多邊形的面積幾何模型篇之一半模型-2024-2025學(xué)年蘇教版五年級數(shù)學(xué)上冊典型例題（解析版）

2024-2025學(xué)年五年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列

第二單元多邊形的面積?幾何模型篇?一半模型【六大考點(diǎn)】

函【第一篇】專題解讀篇

目專題名稱第二單元多邊形的面積幾何模型篇?一半模型

邕專題內(nèi)容本專題以一半模型為主，其中包括六種常見問題。

回總體評價(jià)★★★★★

京講解建議幾何模型篇是用來專門總結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何模型的特別篇章，

其中大多數(shù)涉及奧數(shù)思維拓展內(nèi)容，綜合性極強(qiáng)，難度極大，

因此，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解

部分考點(diǎn)考題。

品考點(diǎn)數(shù)量六個(gè)考點(diǎn)。

匿【第二篇】目錄導(dǎo)航篇

30【考點(diǎn)一】一半模型問題一：犬齒模型.........................................3

v，0【考點(diǎn)二】一半模型問題二：鋸齒模型.........................................5

30【考點(diǎn)三】一半模型問題三：添加輔助線構(gòu)建一半模型..........................7

【考點(diǎn)四】一半模型問題四：結(jié)合中點(diǎn)構(gòu)建一半模型...........................io

30【考點(diǎn)五】一半模型問題五：在梯形中構(gòu)建一半模型...........................13

【考點(diǎn)六】一半模型問題六：重疊等于未覆蓋.................................16

a【第三篇】典型例題篇

30【考點(diǎn)一】一半模型問題一：犬齒模型。

■【方法點(diǎn)撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個(gè)面

積相等的三角形，而這兩個(gè)三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當(dāng)然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。(犬齒三角形和鋸齒三角形)

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構(gòu)造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構(gòu)造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

解析：50+2=25

【對應(yīng)練習(xí)11

如圖，在長方形ABCD中，試比較三角形BCE和三角形CDF的面積的大小。

解析：兩個(gè)三角形都等于長方形ABCD面積的一半。

【對應(yīng)練習(xí)2]

如圖，這個(gè)平行四邊形的底是8厘米，面積是40平方厘米，它的高是

（）厘米，陰影部分的面積是（）平方厘米。

【答案】520

【分析】根據(jù)“平行四邊形的面積=底義高”，可得平行四邊形的高=面積+底，

代入數(shù)值即可求出平行四邊形的高；陰影部分是一個(gè)三角形且與平行四邊形同

底等高，根據(jù)“三角形的面積=底乂高+2”，代入數(shù)值即可求出陰影部分的面積。

【詳解】40+8=5（厘米）

8x5+2

=40+2

=20（平方厘米）

所以這個(gè)平行四邊形的底是8厘米，面積是40平方厘米，它的高是5厘米，陰

影部分的面積是20平方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的面積公式和三角形的面積公式的應(yīng)用。

【對應(yīng)練習(xí)31

2

如圖所示：平行四邊形的面積是24cm2,陰影部分的面積是（）cmo

ZX7

【答案】12

【分析】因?yàn)殛幱安糠峙c平行四邊形等底等高，所以陰影部分的面積是平行四

邊形面積的一半，用平行四邊形的面積除以2即可。

【詳解】24+2=12（cm2）

陰影部分的面積是12cm2。

【點(diǎn)睛】此題解答關(guān)鍵是明確：等底等高的平行四邊形的面積是三角形面積的

2倍。

3°【考點(diǎn)二】一半模型問題二：鋸齒模型。

，【方法點(diǎn)撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個(gè)面

積相等的三角形，而這兩個(gè)三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當(dāng)然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。(犬齒三角形和鋸齒三角形)

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構(gòu)造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構(gòu)造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，四邊形ABFE和四邊形CDEF都是長方形，AB的長是8厘米，BC的長

是5厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

解析：8X54-2=20（平方厘米）

【對應(yīng)練習(xí)1】

如圖，ABCD是平行四邊形，EF與AD平行，BC長16厘米，陰影部分面積是

80平方厘米，那么BC上的高是（）厘米。

【分析】根據(jù)圖示，在平行四邊形ADFE中，3個(gè)陰影三角形面積與平行四邊

形ADFE等底等高，則3個(gè)陰影三角形面積和是平行四邊形ADFE面積的一

半。在平行四邊形EFCB中，陰影部分三角形面積與平行四邊形EFBC等底等

高，則三角形陰影面積是平行四邊形EFCB面積的一半。綜上所述，陰影部分

面積是平行四邊形ABCD的面積的一半，平行四邊形ABCD的面積就是160平

方厘米，平行四邊形底BC=16厘米，根據(jù)平行四邊形的高=面積+底，求出

BC上的高。

【詳解】80x2=160（平方厘米）

160-16=10（厘米）

BC上的高是10厘米。

【對應(yīng)練習(xí)2]

如下圖，已知長方形N2C。的面積是180cm2,陰影部分的面積是

2

（）cmo

【答案】90

【分析】根據(jù)題意可知，長方形ABCD中的陰影部分是四個(gè)三角形的面積，四

個(gè)三角形的底的和與長方形的長相等，四個(gè)三角形的高與長方形的寬相等，所

以長方形ABCD中陰影部分的面積是長方形面積的一半，據(jù)此解答。

【詳解】180+2=90（cm2）

如下圖，已知長方形ABCD的面積是180cm2,陰影部分的面積是90cm2。

【點(diǎn)睛】明確等底等高的三角形面積與長方形面積之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)

鍵。

【對應(yīng)練習(xí)3]

如圖，四邊形AEFD和EFCB都是長方形，AD的長是10分米，AB的長是6分

米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方分米？

解析：

10x6+2=30（平方分米）

答：圖中陰影部分的面積是30平方分米。

30【考點(diǎn)三】一半模型問題三：添加輔助線構(gòu)建一半模型。

，【方法點(diǎn)撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個(gè)面

積相等的三角形，而這兩個(gè)三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當(dāng)然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。（犬齒三角形和鋸齒三角形）

1=>

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構(gòu)造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構(gòu)造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，正方形ABCD的邊長為12厘米，長方形EFGD的長DG為16厘米，那

么長方形的寬DE為多少厘米？

E

解析：

連結(jié)AG,AADG是正方形ABCD和長方形EFGD的共同部分，4ADG既是正

方形ABCD面積的一半，也是長方形EFGD面積的一半，所以長方形EFGD的

面積等于正方形ABCD的面積。

正方形面積：12x12=144(平方厘米)

長方形的寬：DE=144-16=9(厘米)。

【對應(yīng)練習(xí)11

如圖，已知四邊形ABCD是一個(gè)長方形，四邊形AEFG是梯形，B是GF的中

點(diǎn)，已知長方形ABCD的面積是40,求梯形AEFG的面積。

G

【答案】40

【分析】如圖，連接BE,三角形ABE的底等于長方形的長，三角形ABE的高

等于長方形的長，根據(jù)三角形面積公式：三角形的面積=底義高+2=長義寬+2,

因此可得三角形ABE的面積是長方形ABCD面積的一半；根據(jù)在梯形存在的

性質(zhì)：由梯形的一個(gè)腰和另外一個(gè)腰的中點(diǎn)組成的三角形的面積是梯形面積的

一半?？傻萌切蜛BE的面積是梯形AEFG的面積的一半，即梯形AEFG的

面積是三角形ABE的面積2倍，據(jù)此解答。

【詳解】40+2x2=40

答：梯形AEFG的面積是40o

【對應(yīng)練習(xí)2]

長方形ABCD的面積是70平方厘米，梯形AFGE的頂點(diǎn)F在BC上，D是腰

EG的中點(diǎn)，試求梯形AFGE的面積。

【答案】70平方厘米

【分析】根據(jù)題意可連接DF,三角形ADF和長方形ABCD是同底等高的，因

此可知三角形ADF的面積是長方形ABCD面積的一半，因?yàn)辄c(diǎn)D是EG的中

點(diǎn)，AE平行與FG,所以三角形ADF也是梯形AFGE面積的一半，因?yàn)辄c(diǎn)D

是線段EG的中點(diǎn)，所以三角形ADE和三角形DGF的面積和就為梯形AFGE

面積的一半，即梯形的面積等于長方形的面積，據(jù)此解答即可。

【詳解】三角形ADF=70+2=35（平方厘米）

因?yàn)辄c(diǎn)D為EG的中點(diǎn)，所以三角形AED十三角形DFG=35（平方厘米）

梯形AFGE的面積：35+35=70（平方厘米）

答：梯形AFGE的面積是70平方厘米。

【點(diǎn)睛】解答此題的主要依據(jù)是三角形的面積是與其等底等高的平行四邊形的

面積的一半。

【對應(yīng)練習(xí)31

如圖，平行四邊形ABCD的面積是24平方厘米，E、F、G、H分別是AB、

BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE,那么四邊形EFGH的面積是多

少平方厘米？

解析：連結(jié)EG,則三角形HEG的面積是平行四邊形AEGD的一半，三角形FEG

的面積是平行四邊形BCGE的一半，所以四邊形EFGH的面積是平行四邊形

ABCD面積的一半。

24+2=12（平方厘米）

答：四邊形EFGH的面積是12平方厘米。

3°【考點(diǎn)四】一半模型問題四：結(jié)合中點(diǎn)構(gòu)建一半模型。

■【方法點(diǎn)撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個(gè)面

積相等的三角形，而這兩個(gè)三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當(dāng)然，

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。（犬齒三角形和鋸齒三角形）

1=>

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構(gòu)造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構(gòu)造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

已知四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接DF,BE。四邊形

BEDF的面積為6平方分米，則四邊形ABCD的面積為多少？

解析：

連結(jié)BD,則三角形ABE和三角形BDE相等，三角形BDF和三角形CDF相等,

三角形BDE的面積和三角形BDF的面積加在一起等于四邊形BEDF的面積，

即6平方分米，三角形ABD的面積和三角形BCD的面積加在一起等于四邊形

ABCD的面積，也就是四邊形BEDF面積的2倍，所以四邊形ABCD的面積為

12平方分米。

【對應(yīng)練習(xí)11

如圖，四邊形ABCD的面積是80平方厘米，其中E、F分別是AD和BC的中

點(diǎn)。已知三角形ABE的面積是15平方厘米，那么三角形CDF的面積是多少平

方厘米？

D

E

A

【答案】25平方厘米

【分析】

三角形面積=底義高+2,等底等高的三角形面積相等，如圖

連接BD,三角形ABD的面積是三角形ABE面積的2倍，用四邊形ABCD的面

積減去三角形ABD的面積，得到三角形BCD的面積，再除以2,求出三角形

CDF的面積。

【詳解】15x2=30（平方厘米）

(80-30)+2

=50+2

=25（平方厘米）

答：三角形CDF的面積是25平方厘米。

【對應(yīng)練習(xí)21

如圖所示，已知四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接DF、

BEo四邊形ABCD的面積為10,則四邊形EDFB的面積是多少？

【答案】5

【分析】如圖，連接BD

△BED是AABD面積的一半，ABDF是ABDC面積的一半，那么

S+$\BFD=5^\BAD+],^ABCD,可推出EDFB=]ABCD,據(jù)此解答即可。

【詳解】10+2=5

答：四邊形EDFB的面積是5。

【對應(yīng)練習(xí)31

如圖，正方形ABCD的邊長是10厘米，P是正方形內(nèi)的任意一點(diǎn)，E、F、G、H

分別是正方形四條邊上的中點(diǎn)，連接PE、PF、PG、PH,那么圖中陰影部分的面

積是多少平方厘米?

Aa

E

B1-----1c

解析：連結(jié)PA、PB、PC、PD,因?yàn)镋、F\G\H分別是正方形四條邊上的中

點(diǎn)，可構(gòu)造出三角形的一半模型。從而得到陰影部分的面積等于正方形面積的一

半。

10x10-2=50（平方厘米）

答：圖中陰影部分的面積是50平方厘米。

【考點(diǎn)五】一半模型問題五：在梯形中構(gòu)建一半模型。

■【方法點(diǎn)撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個(gè)面

積相等的三角形，而這兩個(gè)三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當(dāng)然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。（犬齒三角形和鋸齒三角形）

1=>

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構(gòu)造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構(gòu)造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，在梯形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，陰影三角形的面積是16平方厘米,

則梯形ABCD的面積是多少平方厘米？

解析：如下圖所示，再畫出一個(gè)與題中圖形相同的圖形，最終得到一個(gè)平行四邊

形，由一半模型可以得到陰影部分圖形的面積是平行四邊形面積的一半，那么梯

形面積就是陰影三角形面積的2倍，所以梯形的面積是16x2=32(平方厘米)。

【對應(yīng)練習(xí)11

如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，面積是400,E是DC的中點(diǎn)，求陰影

部分的面積。

【答案】200

【分析】取AB的中點(diǎn)F,連接E、F作輔助線，如圖所示:

假設(shè)梯形的上底為a,下底為d,高為h,根據(jù)三角形和梯形面積公式：三角形

面積=底、高+2,梯形面積=(上底+下底)x高一2,求出空白部分、陰影部分

與梯形的面積關(guān)系，即可解答。

【詳解】取AB的中點(diǎn)F,連接E、F作輔助線，如圖所示：

假設(shè)梯形的上底為a,下底為d,高為鼠

空白部分面積=三角形ADE面積十三角形BCE面積

a*(h+2)+2+dx(h+2)-2

=ah+2+2+dh+2-2

=(ah+dh)+2+2

=(a+d)h+2+2

梯形的面積=(a+d)h+2

所以，空白部分的面積是梯形面積的一半，則陰影部分的面積也是梯形面積的

一半。

400-2=200

答：陰影部分的面積是200。

【對應(yīng)練習(xí)21

如圖，在梯形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)。Si和S2的面積分

別是15和35,求梯形ABCD的面積。

DC

【答案】200

【分析】觀察圖形可知，三角形Si和S3等底等高，則它們的面積相等。同理

S?和S4面積相等。S1+S2=S3+S4=15+35=50,所有空白部分面積與陰影部

分面積相等，梯形ABCD的面積是50*2x2=200。

【詳解】15+35=50

50x2x2

=100x2

=200

答：梯形ABCD的面積是200。

【對應(yīng)練習(xí)31

如圖，在梯形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，S1和S2的面積分別

是5和15,求梯形ABCD的面積。（單位：厘米）

提示：過點(diǎn)0作垂線MN。

解析：

過點(diǎn)O做如圖輔助線，則梯形ABCD被分成梯形ABNM和CDMN,根據(jù)這兩

個(gè)梯形的一半模型可求得。

5x2x2+15x2x2=80（平方厘米）

答：梯形ABCD的面積是80平方厘米。

30【考點(diǎn)六】一半模型問題六：重疊等于未覆蓋。

A【方法點(diǎn)撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個(gè)面

積相等的三角形，而這兩個(gè)三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當(dāng)然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。(犬齒三角形和鋸齒三角形)

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構(gòu)造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構(gòu)造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，在長方形中有3塊面積已經(jīng)給出，求陰影部分的面積是()。

A.10B.llC.12D.13

解析：

通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)，已知三角形的面積和陰影部分圖形的面積沒有直接的聯(lián)

系，那不妨換個(gè)角度，在這個(gè)長方形中有兩個(gè)長方形一半的三角形，那么這兩

個(gè)三角形的面積相加應(yīng)該等于長方形面積，但是由于有重疊部分，兩個(gè)三角形

沒有占滿整個(gè)長方形，那么空出來的部分其實(shí)就和重疊部分面積相同，即重疊

等于未覆蓋。陰影面積=5+3+4=12,選C。

【對應(yīng)練習(xí)11

如圖，四邊形ABCD中，E,F分別是AD和BC的中點(diǎn)，三角形ABG的面積

是15,三角形DHC的面積是21,求陰影部分的面積。

【分析】因?yàn)镋,F分別是AD和BC的中點(diǎn)，那么四邊形AECF的面積是四邊

形ABCD的面積的一半，四邊形DEBF的面積是四邊形ABCD面積的一半。

設(shè)四邊形ABCD面積為S,各部分面積如圖，e+5+其=5+2,

S2+S6+S3=S^2,即岳+56+8+邑+5+號=5=岳+8+號+54+&+$6+57,所以

答：陰影部分的面積是36。

【點(diǎn)睛】解決本題時(shí)