2025年中考數(shù)學思想方法復習【猜想歸納】數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想（解析版）

數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想

知識方法精講

1.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字

與序號建立數(shù)量關系或者與前后數(shù)字進行簡單運算，從而得出通項公式.

(2)利用方程解決問題.當問題中有多個未知數(shù)時，可先設出其中一個為x,再利用它們

之間的關系，設出其他未知數(shù)，然后列方程.

2.猜想歸納思想

歸納猜想類問題也是探索規(guī)律型問題，這類問題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、

圖形，或是給出與圖形有關的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認真觀察、分析

推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結論?？疾閷W生的歸納、概括、類

比能力。有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問題的基本思路是“觀察一歸納一猜想一證明(驗證)”，具體做法：

(1)認真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關系；

(2)根據(jù)它們之間的關系分析、概括，歸納它們的共性和蘊含的變化規(guī)律，猜想得出一個

一般性的結論；

(3)結合題目所給的材料情景證明或驗證結論的正確性。

歸納猜想類問題可以分成四大類：

(1)數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個一

般性的結論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號的關系是解這類題的

關鍵。

(2)圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為

載體考查圖形所蘊含的數(shù)量關系。其解題關鍵是找出相鄰兩個圖形之間的位置關系和數(shù)量關

系。

(3)結論歸納猜想題

結論歸納猜想題?？紨?shù)值結果、數(shù)量關系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化，

是解題的關鍵。

（4）類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對象的某些

己知的性質(zhì)，推斷出另一類對象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時也指兩個對象在研究方法、

學習過程上類比，考查類比歸納推理能力。

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?天橋區(qū)期末）己知S=2+4+6+...+2020,T=1+3+5+...+2021,貝!—T的

值為（）

A.-1010B.-1011C.1010D.1011

【考點】代數(shù)式求值；規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)已知得出5-7=2-1+4-3+6-5+……+2020-2019-2021,再進一步計算

可得.

【解答】解：?.?S=2+4+6+…+2020,T=l+3+5+…+2021,

.-.S-T=2-1+4-3+6-5+...+2020-2019-2021

=1+1+1+...+1-2021

=1010-2021

=-1011,

故選：B.

【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是將原式變形為

2-1+4-3+6-5+……+2020-2019-2021.

2.（2021秋?遷安市期末）如圖，某“學子餐廳"把"/密碼做成了數(shù)學題.小紅在餐廳

就餐時，思索了一會，輸入密碼，順利地連接到了餐廳網(wǎng)絡.則他輸入的密碼（）

賬號：XueZiCanTing

304*5=120917

205*7=101217

903*1=270428

學子餐廳歡迎你!407*2=密碼

A.28140B.110908C.280930D.280908

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)題中密碼規(guī)律確定出所求即可.

【解答】解：原式=4x7x10000+（7+2）x100+4x7+2

=280000+900+30

=280930.

故選：C.

【點評】此題考查了規(guī)律型一數(shù)字的變化類，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

3.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）有依次排列的3個數(shù)：2,9,7,對任意相鄰的兩個數(shù)，都

用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2,7,9,-2,

7,這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：2,5,7,2,9,-11,

-2,9,7,繼續(xù)操作下去，從數(shù)串2,9,7開始操作第2022以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所

有數(shù)之和是（）

A.20228B.10128C.5018D.2509

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)大小比較

【分析】根據(jù)題意分別求得第一次操作，第二次操作所增加的數(shù)，可發(fā)現(xiàn)是定值5,從而求

得第2022次操作后所有數(shù)之和.

【解答】解：???第一次操作增加數(shù)字：-2,7,

第二次操作增加數(shù)字：5,2,-11,9,

第一次操作增力口7-2=5,

第二次操作增加5+2-11+9=5,

即，每次操作加5,

第2022次操作后所有數(shù)之和為2+7+9+2022x5=18+10110=10128.

故選：B.

【點評】此題主要考查了數(shù)字變化類，關鍵是找出規(guī)律，要求要有一定的解題技巧，解題的

關鍵是能找到所增加的數(shù)是定值5.

4.（2021秋?長壽區(qū)期末）觀察：世界上著名的萊布尼茨三角形，如圖所示：

請仔細觀察排列規(guī)律，則排在第10行從左邊數(shù)第3個位置上的數(shù)是（）

22

111

--

3-63

21

41

1—

-

55

201

111—1

--

￡6

63106030

11111

-一-

77

421010542

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，可知第〃行的第/個數(shù)字等于

第〃-1行的第t-1個數(shù)字與第n行的第t-1個數(shù)字之差，從而可以解答本題.

【解答】解：由圖可得，

第7行第一個數(shù)字是：

7

第8行第一個數(shù)字是：

8

第9行第一個數(shù)字是：1,第二個數(shù)字是：,

98972

則第10行第一個數(shù)字是：_1,第二個數(shù)字是：工一工=上，第三個數(shù)字是：=

10910907290360

故選：A.

【點評】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)字

變化規(guī)律，求出相應的數(shù)據(jù).

5.（2021秋?嵩縣期末）i+M1+2-3-4+5+6-7-8+...+2017+2018-2019-2020+2021

的值為（）

A.1B.0C.2021D.-2021

【考點】有理數(shù)的加減混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】每4個數(shù)為一組，從而可求解.

【解答】解：1+2-3-4+5+6-7-8+...+2017+2018-2019-2020+2021

=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+...+(2017+2018-2019-2020)+2021

=-4+(-4)+...+(-4)+2021

=-4x（2020-4）+2021

=-2020+2021

=1.

故選：A.

【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解答的關鍵是分析清楚所求數(shù)

據(jù)的規(guī)律.

6.（2021秋?費縣期末）已知王，x2,當，…X2。都是不等于0的有理數(shù)，若乂=㈤，則%

-一再

等于1或-1；若％=固+㈤，則%等于2或-2或0；若%,=兇+回+包+...+.，

*^20

則力。所有可能等于的值的絕對值之和等于（）

A.0B.110C.210D.220

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；絕對值

【分析】從20個數(shù)的符號進行討論，都相同時，有1個不同時，有2個不同時，…，有10

個不相同時，分別求出力。的值，再計算即可.

【解答】解：當20個數(shù)的符號相同時，％。等于20或-20,

當20個數(shù)的符號有1個相異時，力等于18或-18,

當20個數(shù)的符號有2個相異時，力等于16或-16,

當20個數(shù)的符號有3個相異時，物等于14或-14,

...9

當20個數(shù)的符號有10個相異時，%。等于0,

所有可能等于的值的絕對值之和等于（20+18+16+…+2+0）x2=10x11x2=220,

故選：D.

【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給信息，通過分類討論，找到式子的規(guī)律是

解題的關鍵.

7.（2021?云南模擬）-組按規(guī)律排列的多項式：a-b,a2+b3,a3-b5,a4+b7,,

其中第〃個式子是（）

A.。"+（-1）"+4"-3B.a"+（-W+lb2'-1

C.。"+(-1)"破7D.優(yōu)+(-1)夕+1

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；多項式

【分析】把已知的多項式看成由兩個單項式組成，分別找出兩個單項式的規(guī)律，也就知道了

多項式的規(guī)律.

【解答】解：多項式的第一項依次是。，/,…，優(yōu),

第二項依次是-6,b3,~b5,b1,(-1)"及"I

得到第〃個式子是：an+(-1)"b2"-1.

故選：C.

【點評】此題主要考查了數(shù)字的規(guī)律多項式，本題屬于找規(guī)律的題目，把多項式分成幾個單

項式的和，分別找出各單項式的規(guī)律是解決這類問題的關鍵.

8.(2021?任城區(qū)二模)記S"=%+%+…+%,令北=+$2+…+s”，則(為生,a2,,

n

an,這列數(shù)的“凱森和”.已知％,a2,…的"凱森和”為2004,那么18,%,a2,...a500

的“凱森和”為()

A.2018B.2019C.2020D.2021

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】先根據(jù)已知求出與。。的值，再設出新的凱森和4,列出式子，把得數(shù)代入，即可求

出結果.

【解答】解：；Tn=d+邑+...+￡,

n

?,(oo=2004,

設新的“凱森和”為Tx,

501x7x=lx501+500x7^00,

7x=(lx501+500xnoo)4-501

=(1x501+500x2004)-501

=1+500x4

=2001.

故選：D.

【點評】此題考查了數(shù)字的變化類，解題的關鍵是掌握“凱森和”這個新概念，找出其中的

規(guī)律，再根據(jù)新概念對要求的式子進行變形整理即可.

二.填空題（共14小題）

9.（2021秋?邵陽縣期末）如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入x的值為50,我們發(fā)

現(xiàn)第1次輸出的結果為25,第2次輸出的結果為32,…，則第2022次輸出的結果為

x為偶覲lx-q

|^L2_Jf覃

八x為奇數(shù)|x+7|~|

【考點】代數(shù)式求值；有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)設計的程序進行計算，找到循環(huán)的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律推導計算.

【解答】解：由設計的程序知，依次輸出的結果是25,32,16,8,4,2,1,8,4,2,1...,

發(fā)現(xiàn)從第4個數(shù)開始，以8,4,2,1循環(huán)出現(xiàn)，

則2022-3=2019,2019+4=504.......3,

故第2022次輸出的結果是2.

故答案為：2.

【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出

相應的輸出結果.

10.（2021秋?青神縣期末）根據(jù)下列各式的規(guī)律，在橫線處填空：

11,1111111111111

--1-----1=——,1---------=,1---------=,...f--------1----------------------=----------------.

122342125633020212022—1011—2021x2022

【考點】有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)給定等式的變化,可找出變化規(guī)律“--——（"為正整數(shù)）”,

2n-l2nn2n?(2n-1)

依此規(guī)律即可得出結論.

【解答】解：?.?±+上—1=±

34212

56330

—I---=

78456

——i——（"為正整數(shù)），

2n—\2nn2n-（2n-1）

???2022=2x1011,

1----111

-----1-----------.

2021202210112021x2022

故答案為：—.

1011

【點評】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)等式的變化，找出變化規(guī)律

u—^+―---=--——（"為正整數(shù)）”是解題的關鍵.

2M—12nnIn-（2n—1）

11.（2021秋?魯?shù)榭h期末）一列關于a的單項式：a3,a5,a1,a9,,按上述規(guī)律，

第”個單項式為

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項式

【分析】不難發(fā)現(xiàn)各項的指數(shù)部分為2〃+1,據(jù)此進行作答即可.

【解答】解：a3=a2xl+1,

.?.第〃個單項式為：a2n+1.

故答案為：/用.

【點評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答的關鍵是分析清楚所給的單項式中系數(shù)

與指數(shù)的變化規(guī)律.

12.（2021秋?石景山區(qū)期末）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+b,a2-b3,a3+b5,af,

則第5個式子是_/+/_；第2022個式子是—.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；多項式

【分析】先根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)多項式次數(shù)的定義得出答案即可.

【解答】解：?.?“+6,a1-b3,a3+b5,a4-b7,

的指數(shù)依次為1,2,3,4,5,6,

6的指數(shù)依次為1，3,5,7,…，（2xl-l=l,2x2-l=3,2x3-l=7,...）

且系數(shù)中，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，

.?.第n個式子的是/+（-1）"+E"T,

.?.第5個式子為：a5+b9,

第2022個式子為：a2022-b4043.

故答案為：a5+b9,a2022-Z）4043.

【點評】本題考查了代數(shù)式和多項式的次數(shù)定義，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關鍵.

13.（2021秋?新邵縣期末）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，若開始輸入的x的值為2,

結果輸出的是1,返回進行第2次運算則輸出的結果是6,第3次運算則輸出的結果是3,……,

則第2021次輸出的結果是4.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算；代數(shù)式求值

【分析】把x=2代入程序中計算，以此類推得到一般性規(guī)律，即可確定出第2021次輸出的

結果.

【解答】解：把x=2代入得：-x2=l,

2

把尤=1代入得：1+5=6,

把x=6代入得：—x6=3,

2

把x=3代入得：3+5=8,

把x=8代入得：口8=4,

2

把x=4代入得：-x4=2,

2

把x=2代入得：—x2=1,

2

以此類推，

V2021+6=336......5,

.?.第2021次輸出的結果為4,

故答案為：4.

【點評】此題考查了代數(shù)式求值，數(shù)字的變化規(guī)律，弄清題中的程序框圖是解本題的關鍵.

14.（2021秋?成都期末）小海在學習之余喜歡做智力闖關游戲，如圖所示的游戲中，各正

方形中的四個數(shù)之間都具有同一種規(guī)律，按此規(guī)律得出c-6的值為14

6a

bc

【分析】根據(jù)各個正方形中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，從而可以求得。、6、c的

值，進而求得c-6的值.

【解答】解：由題意可得，

左上角的數(shù)字加2是右上角的數(shù)字，左下角的數(shù)字等于是左上角的數(shù)字的平方，右下角數(shù)字

等于其它三個數(shù)的和，

則。=6+2=8,6=8?=64,c=6+8+64=78,

.“-6=78-64=14,

故答案為：14.

【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中正方形中數(shù)字的

變化規(guī)律.

15.（2021秋?泗洪縣期末）為了保密，許多情況下都要采用密碼進行交流，這時就要有破

譯密碼的“鑰匙”.英語字母表中字母順序是按以下順序排列的：

abcdefghijkImnopqrstuvwxyz,如果規(guī)定a又接在z的后面，使26個

字母排成一個圈.代數(shù)式“x+2”代表把一個字母換成字母圈中從它開始逆時針移動2位

的字母，例如：密碼“k”表示“i”，翻譯成漢語就是“我”，又如密碼“rgp”表示“pen”,

翻譯成漢語就是“鋼筆”，此時代數(shù)式“x+2”就是破譯此密碼的“鑰匙”，如果密碼

uFxjXpqrabkq”的鑰匙是“x-3”，則此密碼翻譯成漢語就是我是一位學生.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)密碼的鑰匙是"x-3”,可得密碼“F對xpqrabkq”表示"/amastudent",

則可得此題結果.

【解答】解：?.?密碼的鑰匙是“x-3”，

密碼“Fxjxpqrabkq"應表示"Iamastudent”,

翻譯成漢語就是：我是一位學生，

故答案為：我是一位學生.

【點評】此題考查了密碼規(guī)律的歸納能力，關鍵是能利用密碼鑰匙得到真正密碼，再翻譯成

漢語.

16.（2021秋?房山區(qū)期末）如圖，階梯圖的每個臺階上都標著一個數(shù)，從下到上的第1個

至第4個臺階上依次標著-3,-2,-1,0,且任意相鄰4個臺階上數(shù)的和都相等.

（1）第5個臺階上的數(shù)x是_-3_；

（2）若第〃個-2出現(xiàn)在第2022個臺階上，則力的值為.

【分析】（1）由題意可得，-3-2-l+0=-2-l+0+x,解方程可得x的值；

（2）由題意得臺階上的數(shù)以-3,-2,-1,0四個數(shù)循環(huán)，用2022+4=505……2,再根

據(jù)余數(shù)可得答案.

【解答】解：（1）由題意得：一3-2-1+0=-2-1+0+x,

解得x=-3?

故答案為：-3；

（2）由題意得，臺階上的數(shù)以-3,-2,-1,0四個數(shù)循環(huán)，

2022+4=505.......2,

所以九=505+1=506,

故答案為：506.

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加減法，數(shù)字的變化類.解題的關鍵是根據(jù)相鄰四個臺階

上數(shù)的和都相等得出臺階上的數(shù)字是每4個一循環(huán).

17.（2021秋?海珠區(qū)期末）觀察下面三行數(shù)：

1,-4,9,-16,25,-36,...；

-1,—6，7,—18f23,—38,…；

-2,8,-18,32,-50,72,...；

那么取每行數(shù)的第10個數(shù)，則這三個數(shù)的和為_-2_.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，得出這三行中每一行的第10個數(shù)字，再計算和即可.

【解答】解：由題目中的數(shù)字可得，

第1行的數(shù)字是平方數(shù)，奇數(shù)個是正，偶數(shù)個是負，故第10個數(shù)字是TOO,

第2行數(shù)字比第1行的數(shù)字小2,故第10個數(shù)字是-102,

第3行的數(shù)字是第1行數(shù)字的-2倍，故第10個數(shù)字是200.

所以這三個數(shù)的和為-100-102+200=-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出

相應的數(shù)字之和.

18.（2021秋?成華區(qū)期末）已知%=1，a2=-ax-1,=—,a4=-a3-1,a5=—,.......

2a2a4

（即當〃為大于1的奇數(shù)時，??=—；當〃為大于1的偶數(shù)時，氏=-41-1）,按此規(guī)律,

“2022二——2——?

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)題意求出前7個數(shù)，可得向得的數(shù)列每6個一循環(huán)，結合2022+6=337,即

可得出a2Q22=a6,此題得解.

【解答】解：當q=工時，

12

2

3

￡

2

由此可得：所得的數(shù)列每6個一循環(huán),

???2022+6=337,

??^*2022“62?

故答案為：2.

【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出數(shù)列的規(guī)律：每6個一循

環(huán)是解題的關鍵.

19.(2021秋?汕尾期末)在2022年迎新聯(lián)歡會上，數(shù)學老師和同學們做了一個游戲.她在

A,B,C三個盤子里分別放了一些小球，小球數(shù)依次為g,b0,c0,記為G0=(%,b0,

c0).游戲規(guī)則如下：三個盤子中的小球數(shù)/片為wc°,則從小球最多的一個盤子中拿出兩

個,給另外兩個盤子各放一個，記為一次操作；〃次操作后的小球數(shù)記為G”=(q,,bn,c“).若

G0=(3,5,19),則G?=(6,8,13),G2022=.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】根據(jù)題意先列出前10個數(shù)列，得出從G5開始每3次為一個周期循環(huán)的規(guī)律，據(jù)此

可得答案.

【解答】解：?.?G°=(3,5,19),

:.<=(4,6,17),G2=(5,7,15),G3=(6,8,13),G4=(7,9,11),

Gs=(8,10,9),G6=(9,8,10),G7=(10,9,8),

G8=(8,10,9),G9=(9,8,10),Go=(10,9,8),

,-,從G5開始每3次為一個周期循環(huán)，

v(2022-4)-3=672……2,

G2022=Gf=(9,8,10),

故答案為:(6,8,13),(9,8,10).

【點評】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是弄清題意得出從G5開始每3次為一個

周期循環(huán)的規(guī)律.

20.(2021秋?慶陽期末)觀察以下等式：

第1個等式：Ix2x3x4+1=52=(12+3xl+l)2,

第2個等式：2x3x4x5+l=ll2=(22+3X2+1)2,

第3個等式：3x4x5x6+1=192=3+3x3+1)2,

第4個等式：4x5x6x7+1=29?=(42+3x4+l)2,

按照以上規(guī)律，寫出第〃個等式：(〃+1)(〃+2)(〃+3)+1=(/+3〃+1)2_.(用含〃的代

數(shù)式表示)

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；列代數(shù)式

【分析】觀察一系列等式，歸納總結得到第〃個等式，用字母表示出所得的規(guī)律即可.

【解答】解：第1個等式：Ix2x3x4+l=52=(l2+3xl+l)2,

第2個等式：2x3x4x5+l=ll2=(22+3X2+1)2,

第3個等式：3x4x5x6+1=192=3+3x3+1)2,

第4個等式：4x5x6x7+1=29?=(42+3x4+l)2,

第n個等式：n(n+1)(〃+2)(〃+3)+1=("+3〃+1)2；

2

故答案為.n(n+1)(〃+2)(〃+3)+1=(/+3〃+1).

【點評】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵.

21.(2021秋?七星關區(qū)期末)觀察下列等式:

232345456767

111111的結果為一期—

計算:-------1--------1--------1--------1-+------------------------1------------------------

1x22x33x44x5…2019x20202020x2021

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類;有理數(shù)的混合運算

【分析】根據(jù)所給的等式的形式,把所求的式子進行整理，即可求解.

11111

【解答】解:----------1------------1------------1-------------1--I--------------------------1------------------------

1x22x33x44x5…2019x20202020x2021

11111111

=1+-+—+—F...+

42334452019202020202021

二i一看

2020

"2021'

故答案為：出.

2021

【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的等式分析清楚所存在的規(guī)律

并運用.

22.(2021秋?唐縣期末)我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三

角”(如圖)，此圖揭示了3+6)"(〃為非負整數(shù))展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律：楊

輝三角兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)為它的上方(左右)兩數(shù)之和.

例如：(a+b)1=a+b,它有兩項，系數(shù)分別為1,1,系數(shù)和為2；

(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三項，中間項系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1,系數(shù)分別為1,2,

1,系數(shù)和為4；

(a+b)3^a3+3a2b+3ab2+b3,它有四項，中間項系數(shù)3等于上方數(shù)字1加2,系數(shù)分別為

1,3,3,1,系數(shù)和為8；....

則(0+6)4的展開式中系數(shù)和為16.

1

11

121

1331

【考點】多項式；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；完全平方公式；數(shù)學常識

【分析】根據(jù)數(shù)字找規(guī)律即可解答.

【解答】解：(a+b)'=a+b,系數(shù)分別為1,1,系數(shù)和為2,

(?+Z>)2=a2+2ab+b1,系數(shù)分別為1,2,1,系數(shù)和為4,

(?+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,系數(shù)分別為1,3,3,1,系數(shù)和為8,

(a+6)”展開式的系數(shù)和為：2",

所以(a+6)4的展開式中系數(shù)和為2a=16.

故答案為：16.

【點評】本題考查了多項式，完全平方式，數(shù)學常識，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)字找

規(guī)律是解題的關鍵.

三.解答題（共8小題）

23.（2021秋?思明區(qū)校級期末）觀察下面等式:

]H--------=-------?1-|----------=--------*]---------=--------?]----------=--------?

1x31x3’2x42x4‘3x53x5,4x64x6,…

根據(jù)你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第”個等式，并證明；

(2)計算

(1+—)x(1+^—)x(1+—)x(1+^—)x...x(l+---------------)x(1+---------------).

1x32x43x54x62020x20222021x2023

【考點】有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】（1）先根據(jù)所給的式子寫出第〃個式子的表達式，再經(jīng)過計算可驗證;

（3）把每一個分數(shù)拆分，進一步相乘抵消進行計算.

【解答】解：(1)第〃個等式為：1+—-—=92^,

n(n+2)n(n+2)

左邊=1+1="("+2)+1=〃2+2〃+1=(〃+1)2=右邊,

n(n+2)n(ji+2)n(n+2)n(ji+2)n(n+2)

故等式成立;

223242522021220222

(2)原式=---X----X-----------X-----------X...X---------------x----------------

1x32x43x54x62020x20222021x2023

2023

2

2023

【點評】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、

歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，熟練掌握分數(shù)的拆分計算.

24.（2021秋?中山市期末）仔細觀察下列三組數(shù):

第一組：I,-4,9,-16,25,.

第二組：0,-5,8,-17,24,.

第三組：0,10,-16,34,-48,

根據(jù)它們的規(guī)律，解答下列問題:

（1）取每組數(shù)的第10個數(shù)，計算它們的和;

（2）取每組數(shù)的第"個數(shù)，它們的和能否是-1,說明理由.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】（1）不難看出第一組的第"個數(shù)為：（-1）田〃2,第二組的數(shù)是第一組相應的數(shù)減去

1,第三組的數(shù)是第二組相應的數(shù)乘以-2,據(jù)此寫出第10個數(shù)再相加即可；

（2）可設第一組的第〃個數(shù)是x,則表示出第二組，第三組相應的數(shù)再相加運算即可判斷.

【解答】解：（1）第一組第"個數(shù)為：（-1）"+72,則第10個數(shù)為：一100,

則第二組第10個數(shù)為：-101,

第三組第10個數(shù)為：202,

故-100+（-101）+202=1；

（2）不能，理由如下：

設第一組的第〃個數(shù)是x,則第二組的第〃個數(shù)為：x-1,第三組第〃個數(shù)為-2。-1）,

/.x+x—1—2（x—1）

—x+x—1—2%+2

=1,

所以取每組數(shù)的第"個數(shù)，它們的和是1.

【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的數(shù)字總結出存在的規(guī)律.

25.（2021秋?任城區(qū)期末）觀察下列等式，探究其中的規(guī)律并回答問題：

1+8=3"

1+8+16=5"

1+8+16+24=72,

1+8+16+24+32=〃.

（1）第4個等式中正整數(shù)上的值是9；

（2）第5個等式是：—；

（3）第力個等式是：—.（其中"是正整數(shù)）

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】（1）根據(jù)給出的算式計算即可；

（2）總結規(guī)律繼續(xù)寫出第5個算式即可；

（3）根據(jù)上面的式子可歸納第"個等式為1+8+16+24+32+...+8〃=（2〃+1）2.

【解答】解：（1）1+8+16+24+32=/,且左取正整數(shù)，

:.k=9,

故答案為：9；

(2)觀察上面的規(guī)律可得：

第5個等式是：1+8+16+24+32+40=112,

故答案為：1+8+16+24+32+40=11?；

(3)根據(jù)已知等式可歸納為：

第〃個等式是：1+8+16+24+32+...+8"=(2〃+1)2.

故答案為：1+8+16+24+32+...+8〃=(2〃+1廣

【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結歸納出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關鍵.

26.(2021秋?蘇州期末)觀察下列等式:

1

第1個等式：%

"172'2

1

第2個等式：a

2-2^3-2-3

1

第3個等式：生

-3-4

1

第4個等式：％

-4^5-4-5

請解答下列問題:

(1)按以上規(guī)律寫出：第〃個等式%=_--—=--一為正整數(shù));

n(n+1)nn+1

(2)%+2++%+...+/00的值^；

1111

(3)探究計算:-----+----------1--------------F…H-----------------------

1x44x77x102020x2023

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算

【分析】(1)對所給的等式進行分析，不難總結出其規(guī)律；

(2)利用所給的規(guī)律進行求解即可；

(3)仿照所給的等式，對各項進行拆項進行，再運算即可.

(1),?,第1個等式：4=---=1——:

11x22

111

第2個等式:

22x323

111

第3個等式:

33x434

111

第4個等式:%二而丁丁

.?.第〃個等式：%=------=-------

n(n+1)nn+1

故答案為：-------=------;

n(n+1)n〃+1

(2)Q]+&+%+。4+.??+。100

111

+-----+------+------+...+

x22x33x44x100x101

111111111

=1—I——I——I—+...H-------

2233445100101

=1-擊

100

101

11

(3)-----+------+---------F...H

1x44x77x10---------2020x2023

=lx(l-ll-ll-1...1

++++2023)

34477102020

=-x(l-2023)

3

12022

=—X-----------

32023

674

2023

【點評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的數(shù)字分析清楚所存在的規(guī)律.

27.(2021?安徽模擬)觀察以下等式:

第1個等式：.^=lX(l-i),

1x323

第2個等式：=

3x5235

第3個等式：=

5x7257

按照以上規(guī)律，解決下列問題:

(1)寫出第4個等式：_-L=lx(i-l)；

-7x9279—

(2)寫出你猜想的第〃個等式：—(用含〃的式子表示)，并證明;

計算*+*+￡+...+1

(3)應用:的值.

2019x2021

【考點】有理數(shù)的混合運算；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；列代數(shù)式

【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進行求解即可;

（2）分析所給的等式，進行總結即可得出結果；

（3）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可.

【解答】解：（1）由題意得：第4個等式:

7x9279

故答案為:

------------二一(------------),

(2〃-1)(2〃+1)22//-12〃+1

證明:一(------------)

22H-12幾+1

12〃+12/2-1,

__xIr___________________________I

~2(2〃-1)(2〃+1)(2"1)(2〃+1)

12〃+1-2〃+1

-2(2"1)(2〃+1)

12

-2(2"1)(2〃+1)

1

(2〃—1)(2〃+1)

11______L_),

(2〃-1)(2〃+1)22w-l2〃+/'

答案為：-------------=-(--------)

(2n-l)(2?+l)22〃-12n+l

1111

(3)-----+------+------+...+

1x33x55x72019x2021

=1x(1-14-1411

---F...+202?

2335572019

1

=-x2021)

2

12020

—X------

22021

1010

2021,

【點評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規(guī)

律.

28.（2021?德州模擬）閱讀下面的材料：

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.排在第一位

的數(shù)稱為第一項，記為生,排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為出，依次類推，排在第〃位

的數(shù)稱為第"項，記為%.所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：生,出

一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列

叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.如：數(shù)列1，3,5,7,

…為等差數(shù)列，其中q=1,a4=7,公差為d=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

(1)等差數(shù)列5,10,15,…的公差d為5,第5項是.

(2)如果一個數(shù)列外,%,%，…，a“…,是等差數(shù)列，且公差為1,那么根據(jù)定義可

長f至！J:a2-%—d?—。2=d，—=d,...f一］=d,....

所以出=%+d，

%=%+d=(%+d)+d=%+2”,

%=%+4=(%+2d)+d=ax+3d,

由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：%=%+(—)d.

(3)-4040是不是等差數(shù)列-5,-8,-11...的項？如果是，是第幾項？

(4)如果一個數(shù)列外,a2,%，.??，是等差數(shù)列，且公差為“，前〃項的和記為S“，

請用含外,〃，d的代數(shù)式表示S“，S”=—.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義可得答案；

(2)根據(jù)前面幾個式子的規(guī)律可得等差數(shù)列的通項公式；

(3)把-4040代入(2)中得到的公式可得答案；

(4)把前面幾個數(shù)字相加可得S”.

【解答】解：(1)vl0-5=5,15-10=5,

:.d=5,后面的幾項分別是20、25、30...,

.?.第5項是25.

故答案為：5,25.

(2)a2=ax+d,

a3=a2+d={ax+d)+d=ax+2d,

%=%+d=(%+2d)+d=%+3d，

an=%+(〃-l)d.

故答案為：n-1.

(3)?.?d=—8+5=-3,

二.—4040=—5+(〃—1)x(—3),

解得〃=1346，

-4040是等差數(shù)列-5,-8,-"…的項,是第1346項.

/4C/7、/C7、r/7T1)(7

(4)3〃=%+%+%+…+%="i+("i+△)+(〃]+2d)+…++(〃-l)uJ=H--------------

故答案為：叫+.

【點評】本題考