2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：四邊形壓軸題綜合（原卷版）

專題11四邊形壓軸題綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換.............................................................................1

題型02三角形與翻折變換.............................................................................3

題型03三角形類比探究問題...........................................................................6

中考練場(chǎng).............................................................................................7

熱點(diǎn)題型歸納

題型01四邊形與旋轉(zhuǎn)變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖1,點(diǎn)0為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=4,AD=8,點(diǎn)E為AO邊上一點(diǎn)（0<AE<3）,

連接EO并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)尸，四邊形ABEE與A7TFE關(guān)于E尸所在直線成軸對(duì)稱，線段交AO邊于點(diǎn)G.

⑴求證：GE=GF；

（2）當(dāng)鉆=2DG時(shí)，求AE的長(zhǎng);

(3)令A(yù)E=Q,DG=b.

①求證：（4一〃乂4—b）=4；

②如圖2,連接OB',OD,分別交AO,于點(diǎn)H,K.記四邊形OKGH的面積為Si，OGK的面積為S?.當(dāng)。=1時(shí),

求確■的值.

【變式演練】

1.（2023?遼寧盤錦?二模）如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG.

圖1圖2備用圖

刈上,求出器的值?

（1）在圖1中，點(diǎn)、E,F,G分別在邊AB,AC,

（2）將正方形//G繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，連接。G,FC,請(qǐng)問（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？并加以證

明；

（3）如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,正方形AEFG的邊長(zhǎng)為3.當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,F,8三點(diǎn)共線

時(shí)，請(qǐng)直接寫出CG的長(zhǎng).

2.（2023?遼寧阜新?一模）如圖，四邊形ABCD和四邊形都是正方形，且EH,EG交于點(diǎn)A,正方形EFGH繞

點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接。尸，BE.

(D如圖1，求證：DF=BE,DF工BE；

(2)如圖2,將DR繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段bK,連接8K.

①求證：四邊形￡?仍是平行四邊形;

②連接KG,若AB=5,EF=3,直接寫出在正方形EFGH旋轉(zhuǎn)的過程中，線段KG長(zhǎng)度的最大值.

3.(2023廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))【綜合探究】在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上,興趣小組的同學(xué)用兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形

紙片展開探究活動(dòng)，這兩張長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為8cm,寬為4cm.

(1)【實(shí)踐探究】小紅將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形紙片ABCD和瓦'GQ擺成圖1的形狀，點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，邊AD與邊EF

重合，邊AB,QE在同一直線上.

請(qǐng)判斷：ACG的形狀為；

(2)［解決問題】如圖2,在(1)的條件下,小明將長(zhǎng)方形EFGQ繞點(diǎn)、A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)m0(轉(zhuǎn)動(dòng)角度小于45°),即ZDAF=,

邊EF與邊CD交于點(diǎn)、M,連接BM,BN平分NMBC,交CD于點(diǎn)N,ZAMB+ZAMC=180°,求NCBN的度數(shù)；

(3)【拓展研究】從圖2開始，小亮將長(zhǎng)方形所GQ繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，若邊E產(chǎn)所在的直線恰好經(jīng)過線段BQ的中

點(diǎn)。時(shí)，連接8尸，F(xiàn)Q,請(qǐng)直接寫出一8尸。的面積.

題型02四邊形與翻折變換

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

【典例分析】

例..(2023?湖南?中考真題)問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形ABCD

的邊上任意取一點(diǎn)G,以3G為邊長(zhǎng)向外作正方形BEFG,將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

圖①圖②圖③

特例感知:

(1)當(dāng)8G在8c上時(shí)，連接ORAC相交于點(diǎn)P,小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為OR的中點(diǎn)，如圖①.針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)

給出證明；

(2)小紅繼續(xù)連接EG,并延長(zhǎng)與。尸相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是O尸中點(diǎn)P,如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷VAPE

的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

(3)如圖③，將正方形BEFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。，連接CF,點(diǎn)尸是Ob中點(diǎn)，連接AP,EP,AE,VAPE的形狀

是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明理由.

【變式演練】

1.(2023?浙江金華?三模)如圖，平行四邊形ABCD中，AB=9,3C=12,點(diǎn)尸是8C邊上的點(diǎn)，連結(jié)AP,以A尸為對(duì)

稱軸作二ABP的軸對(duì)稱圖形-AQP.

gD

a-

o?CopLDpC

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。正好落在43邊上時(shí)，判斷四邊形A8PQ的形狀并說明理由；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P是線段8C的中點(diǎn)且CQ=4時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸，Q,。三點(diǎn)共線時(shí)，恰有NPQC=NPQA,求BP的長(zhǎng).

2.(2023?貴州銅仁?三模)閱讀材料：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)。是42的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上動(dòng)點(diǎn)，將ZiAOE沿

OE翻折得VR9E,連接"并延長(zhǎng)"交邊DC于點(diǎn)M,連接

八〃八M-oMc

AOBA0bA013

圖①圖②圖③

【發(fā)現(xiàn)問題】

(1)如圖①，判斷AABE的形狀是________三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】

(2)如圖②，當(dāng)￡、F、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求證：M為邊DC中點(diǎn)

【拓展遷移】

(3)如圖③，延長(zhǎng)交射線AD于點(diǎn)N,當(dāng)AB=8,BC=6,DN=2時(shí),求AE的長(zhǎng).

3.(2023?河南洛陽?二模)綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,諸葛小組將正方形紙片A3CD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，折痕

為AE,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AT)與A"重合，折痕為"，請(qǐng)寫出圖中的一個(gè)45。角：.

(2)【拓展探究】如圖2,孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿E尸繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕AE上的點(diǎn)N處，連

接而交A”于點(diǎn)P.

①ZA￡F=_______度；

②若AB=垂＞，求線段尸河的長(zhǎng).

(3)【遷移應(yīng)用】如圖3,在矩形ABCD,點(diǎn)、E,歹分別在邊3C、CZ)上，將矩形ABCD沿AE,反折疊，點(diǎn)2落在點(diǎn)

M處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A,M,G恰好在同一直線上，若點(diǎn)尸為8的三等分點(diǎn)，AB=3,AD=5,請(qǐng)直接寫出線

段BE的長(zhǎng).

題型03類比探究問題

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論。

【典例分析】

例.（2023?江蘇鹽城?中考真題）綜合與實(shí)踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片A8CD先沿對(duì)角線折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線8。上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為9，

折痕與邊AD,BC分別交于點(diǎn)E,F.

【活動(dòng)猜想】

（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)8'與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形BEL廳是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】

（2）如圖3,當(dāng)AB=4,AD=8,3/=3時(shí)，求證：點(diǎn)A,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

（3）如圖4,當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有A?與對(duì)角線AC平行？請(qǐng)說明理由.

（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與30,即分別交于點(diǎn)0,P,試探究三條線段AP,B'D,E尸之間滿足的等量關(guān)系，

并說明理由.

【變式演練】

1.（2023?海南?？?二模）（1）【證明推斷】如圖，在正方形A3CD中，點(diǎn)E是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)2、。不

重合），連接AE,過點(diǎn)E作EFLAE,EG1BD,分別交直線BC于點(diǎn)RG.

AD

①求證：AABE當(dāng)AFGE；

②求要的值;

AE

(2)【類比探究】如圖，將(1)中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其他條件均不變.

①若AB=3,BC=4,求大的值;

AE

②若ABfBC,直接寫出片的值(用含，〃的代數(shù)式表示)；

(3)【拓展運(yùn)用】如圖，在矩形A3CD中，點(diǎn)E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)(與點(diǎn)8、。不重合)，連接AE,過點(diǎn)￡作印，形,

EGLBD,分別交直線BC于點(diǎn)F、G,連接CE,當(dāng)AB=2,BC=4,CE=CD時(shí)，求E尸的長(zhǎng).

2.(2023?山東泰安?三模)【例題探究】數(shù)學(xué)課上，老師給出一道例題，如圖1,點(diǎn)C在A3的延長(zhǎng)線上，且NA=NDBE=NC,

若求證：DABsBCE；請(qǐng)用你所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行證明.

【拓展訓(xùn)練】

3CE

如圖2,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，且ZDAB=NDBE,若CE〃AD,NC=60。，AD=-AB,則”;的值為______；（直

2BC

接寫出）

【知識(shí)遷移】

將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3,在平行四邊形A3CD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，歹為邊43上的一點(diǎn)?若

/D砂=/3.求證：ABFE=BEDE.

ABABCEC

Si圖2圖3

1.（2023?山西?中考真題）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，

得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為ABC和△DFE,其中NAC3=NOEF=90o,NA=4>.將ASC和△。網(wǎng)按圖2

所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)尸重合（標(biāo)記為點(diǎn)8）.當(dāng)Z4BE=NA時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G.試判斷四邊形BCGE

的形狀，并說明理由.

\D

'B

⑴數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題;

⑵深入探究：老師將圖2中的DBE繞點(diǎn)3逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在ABC內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題.

圖2

①“善思小組''提出問題：如圖3,當(dāng)=時(shí)，過點(diǎn)A作A"，BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)河,臺(tái)加與AC交于點(diǎn)

N.試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請(qǐng)你解答此問題；

圖3

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當(dāng)NCBE=ZR4C時(shí)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,若BC=9,4C=12,求A”的長(zhǎng).請(qǐng)

你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

圖4

2.（2022?遼寧阜新中考真題）已知，四邊形A8CD是正方形，DEF繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn)（DE<AB）,ZEDF=90°,DE=DF,

連接AE,CF.

⑴如圖1,求證：VADEmoCDF；

⑵直線AE與C/相交于點(diǎn)G.

①如圖2,于點(diǎn)M,BNLCF于點(diǎn)、N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接3G,若AB=4,DE=2,直接寫出在，DE尸旋轉(zhuǎn)的過程中，線段3G長(zhǎng)度的最小值.

3.(2023?山東淄博?中考真題)在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng).

(D操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①.

試判斷：的形狀為.

(2)深入探究

小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2,4)=4.

探究一：當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與￡）戶相交于點(diǎn)M,如圖②.求_。質(zhì)的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點(diǎn)連接DH,如圖③.

求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值.

圖②圖③

4.（2022?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在AD上，歹在AB上，求方防的值為多少;

⑵將正方形"EG繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)口0°<a<90。），如圖2,求：含的值為多少；

DCr

（3）A3=80，AG=與AD,將正方形AFEG繞A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)火0°<e<360。），當(dāng)C,G,E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直

接寫出。G的長(zhǎng)度.

5.（2022?四川樂山?中考真題）華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案.

2.如圖，在正方形ABC。中，CE±DF.求證：CE=DF.

證明：設(shè)CE與。尸交于點(diǎn)o,

???四邊形ABC。是正方形，

：?NB=NDCF=90。,BC=CD.

：.ZBCE+/DCE=90°.

?.?CE±DFf

??.ZCOD=90°.

：.NCDF+NDCE=90。.

J/CDF=/BCE.

：./\CBE^Z\DFC.

CE=DF.

某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問題進(jìn)一步探究

(1)【問題探究】如圖，在正方形A3C0中，點(diǎn)石、F、G、”分別在線段A3、BC、CD、D4上，且EG上試猜想

芻FG二的值，并證明你的猜想.

(2)1知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，AB=m,BC=〃，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB.BC、C。、D4上，且￡G，.則

EG

FH-------?

(3)【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABC。中，ZZMB=90°,ZABC=60°,AB=BC,點(diǎn)、E、尸分別在線段A8、AD上,

且CELBF.求其CF的值.

6.(2023?甘肅蘭州?中考真題)綜合與實(shí)踐

【思考嘗試】

(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1,在矩形ABCZ)中，E是邊A3上一點(diǎn)，DFLCE于點(diǎn)F,GDLDF,

AG1DG,AG=Cb.試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

【實(shí)踐探究】

(2)小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn),DFLCE于點(diǎn)F,

4〃，位于點(diǎn)"，GDLDF交AH于點(diǎn)G,可以用等式表示線段切，AH,CT的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問

題；

【拓展遷移】

(3)小博深入研究小睿提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如