2025年中考數(shù)學熱點題型專項訓練：二次函數(shù)與幾何綜合（解析版）

專題13二次函數(shù)與幾何綜合

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01二次函數(shù)與相似三角形綜合.....................................................................1

題型02特殊幾何圖形存在性問題.......................................................................4

題型03最值問題....................................................................................53

中考練場............................................................................................62

熱點題型歸納

題型01二次函數(shù)與相似綜合

【解題策略】

「三次菌藪囪豪壬點的巫標痔厄一菱形的桂廟廠廨直第三函舷「三隔形而彳式笛的兔和性質(zhì)「反庇的南藪系教工的冗荷意

I義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與菱形的性質(zhì).

【典例分析】

例.（2023?湖北隨州?中考真題）如圖1，平面直角坐標系工?中，拋物線＞="2+為+'過點4-1,0）,8（2,0）和10,2）,

連接BC,點尸（私〃）（機〉0）為拋物線上一動點,過點尸作尸N,尤軸交直線8C于點W,交x軸于點N.

AX

。B\x/°\飛，八XAo\B\

（圖1）（圖2）（備用圖）

⑴直談與耳拋物線和直線BC的解析式；

（2）如圖2,連接OW,當AOCM為等腰三角形時，求加的值;

(3)當P點在運動過程中，在y軸上是否存在點。，使得以O(shè),P,。為頂點的三角形與以8,C,N為頂點的三角形

相似(其中點尸與點c相對應(yīng))，若存在，自球?qū)懗鳇cP和點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線：y=-x2+x+2；直線2C：y=-x+2

(2)〃?=1或加=正或〃?=2

(3)P(a,夜)，0(0,亞-1)或尸(1+6,-1-內(nèi))，。(0,1)或21+囪,-3-指)，。。-2)

【分析】(1)由題得拋物線的解析式為>=a(x+l)(x-2),將點C(0,2)代入求。，進而得拋物線的解析式；設(shè)直線8c的

解析式為、=履+小將點B,C的坐標代入求左，3進而得直線BC的解析式.

(2)由題得加(%-加+2),分別求出OC,OM,CM,對等腰AOCH中相等的邊進行分類討論，進而列方程求解；

(3)對點尸在點B左側(cè)或右側(cè)進行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解〃7,進而可得

P,。的坐標.

【詳解】(1)解：,?,拋物線過點4-1,0),8(2,0),

拋物線的表達式為y=a(x+l)(x-2),

將點C(0,2)代入上式，得2=-2a,

?>-a=-1.

???拋物線的表達式為歹=-(X+1)(%-2),即y=r2+%+2.

設(shè)直線BC的表達式為y=kx+t,

[0=2k+1\k=—\

將點B(2,0),C(0,2)代入上式，得2=,，解得"2?

直線BC的表達式為了=-x+2.

(2)解：???點M在直線8C上，且尸(見〃)，

點、M的坐標為(%-加+2).

OC=2,CM2=(m-0)2+(-7M+2-2)2=2m2,OM2=m2+(-m+2)2=2m2-4m+4.

當AOCM為等腰三角形時，

①若CM=OM,則CM2=OM1,

即2m2=2m2-4m+4，

解得m=l.

②若CM=OC,貝l|CM2=OC2,

即2m2=4，

解得"/=&或加=-亞(舍去).

③若(W=OC,則

即2m2-4m+4-4>

解得加=0(舍去)或機=2.

綜上，機=1或"7=收或加=2.

(3)解：,點?與點C相對應(yīng),

APOQSACBN或APOQSACNB.

①若點尸在點B左側(cè)，

貝IJ/C5N=45°,BN=2-m,CB=20

當APOQSRCBN,即NPOQ=45。時，

直線。的表達式為V=x,

—m2+m+2=m,解得以=后或%=-0(舍去).

OP2=(V2)2+(V2)2=4,即。尸=2.

.OPOQ2_OQ

"BCBN'B2V22-V2'

解得=

P(V2,V2),2(0,72-1).

當APOQSKNB,即NPQO=45。時，

PQ=V2m,OQ=—nr+m+2+m=—m2+2m+2,

2

.PQOQRyflm-m+2m+2

,?二,印,

CBNB2722-m

解得加=1+6（舍去）或m=（舍去）.

②若點P在點B右側(cè)，

則NCSN=135°,BN=m-2.

當APOQSCBN,即/尸00=135。時，

直線o尸的表達式為y=-x,

-nV+m+2--m>解得機=1+或/?=1-G（舍去）

OP=y[2m=V2+V6,

:.空=嗎即。=戶，解得。0=1.

BCBN2V21

AP（l+V3,-1-V3）,2（0,1）.

當/OQSACNB,即APQO=135°時,

PQ=42m，OQ=|-m2+m+2+m|=m2-2m-2.

加加ATJ/—A..

,P。OQnny[^2jn2—2—2/Hf—_p.ZX

7-■-?即—尸=----------，解得冽=1+若或加=1一若(舍去).

CBNB2V2m-2

??.1(1+技-3-?2(0,-2).

綜上,PS，0(0,--1)或尸(1+省0(0,1)或尸(1+石,-3-石),2(0,-2).

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標系

中兩點距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?廣西梧州?一模)如圖，拋物線與無軸相交于點次3,0)、點3(-1,0),與了軸交于點C(0,-3).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸為拋物線在第三象限圖象上的點，且=求尸點的坐標；

(3)如圖2,點。是拋物線上一動點，連接OD交線段ZC于點E當與相似時，求點。的坐標.

【答案】(1)尸--2苫-3

⑶(空匚,3-鄧)或(力「2力).

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

(2)如圖，過點尸作尸于點利用銳角三角函數(shù)的定義求得答案;

(3)如圖2,過點。作DKLx軸于點K,構(gòu)造直角AOOK,設(shè)。(〃?,加？-2m-3),則K(私0).并由題意知點。位于

第四象限.由于/A4c是公共角，所以當與“3C相似時，有二種情況:

①NAOD=NABC.貝心a11/4。。=1311/48。=3.由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點。的坐標.

②NAOD=NACB.則tan44。。=tan//CB=2.由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點。的坐標.

【詳解】(1)

設(shè)拋物線解析式為:y=ax2+bx+c,將點4(3,0),5(-1,0),C(0,—3)分別代入得:

9。+36+c=0d—\

a-b+c=0,解得＜b=-2,

c=-3c=-3

故拋物線解析式為：y=f-2x-3；

(2)

如圖1,過點尸作尸于點H,

?1?NPAB=ZOCB,

/.tanZ.PAB=tanZ.OCB,

?.?點8(-1,0),點C(0,-3),

tanZOC5=-,

3

設(shè)尸(%,%2—2x~3),

x22x+3

~+=L,解得x=或3(舍去)，

3-x33

二P點的坐標為(一|,一m;

(3)

如圖2,過點。作軸于點K,

設(shè)。（用,加2-2冽-3）,則K（加,0）.并由題意知點。位于第四象限.

DK=-m2+2m+3,OK=m.

???NA4c是公共角，

???當A4OE與AABC相似時，有二種情況：

①ZAOD=NABC時，AAOE^ABC,

tanZAOD=tanNABC=3.

.?「9+3=3,解得叫=姮匚，%=土巫（舍去），

m2。2

,V13-l3-3叵

n丁，

?ZAOD=ZACB^i,AAOESAACB,

過點B作8QL/C于點。.

圖3

AAOC=90°,OA=OC=3,

ZOAC-ZOCA=45°,AC=3^?

?;NBQA=90°,:.ZQAB+ZQBA=90°.

ZQAB=ZQBA=45°.

?.?在直角中，AQ2+BQ2=AB2,AB=4.

：.AQ=BQ=2y/2.

Cg=3V2-2V2=V2.

???ZBQC=90°,:.tanZACB=吆=嘈=2,

CQV2

/.tanZAOD=tan/ACB=2.

...冽+2"+3=2,解得/=G，m=-^3（舍去）

m

\D（C,-2A/3）.

綜上所述，當△/OE與"BC相似時，點。的坐標是（當二L屈）或（省,-273）.

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?山東泰安?二模）拋物線y="2+bx+c過力（2,3）,5（4,3）,。（6,-5）三點.

(1)求拋物線的表達式;

(2)如圖①，拋物線上一點。在線段ZC的上方，DELAB交AC于點、E,—,求點。的坐標;

AE2

(3)如圖②，尸為拋物線頂點，過A作直線點。在x軸上運動，是否存在這樣的點尸、Q,使得以3、P、。為

頂點的三角形與A/BF相似，若存在，請直接寫出點P的坐標.若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線的表達式為丁=一一+6》一5

715

25T

⑶存在，點P的坐標為(2,-2)或(2,-5)或(2,2)或(2,-1)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可;

(2)過點A作N尸，交x軸于點打，交過點E且平行于x軸的直線于點尸，設(shè)。(九-加+6以-5),利用待定系數(shù)

法求得直線4c的解析式，用含機的代數(shù)式表示出?！?AE,再利用已知條件得到關(guān)于用的方程，解方程即可得出結(jié)

論;

(3)利用點的坐標和等腰直角三角形的判定定理得到：為等腰直角三角形，則△尸8。為等腰直角三角形，利用

分類討論的方法分5種情形討論解答：利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)求得線段尸。的長度，則

結(jié)論可求.

【詳解】(1)解：???拋物線＞="2+樂+,過/(2,3),8(4,3),C(6,-5)三點,

4。+2Z?+c=3

16。+46+。=3,

36a+6b+c=-5

a=-1

解得：＜6=6,

c=-5

?.?拋物線的表達式為丁=--+6x—5；

(2).?.4(2,3),8(4,3),

/.43〃x軸，

過點A作/尸，N2,交x軸于點H,交過點E且平行于x軸的直線于點歹，如圖,

^2.D(m,-m2+6m-5),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n,

J2左+〃=3

\6k+n=-5*

[k=-2

'[n=7'

：.直線NC的解析式為y=-2x+7,

/.￡(m,-2m+7),

/.DE=(—w2+6m—5)—(—2m+7)=—m2+8m—12.

???力(2,3),E(m,-2m+7),

EF=m-29AF=3-(-2m+7)=2m-4=2(m-2),

AE=yjAF2+EF2=V5(m-2),

..DE45

?---二---，

AE2

.-m2+8m-12V5

-V5(m-2)—2，

7

:.m=2(不合題意，舍去)或加.

2

7

/.m=—

2

715

:.D

25T

(3)存在這樣的點尸、。，使得以5、P、。為頂點的三角形與方相似，點尸的坐標為(2,-2)或(2,-5)或(2,2)或

(2,-1).理由：

,/y=-x2+6x-5=-(X-3)2+4,

."(3,4),

過點/作切_L48于點X,貝==FH=\,AB=2,

:.AB=BH=FH=-AB,

2

^FAB為等腰直角三角形.

???以8、P、。為頂點的三角形與△NB尸相似,

為等腰直角三角形.

①當NQ7吆=90。，尸0=尸8時，如圖,

設(shè)直線/交x軸于點。，

vZQPD+ZAPB=90°fZ_APB+ZABP=90°,

ZQPD=ZABD.

在△。心和△月比1中，

ZQDP=ZPAB=9(T

<ZQPD=ZPBA,

QP=PB

,△0。。也△PA4(AAS),

:.PD=AB=2,

?.P(2,-2)；

②當N50P=9O。，尸。二。8時，如圖，

過點。作。交R4的延長線于點過點P作尸N，“。，交”。的延長線于點N,

則四邊形力為矩形，四邊形43分為矩形，四邊形尸N0。為矩形,

:.MQ=AD=3,AM=NP,PD=NQ.

ZQPN+ZPQN=90°,ZPQN+ZMQB=90°f

ZQPN=ZMQB.

在△07W和力加中，

"N=/M=9V

<ZQPN=ZBQM,

PQ=QB

.?.△Q/W名△BQM(AAS),

..NP=MQ=3,QN=BM.

:.AM=NP=3,

BM=AM+AB=59

NQ=BM=5,

?.P(2,-5)；

③當/。夕5=90。，尸0=必時，如圖，

vZQPD+ZAPB=90°fZAPB+ZABP=90°,

AQPD=ZABD.

在△0PZ)和△PR4中,

ZQDP=ZPAB=9(f

<ZQPD=ZPBA,

QP=PB

:AQPDAPBA(AAS),

;.PD=AB=2,

，尸(2,2)；

④當/尸。8=90。，=時，如圖,

過點5作。于點"，

ZBQD+ZPQD=90°,ZBQD+ZQBM=90°,

/.ZPQD=ZQBM.

在△。夕。和中，

ZPDQ=ZQMB=90°

<ZPQD=ZQBM,

PQ=QB

.?.△QR涇△08N(AAS),

:.QD=BM=3,PD=QM,

OQ=OD+QD=5,

?：OM=A,:.QM=OQ-OM=1,

：.PD=QM=\,.,.P(2,-l)；

⑤當NPQ8=90。，尸。=。8時，如圖,

過點。作。交4B的延長線于點M,顯然M0=3,AB=2,--MQ^AB,

此種情形不存在.

綜上，存在這樣的點尸、。，使得以8、P、。為頂點的三角形與兇8尸相似，點P的坐標為(2,-2)或(2,-5)或(2,2)或

(2,-1).

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，拋物線上點的坐標的特征，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，利用點的坐標表示出相應(yīng)線段

的長度是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?廣東汕尾?二模)如圖，拋物線與x軸交于/、3兩點(3在N的左邊)，與y軸交于點C(0,3),頂點為。(-1,4).

(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖，若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，過點尸作軸于點交BC于點、E,連接尸C,是否存在點

P,使得APCE與A8ME相似？若存在，請求出滿足條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=f2_2x+3⑵存在，尸點坐標為(-1,5)

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì).

(1)設(shè)出頂點式，待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)求出45的坐標，進而求出5c的解析式，設(shè)尸+則￡(0+3),易得是等腰直角三角形,

根據(jù)相似，得到APCE也是等腰直角三角形，分/尸CE=90。和NEPC=90。，兩種情況，進行討論求解即可.

利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：設(shè)y=a(x+iy+4,

將點C(0,3)代入，得3=a+4,

■■CL——1,

??——(x+I)+4=-x2—2x+3；

(2)存在點尸，使得APCE與ABME相似，理由如下：

令y=0,則-X2-2X+3=0,

??x—1jc——3，

.?./(1,0),8(-3,0),

fb=3[k=\

設(shè)2C的解析式為＞=h+6,,.*J,,,.'.y=x+3,

[一3左+6=0[b=3

設(shè)尸卜，—產(chǎn)—2t+3),則E(/J+3),

VC(0,3),/.OC=OB,：.ZCBO=45°,

VPM：.ZEMB=90°,

?/NBEM=APEC=45°,；.ABEM是等腰直角三角形，

△尸C￡與ABME■相似，

APCE也是等腰直角三角形，

①當ZPCE=90°時，EC=^-PE,A2r=1(Z2+3?)2,/=一1或”一5,

-3<Z<0,.?.尸(-1,5)；

6

②當NE尸。=90。時，PE=—CE,

2

.(J3)2'.?."3+孝或”3一孝

???-3v，＜0,???此種情況不存在;

綜上所述：P點坐標為（-1,5）.

題型02特殊幾何圖形存在性問題

【解題策略】

著香了三鬲形丁血選形的驪薪桂廟丁而領(lǐng)三鬲形的驪運前電貳一句展楚迪丁廨頻的關(guān)鍵層飄臻擘握三鬲形相做的的一

定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

i麗芬而

例1.（2023?山東淄博?中考真題）如圖，一條拋物線y=ax2+bx經(jīng)過QB的三個頂點，其中O為坐標原點，點/（3,-3）,

9

點8在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線1=:，且△045的面積為18

⑴求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式;

⑵求點B的坐標;

(3)設(shè)C為線段48的中點，尸為直線08上的一個動點，連接4P,CP,將沿CP翻折，點A的對應(yīng)點為4.問

是否存在點P,使得以4,P,C,B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

2

【答案】⑴>=§無2-3x

⑵(6,6)

(3)存在，P點的坐標為］mH-3或［乎+6,岑+6］或［-孚+6,-￥+61

b9

【分析】(1)根據(jù)對稱軸為直線x=-g=J,將點A代入，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)設(shè)歷一3”，過點A作所，y軸交于E點，過8點作8尸，所交于尸點，繼而表示出AO/8的面積，根

據(jù)ACMB的面積為18,解方程，即可求解.

(3)先得出直線。的解析式為V=x,設(shè)尸。J),當8P為平行四邊形的對角線時，可得4P=4C,當8c為平行四邊

形的對角線時，BP=AC,進而建立方程，得出點尸的坐標，即可求解.

AQ

【詳解】⑴解：???對稱軸為直線x=—g

2a4

9

b=—a(T),

2

將點/(3,-3)代入y=ax2+for得，

9〃+36=-3②，

,2

ci——

聯(lián)立①②得，3,

b=—3

2

???解析式為>=-3%；

(2)設(shè)加,|歷-3%］,如圖所示，過點A作跖，y軸交于E點，過3點作8尸，斯交于尸點，

.?.尸（加,-3）,￡（0,-3）,

2

則OE=3,/￡=3,/尸=機一3,8尸=§"/一3m+3,

1m2

?V=—mx~-3加+3+3二18

??Q^AOB2

解得：加=6或加=-3（舍去），

（3）存在點P,使得以4，P，C,8為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下:

???4（3,-3）石（6,6）,

設(shè)直線08的解析式為歹=丘，

6k=6,解得：k=1,

???直線08的解析式為P=x,

設(shè)尸（。），

如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，BC//A.P,

圖2

BC=AXP,

??,AC=BC,

：.AC=AXP,

由對稱性可知ZC=4。，AP=AXP,

：.AP=AC,

J”3)2+0+3)2=<3-|[+1-3高

3

解得：

點的坐標為之m，總

如圖3,當BC為平行四邊形的對角線時，BP//AtC,BP=A}C,

圖3

由對稱性可知，AC=AlC,：.BP=AC,

6-?2+6-?2=3-

7()()Jf1]'解得：t=^-+6^t=-^-+6,

.上八4工一二，3、/^U3A/5r(3-\/53\話

??尸點的坐標為|三一+6,行-+6或一一—+6,-^-+6

綜上所述，尸點的坐標為1|，￡|或或1孚+6,岑+6)或一孚+6,-芋+6.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

例2.(2023?西藏?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線y=f2+6x+c與x軸交于/(-3,0),8(1,0)兩點，與夕軸

交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖甲，在y軸上找一點Z),使A/C。為等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

(3)如圖乙，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、。兩點使以點4,C,P,。為頂點的四邊形是菱形？若存在,

求出P、。兩點的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)J7=-x2-2%+3；

(2)(0,0)或(0,-3)或(0,3-3后)或(0.3+3V2)；

(3)存在，尸卜1,3-g)，0卜4,一舊)或網(wǎng)一1,3+&7),0卜4,&7)或尸(-1,1),。(一2,2)或網(wǎng)一1,舊)，0(2,3+m)

或尸卜1,_巧)，2(2,3-V14)

【分析】(1)將/(-3,0),2(1,0)代入＞=--+云+。，求出仇c,即可得出答案；

(2)分別以點。為頂點、以點A為頂點、當以點C為頂點，計算即可；

(3)拋物線＞=---2乂+3的對稱軸為直線x=—l,設(shè)P(T,。，。(九〃)，求出4c2=18,AP2=t2+4,PC2=t2-6t+lQ，

分三種情況：以/尸為對角線或以NC為對角線或以CP為對角線.

【詳解】⑴解:(1)???『TO),2(1,0)兩點在拋物線上,

.fo=-(-3)2-3Z)+c

0=-12+6+C

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

(2)令x=0,V=3,

/.C(0,3),

由ANC。為等腰三角形，如圖甲，

當以點。為頂點時，N=DC,點。與原點O重合,

.?.0(0,0)；

當以點A為頂點時，AC=AD,/O是等腰A/CD中線,

OC=OD,

-3）；

當以點C為頂點時，AC=CD=^OA2+OC2=A/32+32=372

點D的縱坐標為3-372或3拒+3，

???綜上所述，點D的坐標為（0,0）或（0，-3）或（0,3-3?）或（0,3+3亞上

（3）存在，理由如下：

拋物線y=f2_2x+3的對稱軸為：直線尤=-1,

設(shè)尸（一11）,Q{m,n）,

-3,0）,C（0,3）,

則=（_3了+32=18,

=（_1+3『+產(chǎn)=產(chǎn)+4,

PC2=（-1）2+（?-3）2=〃-6/+10,

?.?以4C、P、。為頂點的四邊形是菱形，

分三種情況：以工尸為對角線或以/C為對角線或以C尸為對角線，

當以/P為對角線時，則CP=。，如圖1,

?,"2一6，+10=18，

解得：/=3土Vrz>

8（-1,3-或己（-1,3+網(wǎng)

?.?四邊形NCPQ是菱形，

尸與C?；ハ啻怪逼椒郑?尸與C0的中點重合,

當網(wǎng)-1,3-歷）時，

.m+0-3-1〃+30+3—VT7

??----------------,------------------------，

2222

解得：m=—4,n=—A/FZ,

AQ（-4，-Vi7）

當￡（-1,3+后）時，

,7/z+O-3-1〃+30+3+、7

??----------------,-----------------------，

2222

解得：m=—4,n=VP7，

二。23，呵

以/C為對角線時，則尸C=4P,如圖2,

解得：/=1,

.1.^(-1,1),

?.?四邊形/尸C0是菱形,

???/C與尸?；ハ啻怪逼椒?，即/C與C。中點重合,

.m-\-3+0n+10+3

2222

解得：m=-2,n=2,

.?.03(-2,2)；

當以CP為對角線時，則4P=/C,如圖3,

圖3

"+4=18，

解得：t=

.?.々（-1阿￡卜1,-婀，

?.?四邊形zc。尸是菱形，

.?.2。與CP互相垂直平分，即/。與CP的中點重合，

.-3+加0-1n+03±\J\A

??----------------------，

2222

解得：m=2,n=3士后

/.g4（2,3+V14）,ft（2,3-714）,

綜上所述,符合條件的點P、Q的坐標為：尸卜1,3-舊），0卜4,一如）或尸卜1,3+&7）,0（^,&7）或尸（-1,1）,0（-2,2）

或尸卜1,舊），0（2,3+舊）或尸卜1,一折可，g（2,3-V14）

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、分類

討論等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=f2+6x+c與x軸的交點分別為A和2（1,0）（點

A在點B的左側(cè)），與了軸交于點C（0,3）,點尸是直線/C上方拋物線上一動點.

（i）求拋物線的解析式;

（2）如圖1,過點尸作X軸平行線交ZC于點E,過點尸作y軸平行線交無軸于點。，求尸E+PD的最大值及點尸的坐標;

⑶如圖2,設(shè)點M為拋物線對稱軸上一動點，當點P,點W運動時，在坐標軸上確定點N,使四邊形尸MCN為矩形,

求出所有符合條件的點N的坐標.

【答案】（l）y=-x2-2x+3

49_

（2）尸。+PE的最大值為胃，點尸的坐標為

O

（3）符合條件的N點坐標為：N（0,4）或V

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）先求得直線ZC的解析式，設(shè)尸（私-/_2加+3）,則尸￡=_羽2_3加，PD=-m2-2m+3,得到

PD+PE=-2^m+^+y,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）先求得拋物線的頂點尸（-1，4）,對稱軸為》=一1,分當點N在夕軸上和點N在無軸負半軸上時，兩種情況討論，當

點N在無軸負半軸上時，證明△CMGs/XNC。，求得CG=-卜，再證明△CMGg△尸求得點尸的坐標為

由點P在拋物線上，列式計算求解即可.

【詳解】⑴解：：拋物線y=f2+6x+c與x軸交于點8（1,0）,與V軸交于點C（0,3）

-\+b+c=0

c=3

解得

[c=3Q

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）解：當y=。時，0=_/-2x+3，

解得占=-3,x2=1,

4-3,0）,

設(shè)直線/C的解析式為：y=kx+n（k^O）,

把4（-3,0）,C（0,3）代入得：[-3〃："=0,

[n=3

[k=\

解得,

[〃=3

?,?直線ZC的解析式為歹二%+3,

設(shè)P{m.-m2-2m+3),

???PE〃x軸,

???點E的縱坐標為-加之一2加+3，

又??,點E在直線/C上，

-m2-2m+3=x+3，x=-m2-2m,

E^-m2-2m,-m1—2m+3),

PE=-m2-2m-m=-m2-3m，

???尸歹軸，

***PD=-m2-2m+3，

,、(5V49

PD+PE=-m2-2冽+3+(一加之一3加)二一2加2-5m+3=-2lm+—I+—,

,?*—2<0,—3<加<0,

549

J當加二一二時，尸。+尸￡有最大值，最大值為二，

48

當“1時，y=j_2X(T+3=||,

點P的坐標為獸1;

I416；

、

答：PD+PE的最大值為:49，點尸的坐標為/-516,32；

8I416)

(3)解：y=-x2-2x+3=-(x+l)"+4,

則拋物線的頂點尸(-1,4),對稱軸為x=-l,

情況一：當點N在y軸上時，尸為拋物線的頂點，

:四邊形尸MCN為矩形,

N與尸縱坐標相同，

...N(0,4)；

情況二：當點N在x軸負半軸上時，四邊形PA3為矩形,

過M作V軸的垂線，垂足為G,過尸作x軸的垂線，垂足為

:?/MCN=/CNP=90。，CM=NP,

：.ZMCG+ZOCN=9Q°,

ZONC^ZOCN=90°,

：.ZMCG=ZONC,

又???ZCGM=ZCON=90°,

/\CMGsANCO,

.CGMG

*^N~~OC

???拋物線對稱軸為x=-1,點M在對稱軸上，。（0,3）,

：.MG=\,OC=3,

,號j即CG=—>

VZMCG+ZCMG=90°fZONC+ZPNH=90°,

ZCMG=ZPNH,

叢CMG空叢PNH,

NH=MG=1,HP=CG=—t,

3

???OH=ON+NH=-t+l,

?,?點尸的坐標為-g］，

???點尸在拋物線上，

1、,,

——/=—1)-2?-1)+3,

解得匕叵，1+V145(舍去)，

1626

???川匕叵刀，

I6J

綜上所述：符合條件的N點坐標為：N(0,4)或N-4—,0.

I6J

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是方程思想的應(yīng)用.

例4.(2023?遼寧?中考真題)如圖，拋物線、=-；/+加+。與x軸交于點A和點8(4,0),與了軸交于點C(0,4),點石

在拋物線上.

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

(2)點￡在第一象限內(nèi)，過點￡作即〃了軸，交5c于點尸，作尤軸，交拋物線于點點H在點￡的左側(cè)，以線

段E尸,為鄰邊作矩形斯GH,當矩形斯G"的周長為11時，求線段E8的長；

⑶點W在直線/C上，點N在平面內(nèi)，當四邊形OENW是正方形時，請直接寫出點N的坐標.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-g/+x+4；

Q)EH=4；

—-一/”人/73、f-5+V57-n-3s［51}/-5-后-11+3^\

⑶點N的坐標為(4,4)或「展小或［---,---)或［—>,一戶J

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解;

(2)先求得直線BC的解析式為y=r+4,設(shè)小W-1+丫+力則廠(x,-x+4),利用對稱性質(zhì)求得

H\2-X,-\X2+X+A,推出GH=斯=-工/+2無，GF=EH=2x-2,利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可

I242

求解；

(3)先求得直線NC的解析式為了=2x+4,分別過點河、E作歹的垂線，垂足分別為尸、Q,證明尸附△MO。,

加，一;冽2+加+4),則M

推出PE=。。，PO=M。,設(shè)￡-m2-m-4,m由點M在直線ZC上，列式計算，可求

2

得機的值，利用平移的性質(zhì)可得點N的坐標；設(shè)點M(a,6),則點￡僅,-°),當繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到OE時,

當點M繞點。逆時針90°得到點￡時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點N的坐標.

【詳解】⑴解：???拋物線y—gv+bx+c經(jīng)過點8(4,0)和C(0,4),

1

—x49+46+c=0

2

c=4

b=\

解得

c=4

???拋物線的解析式為y=-；/+x+4；

(2)解：?.?點3(4,0)和C(0,4),

設(shè)直線的解析式為、=七+4,貝1」0=4上+4,

解得無=一1,

，直線BC的解析式為y=-x+4,

設(shè)—x?+x+4且0<x<4,貝”(x,—x+4),

\2

GH=EF=——%2+x+4-(-1+4)=——x2+2x

JQ--------------------

???拋物線的對稱軸為直線一2x(_J

H[2—%,——X?+x+4^,

GF=EH=x-(4-x)=2x—2,

依題意得21-；x2+2x+2x-2j=11,

解得x=5(舍去)或x=3,

JEH=4；

(3)解：令歹=0,貝！J—工/+%+4=0,

2

解得x=-2或x=4,

同理，直線/C的解析式為y=2x+4,

:四邊形OENM是正方形，

/.OE=OM,NEOM=90。，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q,如圖,

ZOPE=ZMQO=90°,ZOEP=90°-ZEOP=ZMOQ,

/\OEP^/\MOQ,

：.PE=OQ,PO=MQ,

設(shè)立少+…）

1

PE=OQ=-m,PO=MQ=—m92+m+4,

-2

則加2_加_4,加J,

???點M在直線4C上，

冽=加2一加-41+4,

解得加=4或冽=-1,

當加=4時,3（0,4）,￡（4,0）,

即點M與點。重合，點石與點5重合時，四邊形OENM是正方形，此時N（4,4）；

當羽=—1時，■|,一1],

點o向左平移;個單位，再向下平移1個單位，得到點

2

則點￡向左平移g個單位，再向下平移1個單位，得到點N,

設(shè)點則點E（6,-a）,

當OM繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到C史時，如圖,

??,點E在y=2x+4的圖象上，

：.b=2a+4,???點M(a,2a+4),

:點E在y=-g/+x+4的圖象上,

——(2a+4)+2a+4+4=-a,解得：a=-萬或0,

5

???M（0,4）W（4,0）,此彳1，￡,

2

當點M繞點。逆時針90。得到點￡時,點E(-4a),M(a,2a+4),E(-2a-4,a),

:點E在y=-gx2+x+4的圖象上,

-11±V57

——(—2a—4—2a—4+4=a,解得:a=---------

4

.上“(-11-^573+V57-11-11+V57-3+V57’3-后-11+后

?.點M--—,,Ei,E?

-'一4224

7\

-5+V57-17-3V57r-5-V57-17+3V57

???點N的坐標為或

4444

73-11-3^-17+3^

綜上，點N的坐標為（4,4）或或或

29244

【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,

一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強的題，解題的關(guān)鍵是求出二

次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論.

【變式演練】

1.（2023?遼寧阜新?二模）如圖，拋物線y=，+6x+c（6、c是常數(shù)）的頂點為C,與x軸交于A、8兩點，其中

3（-3,0）,點尸從A點出發(fā)，在線段N2上以1單位長度/秒的速度向3點運動，運動時間為，秒（0<1<4）,過尸作尸0113c

交NC于點。.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當,為何值時，ACP0的面積最大？并求出ACPQ面積的最大值；

⑶點P出發(fā)的同一時刻，點"從B點出發(fā)，在線段3C上以。單位長度/秒的速度向C點運動，其中一個點到達終點

時，另一個點也停止運動，在運動過程中，是否存在某一時刻乙使ANMP為等腰三角形，若存在，直接寫出尸點坐標;

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-+2尤-3；

（2）當1=2時，AC尸0面積的最大，最大值為2；

⑶存在，，點P坐標為：（一

【分析】（1）將A、B兩點坐標代入拋物線解析式即可求解；

（2）依題得尸根據(jù)待定系數(shù)法求出直線3C、直線/C、直線尸。解析式，聯(lián)立直線產(chǎn)。與直線/C解析式求

得。點坐標，再根據(jù)平行線的性質(zhì)：平行線間的距離相等得到5.?>0=，鰭2=；82*b0|,配方后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)

即可求得最大值;

2

(3)根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理的知識分別表示出/尸2、AM?、MP,再分情況進行求值，即可求出/的值，最后

再求點尸的坐標.

【詳解】(1)解：將2。解),8(-3,0)代入＞=/+6-

Jl+b+c=0

?19-3b+c=0'

[b=2

解得『

[c=-3

拋物線的解析式為＞=f+2x—3.

(2)解:如圖，

y=x~+2x—3=(x+l)~—4,

C(