2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【新定義問題】四邊形中的新定義問題（解析版）

四邊形中的新定義問題

知識(shí)方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識(shí)的新情景問題入手

這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的

含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手

對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識(shí)在后面問題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手

對(duì)于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

⑵重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.多邊形

(1)多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

(2)多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

(3)正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

(4)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一

邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè).②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180。，通常所

說的多邊形指凸多邊形.

（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)

狀態(tài)，此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心.

常見圖形的重心（1）線段：中點(diǎn)（2）平行四邊形：對(duì)角線的交點(diǎn)（3）三角形：三邊

中線的交點(diǎn)（4）任意多邊形.

填空題（共3小題）

1.（2021?梓潼縣模擬）新定義：有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，如圖，已知

在對(duì)余四邊形N8CD中，AB=\0,BC=\2,CD=5,tanB=-,那么邊的長(zhǎng)為

4

9.

【考點(diǎn)】解直角三角形

【分析】如圖，過點(diǎn)/作于過點(diǎn)C作CELAD于E,連接/C.解直角三角

形求出NE,即可解決問題

【解答】解：如圖，過點(diǎn)/作于X,過點(diǎn)C作于E,連接NC.

4H3

在RtAABH中，tan5=——

BH4

.?.可以假設(shè)4"=3左，BH=4k,則48=5左=10,

k=2，

:.AH=6,BH=8,

BC=12,

:.CH=BC—BH=\2—8=4,

:.AC=ylAH2+CH2=A/62+42=2V13,

/B+ND=90°，ND+ZECD=90°,

/./ECD=AB,

3DF

在RtACED中，tanZECD=-=——,

4EC

???CZ)=5,

/.DE—3,CE—4f

AE=\IAC2-CE2=7(2V13)2-42=6,

AD=AE+DE=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決

問題，屬于中考?？碱}型.

2.（2020秋?武漢期中）定義：有一組對(duì)角互余的四邊形叫做對(duì)余四邊形，如圖，在對(duì)余四

邊形ABC。中，AB=BC,AD=275,CD=5,ZABC=60°,則線段8。=_3石

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【分析】對(duì)余四邊形的定義得出/4DC=30。，將A3CD繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AS/尸，

連接/。，則ASCDMAS/歹，ZFBD=60°,得出BF=BD,AF=CD,NBDC=NBFA,

則ASFD是等邊三角形，得出BF=BD=DF,易證/3E4+乙4。3=30°,由

NFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180°,得出ZAFD+ZADF=90°,貝UZFAD=90°,

由勾股定理即可得出結(jié)果.

【解答】解：?.?對(duì)余四邊形/BCD中，ZABC=60°,

ZADC=30°,

AB=BC,

.?.將ASCD繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到A54F,連接FD,如圖所示，

KBCD=\BAF,"50=60°

BF=BD,AF=CD,ZBDC=NBFA,

.?.A5FD是等邊三角形,

/.BF=BD=DF,

vZADC=30°,

AADB+ZBDC=30°,

NBFA+ZADB=30°,

???/FBD+ABFA+NADB+NAFD+ZADF=180。，

60°+30°+ZAFD+ZADF=180。，

ZAFD+ZADF=90°,

ZFAD=90°,

/.AD2+AF2=DF2,

/.AD2+CD2=BD2,

22

BD=(2后+5=45,

???BD＞。,

BD=3y/~59

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)余四邊形的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)

角和定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握對(duì)余四邊形的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?奉化區(qū)校級(jí)模擬）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形.如圖，

在RtAABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=l,將AA8C沿N45。的平分線的方向平

移，得到連接/C,CC,若四邊形是等鄰邊四邊形，則平移距離的

長(zhǎng)度是1或2一.

2-

c

【考點(diǎn)】勾股定理；平移的性質(zhì)

【分析】由平移的性質(zhì)得到A8'=CV,A'B'//AB,A'B'=AB=2,B'C'=BC=\,

A'C'=AC=45,①如圖，當(dāng)CC=3C時(shí)，BB'=CC=BC=\；②如圖，當(dāng)/。=/3=2時(shí),

③如圖2,當(dāng)/。=CC時(shí)，則/。=8夕，延長(zhǎng)CE交48于H,設(shè)BH=B，H=x,根據(jù)

勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：?將RtAABC平移得到

BB'=CC,A'B'IIAB,A'B'=AB=2,B'C=BC=\,AC'=AC=E

①如圖1,SCC=BC時(shí)，BB'=CC'=BC=1；

②如圖1,當(dāng)/。=48=2時(shí)，

NABC=90°,BB'是ZABC的角平分線，

ZB'BA=45°,

延長(zhǎng)Cb交48于〃，

A'B'//AB,ZA'B'C=90°,

ZAHC=ZA'B'C=90°,

ZBHB'=90°,

設(shè)BH=B'H=x,

BB'=y[?.x,AH=2-x,CH=1+x,

vAC'2=AH2+C'H2,

22-(2-JC)2+(1+JC)2,

整理方程為：2x2-2x+l=0,

???△=4-8=-4<0,

此方程無實(shí)數(shù)根，故這種情況不存在；

③如圖2,當(dāng)/。=CC時(shí)，則/。=39，

延長(zhǎng)C6交48于〃，

A'B'//AB,ZA,B,C,=90°,

:.NAHC=N4BC=90。,

/BHB，=90°,

沒BH=B'H=x,

BB'=AC=yplx,AH=2—xfCH=1+x,

-：AC2=AH2+CH2,

(A/2X)2=(2-x)2+(1+x)2,

解得：尤=*,

2

:.BB'=-42,

2

綜上所述，若四邊形N3CC'是等鄰邊四邊形，則平移距離B2'的長(zhǎng)度是1或*四,

2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查勾股定理，平移的性質(zhì)，理解“等鄰邊四邊形”的定義是解本題的關(guān)

鍵.

二.解答題（共18小題）

4.（2021秋?荔灣區(qū)期末）如圖，共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形A4BC,△AB'C,若4B=4B',

AC=AC,S.ZBAC+ZB'AC'=ISO°,我們稱AASC與△N3C'互為"頂補(bǔ)三角形”.

（1）如圖2,A4BC是等腰三角形，AABE,ZUCD是等腰直角三角形，連接DE；求證:

△ABC與AADE互為頂補(bǔ)三角形.

（2）在（1）的條件下，BE與CD交于點(diǎn)、F,連接/尸并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G.判斷DE與NG

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,四邊形/8CA中，Z5=40°,ZC=50°.在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)尸，使AP4D

與AP3C互為頂補(bǔ)三角形，若存在，請(qǐng)畫出圖形，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】三角形綜合題

【分析】(1)等腰三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得/￡>=N3=/C=N￡,

ADAC=ABAE=90°,可證/A4C+/CUE=180。，可得結(jié)論；

(2)先證/G是8C的垂直平分線，再由“44S”可證=可得NG=D”,

即可得結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)。交A4延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，作CD的垂直平分線￡尸交48的垂直平分線于點(diǎn)尸，

連接CP,DP,AP,BP,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得PC=尸。，PA=PB,PELCD,

PFVAB,由等腰三角形的性質(zhì)可得ZDPE=NCPE,AAPF=ABPF,可證

ZAPD+ZBPC=180°,即可證APAD與APSC互為“頂補(bǔ)三角形”.

【解答】(1)證明：???A48C是等腰三角形，AABE,A4CD是等腰直角三角形，

AD=AB=AC=AE,ADAC=/BAE=90°,

NDAB+ZBAC+NBAE=180°,

:.ZBAC+ZDAE=180°,

NABC與AADE互為頂補(bǔ)三角形；

(2)DE=2AD,理由如下：

如圖2,設(shè)/G與。E的交點(diǎn)為〃，48與CD交于點(diǎn)。，AC與BE交于點(diǎn),N,

圖2

???A45C是等腰三角形，KABE,A4CQ是等腰直角三角形，

AB=AC=AD=AE,/ABE=NACD=45。,ADAC=ZBAE=90°,

ABAD=/CAE,

?;NABE=/ACD,AB=AC,ABAC=ABAC,

,AABN=AACQ(ASA),

AQ=AN,

BQ=CN,

又/ABF=/ACF,ABFQ=ZCFN,

NBFQtACFN(AAS),

BF=CF,

又「AB二AC,

AF是BC的垂直平分線，

又「AB=AC,

/BAG=/CAG,

ADAH=NEAH,

又AD=AE,

DH=HE,AH1DE,

\'AGIBC,

/ABG+/BAG=90°=ADAH+ZCAG,

ZABG=ZDAH,

又???AB=AD,ZAHD=AAGB=90°,

:.^ADH=ABAG(AAS),

DH=AG,

:.DE=2AG.

(3)證明：如圖，延長(zhǎng)CD交助延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，作CD的垂直平分線￡尸交45的垂直平分

線于點(diǎn)尸，連接C尸，DP,AP,BP,

...EP垂直平分CD,尸尸垂直平分48,

PC=PD,PA=PB,PELCD,PFVAB,

NDPE=ACPE,ZAPF=ZBPF,

NABC+NDCB=40°+50°=90°,

ZQ=90°,

y.-.-PELCD,PFVAB,

NEPF=90°,

ZAPD+NDPE+ZAPF=90°,

???ZAPD+ZBPC=ZAPD+ZEPF+ZCPE+ZBPF=ZAPD+ZDPE+NAPF+90°,

:.ZAPD+ZBPC=1?,O°,SLPC=PD,PA=PB,

:.AP4D與NPBC互為“頂補(bǔ)三角形”.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

5.(2021?任城區(qū)校級(jí)三模)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

(1)概念理解：

請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子：矩形或正方形；

(2)問題探究；

如圖1,在等鄰角四邊形N8C。中，2DAB=NABC,AD,8C的中垂線恰好交于邊上

一點(diǎn)P,連結(jié)NC,BD,試探究/C與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)應(yīng)用拓展；

如圖2,在RtAABC與RtAABD中，ZC=ZD=90°,BC=BD=3,AB=5,將RtAABD繞

著點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0°<Ne<NA4C)得到此△/夕。'(如圖3),當(dāng)凸四邊形/7YBC為

等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題

【分析】(1)矩形或正方形鄰角相等，滿足”等鄰角四邊形”條件;

(2)結(jié)論：AC=BD,ffiHlAAPC=ADPB(SAS)；

(3)分兩種情況考慮：I、當(dāng)=時(shí)，延長(zhǎng)CB交于點(diǎn)、E,如圖1,由

SmACBD.=S^c￡_SgED，,求出四邊形/C8O面積;

II、當(dāng)ZD'BC=ZACB=90°時(shí)，過點(diǎn)。作。E_L/C于點(diǎn)E,如圖2,由

S四邊陷CBO=%印+S矩形ECBD—求出四邊形面積即可，

【解答】解：(1)矩形或正方形是一個(gè)等鄰角四邊形.

故答案為：矩形，正方形；

(2)結(jié)論：AC=BD,

理由：連接尸D,PC,如圖1所示:

?.?PE是/。的垂直平分線，是BC的垂直平分線，

PA=PD,PC=PB,

ZPAD=ZPDA,NPBC=ZPCB,

ZDPB=2ZPAD,ZAPC=24PBe,即ZPAD=ZPBC,

ZAPC=ZDPB,

\APC=NDPB(SAS),

AC=BD；

（3）分兩種情況考慮：

⑶當(dāng)4=時(shí)，延長(zhǎng)CB交于點(diǎn)、E,

如圖3（，）所示，

EB=ED',

設(shè)EB=ED'=x,

由勾股定理得：42+(3+X)2=(4+X)2,

解得：x=4.5,

過點(diǎn)D'作D'FLCE于F,

D'F//AC,

:./\ED'F^\EAC,

D'FED'nnD'F4.5

ACAE44+4.5

解得：D'F=—,

17

二5初虛=；/CxEC=gx4x(3+4.5)=15；S^ED.=gxBExD'F=gxx4.5="，

SS15

貝US四邊形4CBO=MCE_^BED'=~=~~；

O'z)當(dāng)ZD'BC=ZACB=90°時(shí)，過點(diǎn)。作?！阓L/C于點(diǎn)E,

如圖3(萬)所示,

A

四邊形EC8O是矩形,

ED'=BC=3,

在RtAAED中，根據(jù)勾股定理得：AE=W-3?=5，

11Q//7—

SUED=-x^x^=-xV7x3=-j-,S矩形Ecm=CExCB=（4一⑺義3=12-3巾,

則S四邊形=Sf^EIX+S矩形ECBO=~~+12-3a=12-

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)

角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解''等

鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考常考題.

6.（2020秋?崇川區(qū)期末）定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊上一點(diǎn)，如果所得

線段把三角形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，則稱這條線段為三角形的“周長(zhǎng)平分線”.

（1）下列與等腰三角形相關(guān)的線段中，一定是所在等腰三角形的“周長(zhǎng)平分線”的是②

（只要填序號(hào)）;

①腰上的高；②底邊上的中線；③底角平分線.

（2）如圖1,在四邊形/BCD中，NB=NC=45。,P為3c的中點(diǎn)，ZAPD=90°.取4D

中點(diǎn)0,連接尸。.求證：尸。是A4尸口的“周長(zhǎng)平分線”.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別取/尸，0P的中點(diǎn)N,如圖2.請(qǐng)?jiān)?c上找點(diǎn)E,F,

使W為A4PE的“周長(zhǎng)平分線”，/W為AD尸尸的“周長(zhǎng)平分線”.

①用無刻度直尺確定點(diǎn)E,下的位置（保留畫圖痕跡）；

②若AB二四,CD=272,直接寫出昉的長(zhǎng).

【分析】（1）由等腰三角形的底邊上的中線平分底邊可求解；

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得3尸=PC=M3ZB=NPHC=ZC=45。，ZBPH=90°,

由“ASA”可證NBPA=NHPD,可得4P=PD,可得結(jié)論；

（3）①由加是4P的中垂線，QN是尸。的中垂線可求解；

②如圖2,過點(diǎn)/作于過點(diǎn)。作DG_L3C于G,連接/E,DF,由“44S”

可證=APDG,可得/8=PG=1,PH=DG=2,由勾股定理可求尸E,PF的長(zhǎng),

即可求解.

【解答】(1)解：一定是所在等腰三角形的“周長(zhǎng)平分線”的是底邊上的中線，

故答案為：②；

(2)證明：如圖1,延長(zhǎng)24,CD交于點(diǎn)、H,連接印\

ZBHC=90°,BH=CH,

???P為3c的中點(diǎn)，

BP=PC=HP,ZB=ZPHC=ZC=45°,ZBPH=90°,

ZBPH=ZAPD,

ZBPA=ZHPD,

NBPA=\HPD{ASA),

AP=PD,

?.?點(diǎn)。是4D的中點(diǎn)，

AQ=DQ,

:.AQ+AP=PD+DQ,

二尸。是A4P。的“周長(zhǎng)平分線”；

(3)①如圖2,連接加并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)E,連接0N并延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)￡,點(diǎn)

尸為所求，

D

圖2

②如圖2,過點(diǎn)4作于X,過點(diǎn)。作。G_L5C于G,連接ZE,DF,

圖2

???/B=/C=45。，

ZBAH=ZB=45°,ZC=ZCDG=45°,

AH=BH,DG=CG,

,CD=2V2,

AH=BH=1fDG=CG=2,

???NAPD=90°,

NAPH+NDPG=90°=ZAPH+/PAH,

ZPAH=ZDPG,

又??,AP=DP,ZAHP=ZDGP=90°,

\APH=APDG⑷S),

.?.AH=PG=T,PH=DG=2,

■：AP=PQ,//PD=90。，點(diǎn)。是/D的中點(diǎn),

AQ=PQ=QD,PQ1AD,

?.?點(diǎn)”，點(diǎn)N分別是4P,。尸的中點(diǎn)，

二便是4P的中垂線，Q尸是DP的中垂線，

AE=PE,DF=PF,

AE~=AH2+HE-,

1

PE=1+（2-尸￡）2,

PE=~,

4

同理可求尸尸=』，

2

:.EF=PE+PF=—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理等知識(shí)，理解三角形的“周長(zhǎng)平分線”的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?諸暨市期中）【了解概念】

在凸四邊形中（內(nèi)角度數(shù)都小于180。），若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱

該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊.

【理解應(yīng)用】

（1）鄰等四邊形/8CD中，NN=30。，Z5=70°,則NC的度數(shù)=130。:

（2）如圖，四邊形45CD為鄰等四邊形，為鄰等邊，且乙4=求證：AADP^ABPC;

【拓展提升】

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且43邊與x軸重合，己知

N（2,0）,C（W,2A/3）,。（5,3人），若在邊上使NDPC=NA4。的點(diǎn)尸有且只有1個(gè)，求

【分析】（1）分三種情況考慮：①由8C為鄰等邊，②由ND為鄰等邊，③由C〃為鄰等邊,

根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；

（3）分兩種情況：①若點(diǎn)2在點(diǎn)/右側(cè)，如圖1,過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作

CH_Lx軸于點(diǎn)〃，由為鄰等邊，貝I］有ND48=N/8C=NDPC,可證A4D尸s^pc,

可得生=把，設(shè)點(diǎn)尸（%0）,由三角函數(shù)可求ZB/D=60。，可求3、C橫坐標(biāo)之差為2,

BCBP

3(機(jī)+2,0),將4P,BP,AD,BC,代入得：M2-(m+4)?+2(m+14)=0,由于在邊

上使/。尸C=的點(diǎn)尸有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別

式即可求得答案；

②若點(diǎn)5在點(diǎn)4左側(cè)，如圖2,過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作3，工軸于點(diǎn)〃，

根據(jù)A4尸。sMc尸，可得理=迎，同①方法即可求得答案.

BCBP

【解答】解：（1）①若BC為鄰等邊，貝!]/。=/8=70。，

/。二360。一//一/8-/。=190。

不為凸四邊形，所以舍去；

②若4D為鄰等邊，則/。=44=30。，

/C=360?！狽Z—25—NC=230。（舍）；

③若CQ為鄰等邊，則/C=/D,

.?./C=/Q=（360?！?4-/5）+2=130。，

...ZC=130°.

故答案為：130；

（2）證明：???四邊形Z5CD為鄰等四邊形，45為鄰等邊，

NA=/B,

???NZ=ZDPC,

NA=NB=ZDPC,

+ZADP+ZAPD=180°,ZAPD+ZDPC+ZBPC=180°,

ZADP=ZBPC,

AADP^ABPC；

（3）①若點(diǎn)B在點(diǎn)4右側(cè)，如圖1,過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作C〃J_x軸于點(diǎn)

H,

???AB為鄰等邊，

ABAD=AABC,

???ZDPC=/BAD,

/BAD=/ABC=ZDPC,

???ABAD+NADP+ZAPD=180。，ZAPD+ZDPC+ABPC=180。，

ZADP=ZBPC,

\ADPS\BPC,

.AP_AD

"拓一而‘

設(shè)點(diǎn)尸(凡0),

???4(2,0),D(5,3折,

...G(5,0),

:.DG=30AG=3,

/…廠DG3百

「.tanNDAG=-----=------

AG3

NDAG=60°,

ZDPC=/BAD=60°,

:.AD=*巫=6,

sinZDAGsin60°

由(2)知，KADP^KBPC,

ACBP=/PAD=60°,

C(m,2框),

CH=243,

CHBC-⑵一2君一

BH=

tanZCBP~tan60°sinZCBPsin60°

BP=m+2—n,AP=n-2,

AP_AD

~BC~BP'

n-2_6

—,

4m+2-n

n2—(m+4)n+2(m+14)=0,

?.■在邊48上使=的點(diǎn)尸有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,

.-.△=[-(/?+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4y[6,

?.?點(diǎn)B在點(diǎn)/右側(cè)，

m=4A/6；

②若點(diǎn)8在點(diǎn)4左側(cè)，如圖2,過點(diǎn)。作。G，x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作C/f軸于點(diǎn)〃,

4(2,0),。(5,3百),

...ZDAG=60°，

NDAB=ACBA=ZCPD=120°，

NDAB+ZAPD+NADP=180。，ZAPD+ZCPD+ZCPB=180。，

ZADP=ZCPB,

z.AAPD^ABCP,

.AP_AD

由①得：8(冽+2,0),。(冽,2百)，尸(鞏0),

AP=2-nJBP=n-m-2,AD=6,BC=4,

2-n_6

4n-m-2

n2—(rn+4)n+2(m+14)=0,

???在邊45上使ZD尸。的點(diǎn)尸有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,

/.△=[-(m+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4^6,

???點(diǎn)5在點(diǎn)4左側(cè)，

m=—4^/6；

綜上所述，m=±4^/6.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證

新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù),一元二次方程根的判別式，利用相

似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于n的一元二次方程是解題關(guān)鍵.

8.(2021秋?駐馬店期中)定義：有一組鄰邊垂直且對(duì)角線相等的四邊形為垂等四邊形.

(1)矩形是垂等四邊形(填“是”或“不是”)；

(2)如圖1,在正方形/BCD中，點(diǎn)￡,F,G分別在ND,AB,5c邊上.若四邊形DEbG

是垂等四邊形，且NEFG=90。，AF=CG,求證：EG=DG;

ATi-

(3)如圖2,在RtAABC中，ZACB=9Q°,—=2,AB=2<5,以48為對(duì)角線，作垂

BC

等四邊形/C8。，過點(diǎn)。作C8的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為￡,且A45c與ASDE相似，求四

邊形的面積.

圖1圖2

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】(1)根據(jù)“垂等四邊形”的定義進(jìn)行分析;

(2)通過A4D尸三ACDG的性質(zhì)推知=；然后根據(jù)四邊形。訪G是垂等四邊形的性

質(zhì)知EG=DF；最后由等量代換證得結(jié)論；

(3)如圖2,過點(diǎn)。作_LNC,垂足為尸，構(gòu)造矩形CEZ中.在RtAABC中，利用勾股

定理求得NC=2,BC=\.再由垂等四邊形四邊形NC3D的性質(zhì)知48=CD=2行.

分兩種情況：當(dāng)ZUCBSAB即時(shí)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線

段的長(zhǎng)度，由SmACBD=SMCD+S"B求得結(jié)果；

當(dāng)A4C8SAT)歷時(shí)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，由

S四邊形4CB￡>=^AACD+SADCB求侍結(jié)果，

【解答】(1)解：矩形有一組鄰邊垂直且對(duì)角線相等，故矩形是垂等四邊形.

故答案為：是；

(2)證明：?.?四邊形4BC。為正方形，

AD=CD,ZA=ZC.

XvAF=CG,

KADF=ACDG(&4S),

DF=DG.

?.?四邊形。跖G是垂等四邊形，

EG=DF,

/.EG=DG；

(3)解：如圖2,過點(diǎn)。作垂足為尸，

CBE

圖2

，四邊形CED尸為矩形.

??噎?

:.AC=2BC.

在RtAABC中，AB=2卮

根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2,BP(25C)2+SC2=5,

:.AC=4,BC=2.

???四邊形ZC2。為垂等四邊形,

AB=CD=2A/5.

第一種情況：

AT

當(dāng)A4C5sA5切時(shí)，——里=2,

BCDE

設(shè)D￡=x,貝l|3￡=2x,

CE=2+2x.

在RtACDE中，根據(jù)勾股定理得，CE2+DE2=CD2,

即(2+2X)2+X2=20,

—4+4癡-4-476

解得再=（舍去）,

55

...￡>￡=4指-4,CE=DF=2+2X=

55

8#+2+12x4#一4

?二S四邊形zcBQ=^\ACD+^M)CB='義4義

525

第二種情況:

圖2

ACDEc

當(dāng)A4CgsAZ)"時(shí),------=2,

BCBE

設(shè)貝！JOE=2y,

/.CE=2+y,

在RtACDE中，根據(jù)勾股定理得，CE1+DE2=CD2,

即(2+y)2+(2y)2=20,

2V21-2-2-2V21

解得必=>%=（舍去）,

55

2>/21+84721-4

/.CE=DF=2+y=,DE=2y=

55

^^+lx2x44-4_84+12

?e,S四邊形ZC3Z)=^\ACD+S0cB=5X4X

5255

綜上所述，四邊形/C2。的面積為4指或包包土絲.

5

故答案為：4/或8亞+12.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似綜合題，綜合運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形

的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)解題，解題的關(guān)鍵是掌握“垂等四邊形”的定義,

另外解題過程中，注意方程思想的應(yīng)用.難度較大.

9.(2021秋?市北區(qū)期中)閱讀理解：

如圖1,在四邊形48CD的邊上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)/、點(diǎn)3重合)，分別連接助，

EC,可以把四邊形N8CD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把￡叫做

四邊形/BCD的邊上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形

ABCD的邊N8上的強(qiáng)相似點(diǎn).

解決問題：

(1)如圖1,NA=NB=NDEC=55。,試判斷點(diǎn)￡是否是四邊形N8CD的邊上的相似

點(diǎn)，并說明理由；

(2)如圖2,在矩形48CD中，45=5,BC=2,A,B,C,。四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)

格中每個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)最小正方形的頂點(diǎn))上，若圖2中，矩形

ABCD的邊AB上存在強(qiáng)相似點(diǎn)E,則NE:歐=_1:4或4:1_；

拓展探究：

(3)如圖3,將矩形N8C。沿CM折疊，使點(diǎn)。落在N3邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)￡恰好是四

邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】(1)兩］用三角形外角的性質(zhì)可得乙=則可證明；

(2)根據(jù)強(qiáng)相似點(diǎn)的定義，可找出符合條件的點(diǎn)E,即可得出答案；

(3)由題意知ACME'SA5ECsA￡l/C,則Z8CE=NECM=NDCAf=LNBCD=30。，可說

3

明點(diǎn)E為48的中點(diǎn)，從而解決問題.

【解答】解：(1)是，理由如下：

/A=/DEC,ZA+ZADE=ZDEC+ZCEB,

NADE=ZCEB,

又???NA=NB,

KADEs曲EC,

.?.點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);

(2)如圖，

DC

、、、J/

------------axr-sr------+------

X/、、/

①「、J

AEE]B

故/E:=1:4或4:1.

故答案為：1:4或4:1；

(3)???點(diǎn)E恰好是四邊形48CM的邊45上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),

\AMEs\BECs\EMC,

ABCE=ZECM=ZDCM=-ABCD=30°,

3

:.BE=-EC=-CD=-AB,

222

RF”

tanNBCE=tan300=—=—,

BC3

AB2BE2A/3

即AB=—BC.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形中的新定義題，主要考查了對(duì)新定義的理解，相似三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，熟悉基本模型是解題的關(guān)鍵.

10.(2021秋?蘇家屯區(qū)期中)我們定義對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

如圖點(diǎn)E是四邊形4BCD內(nèi)一點(diǎn)，已知BE=EC,AE=ED,ZBEC=ZAED=90°,對(duì)角

線/C與8。交于。點(diǎn)，BD與EC交于點(diǎn)、F,NC與即交于點(diǎn)G.

(1)求證：四邊形48CD是垂美四邊形;

(2)猜想四邊形/3CD兩組對(duì)邊N8、CD與BC、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

(3)若3E=3,AE=4,AB=6,貝！ICD的長(zhǎng)為V14

【考點(diǎn)】四邊形綜合題

【分析】（1）先ABED=ACEA（SAS）,得/BDE=NCAE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

ZAOD=ZAEG=90°,最后根據(jù)垂美四邊形的定義可得結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理解答即可；

（3）根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理可得3c和4D的長(zhǎng)，代入（2）中的結(jié)論可得CD的

長(zhǎng).

【解答】（1）證明：?.?/2￡。=乙4即=90。，

NBEC+ZCED=ZCED+NAED,

即ABED=ACEA,

???BE=EC,AE=ED,

ABED=ACEA（SAS）,

NBDE=NCAE,

/AGE=ZDGO,

ZAOD=ZAEG=90°,

AC±BD,

，四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）解：猜想：AB2+CD2=AD2+BC2；理由如下：

■：ACVBD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO-+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2=AB2+CD2；

(3)?.?ASCE和zUEZ)是等腰直角三角形，且2E=3,AE=4,

BC=342,AD=4y/2,

■：AD2+BC2=AB2+CD2,

(4V2)2+(3A/2)2=62+CD2,

：.cr>=Vu.

故答案為：V14.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾

股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

11.我們學(xué)過了特殊的四邊形，體驗(yàn)了通過作平行線、垂線、延長(zhǎng)線等常用方法，把四邊形

問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的重要思想.除了我們學(xué)過的特殊四邊形，還有很多特殊四邊形.我

們定義：四邊形中，除一邊以外其余的部分都在這條邊的同側(cè)，這個(gè)四邊形就叫做凸四邊形;

有一組鄰角相等的凸四邊形就叫做“等鄰角四邊形”，根據(jù)這個(gè)定義，請(qǐng)解決下列問題.

(1)概念理解

如圖(1),在A43C中，CHA.4B于H，點(diǎn)D、E、歹分別是N3、BC、NC的中點(diǎn)，連

接DF、EF、EH、DE、FH,寫一個(gè)圖形中的“等鄰角四邊形”：四邊形"AM(不

再添加除圖形以外的字母)；

(2)解決問題

如圖(2),四邊形4SCD是“等鄰角四邊形"，MZDAB=ZABC,延長(zhǎng)/8、DC交于點(diǎn)尸.

求證：ADPC=BCPD-,

(3)探索研究

如圖(3),RtAABC中，ABAC=90°,AB=8,AC=4,AD=3,點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形NOEC成為''等鄰角四邊形”時(shí)，求四邊形/DEC的面積.

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理得。尸//8C,所以乙4DF=/B,由直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半可知EH=EB,所以NEHB=NB,得到NEHB=ZADF,進(jìn)一步推

理即可得到四邊形。即為“等鄰角四邊形”；

AriPD

(2)過點(diǎn)。作。戶///。交48于點(diǎn)尸，可證A4PZ>SAFPC,CF=CB,得——=——，進(jìn)

CFPC

一步變形即可得出結(jié)論；

(3)分三種情況考慮：?ZCAB=ZEDB=9Q°,四邊形C/DE為直角梯形，根據(jù)梯形面積

公式求出即可，②N4DE=/DEC時(shí)，SmcADE=S.CAB-S^DB,求出和S皿即可，③

/C=NCED時(shí)，S四邊形CADE=SAQB—S居DB，求出和邑￡08即可?

【解答】(1)解：?.■點(diǎn)。、尸分別是N3、NC的中點(diǎn)，

二。下是A4BC的中位線，

DF//BC,

ZADF=NB,

;CH工AB于H,點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，

：.HE=EB=-BC,

2

ZEHB=NB,

NEHB=ZADF,

ZADF+2FDH=AEHD+ADHE=180°,

ZFDH=NDHE,

?.?四邊形?！艦橥顾倪呅?，

二.四邊形D的'為"等鄰角四邊形”，

故答案為：四邊形一

圖⑵

(2)證明：過點(diǎn)C作C戶/交于點(diǎn)/，

N4=ZCFP,

■,-//=NABC,

/ABC=ZCFP，

CF=CB,

???NP=NP,

,\APD^\FPC,

.AD_PD

,~CF~Tc'

AD_PD

一~CB~TC9

AD,PC=BC?PD；

(3)解：分三種情：

①當(dāng)/C45=N￡QB=90。時(shí)，如圖:

ACABs\EDB,

DE_BD

…~AC~14B，

?/AB=8,AC=4,AD=3,

，5Q=8—3=5,

DE_5

-----—,

4---8

...DE=-,

2

ii<5A30

S梯形C3=2,(DE+^C)-+4j-3=—

②當(dāng)N/OE=NO￡C時(shí)，如圖：

過點(diǎn)E作跖'，/臺(tái)于點(diǎn)X,

ZCAB=ZEDB=90°，

/B=/B,

\CAB^NEHB,

.EH_BE

…就一就‘

RtAABC中，ABAC=90°,AB=8,AC=4fAD=3,

BC=^AC2+AB2=V42+82=475,

???NADE=/DEC,

ZBDE=/DEB,

/.BD=BE=5,

EH_5

EH=卮

1義#=

一S四邊形C4DE=S^CAB-S莊DB=-X4x8--x5

22

③當(dāng)/C=NC￡。時(shí)，如圖:

過點(diǎn)/作4P//OE交BC于點(diǎn)尸，過點(diǎn)E作于點(diǎn)〃，過點(diǎn)產(chǎn)作7W_L45于點(diǎn)N,

過點(diǎn)方作9_L4C于點(diǎn)過點(diǎn)4作4G_L5C于點(diǎn)G,

ZAFC=ZCED,

???ZC=ZCED,

AF=AC=4,

vAGLBC,

AF=2CG,ZCGA=ZCAB=90°,

?rZC=ZC,

ACAGSACBA,

.CG_CA

'~CA~^B'

CG_4

，丁=礪'

3拽

5

二.CF*

5

???FM1ACf

，ZCMF=NCAB=90°,

???zc=zc,

\CMF^\CAB,

8x/5

CMCF日口CMM

CACB44A/5

Q

5

...AM=FN=—,

5

???AF/IDE

\BEDS\BFA,

???FN.LAB,EHVAB,

EHBDEH5

...——=——，即Rn=-=一，

FNBA128

5

3

:.EH=一，

2

11349

一S四邊形C4DE=，kCAB-S莊DB=9

綜上所述，四邊形/DEC的面積為處或16-2回或絲.

424

【點(diǎn)評(píng)】本題是相似綜合題，理解新定義的條件，正確作出輔助線，找到相似三角形是解決

問題的關(guān)鍵，分類討論是難點(diǎn).

12.(2021?鄲州區(qū)模擬)定義：有一組鄰邊垂直且對(duì)角線相等的四邊形稱為垂等四邊形.

(1)寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是矩形；

(2)如圖1,在正方形/BCD中，點(diǎn)E,F,G分別在ND,AB,8c上，四邊形。跖G

是垂等四邊形，且NEFG=90。，AF=CG.

①求證：EG=DG；

②若BC=n-BG,求"的值;

(3)如圖2,在RtAABC中，-一=2,AB=45,以N3為對(duì)角線，作垂等四邊形NC3D.過

BC

點(diǎn)。作C2的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為E,且A4cB與AZ)3E相似，求四邊形/CB。的面積.

圖1圖2

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】(1)根據(jù)“垂等四邊形”的定義進(jìn)行分析；

(2)①通過歹三ACDG的性質(zhì)推知。尸=OG；然后根據(jù)四邊形DEFG是垂等四邊形的

性質(zhì)知EG=DF；最后由等量代換證得結(jié)論；

②如圖1,過點(diǎn)G作垂足為〃，首先證明A5/G為等腰直角三角形，則

ZGFB=45°;然后證得A4EF為等腰直角三角形；再次，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已

知條件得到：BC=3AE,BG=2AE.代入求值即可；

(3)解：如圖2,過點(diǎn)D作。P_L/C,垂足為尸，構(gòu)造矩形CEDF.在RtAABC中，利用

勾股定理求得/C=2,BC=\.再由垂等四邊形四邊形/CAD的性質(zhì)知/8=CD=石.

分兩種情況：當(dāng)A4C8SA5即時(shí)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線

段的長(zhǎng)度，由S四邊物ICB0=+SADCB求得結(jié)果；

當(dāng)A4cBs9即時(shí)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，由

S四邊