2025年中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：全等三角形與矩形翻折模型（解析版）

專題05全等三角形與矩形翻折模型

【模型展示】

【模型變換】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片48CD中，48=4,BC=6,將△/8C沿/C折疊，使點(diǎn)2落在點(diǎn)￡處，CE交AD于點(diǎn)、F,

則。歹的長等于()

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到/NE=/B=9Q。,易證A4EF2ACDF,即可得到結(jié)論易得

FC=FA,設(shè)E4=x,則/C=x,FD=6-x,在必△CDF中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程/=4?+(6-x)2,解方

程求出X.

【詳解】解：：矩形沿對角線/C對折，使△48C落在的位置，

：.AE=AB,/E=NB=ND=90°,

又???四邊形/BCD為矩形，

：.AB=CD,

：.AE=DC,

而NAFE=NDFC,

'：在AAEF與△CDF中，

ZAFE=ZCFD

<ZE=ZD

4E=CD

:.△AEF烏ACDF(AAS),

：.EF=DF；

,??四邊形/BCD為矩形，

J.AD=BC=6fCD=AB=4,

△AEFmACDF,

：.FC=FA,

^FA=x,則FC=x,FD=6-x,

在用△CD尸中，CF2=CD2+DF2,

13

即N=42+(6-X)2,解得x=

貝I]FD=6-X=g.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.也考查了矩形的性

質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理.

2.如圖，將矩形紙片折疊(AD>AB),使ZB落在ND上，月E為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在

一個(gè)平面上，E點(diǎn)不動(dòng)，將8E邊折起，使點(diǎn)B落在ZE上的點(diǎn)G處，連接DE,若DE=EF,CE=\,則4。

的長為()

A.1+72B.2+V2C.2&D.4

【答案】B

【分析】證明RtAEBFmRtAEB'D(HL),推出8尸=。夕，再證明DH=EC=3尸=1,由直角三角形的性質(zhì)

求出/Q，則可得結(jié)論.

【詳解】解:由翻折的性質(zhì)可知，EB=EB',AB=ZAB'E=ZEB'D=90°,

在Rt/\EBF和Rt^EB'D中,

[EB^EB'

[EF=ED'

；.RtAEBF"RtAEB，D(HL),

:.BF=DB',

?.?四邊形/8CZ)是矩形，

NC=NCDB'=ZEB'D=90°,

四邊形￡CD夕是矩形，

：.DB'=EC=l,

：.BF=EC=\,

由翻折的性質(zhì)可知，BF=FG=1,NK4G=45。，NAGF=NB=NAGF=90。,

：.AG=FG=],

.'.AF=V2.

.".AB=AB'=1+42，

：.AD=AB'+DB'=2+0，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是證明四邊形EC。夕是矩形.

3.如圖，矩形CU8C中，CM=4,AB=3,點(diǎn)。在邊3C上，且點(diǎn)￡是邊CU上一點(diǎn)，連接

DE,將四邊形AB0E沿DE折疊，若點(diǎn)/的對稱點(diǎn)4恰好落在邊OC上，則的長為（）

【答案】B

【分析】連接@0、/。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到8c=。/=4,OC=AB=3,/C=/8=/O=90。，即可求得C。、

2D,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到HD=40,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可到HC=2D=1,再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】連接4。、AD,如圖，

?.?四邊形。43c是矩形,

：.BC=OA=4,OC=AB=3>,ZC=Z5=Z0=90°,

\'CD=3BD,

：.CD=3,BD=],

：.CD=AB,

根據(jù)翻折的性質(zhì)有：A'D=AD,A'E=AE,

：.在ACD和Rt/\DBA中，CD=AB,A'D=AD,

：.Rt/\^CD^Rt^DBA（.HL）,

：.A'C=BD=l,

：.A'0=2,

在RtdHOE中，A'O2+OE2=A'E2,

22+OE2=（4-OE）2,

3

OE=—,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解答本題的

關(guān)鍵.

4.如圖，在矩形紙片4BCD中，AB=5,BC=3,將△3CZ）沿AD折疊到ABED位置，DE交4B于點(diǎn)F,

則cosNN。尸的值為（）

E

,87—158

A.—B.—C.—D.—

17151715

【答案】c

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明得出/F=DF=BF,設(shè)

AF=EF=x,貝尸=5-x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的

定義求出結(jié)果即可.

【詳解】解：：四邊形N8CD為矩形，

：.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=ZC=90°,

根據(jù)折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,NE=NC=90°,

ZA=ZE=90°

...在△/和△EF3中，ZAFD=ZEFB,

AD=BE=3

：.NAFD^\EFB（AAS）,

AF=EF,DF=BF,

設(shè)/b=￡F=x,則8尸=5—x,

在RtA5斯中，BF?=EF?+BE?，

即（5—尤J=—+32,

OQ17

解得：X=則。尸=5尸=5—y=

…廠AD315

..DF1717，故C正確.

T

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)

題意證明A4FD&AEF8,是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，48CD是一張矩形紙片，4B=20,BC=4,將紙片沿"N折疊，點(diǎn)3',C'分別是3,。的對應(yīng)點(diǎn),

MB與DC交于K,若的面積為10,則DN的最大值是（）

I

'B

A.7.5B.12.5C.15D.17

【答案】D

【分析】作于￡,NF1BM于F,由折疊得N1=N2,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得NE=NF,可得四

邊形2CNF是矩形，則NF=3C=4,根據(jù)區(qū)的面積為10得NK=MK=5,根據(jù)勾股定理得在=3,則

MF=ME=MK-KE=5-3=2,設(shè)DN=x,則CN=20-x,BM=BF+MF=20-x+2=22-x,由折疊可得

BM>KM,即22-於5.可得爛17,即可得ZWW17,則。N的最大值是17.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)"作％￡_1夕M于E,NFLBM于F,

由折疊得/1=/2,

：.NE=NF,

?.?四邊形/BCD是矩形，

：.ZB=ZC=ZBFN=90°,AB//CD,

，四邊形2cNF是矩形，/DNM=/2,

:.NE=NF=BC=4,Z1=ZDNM,

:.NK=MK,

?.?△四區(qū)的面積為10,

/.yKM>NE=yKN-NF=10,

:.NK=MK=5,

:.KE=飛KN。-NE。=3,

在AMEN和4MFN中,

'Z1=Z2

<ZMEN=ZMFN,

ME=NF

，叢MEN空叢MFN(AAS),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

設(shè)DN=x,則CN=BF=20-x,

:.BM=BF+MF=20-x+2=22-x,

由折疊得BM>KM,即22-x>5.

：.x<17,即DN<11,

.?.ON的最大值是17.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形

的判定和性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖，在矩形紙片/BCD中，4B=6,BC=9,M是2c上的點(diǎn)，且CW=3,將矩形紙片/BCD沿過點(diǎn)

M的直線折疊，使點(diǎn)。落在4s上的點(diǎn)尸處，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，折痕為則線段NN的長是_.

【答案】4

【分析】連接尸“，推出8M=3C-CM=9-3=6,由折疊性質(zhì)得，CD=PC=6,/C=/PCM=NPBM

=90°,C'M=CM=?>,由Rt△尸2M也RtZXAfCP（從），得出尸B=CM=3,所以刃-尸8=6-3=3.設(shè)

AN=x,則ND=9-x=PN,在RtA4PN中，AN2+AP2=PN2,即N+3?=（9-x）2,求出x的值即可得出答

案.

【詳解】解：連接如圖：

C

:48=6,BC=9,CM=3,

：.BM=BC-CM=9-3=6,

由折疊性質(zhì)得，CD=PC'=6,NC=NPCM=NPBM=90°,C'W=CM=3,

在RtAPW和RtZXMC'P中，

[PM=PM

[BM=PC''

：.(HL),

：.PB=C'M=3,

:.PA=AB-PB=6-3=3.

設(shè),AN=x,貝！|ND=9-x=PN,

在RtZ\4PN中，AN2+AP2^PN2,

即x2+32=C9-x)2,

解得x=4,

二/N的長是4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變化、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練應(yīng)用翻折變化的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)進(jìn)行

計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在矩形/BCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，沿/E所在的直線折疊△/￡>￡,落在矩形內(nèi)部得到△/FE,

延長/F交3c邊于點(diǎn)G,若穿=；，則當(dāng)?shù)闹禐開________.

CB/AB

【分析】連接GE,證明AEFG會AECG(HL),得CG=FG,設(shè)AD=BC=7a,表示出/尸，CG,GF,BG,

NG的長度，再由勾股定理得48的長度，即可得出比值.

【詳解】如圖，連接GE,

?.,在矩形/BCD中，

/.AD=BC,AB=CD,NB=NC=ND=90。，

，由折疊的性質(zhì)可知：AD=AF,DE=EF,ZAFE=ND=NC=90。,

?.,點(diǎn)E是邊CO的中點(diǎn)，

:.DE=CE=LCD,

2

...CE=EF,

又?：EG=EG(公共邊)，

AEFGAECG〈HL),

，CG=FG,

..CG2

.CB-〒

：.設(shè)AD=BC=1a,

則/尸=7。，CG=FG=2a,BG=BC-CG=5a,

AG—AF+FG=7〃+2Q=9Q,

:在比△48G中，由勾股定理得：AB2+BG2^AG2,

，AB=ylAG2-BG2=J（9a）2-（5a『=2V14a,

.AD7aV14

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，折疊前后的圖形對應(yīng)邊、對應(yīng)角分

別相等是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形/BCD中，AB=6,AD=8,將此矩形折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)/重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)。'處，折痕

為EF,則。。的長為.

14

【答案】y

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得NO'=CZ>6；連接NC,根據(jù)勾股定理求得/C=10,證得△A4E/△O4F

(445),根據(jù)全等的性質(zhì)得：D'F=BE,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE的方程，解方程求得的長，即

D'F7

可求得卞=/，然后通過證尸s^C4E,利用相似三角形的性質(zhì)即可求得DZK

AE25

【詳解】解：：四邊形N3CD是矩形,

：?AB=CD=6,

■:AD?CD,

：.ADf=6；

連接4C,

U：AB=6,BC=AD=8,ZABC=90°,

由勾股定理得：AC=4AB1=A/62+82=10，

ZBAF=ZDfAE=90o,

：.ZBAE=ZDfAF,

在△A4E和△/)/尸中

NBAE=/DAF

<NB=NADF=9QP,

AB=AD'

；?ABAE9ADAF(ASA)f

f

；?DF=BE,ZAEB=ZAFDf

：.NAEC=NDFD,

由題意知：AE=EC；

設(shè),BE=x,則4E=￡C=8?x,

在RtA4BE中,Z5=90°,由勾股定理得:

(8-x)2=62+x2,

7

解得：x=j

4

.7725

：.BE=-,/E=8--=——，

444

.W,則："J,

AE25AE25

ZAD,F=ZD,AE=90°,

D'FHAE,

DF//EC,

???ADD'Fs^CAE,

.DP'_D'F_7

，，14C~14E~25,

714

??.QQ'=—xlO=——，

255

14

故答案為二.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)、

相似二角形的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識點(diǎn)來解題.

9.如圖，矩形45co中，AB=3?BC=12,￡為4。中點(diǎn).尸為48上一點(diǎn)，將△%￡尸沿Eb折疊后，

點(diǎn)A恰好落到W上的點(diǎn)G處，則EG=,EF=.

【答案】62V15

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求EG；連接EC,證RtMCG合RtAECD(H”,由勾股定理即可求跖；

【詳解】解：連接C￡,

?/E為/。中點(diǎn)

JEG=ED=AE=6

在Rt\ECG和Rt\ECD中

?:EG=ED,EC=EC

：.Rt\ECG=Rt\ECD｛叫

：.CG=CD

設(shè)/尸=X,則。尸2=5/2+5。2

即（3#+二卜?7『+122

解得：x=2y[6

22

EF=^AF2+AE2=^（2A/6）+6=2A/15

故答案為：6；2V15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形得性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

10.如圖，矩形48CD中，AB>AD,把矩形沿對角線NC所在直線折疊，使點(diǎn)2落在點(diǎn)￡處，4E交CD

于點(diǎn)凡連接DE.

(1)求證："DE咨4CED；

(2)求證：△￡>￡下是等腰三角形.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知/O=3C、AB=CD,再由折疊的性質(zhì)，可得8C=CE,AB=AE,進(jìn)而可

推導(dǎo)=4E=CD,然后由“SSS'證明即可；

(2)由(1)可知△NDE名△CED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知4DEN=NEDC,即NDEF=NEDF,即可

證明△。跖是等腰三角形.

(1)

證明：(1)?四邊形/BCD是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,

由折疊的性質(zhì)，可得8C=CE,AB=AE,

：.AD=CE,AE=CD,

在A4DE和△CED中,

AD=CE

<AE=CD,

DE=ED

:.AADE沿ACED(SSS)；

(2)

由（1）得也△CEO,

ZDEA=ZEDC,即ZDEF=ZEDF,

:.EF=DF,

...△DE尸是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識,

熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

11.如圖，將矩形48。沿對角線NC折疊，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為E,AE與CD交于點(diǎn)、F.

（1）求證：ADAF咨AECF；

⑵若NFCE=40°,求的度數(shù).

【答案】（1）見解析

(2)ZCAB=25°

【分析】（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得4。=BC=EC,ND=NB=NE=90。,從而可得結(jié)論；

（2）先證明/D4F=/ECF=40。，再求解/"B=ND4B-/D1尸=90。-40。=50。，結(jié)合對折的性質(zhì)可得

答案.

(1)

證明：將矩形/BCD沿對角線NC折疊，

則AD=BC=EC,ZD=ZB=ZE=90°.

在△￡)/尸和△￡1(?尸中,

ZDFA=NEFC,

<ND=ZE,

DA=EC,

：.ADAF^AECF.

(2)

解：,:ADAF這AECF,

：.ZDAF=ZECF=40°.

?四邊形/BCD是矩形，

ZDAB=90°.

ZEAB=ZDAB-ZDAF=90°-40°=50°,

NFAC=NCAB,

ACAB=25°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)

證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵.

12.將矩形A5CD對折，使/。與3c重合，得到折痕EF,展開后再一次折疊，使點(diǎn)4落在跖上的點(diǎn)4處,

并使得折痕經(jīng)過點(diǎn)團(tuán)得到折痕BG,連接如圖1,問題解決：

(1)試判斷圖1中△/詡'是什么特殊的三角形？并說明理由；

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，W4,與2G相交于點(diǎn)N,點(diǎn)尸是3N的中點(diǎn)，連接4P并延長交54于點(diǎn)。,求

靄的值?

【答案】(口△/3H是等邊三角形，理由見解析

BQ

⑵BA'~3

【分析】(1)等邊三角形，解法一利用垂直平分線性質(zhì)得出利用折疊得出84=氏4即可，解法二:

1

1DE1

根據(jù)折疊得出8￡=彳24,BA'=BA,4'仍=90。然后利用銳角三角函數(shù)定義得出cosN，BE=-=彳，

2BA'2

求出龐=60。即可；

(2)解法一：過點(diǎn)、N作NH〃A'B交AP于H,先證△尸印V絲△尸。(AAS),再證△/HNSA/QH,得

出黑=；即可解法二：由折疊可知/N=MV，由點(diǎn)尸是BN的中點(diǎn)，得出BP=PN,利用平行線等分

性質(zhì)得出國=A而N=1,前BOr而BP=1，證出哈即可.

(1)

解：是等邊三角形.

解法一：理由是：由折疊可知跖垂直平分48；

：.AA'=BA',

,/△4BG折疊得△4BG,

BA'=BA,

AA'-BA'-BA；

?,*/\ABA'是等邊三角形；

解法二：理由是：由折疊可知3￡=工氏1,BA'=BA,ZA'EB=90°,

2

BF1

：?3SNA'BE=——=—,

BA'2

???AABE=60°,

???是等邊三角形;

解法一:

過點(diǎn)、N作NH〃A'B交AP于H,

：.ZHNP-ZQBP,NNHP=NBOP,

又：點(diǎn)尸是BN的中點(diǎn)，

BP=NP,

在APHN和APQB中，

ZHNP^ZQBP

-ANHP=NBQP,

PN=PB

：.APHN^APQB(AAS),

：.HN=BQ,

又,：NH〃從B,

：.ZANH=ZAA'Q,ZAHN=ZAQA',

：./\AHN^/\AQA',

由折疊可知A'N=AN=-AA',

2

.HNAN

二五=17=5，

.歿」

"QA'2'

.S￡_l.

"BA'~1,"

解法二：由折疊可知/N=/N，

又：點(diǎn)尸是5N的中點(diǎn),

：.BP=PN,

過點(diǎn)N作MW〃/0交于

.A'MA'N_tBQBP}

QM~^4N~'QM~^N~'

：.BQ=QM=A'M,

.BQ__1

"BA'~3

【點(diǎn)睛】本題考查一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理,

三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值求角，掌握一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直

平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.如圖，在矩形/BCD中，M,N是對角線/C上的兩點(diǎn)，將矩形折疊分別使點(diǎn)2與點(diǎn)M重合，點(diǎn)。與

點(diǎn)N重合，折痕分別為CF.連接即，交/C于點(diǎn)O.

D

C

(1)求證：4ABE義ACDF.

(2)求證：四邊形EC/弘是平行四邊形.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊證明即可；

(2)由(1)中全等可得再證明即可.

(1)

:四邊形是矩形，

：.AB=CD,ZB=ZD=90°,AB//CD,

ABAC=ADCA.

:將矩形折疊分別使點(diǎn)8與點(diǎn)加重合，點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，折痕分別為ZE,CF,

NBAE=-NBAC,ZDCF^-ZDCA,

22

NBAE=ZDCF,

AABE空△CD尸(ASA).

(2)

；ZxABE且八CDF,

：.AE=CF.

:NBAE=NCAE,NDCF=ZACF,NBAE=NDCF,

：./CAE=ZACF,

：.AE//CF,

...四邊形ECE4是平行四邊形

【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊、平行四邊形的判定，熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.實(shí)踐與探究

如圖①，在矩形A8CD中，AB=12,AD=16.將矩形4BCD沿過點(diǎn)/的直線折疊，使點(diǎn)。落在矩形48CD

的內(nèi)部，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。C,折痕為再將矩形沿過點(diǎn)/的直線折疊，使點(diǎn)3落在邊4D，上，

折痕為/尸，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8'.延長尸9交/￡于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作直線交/。于點(diǎn)交BC

于點(diǎn)N.

圖①

(1)求證：AAMG迫AAB'G.

(2)求證：四邊形48MW是正方形.

(3)若DE=4,求線段3尸的長.

(4)如圖②，將矩形沿即'所在直線繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'.我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)￡的位置不同，點(diǎn)C'的

位置也不同.當(dāng)點(diǎn)C'恰好與點(diǎn)夕重合時(shí)，線段￡>￡的長為

【答案】(1)見解析;

(2)見解析;

(3)7.2；

【分析】(1)利用折疊性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)和正方形的判定證明即可；

(3)利用正方形的性質(zhì)得出MN=AB=BN=AM=12,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△/必;6人〃定求

得MG=3,設(shè)BF=BT=x,可求得GN=9,FG=3+x,FN=12-x,在△GNF中利用勾股定理求得x即可求解；

(4)設(shè)。則CE=12-y,根據(jù)折疊性質(zhì)得。切=y,B'E=U-y,再由勾股定理求得y值即可求解.

(1)

證明：??,四邊形/BCD是矩形，

：.AB=CD=12,AD=BC=16,ZB=ZD=ZBAD=ZC=90°,

由折疊性質(zhì)得：ZMAG=ZB'AG,ZAB'F=ZAB'G=ZS=90°,AB=AB',

■:MNLAD,

NAMN=90°,則AAMG=AAB'G=90°

在和△/"G中，

ZMAG=ZB1AG

<ZAMG=ZAB'G

AG=AG

：.Z\AMG^/\AB'GCAAS)；

(2)

證明：ZB=ZBAD=ZAMN=90°,

二四邊形/BMW是矩形，

；AAMG公AAB'G,

:.AM=AB',貝

.??四邊形是正方形；

(3)

解：：四邊形是/aw正方形，

MN=AM=BN=AB=\2,

VZAMN=ZD=90°,NDAE=NDAE,

：.dAMGs^ADE,

,AMMG

??AD-DE'

\UAM=\2,DE=4,4)=16,

.12MG

：.MG=3f

:/\AMG四△/5'G,

:?MG=B'G=3,

設(shè)BF=B，F(xiàn)=x,貝l」G212?3=9,FG=x+3,FN=12-x,

在△GNF中，NGNF=90。，

???由勾股定理得：G^+FN^FG2,

92+(12-x)2=(x+3)2,

解得：x=7.2,

：.BF=7,2；

(4)

解：由折疊性質(zhì)得：AD^=AD=\6,AB=AB'=12,B'E=CE,DE=〃E,/D=/B'D'E=90。,

：.B'Z)a16?12=4,

設(shè)DE=y,則CE=12-yf

在中，/B'D'E=90。,D'E=y,B'E=12?y,

?,?由勾股定理得：B'D'2+D'E2=B'E2,

則42+產(chǎn)(12少)2,解得:y=y,

?16

：.DE=—.

3

故答案為：g.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

15.在矩形45CD中，點(diǎn)E,產(chǎn)分別是邊40,2C上的動(dòng)點(diǎn)，且DE=BF,連接EE將矩形45c。沿所

折疊，點(diǎn)/落在點(diǎn)G處，點(diǎn)5落在點(diǎn)H處.

(1)如圖①，當(dāng)線段EG與線段3c交于點(diǎn)尸時(shí)，求證：PE=PF；

(2)如圖②，當(dāng)線段EG的延長線與線段3c的延長線交于點(diǎn)尸時(shí).G"交線段C￡＞交于點(diǎn)

①求證：MCM%APGM；

②E,尸在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M是否在線段即的垂直平分線上？如果在，請證明；如果不在，請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②當(dāng)點(diǎn)E,尸在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)“一直在線段跖的垂直平分線上.證明見解析

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可知：ZAEF=ZGEF,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得//￡產(chǎn)=NEFP,即可得到NGEF

=/EFP,根據(jù)等角對等邊即可得證；

(2)①根據(jù)HL證明Rt△尸CM0RtZ\PGN,即可得證；

②當(dāng)點(diǎn)￡,產(chǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)”一直在線段既的垂直平分線上.

如圖：連接3D交E廠于點(diǎn)。，連接。P,證明△OOE也△BO尸(ASA),由①可得尸E=P尸，0尸是線段所

的垂直平分線，O尸也是/近葉的角平分線(三線合一).

由①△PCAfg△尸GM,得NCPM=NGPM,即：是/CPG的角平分線，可得當(dāng)點(diǎn)E、尸在移動(dòng)過程中，

點(diǎn)M一直在線段EF的垂直平分線上.

(1)

由折疊的性質(zhì)可知：NAEF=NGEF,

:矩形A8CD中，AD//BC,

：.NAEF=ZEFP,

：.ZGEF=ZEFP,

:.PE=PF；

(2)

①由折疊的性質(zhì)可知：AE=EG,

:矩形/BCD中，AD=BC,DE=BF,

：.AD~DE=BC-BF,即：

AE=FC,

：.EG=FC,

又,?ZPEF=ZAEF=NPFE,

:.PE=PF,

：.PE-EG=PF-CF,即：PG=PC；

又,：DCIBC,HGLEG,

：./MCP=NMGP=90°；

又,：PM=PM,

:.RtAPCM烏RtdPGM(HL)；

即：APCM"dPGM；

②當(dāng)點(diǎn)￡,尸在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M一直在線段昉的垂直平分線上.

如圖：連接2。交斯于點(diǎn)。，連接。尸，

'CAD//BC,

：.NEDO=ZFBO,ZDEO=ZBFO,

又，：DE=BF,

：.ADOE^ABOF(ASA),

：.OE=OF；

由①可得PE=PR是線段EF的垂直平分線，

二。尸也是/EPE的角平分線(三線合一).

由①△PCM四△尸GM得：NCPM=NGPM,即：是NCPG的角平分線,

?:/EPF與/CPG是同一個(gè)角，

.?.兒。與0P重合,

即：當(dāng)點(diǎn)E、尸在移動(dòng)過程中，點(diǎn)M一直在線段斯的垂直平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂

直平分線的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，四邊形/BCD是矩形，把矩形NC沿折疊，點(diǎn)2落在點(diǎn)E處，/￡與。C的交點(diǎn)為。，連接。E.

(1)求證：/\ADE^△CED.

(2)求證：DE//AC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得8C=CE=/D,48=4B=CD,根據(jù)SSS可證絲△CEO(SSS)；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得由于△NCE與關(guān)于NC所在直線對稱，可得

NOAC=NCAB,根據(jù)等量代換可得NQ4C=/DE4,再根據(jù)平行線的判定即可求解.

(1)

證明：??,四邊形/BCD是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,

是折痕，

：.BC=CE=AD,AB=AE=CD,

在AADE與4CED中，

CE=AD

<AE=CD

DE=ED

：.LADE冬△CED(SSS),

(2)

證明：:AADE出ACED,

：.ZEDC=ZDEA,

又??,LACE與△4C5關(guān)于4C所在直線對稱，

：.ZOAC=ZCAB,

?：NOCA=/CAB,

：.ZOAC=ZOCA9

在△。。￡和44。。中，NDOE=NAOC,

,/2ZOAC=180°-AAOC,2NQ￡4=180。一/DOE,

：.2ZOAC=2ZDEAf

：?/OAC=NDEA,

：.DE//AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全

等是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在矩形中，￡是4。的中點(diǎn)，將沿折疊后得到△G5￡,且G點(diǎn)在矩形/5CD的

內(nèi)部，延長5G交。。于點(diǎn)尸，連接斯.

(1)求證：ADEF咨公GEF；

Ar)2

(2)若DC:。尸=3:2,求卷的值.

【答案】(1)見解析

⑵?

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得N-EGWE,由“//L”可證必△。斯也必△GER

(2)設(shè)。C=3x,DF=2x,由線段的和差關(guān)系可求/8=3x,BF=5x,由勾股定理可求解.

(1)

:四邊形/BCD是矩形，

AB=CD,AD=BC,ZA=ZD=ZC=90°,

是/。的中點(diǎn),

???AE=DE,

???將4ABE沿BE折疊后得到AGBE,

:?AE=EG,AB=BG,ZA=ZBGE=90°9

：.ZD=ZEGF=90°,ED=EG,

[EG=ED

：.在Rt^DEF和RbGEF中，〈

[EF=EF

：.RtADEF當(dāng)RtAGEF(HL)；

⑵

；Z\DEF沿AGEF,

DF=GF,

■:DC:DF=3:2,

設(shè)DC=3尤，DF=lx,

：.GF=2x,AB=BG=3x,

：.BF=BG+GF=5x,

二在RtABCF中，BC1=BF2-CF2=25x2-x2=24x2,

/.AD2=BC2=24x2，

.AD?_24無2_8

Is7-9x2-3,

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)

解決問題是解題的關(guān)鍵.

18.折疊矩形N5CD,使點(diǎn)。落在3c邊上的點(diǎn)尸處，折痕為

(1)求證△NAFsAFCE；

(2)若CF=4,EC=3,求矩形/BCD的面積.

【答案】(1)見解析

(2)矩形/BCD的面積為80

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)即可證明尸

RFAR

(2)由(1)得LABFsAFCE,所以=="三，進(jìn)而可以解決問題.

ECCr

(1)

證明：由矩形N3CD可得，ZB=ZC=ZD=90°.

：.ZBAF+ZAFB^90°.

由折疊得N。=90。.

ZAFB+ZEFC=90°.

：.NBAF=/EFC.

：.△ABFs^FCE；

(2)

解：VCF=4,EC=3,ZC=90°

：.EF=DE=5,

：.AB=CD=8.

由(1)得△4BFs△尸CE,

.BFAB

"￡C-CF

:.BF=6.

：.BC=IO.

.?.S=/3?C2=10x8=80.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到

△ABFs^FCE.

19.如圖，在矩形48CD中，點(diǎn)￡是工。的中點(diǎn)，連接BE,將1沿BE折疊后得到△GAE,

延長8G交DC于點(diǎn)尸，連接昉.

(1)求證：△EGF"AEDF；

(2)若點(diǎn)/是C〃的中點(diǎn)，5C=8,求C￡＞的長.

【答案】(1)見解析

(2)4V2

【分析】(1)由翻折和矩形的性質(zhì)可知N￡GP=/D=90。，EG=ED,可通過//￡證明RtzXEG尸ZRt/XEDF；

(2)根據(jù)點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)知：CF=；CD,BF=^CD,在RtZ\8C/中，利用勾股定理即可列出方程.

(1)

證明：：將△42E沿BE折疊后得到△G8E,

:.NBGE=NA,AE=GE,

:四邊形/BCD是矩形，

ZA=ZD=90°,

：.ZEGF=ZD=90°,

:點(diǎn)￡是4D的中點(diǎn)，

：.EA=ED,

：.EG=ED,

fEF=EF

在RtAEGF與RtAEDF中，｛廣八一八

[EG=ED

.?.RtzXEG尸名Rt/XED尸(HL).

⑵

由(1)知RtZSEG尸烏RtZXE。尸，

GF=DF,

:點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)，

:.GF=DF=CF==CD,

2

在矩形45cD中，ZC=90°,AB=CD,又由折疊可知/2=G2,

：.GB=CD,

3

：.BF=GB+GF=-CD,

2

在RtZ\3CF中，由勾股定理得：

(|cz))2=82+(1c￡>)2,

\'CD>Q,

**-CD=4V2?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)邊

相等是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在正方形48co中，48=6,E為BC中點(diǎn),連接NE,將A/BE沿4E折疊，點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)為

G,連接EG并延長交于點(diǎn)凡連接/尸，CG.

(1)判斷CG與/E的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)求。廠的長.

【答案】(1)平行，理由見解析

(2)2

【分析】(1)由折疊知"3E9”GE,可得/AEB=ZAEG,根據(jù)￡為8C的中點(diǎn)，可得￡C=E8=EG=3,

進(jìn)而可得/￡CG=/EGC,根據(jù)/CGE=//EG,即可得證；

(2)證明絲母△/Gb,得DF=FG,設(shè)。尸=x,則跖=3+x,FC=6-x.勾股定理列出方程,

解方程求解即可.

(1)

解：CG//AE.

理由如下：

由折疊知之ANGE,

：.BE=EG,NAEB=ZAEG.

又E為3C的中點(diǎn)，

/.EC=EB=EG=3.

：.ZECG=NEGC.

,：ZBEG=ZECG+ZEGC=2ZAEG,

：.ZCGE=ZAEG.

：.CG//AE.

(2)

?.?四邊形48CD是正方形，

AD=AB=AG.

又N4DF=NAGF=90°,ZADF=ZAGF=90°,AG=AG,

：.RtAAD戶也RtZUG尸.

?.DF=FG.

設(shè)。尸=尤，

貝l|EF=3+無，F(xiàn)C=6-x.

.'-EF2^EC2+CF2.

即(3+X)2=32+(6-X)2.

解得X=2.

即。尸=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，HL證明三角形全等，全等三角形的性質(zhì)，綜

合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，長方形/BCD中，把長方形沿對角線/C所在直線折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，AE交

CD于點(diǎn)、F,連接OE.

(1)圖中有個(gè)等腰三角形；(請直接填空，不需要證明)

(2)求證：4ADE出ACED；

(3)請證明點(diǎn)尸在線段/C的垂直平分線上.

【答案】(1)2

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)由題意知CE=8C=/DZEAC=ZBAC=ZDCA,有△/CF為等腰三角形；在"DE和ACED中,

AD=CE

<AE=CD,知AADEq公CED,有NDE4=NEDC,有△/)所為等腰三角形；

DE=ED

AD=CE

(2)在△/￡)石和△CEO中，\AE=CD,可得四△CEO；

DE=ED

(3)由于△4OE也△CEQ,ZDEA=ZEDC,ZDEF=ZEDF,有EF=DF,AE=CD,故

AE-EF=CD-DF,E4=下。進(jìn)而可得出結(jié)果.

(1)

解：有和△。斯共2個(gè)等腰三角形

證明如下：由折疊的性質(zhì)可知C￡=8C=/Q,/EAC=/BAC

?.?AB\\CD

：.ZEAC=ZDCA

???△4CF為等腰三角形；

在“DE和中

AD=CE

*/\AE=CD

DE=ED

.??Z^ADE絲△CED(SSS)

???ZDEA=ZEDC

???Z\。即為等腰三角形；

故答案為：2.

⑵

證明：???四邊形/5CQ是長方形

:?AD=CE,AE=CD

由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE,AB=AE

：.AD=CE,AE=CD

AD=CE

在和△CEO中，\AE=CD

DE=ED

△4DE^ACED(SSS).

⑶

證明：由(1)得絲△CED

ZDEA=ZEDC,即ZDEF=ZEDF

：.EF=DF

又AE=CD

：.AE-EF=CD-DF

FA=FC

...點(diǎn)F在線段AC的垂直平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形折疊的性質(zhì)，矩形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等，垂直平分線等

知識.解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用知識.

22.如圖，在A/BC中，AB=AC,點(diǎn)。為邊8C上一點(diǎn)，以4S,為鄰邊作Y/瓦乃，連接/￡＞、EC.

(2)若m=CD,求證：四邊形/DCE是矩形.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得

△ADC咨AECD；

(2)利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知即N/DC=90。；由平行四邊形的判定定理(對邊平行

且相等是四邊形是平行四邊形)證得四邊形/OCE是平行四邊形，所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩

形.

(1)

證明：?..四邊形48OE是平行四邊形，

：.AB//DE,AB=DE；

，NB=NEDC；

又：，AB=AC,

：.AC=DE,ZB=ZACB,

：.ZEDC=ZACD；

?.,在△/DC和中，

'AC=ED

<ZACD=ZEDC,

DC=CD

;*△ADC/AECD(SAS)；

(2)

,/四邊形ABDE是平行四邊形,

C.BD//AE,BD=AE,

：.AE//CD；

又,：BD=CD,

：.AE=CD,

，四邊形/DCE是平行四邊形；

在△4BC中，AB=AC,BD=CD,

：.ADLBC,

：.ZADC=9Q°,

，四邊形/OCE是矩形.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定.注意：矩形的判

定定理是“有一個(gè)角是直角的‘平行四邊形'是矩形"，而不是“有一個(gè)角是直角的‘四邊形'是矩形”.

23.如圖1,為了探究某種類型矩形N8CD的性質(zhì)，數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組在3C邊上取一點(diǎn)￡,連接。E.經(jīng)

探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?！昶椒?40c時(shí)，將△/BE沿折疊至點(diǎn)/恰好落在上.據(jù)此解決下列問題:

圖1圖2

(1)求證：AAFD咨4DCE；

(2)如圖2,延長C尸交NE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H.

①求證：AHAF=AG-CF；

②求GH：DF的值.

【答案】(1)見解析

⑵①見解析；②3百—4

【分析】(1)根據(jù)ED平分/4DC,有NADE=NEDC=45。,即ZDEC=45°,根據(jù)翻折的性質(zhì)，有AABE=LAFE,

BPAB=AF,ZAFD=ZB=90°,貝ij有'/F=N3=OC,ZE4D=ZADE=45°,即可得A4FD=ADCE；

(2)①根據(jù)△/FD絲△OCE,得出AF=DF=DC=CE,證明/ECF=/7￡4G,ZEFC=ZAHG,

即可證明△/"GS^CFE,即可證明結(jié)論；

②過點(diǎn)尸作WL2C于點(diǎn)“，EC=CD=AF=DF=AB=a,根據(jù)條件求出Z"=力0一。，也二瓦，

利用△/■"△CFE,求出GW=(3亞-4)“，即可求出答案.

(1)

證明：?.?四邊形/5CD為矩形，

AZB=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,4B=CD,AD=BC,

'：ED平分N/OC,

ZADE=ZEDC=45°,

：.ZDEC=9Q°-ZEDC=45°,

根據(jù)翻折的性質(zhì)，有AABE=/XAFE,

：.AB=AF,ZAFD=ZB=90°,

：.AF=AB=DC,ZFAD=ZADE=45°,

：./\AFD三ADCE.

(2)

證明：①也△”?￡,

:.AD=DE,AF=DF=DC=CE,

1800-45°

：./DCF=NDFC=67.5°,

2

ZECF=22.5°,

*：AD=DE,

1800-45°

/.ZDAE=/DEA=------------=67.5°,

2

???ZHAG=22.5°,

：.ZECF=/HAG,

*/Z￡,FC=180°-67.5°=112.5°,ZAHG=900+22.5°=112.5°,

???ZEFC=ZAHG,

：.△AHGsACFE,

.AHAG

'~CF~~EC'

AHEC=AGCF,

EC=CD=AF=DF=AB,

；?AHAF=A