2025年中考數學技巧專項突破：費馬點與加權費馬點詳細總結（解析版）

專題2-2費馬點與加權費馬點詳細總結

/■/題型?解讀/

知識點梳理

【常規(guī)費馬點】

【加權費馬點】

題因O普通費馬點最值問題

ms加權費馬點?單系數型

題包且加權費馬點?多系數型

?M滿分?技巧/

知識點梳理

【常規(guī)費馬點】

【問題提出】如圖△ABC所有的內角都小于120度，在AABC內部有一點P,連接外、PB、PC,

當PA+PB+PC的值最小時，求此時ZAPB與ZAPC的度數.

【問題處理】如圖1,將A4CP繞著點C順時針旋轉60度得到△4CP,則A4CP也△?!（「，，CP=CP',AP=A,P,,

又：/PCP'=60°,.*.△PCP'是等邊三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC^P'A'+PB+PP',

如圖2,當且僅當點B、P、P\4’共線時，P4+PB+PC最小，最小值為48,此時/BPC=/4PC=/4PB=

120°

【問題歸納】如費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.費馬點結論：

1對于一個各角不超過120。的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點，所以三角形的費馬點也叫三

角形的等角中心；

2對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.

【如何作費馬點】如圖3,連接4T,我們發(fā)現AAar為等邊三角形，點P在48上，同理，我們可以得到等邊

△BAB',點P也在C9上，因此，我們可以以AABC三角形任意兩邊為邊向外構造等邊三角形，相應連線的交

點即為費馬點。（最大角小于120。時）

'、

:、、,

-------/

./

/

/

/

/

/

/

//

圖3

【例1】如圖，在△ZBC中，NACB=90°,,4B=AC=1,尸是△/BC內一點，求F4+P8+PC的最小值.

［答案］n+世

2

【分析】如圖，以NC為邊構造等邊△/CD,連接AD,2。的長即為以+P8+PC的最小值.至于點P的位

置？這不重要!

如何求BD?考慮到AABC和4ACD都是特殊的三角形，過點D作DHJ-BA交BA的延長線于H點，根

據勾股定理，BQ?即可得出結果.

【練習1】如圖，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點M為矩形內一點，點、E為BC邊上任意一?點，則MA+MD+ME

的最小值為.

【分析】依然構造60°旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段.

分別以為邊構造等邊△/。尸、等邊連接FG,

易［正4AMD會/XAGF,：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

過尸作FH-LBC焚BC于H點,線段尸〃的長即為所求的最小值.

【加權費馬點】

如果所求最值中三條線段的系數有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權費馬點問題，解決方法類似，也

是通過旋轉進行線段轉化，只不過要根據系數的情況選擇不同的旋轉或放縮方法。

【類型一單系數類】

當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉特殊角度：0對應旋轉90°,對應旋轉120°

另一種是旋轉放縮，對應三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形4BC中，邊長為4,P為三角形4BC內部一點，求的最小值

原圖

【簡析】本題有2種解題策略，旋轉特殊角和旋轉放縮

【策略一：旋轉特殊角】如圖1,AAPC繞點C逆時針旋轉90。，易知產P=0PC,即為所求

方法一：如圖2,B,P,P',4共線時取最小，此時N8PC=N4PC=135。，易知8「=力?'=2/，

PC=CH—PH=2C-2,:.PF=2a-26,PB+PP'+A'P'=2娓+2&

方法二：作AH_LBC于H,易知N4CH=30。，：.AH^2,CH=24=BH=4+26，由勾股可得4B=

2V6+2V2

【策略二：旋轉放縮】可按如下方法去旋轉放縮（方法不唯一）

如圖4,將三角形BPC繞點B旋轉45°,再擴大為原來的血倍，得到△8PC'

則AP+BP+41PC=AP+PP'+P'C>AC'

補充：也可以按圖5方式旋轉

【練習2】在Rt^ABC中，AC=3,BC=26，P為三角形49c內部一點，求4P+BP+J。。的最小值

【策略一：旋轉特殊角】如圖1,44PC繞點C逆時針旋轉120。，則有PP，=V^PC,

【策略二：旋轉放縮】如圖2,2V1PC繞點N逆時針旋轉30。，再擴大為原來的百倍,

則AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',計算略

圖2

【類型二多系數類】

其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉

中心呢？我們總結了以下方法：

1.將最小系數提到括號外；

2.中間大小的系數確定放縮比例；

3.最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所

在的三角形。

【例3】如圖，在AABC中，乙4cB=60。，3C=3,4C=4,在aABC內部有一點P,連接R4,PB,PC,

則（1）++的最小值為；（2），3~/+,尸8+?。的最小值為

2222

【簡答】（1）將最小系數;提到括號外，得到g（R4+GP8+2PC）

p.

圖1

中間大小系數為G,故放大倍數為G倍，最大系數在PC前面，故以點c為旋轉中心，旋轉apBc.

如圖1,將APBC繞點C逆時針旋轉90°,并放大為百倍，B'P'=43BP,PP'=2PC.

；(PA+￡PB+2PC)=g(PA+PP'+P'B')zgAB'=^~.

(2)將最小系數;提到括號外，得到。(追尸2+P8+2尸。)，

R

圖2

如圖2,將4APB繞點C逆時針旋轉90°,并放大為百倍，A'P'=43AP,PP'=2PC.

【練習3】如圖，在△4BC中，ZC3=60°，BC=3V3，/IC=6,在△4BC內部有一點P,連接R4,PB,PC,

則2PA+PB+小PC的最小值為_______.

RC

【簡答】將4PAC繞點C順時針旋轉90°并放大2倍,得到△尸'/C,PA=2PA,PP=后PC

一

B3門C673

2PA+PB+45PC=AP'+P'P+PB>AB,vAC=2AC=12,/4CB=900+60°=150°,

AH=-AC=6,CH=—AC=643,BH=9A/3,由勾股定理可得AB=3A/H,

22

2PA+PB+45PC的最小值為35.

晶即/核心.題型/

題園O普通費馬點最值問題

1.（2021濱州）如圖，在△ABC中,ZACB=90°,ZBAC=3Q°,AB=2,點尸是△N8C內一點，則

/>/+PB+pc的最小值為?

【答案】V7

【解析】將4ABP繞點A順時針旋轉60。到△ABP,連接PP,BC.

則AB（=AB=2,PB=P,B,,NBAB'=60°,PA=P,A,ZPAP1=60°,

.?.△PTA是等邊三角形，.,.PA=P,P.

ZBAC=30°,NB'AC=90°,

h_

"ZACB=90°,：.AC=—AB=,

2

?'-B,C=yjAC2+B'A2=V7?

PA+PB+PC=PP+PE+PCNBC,

APA+PB+PC的最小值為V7.

2.問題背景：如圖1,將△A8C繞點4逆時針旋轉60°得到△ADE,DE與BC交于點、P,可推出結論：PA

+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4后,點。是△MNG內一點，則點。到^

MNG三個頂點的距離和的最小值是.

【解析】過點“作"Q，NM交NM延長線于Q點，根據NNMG=75。，NGMH=60°,可得NHMQ=45。,

是等腰直角三角形,

/\MHQ:.MQ=HQ=4'；.NH="幅+-2=^^0+16=2M

4.如圖，在△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC^2,P是△2BC內一點，求勿+PB+PC的最小值.

【解析】如圖1,以4D為邊構造等邊△4CD,連接BD,BD的長即為以+PB+PC的最小值.

考慮到AABC和ZV1CD都是特殊的三角形，所以構造特殊直角三角形

如圖2,過點。作交54的延長線于H點，根據勾股定理，BD?=BH?+DH。=a+垃

圖1

5.已知，在2V1BC中，ZXCB=30°,4c=4,48=g(C8>C4)點P是△4BC內一動點，貝?。萦?PB+PC

的最小值為.

原圖圖1

【解析】如圖1,將A4PC逆時針旋轉30。，得"PC,8。即以+PB+PC最小值，考慮到Z

BC4=30°,；.NBCC'=90°,作4H_L8C,可得BC=36,：.BC=4^>

6.如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則K4+MD+

ME的最小值為.

【解析】如圖1,依然構造60。旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段.分別以40、AM為邊構造等邊及4。尸、

等邊A4MG,連接FG,易證44MD四△4GF,MD=GF：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如圖2,過F作FHLBC交BC于H點,線段FH的長即為所求的最小值.FG=4+

7.4B、C、。四個城市恰好為一個邊長為2a正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)使得每兩個城市之

間都有公路相通，并使整個公路系統(tǒng)的總長度(AP+BP+PQ+DQ+CQ)最小，則應當如何修建？最小

長度是多少？

【解析】如圖1,NWP繞點B逆時針旋轉60。，得到"FB;同樣，將△DCQ繞點C順時針旋轉60。，得到

△Dg,連結44、D，D,則4484、△OC。均為等邊三角形，連結PP，QQ,,則△BPP，，

△QCQ，均為等邊三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

如圖2,當點力'，P',P,Q,Q',。'共線時，整個公路系統(tǒng)的總長取到最小值，為線段4D'的長，此時點P,

Q在上，最小值為

圖2

2023?隨州中考真題

8.1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點4B,C,求平

面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，

該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角

形的某個頂點)

當AABC的三個內角均小于120。時，

如圖1,將繞，點C順時針旋轉60。得到A/'PC,連接尸P,

由尸C=PC,APCP'=6(T,可知為①三角形,故尸P=PC,又P'A=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',4在同一條直線上時，E4+B8+尸C取最小值，如圖2,最小值為48,此時

的P點為該三角形的“費馬點”，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=③；

已知當“3C有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NR4C2120。，

則該三角形的“費馬點”為④點.

(2)如圖4,在“BC中，三個內角均小于120。，且ZC=3,3C=4,44cB=30。，已知點P為“3c的"費

馬點”，求尸/++的值；

(3)如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知/C=4km,8C=2百km,ZACB=60°.現欲

建一中轉站P沿直線向4B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊4B,C的鋪設成本分別為a

元/km,a元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.(結果

用含a的式子表示)

【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2V13a

【解題思路】(1)根據旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論；

(2)根據(1)的方法將△4PC繞，點C順時針旋轉60°得到A/'PC,即可得出可知當B,P,P',4在同

一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B,在根據ZACB=30°可證明

ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求N'3即可，

(3)由總的鋪設成本=a(P/+P8+&PC),通過將△4PC繞，點C順時針旋轉90。得到A/'PC,得到等

腰直角APPC,得到0尸。=「尸’，即可得出當B,P,P,4在同一條直線上時，PN'+P3+PP取最小值，

即PA+尸B+行尸C取最小值為A'B，然后根據已知和旋轉性質求出A'B即可.

【詳解】（1）M：'：PC=P'C,ZPCP'=60P,

：.△尸CP為等邊三角形；

PP=PC,ZP'PC=NPP'C=60°,

又PA'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PF2A'B,

由兩點之間線段最短可知，當B,P,P,4在同一條直線上時，P/+尸8+PC取最小值，

最小值為A'B,此時的P點為該三角形的“費馬點”，

ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

Z.ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又：AAPCmA'PC,

：.ZAPC=ZAP'C=120°,

Z.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°;

'：ZBAC>120°,

：.BC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三個頂點中，頂點4到另外兩個頂點的距離和最小.

又：已知當AABC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.

該三角形的“費馬點”為點A,

故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；④A.

（2）將△4PC繞，點C順時針旋轉60。得到AHPC,連接PP,

由（1）可知當B,P,P',4在同一條直線上時，尸/+尸8+尸C取最小值，最小值為42,

A'

/力

ZACP=ZA'CP',

：.NACP+NBCP=NA'CP'+NBCP=/NCB=30°,

又：ZPCP'=60°

ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋轉性質可知：AC=A'C=3,

A'B=yjBC-+A'C2=A/42+32=5,

++尸C最小值為5,

(3)?.?總的鋪設成本=+PB>a+PC/a=a(PA+PB+/2PC)

,當尸/+PB+血尸C最小時，總的鋪設成本最低，

將繞，點C順時針旋轉90°得至IAA'P'C,連接PP',A'B

由旋轉性質可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'^PA,A'C=AC=4km,

，PP=41PC,

?■PA+PB+42PC=PA+PB+PP,

當B,P,P',4在同一條直線上時，尸‘4+尸8+PP'取最小值，即尸/+尸3+血尸。取最小值為45,

NACB=60°,ZACA'=90°,

：.ZA'CH=30°,

：.A'H=-A'C=2km,

2

?*-HC=y]AC2-AH2=A/42-22=2>/3(km),

：.BH=BC+CH=26+2V3=4>/3(km),

/.A'B=yjAH2+BH2=7(4>/3)2+22=2V13(km)

P/+P3+JLPC的最小值為2而km

總的鋪設成本=尸/?°+尸&。+尸+(元)

廣東省江門市一模

9.如圖，在AABC中，/5/。=90。,48=5,4。=26，點P為“BC內部一點，則點尸到“3c三個頂點

之和的最小值是

A

【答案】V67

【分析】將“BP繞著點4順時針旋轉60°,得到AAEH,連接ERCH,過點、（:作CNL4H,交HA的

延長線于N,由旋轉的性質可得NA4P=NH4E,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,易得

△4EP是等邊三角形，可得AE=AP=EP,進而得到4尸+8尸+尸C=￡尸+E7/+PC,當點、H、E、P、C共

線時，/P+5P+PC有最小值"C,再求出CN和初的長度，由勾股定理可求解.

【詳解】解：將尸繞著點/順時針旋轉60。，得到△4EH,連接￡尸，CH,過點C作CN_L/〃，交HA

的延長線于N,

/.ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,

：.△/￡尸是等邊三角形，

AE=AP=EP,

AP+BP+PC=EP+EH+PC,

二當點H、E、P、C共線時，ZP+8P+PC有最小值"C.

ZNAC=180°—ZBAH-ZBAC=180°—60?！?0。=30°,AC=2/,

：.CN=-AC=s[3,

2

AN=ylAC2-CN2=&26j一(⑹2=3,

:.HN=AH+AN=5+3=8.

在RtACW中，CH=ylHN2+CN2=+(V3)2=而，

即點P到"3C三個頂點之和的最小值是J方

武漢中考

10.問題背景：如圖1,將△/BC繞點/逆時針旋轉60°得到△/￡>￡,DE與BC交于點、P,可推出結論：

PA+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=A亞,點O是△〃NG內一點，則點。到△肱%

三個頂點的距離和的最小值是.

【答案】2月

【分析】本題的問題背景實際上是提示了解題思路，構造60°的旋轉，當然如果已經了解了費馬點問題,

直接來解決就好了！

如圖，以MG為邊作等邊△MGH,連接NH,則NH的值即為所求的點0到△MNG三個頂點的距離和的最

小值.（此處不再證明）

過點H作HQ±NM交NM延長線于Q點，

根據NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45

AAMHQ是等腰直角三角形，

.*.MQ=HQ=4,

；.NH=yjNQ2+HQ2=V100+16=2回.

2023?四川宜賓?中考真題

11.如圖，拋物線了="2+法+0經過點/（-3,0）,頂點為加），且拋物線與y軸的交點B在（0,-2）和

（0,-3）之間（不含端點），則下列結論:

②當的面積為逆時，a=—-,

22

③當AN3M為直角三角形時，在“05內存在唯一點P,使得尸/+PO+PB的值最小，最小值的平方為

18+96.

其中正確的結論是.(填寫所有正確結論的序號)

【答案】①②

【解題思路】根據條件可求拋物線與x軸的另一交點坐標，結合圖象即可判斷①；設拋物線為

y=a(x-l)(x+3),即可求出點M的坐標，根據割補法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點。為

旋轉中心，將AAOB順時針旋轉60°至AAOA,,連接AA,PP,AB，得到PA+PO+PB=P'A+PP'+PB>AB,

判斷③.

【詳解】解：?..拋物線yuox'+bx+c經過點/(TO),頂點為

對稱軸1=一1,

?,?拋物線與x軸的另一^交點坐標為(1,0),

由圖象可得：當一時，^<0；

???①正確，符合題意；

,拋物線與x軸的另一交點坐標為(1,0),

；?設拋物線為y=?(x-l)(x+3),

當％=—1時，y=-4tz,當x=0時，y=-3a,

M(-1,-4〃)，B(0,-3Q),

如圖所示，過點M作平行于y軸的直線/,過點4作過點8作5N_L/,

Vj

~T

設直線的解析式為y=kx+b,

-3左'+6'=0

把5(0,-3〃)，4(-3,0)代入得:

V=一3〃'

k'=-a

解得:

b'=-3a

J直線45的解析式為歹=一辦一3。，

當％=-1是，y=-2a,

???尸（一1，一2。）,

JMF=2a,

一X2QX3=

2

解得：a=—,故②正確

2

;點、B是拋物線與y軸的交點，

...當x=0時，y=-3。,

A5(0,-3a),

,:AABM為直角三角形,

當AAMB=90°時，

AM2+BM2^AB2,

VAM=^(-2)2+(-4?)2=A/4+16a2,BM=^(-1)2+(-a)2=Vl+a2,4B=J(一3)?+(-紜?=抬+9a?

/.4+16a2+l+a2=9+9a2,整理得：8a2=4,

解得：。=叵或一旦(舍)

22

I27

當/N8M=90°時，

AB-+BM2^AM1,

二4+16。2=9+9/+1+島整理得：6a2=6

解得：a=l或-1(舍)

.?.5(0,-3),

當/M43=90°時，

；?AB-+AM2=BM2,

4+16a2+l+a2=9+9a2,無解；

以點。為旋轉中心，將4405順時針旋轉60°至連接44',PP',AB,如圖所示，

則△尸OP'為等邊三角形，

：.OP=PP',AP=AP,

：.PA+PO+PB=P'A'+PP'+PB>A'B,

?.."O/為等邊三角形，4-3,0)

33A/3

2

=包+蛀

42

當8(0,-3)時,

此時不符合題意故③錯誤;

故答案為：①②.

一題四問，從特殊到一般

12.背景資料：在已知“3C所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是

法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”.如圖

1,當AASC三個內角均小于120。時，費馬點P在"3c內部，當乙4尸2=447^=/。尸5=120。時，則

PA+PB+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊“8C內有一點P,若點尸到頂點/、B、C的距離分別為3,4,5,求的度數，為

了解決本題，我們可以將繞頂點/旋轉到△4CP處，此時A/CP包尸這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段尸/、PB、尸C轉化到一個三角形中，從而求出4尸8=；

知識生成：怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下問

題.

(2)如圖3,"BC三個內角均小于120。，在AABC外側作等邊三角形A/BBL連接CB',求證：CB，過“BC

的費馬點.

(3)如圖4,在RT"BC中,ZC=90°,AC=1,N/8C=30°,點尸為的費馬點，連接,尸、BP、CP,

求尸/+尸8+尸C的值.

(4)如圖5,在正方形/3S中，點￡為內部任意一點，連接/￡、BE、CE,且邊長/B=2；求4E+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)見詳解；(3)J7:(4)V6+V2.

【分析】(1)根據旋轉性質得出A48Pg△/CP,得出NBAP=NCAP',ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP,=4,

根據A/BC為等邊三角形，得出N8/C=60。，可證A/PP為等邊三角形，PP'=AP=3,N”'P=60°,根據勾股

定理逆定理尸尸，2+9。2=32+42=25=「。2,得出APPC是直角三角形，ZPP'C=90°,可求N/PC=N/PP+

NPPC=60°+90°=150°即可；

(2)招1△/尸5逆時針旋轉60°,得到△/"尸'，連結尸P,根據△/尸8g4/8'尸'，AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根據^PAP'=ZBAB'=60°,4APP'和4ABB明為等邊三角形，得出PP'=4P,根據PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根據兩點之間線段最短得出點C,點尸，點尸'，點8'四點共線時，P/+尸3+尸C展產CB',點尸在C8'上即可；

(3)將△/尸3逆時針旋轉60°,得到ZUPB',連結88',PP',得出A/PB也△/尸'7，可證ZUPP和△/AB'均

為等邊三角形，得出"'=/尸，BB'=AB,N4BB'=60°,WPA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得點C,點P,

點P,點3'四點共線時，PA+PB+PCt,=CB',利用30°直角三角形性質得出/3=2NC=2,根據勾股定理

BC=y]AB2-AC2=V22-l2=V3,可求BB，=AB=2,ZCBB'=Z^SC+ZABB,=30°+60°=90°,在RtACBB'

中,B'C=^BC2+BB'1=+22=41即可；

(4)將A8CE逆時針旋轉60。得到△CEB，，連結EE',BB',過點9作3戶_LAB,交A8延長線于尸，得出

4BCE94CEE,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證AECE，與△2C2,均為等邊三角形，得出EE，=EC,BB'=BC,

ZB'BC=60°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出點C,點、E,點、E',點皮四點共線時，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB',根據四邊形/BCD為正方形，得出48=8C=2,N48c=90°,可求

^FBB'=\80°-ZABC-Z80o-90°-60o=30°,根據30°直角三角形性質得出BF=；BB'=；x2=\,勾股定

理BF=^BB'--B'F2=V22-12=V3,可求AF=AB+BF=2+百，再根據勾股定理

AB'=^AF2+B'F2=J(2+V3)2+12=V6+72即可.

【詳解】(1)解：連結PP',

:“BP且AACP',

:.NBAP=NCAP\NAPB=N4P'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

/XABC為等邊三角形，

ZBAC=60°

：.ZPAP'=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+^BAP=60°,

：.ZX/PP為等邊三角形，

，:.PP'=AP=3,N4P'P=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'2+P'C2=3?+42=25=PC2,

.?.△PPC是直角三角形，NPP，C=90。,

：.NAP'C=NAPP+ZPPC=60°+90°=150°,

ZAPB=ZAP'C=15O°,

故答案為150。；

(2)證明：將ANPB逆時針旋轉60°,得到ZUB'P,連結尸P,

/XAPB^l^AB'P',

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

「NPAP'=NBAB'=6Q°,

：.LAPP'和4ABB'均為等邊三角形，

：.PP'=AP,

?：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

...點C,點尸，點尸'，點皮四點共線時，PA+PB+PCt,=CB',

:.點、尸在CB'上,

CB'過”1BC的費馬點、.

CB

(3)解：將A/PB逆時針旋轉60。，得到UPE,連結BB',PP',

：./\APB^/\AP'B',

：.AP'=AP,AB'=AB,

"：NPAP'=NBAB'=6Q0,

△APP-ABB，均為等邊三角形，

：.PP'=AP,BB'=AB,NABB'=6Q°,

'：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

二點C,點尸，點P,點皮四點共線時，PA+PB+PCt,=CB',

VZC=90°,4c=1,AABC=30°,

AB=2AC=2,根據勾股定理8C=^AB2-AC2=打-]2=6

：.BB'=AB=2,

'：ZCBB'=ZABC+ZABB,=30°+60°=90°,

.?.在RtACB夕中，B'C=yjBC2+BB'2={(6j+22=77

PA+PB+PC^,=CB'=V7;

B'

(4)解：將ABCE逆時針旋轉60。得到△CE6。連結EE',BB',過點、作BFL4B,交延長線于產,

△BCE/MEE,

：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

'：ZECE，=NBCB，=60°,

：.△ECE，與ABCB'均為等邊三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,NB，BC=60°,

'：AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.?.點C,點、E,點E',點2'四點共線時，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB

?.?四邊形4BCD為正方形，

：.AB=BC=2,ZABC=90°,

：.NFBB'=1SO°-NABC-NCBB'=180o-90°-60o=30°,

'：B'F-LAF,

:.BF=；BB，=gx2=1,BF=^BB'2-B'F2=722-12=73,

：.AF=AB+BF=2+4i,

:.AB7AF°+B'F?=J(2+V3)2+12=V6+V2,

AE+BE+CEfi4=AB—y/6+V2.

題園之加權費馬點?單系數型

2023?武漢?慧泉中學校月考

_3

13.如圖，RtZ\48C中，ZCAS=30°,3c=5,點P為AABC內一點，連接上4,PB,PC,貝1」PC+PB+收P/

的最小值為.

【答案】|V13

2

【分析】作輔助線如詳解圖，根據等腰三角形的性質和勾股定理可求得。2=//尸，于是所求

PC+PB+班1PA的最小值轉化為求DE+尸。+尸8的最小值，根據兩點之間線段最短可得DE+PD+PB的最

小值即為線段E3的長，然后求出E3的長即可解決問題.

【詳解】解：將△/CP繞點/逆時針旋轉120。，得到△4ED,連接DP,EB,過點E作跖氏4交氏4的延

長線于點尸，過點/作尸于點M,如圖，

則AD=AP,DE=CP,/DAP=120°,ZEAC=120°,

,/AMLDP,

DM=PM,ZADM=ZAPM=30°,

AM=-AP,

2

__________6

二PM=yjAP2-AM2=-AP,

2

/.DP=2PM=#1Ap,

APC+PB+4iPA=DE+PD+PB>EB,即尸C+P8+的最小值為仍的長（當點E、D、P、2四點

共線時取最小值），

3

??,RtZ"BC中，ZCAB=30°fBC'

???AB=2BC=3,AC==|6

.j-,A廠3^3

??AAE=AC=-----,

2

：NCAB=30°,ZEAC=120°,

ZEAF=30°,

則在直角三角形4口中,EF=-AE=—,AF=y/3EF=-,

244

921

...BF=3+—=—,BE=^BF2+EF2=

44

西安市鐵一中二模

14.已知，如圖在“3C中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在“3C內部有一點。，連接ZU、DC.則

DA+DB+6DC的最小值是.

【答案】屈.

【分析】把ZiCDB順時針旋轉90。到△CDT,過夕作Q￡_L4C,交NC延長于E,貝UCD=C。，BD=B'D,

NCDD'=NCD'D=45°,可求DO=42CD,在RdCEB'中，可求CE=』，AE=—,BE=—,當點/、D、

222

D'、9四點在一直線時，/夕最短，可求AB'=BD+J^CD+4D=M.

【詳解】解：把ACDB順時針旋轉90。到ACD3，，過H作夕E_L/C,交ZC延長于E,

則CD=CD',BD=B'D',NCDD'=NCDT>=45°,

:.DD'=CD；cos45°=gCD,

,?NACB=30°,ZB'CB=90°,

AB'CE=180°-ZACB-NBC5'=180?！?0°-90°=60°,

在RtACEB，中,

15

JCE=B'Ccos600=5x—=一,

22

517

：.AE=AC+CE=6+-=—

229

；.BE=B'C-sm600=5x—=—,

22

當點/、D、D\8’四點在一直線時，N8'最短，

；.血短=^AE2+B'E2==屈，

AB'=B'D'+D'D+AD=BD+42CD+AD=791.

故答案為：回.

2023?成都市鄲都區(qū)中考二模

15.如圖，矩形/BCD中，AB=2,3C=3,點E是N8的中點，點尸是3c邊上一動點.將ABE尸沿著E尸

翻折，使得點B落在點夕處，若點尸是矩形內一動點，連接PB\PC、PD,則尸*+行尸。+尸。的最

小值為?

【分析】將△口）「繞點。順時針旋轉90。得到ACDP,連接PP,連接ED1由等腰三角形CPP得出

PP'=6PC,再由折疊得出點二的軌跡在點E為圓心，￡2為半徑的圓周上，所以EB'+W+PP+P。'的

最小值為E。'，即尸a+JlPC+尸。的最小值為EO-E中，經計算答出答案即可.

【詳解】解：將△€?尸繞點。順時針旋轉90。得至U&CDP，,

連接尸PL連接EZT,

則8,C,。共線，PD=P'D',

：.CD=CD=AB=2,

:.PP'=6PC,

,:點、E是4B的中點，

:.EB=i-AB=-x2=].

22

BD,=BC+CD'=3+2=5,

:.ED'=yjBE2+D'B2

=712+52

=V26,

由ABEF折疊成AB'E產,

EB=EB'=EA,

二點B在以點E為圓心，協(xié)為半徑的圓上,

:.EB'=1,

■■兩點間線段最短，

ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即ED'MEB'+PB'+叵PC+PD

:.而工\+PB*亞PC+PD,

PB'+41PC+PD>yf26-l,

則尸B'+JIPC+PD的最小值為而一1.

故答案為：V26-1.

F

題園且加權費馬點?多系數型

16.在邊長為4的正△4BC中有一點P,連接PA、PB、PC,求(-4P+BP+—PC)?的最小值

22

【解析】如圖1,A4PC繞點C逆時針旋轉90。，取P，C,4c的中點M,N

易知PM=@PC,MN=-P,A,=-PA,

222

17.在等邊三角形ABC中，邊長為4,P為三角形4BC內部一點，求34P+4BP+5PC的最小值

33

【解析】如圖1,△APC繞點C逆時針旋轉90。，在PC,4C上取M,N,使CM=—CP',CN=-CA\

44

533

易知PM=-PC,MN=-P7T=—R4,34P+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

圖1

成都七中育才學校月考

18.在A4BC中，AB=3,AC=4,/A4C的角平分線交BC于E,過C作射線/E的垂線，垂足為。，連

3PC+4P/D+SPA

接8。，當&〃CE-S△回取大值時，在“CD內部取點P,則一—--二的最小值是.

【答案】V29

【分析】延長C。交于點尸，過點A作BC邊上的高得出產0A/DC,則8尸=1,根據/。是

BE3

/R4C的角平分線，得出"=設&m七=38,則&E8=4S,過點。分別作4R4C的垂線，垂足為M,N,

EC4

得出S=，LBC,S"E-4BED=21S,則當最大時，SA/CE-ZBED取得最大值，進而可得當

3

NC45=90。時，取得最大值，則NC4D=45。，延長胡至C,使得4C'=14C=3,^PfAlPA,

4A-4PDA-SPA

AP'=—AP,連接PP,CP,構造△CNPsc4P,可得----------------=P'C+PP'+PD>CD,進而勾

4Zk4

股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長交N8于點/，過點A作BC邊上的高

A

I—D

F

：/3/C的角平分線交8c于E,AD1CF

；.ZFAD=ACAD,ZADC=ZADF

又40=4。

AADFAADC,

Z.AF=AC^4,DC=DF

則BF=1

是/3/C的角平分線，設E到的距離為d,則E到/C的距離也為d,

c-BExAH-ABxd

?MABE_2_2

>"EC—ECXAH-ACxd

22

?BE_3

??法一"

設S△皿=3S,則黑疣=4$

???DC=DF

SJDF=SRDC~7s,

過點。分別作/尸,4C的垂線，垂足為M,N

A

JS,義3x14S=2IS,S='x4x14S=28S

AABD27AADL2

S"C=S"C一2皿=28S-4s=24S，S^ABC^2S^ADC-5rac=2x285-2x75-425

???GCE-S△回=24S-3s=21S

S=^S/BC

???當S”8C最大時，取得最大值,

設N3邊上的高為CG

a-

F

：.CG=ACxsinZCAB

SAAHRCL=—2AB^AC^smACAB

???當NC45=90。時，S^c取得最大值，

則NC4O=45。，則八4。。是等腰直角三角形，則4。=、/。=2后，

2

3