可．【詳解】解：設(shè)這個秋千的繩索，則，，，，，，這個秋千的繩索有尺．故選B．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？计谥校橥瓿伞熬C合與實踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負(fù)責(zé)放風(fēng)箏，小華負(fù)責(zé)測量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當(dāng)小明把風(fēng)箏放飛到空中到點P處時，小華分別在地面測得，，米，則風(fēng)箏的高度的長為（

）米（點C在點P的正下方，A、B、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的長為x米，根據(jù)，，，得出，，最后根據(jù)米，列出求解即可．【詳解】解：設(shè)的長為x米，∵，，，∴，，∵米，∴，解得：，故選：D．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，以及解直角三角形的方法和步驟．3．（2022春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請求出索塔高的長．（結(jié)果精確到0.1米，）

【答案】109.8米【分析】設(shè)的長為x米，運用三角函數(shù)表示出的長，列出等式算出，即可解答；【詳解】解：設(shè)的長為x米，在中，，（米），米，在中，米，米，，，解得：，米，（米），答：索塔BH的長約為109.8米．【點睛】該題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答該題的關(guān)鍵是能夠熟練地運用三角函數(shù)列出等量關(guān)系式．A夯實基礎(chǔ)1．（2022上·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是旗桿的一根拉線，測得米，，則的長為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】利用余弦函數(shù)作答即可．【詳解】根據(jù)題意可知：，即在中，米，，有：（米），故選：A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解三角函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是河堤的橫斷面示意圖，已知，堤高，則坡面的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用求出，再利用勾股定理求出的長度即可．【詳解】解：在中，，，∵，∴，∴，故選：A【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·湖南株洲·九年級?？计谥校┠车痰臋M斷面如圖，堤高是5米，斜坡的坡度是，那么斜坡的長為米．

【答案】10【分析】根據(jù)坡度等于鉛直高度與水平距離的比，求出的長，再利用勾股定理，求出的長即可．【詳解】解：由題意，得：，∴，∴．故答案為：10．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡度等于鉛直高度與水平距離的比，是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，漁船向東航行，8點到達(dá)O處，看到燈塔A在其北偏東方向，距離12海里，10點到達(dá)B處，看到該燈塔在其正北方向，則漁船每小時航行海里．

【答案】【分析】利用銳角三角函數(shù)求出的長，利用路程除以時間求出速度即可．【詳解】解：由題意，得：海里，∴海里；∴漁船每小時航行海里；故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)興趣小組為了實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點處測得河的北岸點在其北偏東方向，然后向西走80米到達(dá)點，測得點在點的北偏東方向，求河寬．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，，）

【答案】米【分析】過作于，設(shè)米，則在中得到，在中，得到，則，解得分，即可得到答案．【詳解】解：過作于，設(shè)米，

在中，即，，在中，，即，，解得分，（米）．答：河寬大約為72.6米．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握方向角、準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·天津·九年級專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完“三角函數(shù)的應(yīng)用”后，在校園內(nèi)利用三角尺測量教學(xué)樓的高度，如圖，小明同學(xué)站在點處，將含45°角三角尺的一條直角邊水平放置，此時三角尺的斜邊剛好落在視線上．沿教學(xué)樓向前走7.7米到達(dá)點處，將含30°角三角尺的短直角邊水平放置，此時三角尺的斜邊也剛好落在視線上．已知小明眼睛到地面的距離為1.6米，求教學(xué)樓的高度．（點，，在同一水平線上．結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】19.8米【分析】先得出是等腰直角三角形，設(shè)米，得，，由得，進(jìn)而得出方程求解即可進(jìn)一步得出結(jié)論．解：如圖，連接并延長，交于點，設(shè)米．由題意可知，四邊形，四邊形是矩形，∴，，．∴．在中，，∴．∴．∴．在中，，，∴．∴．解得，．∴（米）答：教學(xué)樓的高約為19.8米．【點睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用---仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．B能力提升1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】考查學(xué)生類比遷移思想，直接畫出題目中描述的三角形，按照題干中的方程代入已知量解方程即可．【詳解】由題可知，需要畫出滿足條件的，如下圖所示；∵，；∴，；∴在中；；∵；∴；整理得：；，（舍）；∴；故選．

2．（2023上·河北邢臺·九年級校考期中）為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植樹造林活動．如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為（

）A． B．2m C．4m D．【答案】C【分析】本題考查了坡度，根據(jù)坡度“鉛直距離與水平距離的比”及已知水平距離，可求得鉛直距離，由勾股定理即可求坡面距離．【詳解】解：由題意得：，即，由勾股定理得：，故選：C．3．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，一山坡的坡度為，小辰從山腳出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點，則坡角為，小辰上升了米．

【答案】#30度100【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)坡比的定義得到，得到，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．掌握坡度的概念是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∵沿山坡向上走了200米到達(dá)點，∴（米）．故答案為：，．4．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，小紅同學(xué)用儀器測量一棵大樹的高度，在C處知，在E處測得，，儀器高度，這棵樹的高度為．

【答案】米【分析】根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系，可用含的代數(shù)式表示出、，由于，得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：由題意，四邊形、四邊形、四邊形均為矩形，、均為直角三角形，所以米，米．在中，，即，在中，，即，又，，即，，（米），故答案為：米．

【點睛】本題考查了解直角三角形．掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023上·江蘇泰州·九年級校考期中）如圖，是的中線，

求：(1)的長；(2)的正弦值．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問題；（2）在中，求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值為．6．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）黃河是中華文明最主要的發(fā)源地，中國人稱其為“母親河”，1855年8月，黃河改道山東大清河入渤海，自此與泉城濟(jì)南結(jié)下了不解之緣．黃河在濟(jì)南流經(jīng)7個區(qū)縣，綿延300余里，哺育了濟(jì)南兒女，潤澤了泉城大地，為落實黃河文化的傳承弘揚，某校組織學(xué)生到黃河某段流域進(jìn)行研學(xué)旅行．某興趣小組在只有米尺和測角儀的情況下，想要求出黃河某處的寬度（不能到達(dá)對岸）如圖，已知該段河對岸岸邊有一點A，興趣小組以A為參照點在河這邊沿河邊任取兩點B、C，測得，量得的長為300m．求河的寬度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)）

【答案】河的寬度約為204m．【分析】此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，過點A作于點D，根據(jù)角的正切值求出，由得，得到，即可求出河的寬度，正切掌握角的三角函數(shù)計算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點A作于點D，

由圖可知，，設(shè)，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，答：河的寬度約為204m．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊上，若，，則的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由于是等邊三角形，還給出，所有考慮直接把轉(zhuǎn)移到一個直角三角形中求解，那么這個角度如何利用，恰好想到過點A作的垂線直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【詳解】∵是等邊三角形；∴；過點作的垂線，垂足為；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；在中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故選．

2．（2023上·浙江杭州·九年級杭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，對折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點的對應(yīng)點落在上，折痕是，連接，若，則點的長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)可得，，，，可得，從而可得，可得，從而可得的長，，即可求解，進(jìn)而求出的長．【詳解】解：四邊形是矩形，，由折疊性質(zhì)可得：，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，故選：．【點睛】本題考查折疊性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，角的直角三角形等知識點，解題的關(guān)鍵是利用邊之間的關(guān)系推出．3．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門高米，學(xué)生身高米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點處測得攝像頭的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時，在點處測得攝像頭的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為．【答案】米【分析】由題意得米，分別在和中，利用三角函數(shù)求出、，可以得到段的長．【詳解】解：由題意得，米，米，在中，，米，在中，，米，米．故答案為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用仰角構(gòu)建直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．在構(gòu)建的兩個直角三角形中，分別利用兩個仰角的正切三角函數(shù)值，求得相應(yīng)直角邊的長．這里需要熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．4．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一飛機(jī)到達(dá)A點時，測得觀禮臺C在飛機(jī)前下方，俯角為，此時飛行路線改為沿仰角為方向的直線飛行，飛機(jī)飛行了6千米到B處時，居民區(qū)D恰好在飛機(jī)的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀禮臺C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）【答案】【分析】過A作于點E，過C作于點F，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出千米，千米，再證四邊形為矩形，得出千米，，在中，千米，則千米．【詳解】過A作于點E，過C作于點F，∵，∴為直角三角形，，∵，，∴（千米），（