2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：幾何作圖問題（含無刻度作圖2易錯(cuò)12題型）（解析版）

通關(guān)秘籍05幾何作圖問題（含無刻度作圖）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

■（中考預(yù)測

幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無刻度作圖，是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有

一些考生因?yàn)橹R殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須熟練尺規(guī)作圖，而

無刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個(gè)省市著重考查此類題型。

2.從題型角度看，以解答題的第三題或第四題為主，分值8分左右，著實(shí)不少！

■（誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)一由作角平分線過程求解

【例1】（2024?湖南懷化?一模）如圖，以直角的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)/為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別

交直角邊于點(diǎn)。，交斜邊/C于點(diǎn)E,再分別以點(diǎn)。，￡為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于

2

S

點(diǎn)尸，作射線4尸交邊8C于點(diǎn)G,若48=3,BC=4,用又研表示23。的面積（其它同理），則芍皿=

()

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理等知識，解答時(shí)過點(diǎn)G作GaL/C于點(diǎn)

SAB

得到2G=GH,再由勾股定理求出ZC,再推出甘A蟠Rr==,則問題可解

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作于點(diǎn)X,

由尺規(guī)作圖可知，/G為/以C平分線,

VD5=90°,

BG=GH,

,,-05=90°,43=3,SC=4,

22

AC=ylAB+BC=A/32+42=5，

AC4

S“CG-AC-GH

2

故選:B.

易錯(cuò)點(diǎn)撥

本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理等知識.

I_________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024?湖南常德?一模）如圖，已知//。3=40。，以點(diǎn)。為圓心，以適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交。4,

OB于點(diǎn)“，N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于!"N的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線OP,

2

過點(diǎn)P作尸0〃。5交CM于點(diǎn)。，則ZOPQ的度數(shù)是度.

【分析】本題考查了角平分線的作法，平行線的性質(zhì)；角平分線的作法得。尸平分再由平行線的

性質(zhì)，即可求解；理解角平分線的作法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由作法得：

OP平分NAOB,

:.NBOP=L/AOB=2CP,

2

PQ//OB,

ZOPQ=ZBOP=20°,

故答案：20.

【例3】（2024?江蘇淮安?一模）如圖，Y/3CD中，/8=10,BC=1,進(jìn)行如下操作：①以點(diǎn)/為圓心,

任意長為半徑作弧，分別交AB于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作

弧，兩弧交于點(diǎn)R③作射線4尸交DC于點(diǎn)￡,則CE的長為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖一一作角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，等角對等邊等，根據(jù)角平分線的定

義以及平行四邊形的性質(zhì)，即可得到。E,CD的長，進(jìn)而得到CE的長.理解并掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解

決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知，AE平分/BAD,

：.NDAE=NEAB,

?；四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB//CD,AB=CD=10,AD=BC=1,

：.NDEA=NEAB,

NDEA=NDAE,

：.AD=DE=7,

：.CE=CD-DE=3,

故答案為：3.

易錯(cuò)點(diǎn)二由作垂直平分線過程求解

【例1】（2024?浙江嘉興?一模）如圖所示的進(jìn)行以下操作：①以/,8為圓心，大于為半徑

作圓弧，相交點(diǎn)。，E-,②以N,C為圓心，大于;NC為半徑作圓弧，相交于點(diǎn)尸，G.兩直線DE,尸G相

交于A4BC外一點(diǎn)尸，且分別交BC點(diǎn)N.若NMAN=50。,則NMPN等于（）

DA戶

C.70°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌根據(jù)垂直平分

線的性質(zhì)得建4=NA=NC,進(jìn)而可得=ZC=ZCAN,求出/A4c=115。，再由四邊

形內(nèi)角和求出/MPN=65。即可.

【詳解】解：由作圖步驟可得為線段的垂直平分線，GF為線段/C的垂直平分線，

MA=MB,NA=NC,

:.NB=NBAM,ZC=ZCAN,

：.NBAC=/MAN+(ZBAM+/CAN)=/MAN+(ZB+NC),

又ZBAC=180°-(/B+ZC)

：.ZBAC=1(180°+NM4N)=gx(180。+50°)=115°,

NMPN+/BAC+90°+90。=360°

：.ZMPN=65°,

故選：B.

易錯(cuò)點(diǎn)撥

本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌根據(jù)垂直平分線的

性質(zhì).

【例2】(2024?廣東珠海?一模)如圖，在AASC中，AB>AC,按以下步驟作圖：分別以點(diǎn)3和點(diǎn)C為圓心,

大于8c一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)”和點(diǎn)N,作直線交于點(diǎn)。，連接CD,若48=8,

AC=4,貝!U/CO的周長為()

A.9B.10C.IID.12

【答案】D

【分析】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段

兩端點(diǎn)的距離相等.根據(jù)作圖可得兒W是3C的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得。=。5,然

后可得4D+CZ>=8,進(jìn)而可得A/CZ）的周長.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得及W是3C的垂直平分線，

MN是BC的垂直平分線，

CD=DB,

'：AB=8,

：.CD+AD=S,

A/CO的周長為：4+8=12,

故選：D.

【例3】（2024?吉林四平?模擬預(yù)測）如圖，在“3C中，Z5=40°,ZC=50°,通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，

可以求得ZDAE=.

【答案】25。/案度

【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，熟練掌握

線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵.

由題可得，直線。尸是線段的垂直平分線，4E為204c的平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、角

平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：由題可得，直線是線段N8的垂直平分線，NE為ND4C的平分線，

AD=BD,NDAE=NCAE,

：.ZB=ZBAD=40°,

/.NADC=ZB+ZBAD=80°,

'：ZC=50°,

/.ZDAC=180°-80°-50°=50°,

NDAE=ZCAE=-ZDAC=25°,

2

故答案為：25°.

■（搶分通關(guān)

題型一尺規(guī)作角平分線

典例精講：

【例1】（2024?陜西渭南?一模）如圖，已知AABC,請用直尺和圓規(guī)在圖中作菱形要求點(diǎn)。、E、

廠分別在邊8C、NC和上（不寫作法，保留作圖痕跡）.

【分析】先作//BC的平分線3E,再作3E的垂直平分線得到。尸，則四邊形8。所為菱形；本題考查了作

圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解

成基本作圖，逐步操作.也考查了菱形的判定與性質(zhì).

【詳解】解：如圖：

菱形8D跖為如圖所示：

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了菱形的判定與性質(zhì).

【例2】（2024?廣東茂名?一模）如圖，已知ABC,CA=CB,//CD是的一個(gè)外角.

⑴請用尺規(guī)作圖法，求作射線。尸，使CP平分NZC7X（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）證明：CP//AB.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖以及平行線的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)以。為圓心，任意長為半徑畫弧交/C和于點(diǎn)〃■和N,再以點(diǎn)河和N為圓心，大于MV的一半為

半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)尸，連接CP,即可作答.

(2)因?yàn)镃4=C8,得N/=/48C,根據(jù)外角性質(zhì)，得N4+/ABC=/ACD=2NACP,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等

兩直線平行，即可作答.

【詳解】(1)解：如圖所示：

(2)解：CA=CB,

：.ZA=ZABC.

'：ZA+ZABC=2ZA=ZACD,CP平分//CO.

ZACP=ZDPC,NACP+ZDPC=2ZACP=ZACD.

：.ZA=ZACP.

：.CP//AB.

名校模擬

1.(2024?四川達(dá)州?模擬預(yù)測)如圖，在放中，ZACB=90°.

⑴利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到45的距離等于尸C的長;

⑵若/C/B=60。，/C=3,求點(diǎn)尸到48的距離？

【答案】⑴見解析

⑵百

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的尺規(guī)作圖，含30度角的直角三角

形的性質(zhì)，等角對等邊等等，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得點(diǎn)尸在NA4c的角平分線上，據(jù)此作出/A4c的角

平分線與交于點(diǎn)P即可；

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)只需要求出CP的長，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)分析求解.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)尸即為所求，

(2)解：過點(diǎn)尸作于

由題意得，4P平分

VZCAB=60°,NC=3,

NCAP=NBAP=30°,

在RtA^PC中，ZC=90°,NCAP=30°,

巧

/.CP=—AC=43,

3

??CP=DP=V3，

...點(diǎn)P到的距離為百.

2.(2024?湖南長沙?三模)已知：如圖，點(diǎn)M在//O8的邊。/上.小櫻根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，請你依據(jù)

小櫻的作圖痕跡回答下列問題.

⑴填空：由作圖可知，射線。尸是的；

⑵以點(diǎn)”為圓心、OM長為半徑畫弧，交射線OP于點(diǎn)N,連接九W,試判斷九W與03的位置關(guān)系并說明

理由.

【答案】⑴角平分線

Q)MN〃OB,理由見解析

【分析】

本題考查尺規(guī)作圖-作角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定.

(1)根據(jù)作圖可知：射線。尸是//O8的角平分線；

(2)根據(jù)作圖可知得到NMON=NMNO,進(jìn)而推出=/NO3,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由作圖可知，射線。尸是//O8的角平分線；

故答案為：角平分線；

(2)MN//OB,理由如下：

由作圖可知：OM=MN,

:.NMON=NMNO,

；OP是N40B的角平分線，

:.NMON=NNOB,

：.ZMNO=ZNOB,

：.MN//OB.

題型二尺規(guī)作垂直平分線

典例精講」

【例1】(2024?江蘇宿遷，一模)如圖，已知YABCD.

⑴尺規(guī)作圖：作對角線NC的垂直平分線，交/。于點(diǎn)E,交8c于點(diǎn)尸；(不寫作法，保留作圖痕跡)

⑵連接"、CE.求證：四邊形NECF是菱形.

【答案】⑴作圖見詳解

⑵證明見詳解

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的畫法，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱

形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂直平分線的畫法即可求解；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證A/OEgACOb,可得/E=C/，可證四邊形NECF是平行四邊形，再結(jié)

合垂直平分線的性質(zhì)可得/E=C￡,由"一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形"即可求證.

【詳解】(1)解：分別以點(diǎn)4。為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點(diǎn)N,連接交/。于點(diǎn)E,

2

交于點(diǎn)尸，如圖所示,

：.EF是對角線AC的垂直平分線；

(2)解：如圖所示，連接工尸，CE,設(shè)所與NC交于點(diǎn)O,

,??四邊形/BCD是平行四邊形，

AAD\\BC,OA=OC,

：.AE\\CF,

：.AEAO=NFCO,且NAOE=ZCOF,

在AAOE,ACOF中，

NEAO=NCOF

<OA=OC,

NAOE=NCOF

"OE知COF（4SA）,

AE=CF,

...四邊形/ECF是平行四邊形，

EF是AC的垂直平分線，

/.AE=CE,

：.平行四邊形/EC尸是菱形.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的畫法，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱

形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

名校模擬

1.（2024?山西呂梁?一模）如圖，在中，ABAC=90°.

⑴實(shí)踐與操作：過點(diǎn)A作三角形BC邊上的高（要求：尺規(guī)作圖并保留痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）.

⑵計(jì)算：在（1）的條件下，若/8=2,ZC=30°,求/。的長

【答案】⑴見解析

⑵仃

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握30。對的直角邊是斜邊的一半

是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)尺規(guī)作圖作垂線的方法作圖即可；

（2）由含30。的直角三角形的性質(zhì)，可求出BC=2/3=4,再由勾股定理求出NC=，再由含30。的直角

三角形的性質(zhì)求解即可；

【詳解】（1）如圖所示，ND即為所求，

(2)VABAC=90°,ZC=30°,AB=2,

BC=2AB=4,

在RtZ\48C中，ZC=J8c2一次="一2?=2萬

；4D是8C邊上的高，

ZADC=90°,

AD=-AC=43,

2

題型三網(wǎng)格中有一線的無刻度作圖

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?吉林松原?一模)圖①、圖②均是5x5的正方形網(wǎng)格,小正方形的邊長

均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②中,只用無刻度的直

按下列要求作圖.

⑴線段的長為；

⑵在圖①中，以線段為腰畫一個(gè)等腰鈍角三角形ABC,

(3)在圖②中，以線段為邊畫一個(gè)軸對稱四邊形ABEF,使其面積為8.

【答案】⑴加

⑵如圖所示

⑶如圖所示

【分析】

本題考查作圖-對稱變換，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)

合的思想解決問題.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)取格點(diǎn)C,使得=且/Z8C>90。，連接ZC即可；

(3)取格點(diǎn)瓦尸，使得4B=BE=EF=4F,且AE=4BF=2?,構(gòu)成菱形/8EF,菱形面積為8,且

為一個(gè)軸對稱圖形，即可得解.

【詳解】(1)解：AB=dfS=屈，

故答案為：VlO;

(2)解：如圖，等腰。8c如圖所不；

（3）解：如圖，四邊形/BE尸如圖所示，

AB=BE=EF=AF,

，四邊形跖為菱形，即為軸對稱圖形，

AE=飛甲+甲=4應(yīng),BF=卷+22=2也，

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查作圖-對稱變換，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利

用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

I________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【例2】（2023?吉林長春■一模）如圖，在10x10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)正方形的邊長為1）,點(diǎn)/和點(diǎn)8都

在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，分別按以下要求作圖.

⑴圖①中，以N、8為頂點(diǎn)作一個(gè)平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為6；

⑵圖②中，以/、8為頂點(diǎn)作一個(gè)平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為10；

⑶圖③中，以/、8為頂點(diǎn)作一個(gè)平行四邊形（正方形除外），要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為13.

【答案】⑴見解析；

⑵見解析；

⑶見解析;

【分析】

本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法.

(I)利用數(shù)形結(jié)合的射線畫出平行四邊形/8C。；

(2)利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出平行四邊形/BCD；

(3)利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出平行四邊形NC8D.

【詳解】(1)如圖1中，平行四邊形N8C。即為所求；

(2)如圖2中，平行四邊形/BCD即為所求;

(3)如圖3中，平行四邊形/CAD即為所求.

名校模擬

1.(2024?河南?一模)在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1.

BB

⑴在圖1中作等腰AA8C,滿足條件的格點(diǎn)。有個(gè)，請?jiān)趫D中畫出其中一個(gè)“3C.

（2）在圖2中，只用一把無刻度直尺，在線段上求作一點(diǎn)。，使得28。，并保留作圖痕跡.

【答案】⑴4,見解析

⑵見解析

【分析】

本題考查無刻度直尺作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)；

（1）分別以A、8為圓心，Z3長為直徑畫圓以及畫的垂直平分線，找到與格點(diǎn)的交點(diǎn)即為所求;

（2）構(gòu)造相似比為2的兩個(gè)相似三角形即可.

【詳解】（1）當(dāng)以N8為底邊時(shí)，點(diǎn)。應(yīng)在線段的中垂線上，顯然易找出點(diǎn)C,如圖1、圖2；

當(dāng)以48為腰時(shí)，如圖3、圖4.（畫出其中一個(gè)即可）

（2）如圖5,。即為所求作的點(diǎn).

提示：*/AN//BM,

：.△/￡＞可與AADM相似.

又：AN=2BM,

：.AD=2BD.

題型四網(wǎng)格中有一三角形的無刻度作圖

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)如圖，在6x5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱為格點(diǎn)，4B、C、D、P均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作

圖痕跡.

⑴如圖①，尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，在/C上找一點(diǎn)E,使PE”AB；

(2汝口圖②，在線段3c上找到點(diǎn)歹，連結(jié)N尸，使AAg尸的面積為3；

(3)如圖③，在線段上找到點(diǎn)G,連結(jié)/G、BG,使A/BG的面積為3.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】本題考查格點(diǎn)作圖，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)取格點(diǎn)。，連接「。，交“C于E,點(diǎn)E即為所求；

(2)取格點(diǎn)W,N,連接兒W交于尸，點(diǎn)尸即為所求；

(3)取格點(diǎn)/，N,連接兒W交于G,連接/G,BG,點(diǎn)G即為所求.

【詳解】(1)解：如圖，取格點(diǎn)。，連接P。，交4c于E,

由勾股定理可得/。=8尸=五，AB=PQ=M,

四邊形尸。是平行四邊形，

APQ//AB,則PE5,

(2)/的面積=3x3—；xlx3—；xlx3—；x2x2=4,

如圖，取格點(diǎn)M,N,連接MN交BC于b，

由圖可知，MC//BN,則/FBN=/FCM,ZFNB=ZFMC,

BF_BN

^F~^M

BF_3

S_BF,hq

??^=7———，則最加=："c=3,

-BCh"4

2

即：點(diǎn)尸即為所求；

(3)如圖，取格點(diǎn)M,N,連接跖V交CD于G,連接/G,BG,

由圖可知，S^N=1x3x2=3,AB=MN=4i-BN=AM=142,

則四邊形ABNM是平行四邊形,

：.MN//AB,

即：點(diǎn)G即為所求.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查格點(diǎn)作圖，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

L________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024?湖北武漢?一模）如圖是由小正方形組成的（8x8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).A,B,

C三點(diǎn)是格點(diǎn)，點(diǎn)P在8c上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.

⑴在圖1中，畫Y48CA,再在上畫點(diǎn)E,使得DE=BP；

（2）在圖2中，畫出線段/P的中點(diǎn)然后在/C上畫一點(diǎn)R使尸尸，/C.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】

本題考查格點(diǎn)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，取格點(diǎn)。，連接40,使得再連接CD,然后連接加，

交4c與一點(diǎn),連接點(diǎn)產(chǎn)于這一點(diǎn)，并延長交/。于點(diǎn)E,則Y48CD,點(diǎn)E即為所求；

（2）取格點(diǎn)S,T,連接S7交NC于點(diǎn)G,利用格點(diǎn)再取N8的中點(diǎn)。，連接G。交/p于點(diǎn)〃；再取格點(diǎn)R,

連接CR,使得CR=BC,連接依，交/C與點(diǎn)于點(diǎn)。，連接8。并延長交CR于點(diǎn)Z,最后連接PZ交/C于

點(diǎn)尸，點(diǎn)點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，Y/BCD,點(diǎn)E即為所求；

（2）

解：點(diǎn)點(diǎn)尸即為所求.

名校模擬

1.(2024?江西南昌?一模)如圖是7x6的正方形網(wǎng)格，已知格點(diǎn)“8C(頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)處的三角形稱

為格點(diǎn)三角形)，請僅用無刻度直尺完成下列作圖(要求保留作圖痕跡，不要求寫作法).

(1)圖1中，在43邊上找一點(diǎn)。，作線段CD,使得

3

(2)圖2中，在48邊上找一點(diǎn)E,作線段CE,使得S/CE=]S/BC.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】

本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

(1)取線段的中點(diǎn)。，連接CD,則點(diǎn)。即為所求.

(2)取格點(diǎn)N,梗AM:BN=3:2,且AM〃BN,連接MN,交于點(diǎn)E,連接CE,則點(diǎn)￡即為所

求.

【詳解】(1)

解：如圖1,取線段的中點(diǎn)。，連接CD,

則得^AACD-5SAXBC，

則點(diǎn)。即為所求；

（2）

解：如圖2,取格點(diǎn)M,N,使4W:3N=3:2,B.AM〃BN,

圖2

連接跖V,交4B于點(diǎn)E,連接CE,

則AAMEMBNE,

.AEAM3

貝n1J——=——=-,

BEBN2

?,^&ACE■SABCE=3?2，

.S_2e

…"MCE~5，

則點(diǎn)E即為所求.

2.（2024?浙江溫州?一模）如圖的網(wǎng)格中，小的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長均為1.僅用無

刻度的直尺在給定的網(wǎng)格圖中分別按下列要求畫圖.（保留畫圖痕跡，畫圖過程中輔助線用虛線，畫圖結(jié)果

用實(shí)線、實(shí)心點(diǎn)表示）

⑴請?jiān)趫D1中畫出“3C的高30.

⑵請?jiān)趫D2中在線段45上找一點(diǎn)E,使/￡=3.

【分析】本題考查了作圖-格點(diǎn)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特征，作出符合條件的圖形.

(1)取格點(diǎn)M、N,連接MN交NC于點(diǎn)。，連接AD,線段AD即為所求;

(2)取格點(diǎn)尸、Q,連接尸。交4B于E,點(diǎn)E就是所求的點(diǎn).

【詳解】(1)解：取格點(diǎn)M、N,連接兒W交/C于點(diǎn)。，連接2。，如圖:

由圖可知，AB=d3?+4。=5,

AC=BC,

?..四邊形ZMCN是矩形，

二。為NC中點(diǎn)，

BDVAC,

BD為i^ABC的IWJ.

(2)解：取格點(diǎn)尸、Q,連接P。交于￡,如圖:

由圖可得，四邊形/CQP是平行四邊形,

AC//PQ,

?CQ__AE_

,?CB一AB'

CQ=3,CB=5,AB=5,

?3_AE

??一=9

55

AE=3,

.??點(diǎn)E就是所求的點(diǎn).

題型五網(wǎng)格中有四邊形的無刻度作圖

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?湖北武漢?一模)如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，四邊形/BCD的頂點(diǎn)都

在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在所給定的網(wǎng)格中按要求完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用

實(shí)線表示.

(1)在圖1中，先以點(diǎn)A為位似中心，將四邊形/BCD縮小為原來的,，畫出縮小后的四邊形/耳再在

48上畫點(diǎn)E,使得DE平分四邊形48co的周長；

(2)在圖2中，先在4B上畫點(diǎn)尸，使得。尸=3C,再分別在ND,4B上畫點(diǎn)N,使得四邊形8cMV是

平行四邊形.

【答案】⑴見詳解

⑵見詳解

【分析】(1)取48、AC,4。的中點(diǎn)及、G、2,然后順次連接即可；根據(jù)勾股定理可得/3=5,

AD=CD=2^2,結(jié)合圖形可知8c=3,故/B+8C=8,取格點(diǎn)尸，使得尸8=48=5,則有4B4P=N3P/,

連接4P,再取點(diǎn)。，連接C0,此時(shí)可有NC=PB=4,AC//PB,即四邊形/尸0c為平行四邊形，則有

CQ//AP,易得NBQE=NBP4,ZBEQ=ZBAP,所以NBEQ=/BQE,易得BE=BQ=1,連接DE,則

平分四邊形/BCD的周長；

(2)取格點(diǎn)G,H,J,使得CG=3,GH=4,HJ=3,連接GJ交于尸，易證明絲AG田，所

以/”67=/。43,結(jié)合/3+/。8=90。，可得/6+/8=90。，即A8G尸為直角三角形，因?yàn)镃G=BC=3,

根據(jù)"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半"，可得C/=8C；在網(wǎng)格中取點(diǎn)K,連接CK交AD于點(diǎn)

則CK〃48,過點(diǎn)”作上W〃BC,交48為點(diǎn)N,即可獲得答案.

【詳解】(1)解：如下圖，四邊形工用。。，線段DE即為所求；

(2)如下圖，CF,四邊形8c即為所求.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了尺規(guī)作圖一復(fù)雜作圖、位似圖形、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌

握尺規(guī)作圖的常見作法是解題關(guān)鍵.

[名校模擬

IId

1.（2023?吉林長春?三模）如圖①、圖②均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,YN8C7）的

頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.

A

⑴在圖①中的線段上找一點(diǎn)E,連接/E,使為等腰三角形.

⑵在圖②中的線段4D上找一點(diǎn)R連接AF,使AAg尸為直角三角形.

【答案】⑴答案見解析

⑵答案見解析

【分析】（1）因?yàn)锳/BE為等腰三角形，所以有因?yàn)橹背邲]有刻度無法直接截取，只能考慮相似

三角形對應(yīng)成比例的辦法找到8￡=/3=3；在格點(diǎn)上取點(diǎn)0,連接并延長交于E,則E點(diǎn)為所找的

ADDpoDDOq

點(diǎn)，連接/E即可；根據(jù)：如圖中尸8〃。尸,有方=詼，即：彳=券，求得8尸=；，則尸。=應(yīng)）一必=],

又3〃3C,有緣=勺，根據(jù)勾股定理求得40=5,可得出三=。：，從而得到3￡=3

BEBPBE22

（2）①當(dāng)N5為直角邊時(shí)，尸點(diǎn)應(yīng)該和。點(diǎn)重合，直接連接即可.

②當(dāng)48為斜邊時(shí)，如圖尸為與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接/尸，則此時(shí)尸為直角三角形.

根據(jù)：由尸G〃B。可得：毀=空=獎(jiǎng)=可分別求出4尸="尸G=±根據(jù)勾股定理求得：

BDADAB333

B『=FG?+BG2=w,有4產(chǎn)+BF?=AB2，可得到A4BF為直角三角形.

即為所求;

（2）解：如圖所示，尸有兩種可能，①大與。點(diǎn)重合；②工為與網(wǎng)格線的交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、平行線分線段成比例、勾股定理等知識，找到對應(yīng)線段成比例

是求解本題的關(guān)鍵.

題型七特殊圖形中的無刻度作圖

典例精講

【例1】（新考法,拓視野）（2023?湖北省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）如圖，在“3C和△48。中，ZC=ZZ）=90°,

AD=BC,與6C相交于點(diǎn)O,請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖.（保留作圖痕跡）

⑴如圖1,作線段48的垂直平分線；

（2）如圖2,在0405上分別取點(diǎn)N,使得肱V〃4B.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）先證明得到4=NABC=NBAD,所以。/=。8,延長/C、BD,

它們相交于尸點(diǎn)，則尸/=尸8,所以PO垂直平分4B;

（2）ZB的垂直平分線交48于。，連接C。交。/于連接。。交03于N點(diǎn)，先證明/0CM=/07W,

則可判斷AOCM絲AODN,所以（W=CW,由于O/=OB,則可證明/OMN=/O/B,所以MV〃/3.

【詳解】（1）解：如圖，延長/C、BD,它們相交于尸點(diǎn)，則直線尸。即為所作，

（2）解：如圖，N5的垂直平分線交于。，連接C0交CM于連接。。交05于N點(diǎn)，則兒W為所

作，

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的

1基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線

的性質(zhì).

I_________________________________________________________________________________________________

【例2】（2023?江西?一模）如圖，四邊形48co中，BC//AD,BC=2AD,AB=CD,請用無刻度的直尺

按要求畫圖（不寫做法，保留作圖痕跡）.

⑴在圖1中，畫出3C的中點(diǎn)E.

（2）在圖2中，畫出的中點(diǎn)廠.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）延長A4、CD,它們相交于點(diǎn)G,連接/C、BD,它們相交于點(diǎn)O,連接GO并延長交8C于

E點(diǎn)、；

（2）連接/E交8。于尸點(diǎn)，連接。E交NC于N點(diǎn)，然后延長尸N交CD于尸點(diǎn)，則尸點(diǎn)為的中點(diǎn).

【詳解】（1）如圖，￡點(diǎn)為所求.

（2）如圖，尸點(diǎn)為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一一復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的

基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作也考查了中位線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì).

名校模擬

1.（2023?江西南昌?二模）如圖，在兩個(gè)等腰直角“3C和/中，NABC=/CE尸=90。，點(diǎn)B是CE的中

點(diǎn).請僅用無刻度的直尺，按要求畫圖（保留畫圖痕跡，不寫作法）.

（1）如圖①，在線段CF上找出一點(diǎn)G,使四邊形/EFG為平行四邊形;

（2汝口圖②，在線段E尸上找出一點(diǎn)4,使四邊形NE/Y為平行四邊形.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）延長N3交CE于G,連接/E,可得為等腰直角三角形，進(jìn)而可得/E〃C/，由題易

得4B〃EF,故四邊形/EFG為平行四邊形；

（2）可利平行四邊形的對角線互相平分，得到EG的中點(diǎn)，而B是/G的中點(diǎn)故得中位線，平行于/E,交

E尸于“即可解答.

【詳解】（1）解：延長交CE于G,連接ZE,四邊形/EFG為平行四邊形，即所求作四邊形；

（2）解：如圖2所示，四邊形即為所求.

解法一：在（1）的基礎(chǔ)上連接小、EG交于一點(diǎn)得平行四邊形中心，連接B和平行四邊形中心并延長交E/

于H點(diǎn),四邊形4即3即為所求.

解法二：在（1）的基礎(chǔ)上連接8尸、EG交于一點(diǎn)得△￡（?尸三角形的重心，連接C和三角形的重心

并延長交E尸于〃點(diǎn)，四邊形即為所求.

解法一解法二

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了用無刻度的直尺作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)臺幾何圖

形的基本性質(zhì)把構(gòu)造中點(diǎn)或平行線段，逐步操作.同時(shí)也考查了平行四邊形的判定和性質(zhì).

題型七平行四邊形中的無刻度作圖

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2023?湖北省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）如圖，四邊形/BCD為平行四邊形，E

為/。的中點(diǎn)，僅用無刻度的直尺作圖:

⑴在8C上取點(diǎn)使四邊形48ME為平行四邊形；

⑵在C。的延長線上取一點(diǎn)F,使四邊形5?？跒槠叫兴倪呅?

【答案】⑴見詳解

⑵見詳解

【分析】(1)連接/C,交BD于點(diǎn)、O,連接并延長交3c于點(diǎn)“，則點(diǎn)M即為所求，因?yàn)樗倪呅蜰3CD

為平行四邊形，則NE〃引又因?yàn)镋為4。的中點(diǎn)，。為AD的中點(diǎn)，所以?！陓|氏4,即EN〃/B,所

以四邊形N8ME為平行四邊形；

(2)連接3E并延長交C。的延長線于點(diǎn)R連接,，則點(diǎn)尸即為所求，因?yàn)樗倪呅?BCD為平行四邊形,

則FC〃48,所以NABE=NDFE,又因?yàn)椤隇?0的中點(diǎn)，所以4E=DE,且NAEB=NDEF,所以

△ABEdDFE(AAS),即/8=。尸，所以四邊形為平行四邊形.

【詳解】(1)解：點(diǎn)M即為所求：

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查作圖-復(fù)雜作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本

題的關(guān).

【例2】在平行四邊形/3C。中，E為/。的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫

圖痕跡.

⑴如圖1,在3C上找出一點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn);

（2）如圖2,在上找出一點(diǎn)G,使點(diǎn)AD=3GD.

【答案】⑴見解析；

⑵見解析.

【分析】（1）連接NC和3。，它們的交點(diǎn)為。，延長E。并延長交4D于M,則"點(diǎn)為所作;

（2）連接CE交BD于點(diǎn)、N,則N點(diǎn)為所作.

【詳解】（1）解：如圖1,尸點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)：

圖1

（2）解：如圖2,點(diǎn)G就是所求作的點(diǎn)：

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的

性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)臺幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜

作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行四邊形的性質(zhì).

名校模擬

1.已知平行四邊形/BCD是中心對稱圖形，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，請僅用無刻度直尺畫出點(diǎn)￡關(guān)于平行四邊

形/8CD對稱中心的對稱點(diǎn)尸.

.E

AEDAD

圖1圖2

⑴如圖1,點(diǎn)￡是平行四邊形/BCD的N。上一點(diǎn);

⑵如圖2,點(diǎn)￡是平行四邊形N8CD外一點(diǎn).

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）連接NC,BD,交于點(diǎn)。，再連接并延長，與3C交于點(diǎn)月即可；

（2）同（1）的方法找出點(diǎn)。，連接5E,交40于G,連接GO并延長，交BC于H,連接并延長，與

￡。的延長線交于點(diǎn)足

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)尸即為所求；

（2）如圖，點(diǎn)尸即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的對稱性，中心對稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過對稱構(gòu)造圖形，得到

需要的點(diǎn)和線.

2.如圖，四邊形N3CD是平行四邊形，E為AB上一點(diǎn)..

⑴如圖①，只用無刻度直尺在CD上作出點(diǎn)尸，使得四邊形/ECF為平行四邊形；

(2)如圖②，用直尺和圓規(guī)作出菱形跖GH,使得點(diǎn)尸、G、”分別在8C、CD、上;

(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)連接ZC,BD交于點(diǎn)0,連接OE,延長交CD于點(diǎn)歹，點(diǎn)尸即為所求作的點(diǎn).

(2)連接NC,BD交于點(diǎn)O,連接OE,延長EO交CD于點(diǎn)G,作線段EG的垂直平分線交4D于交

BC于F,連接由，GH,E尸，尸G,證EG和AF互相垂直平分，四邊形EFG8即為所求作的菱形所G/7.

【詳解】(1)畫法：如下圖，連接NC,BD交于氤O,連接?！?延長交。于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求作

的點(diǎn).

理由：???四邊形/BCD是平行四邊形，

AB//CD,OA=OC,

：.ZOAE=ZOCF,

又2AOE=NCOF,

：.△ZOE*△CO尸(ASA),

OE=OF,

四邊形/EC尸是平行四邊形

(2)畫法：如下圖，連接/C,BD交于點(diǎn)、O,連接OE,延長交C。于點(diǎn)G,作線段EG的垂直平分線

交4D于H,交BC于F,連接GH,EF,FG,四邊形跖GH即為所求作的菱形￡以汨.

理由：???四邊形NBCD是平行四邊形，

AB//CD,OA=OC,

：.NOAE=ZOCG,NOAH=ZOCF

y.ZAOE=ZCOG,ZAOH=NCOF

"OE絲ACOG（ASA）,AAOHmACOF（AAS）,

OE=OG,OH=OF

,/EG和HF互相垂直平分，

四邊形是菱形

【點(diǎn)睛】本題考查了僅用無刻度直尺、尺規(guī)作圖，結(jié)合全等三角形、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判

定、尺規(guī)作垂直平分線，靈活運(yùn)用知識點(diǎn)作圖是解題的關(guān)鍵.

題型八矩形中的無刻度作圖

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2023?江西鷹潭?一模）如圖，是兩個(gè)全等的矩形和矩形EFGC拼成的圖

案，請僅用無刻度的直尺按要求作圖.

（圖1）（圖2）

⑴在圖（1）中作出一個(gè)等腰直角三角形.

⑵在圖（2）中的矩形/BCD內(nèi)作出一條直線和平行.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）根據(jù)全等矩形的性質(zhì)作圖;

（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分及三角形中位線的性質(zhì)作圖.

【詳解】（1）如圖1：等腰直角三角形8CG即為所求；

（2）如圖2,直線即為所求.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了復(fù)雜作圖，掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】在矩形/BCD中，圖1中，點(diǎn)E在邊上，/E=CE；圖2中，點(diǎn)尸在A8邊上，NP=/。，

點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).請僅用無刻度的直尺按要求畫圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

圖2

⑴在圖1的CD邊上作出點(diǎn)尸，使四邊形NEC廠為菱形.

⑵在圖2的CD邊上作出點(diǎn)G,使四邊形4PG。為正方形.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）連接/C,8。相交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為/C的中點(diǎn)，也是菱形NEC廠的對角線交點(diǎn)，連接EO并

延長交CD于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求；

（2）連接/C,BD交于點(diǎn)O,連接。。并延長交于點(diǎn)M,則點(diǎn)〃■為的中點(diǎn)，連接DP交于點(diǎn)

N,則。尸為正方形4PG。的對角線，N為。P的中點(diǎn)，也是正方形4PGZ）的對角線交點(diǎn)，連接NN并延

長交。于點(diǎn)G,則點(diǎn)G即為所求.

【詳解】（1）解：如圖1所示，連接/C,BD相交于點(diǎn)O,連接￡。并延長交。于點(diǎn)尸，連接Z尸，則點(diǎn)

F即為所求，

?.?在矩形/8C。中，CD//AB,AO=CO

ZOCF=ZOAE,

ZCOF=ZAOE,AO=CO,

:.ACOFdAOE,

CF=AE,

又,：CF//AE,

四邊形AECF是平行四邊形，

AE=CE,

四邊形/EC尸是菱形.

圖1

（2）解：如圖2所示，連接ZC,交于點(diǎn)O,連接。。并延長交于點(diǎn)M,連接。尸交MQ于點(diǎn)N,

連接/N并延長交。于點(diǎn)G,連接GP,則點(diǎn)G即為所求，

???四邊形/BCD是矩形，

DO=BO,AO=CO,CD//AB,AD//BC,ZDAP=90°,

,??點(diǎn)。為8C中點(diǎn)，

OQ//AB//CD,OQ=^AB=^CD,

...MQ=AB=CD,OM=-AB=-CD,

22

???點(diǎn)W為/。的中點(diǎn),

?：MN//AP//DG,

???在△/OG中，MN=^DG,在AD/P中，MN=-AP,

22

:.DG=AP,DG//AP,

四邊形APGD是平行四邊形，

又；AD=AP,ZDAP=90°,

四邊形NPGD是正方形.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了直尺作圖，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位線性質(zhì)，根據(jù)矩形

對角線的性質(zhì)確定菱形/ECF和正方形/尸GD的對角線交點(diǎn)，是解本題關(guān)鍵.

名校模擬

1.已知矩形45CQ,請用無刻度直尺完成下列作圖(保留作圖痕跡).

ADAEDAD

BCBCBc

圖1圖2圖3

⑴如圖1,在矩形/BCD內(nèi)部找一點(diǎn)O,使得04=03=。。=。。；

⑵如圖2