多邊形的面積幾何模型篇之一半模型-2024-2025學年蘇教版五年級數(shù)學上冊典型例題（解析版）

2024-2025學年五年級數(shù)學上冊典型例題系列

第二單元多邊形的面積?幾何模型篇?一半模型【六大考點】

函【第一篇】專題解讀篇

目專題名稱第二單元多邊形的面積幾何模型篇?一半模型

邕專題內容本專題以一半模型為主，其中包括六種常見問題。

回總體評價★★★★★

京講解建議幾何模型篇是用來專門總結小學數(shù)學幾何模型的特別篇章，

其中大多數(shù)涉及奧數(shù)思維拓展內容，綜合性極強，難度極大，

因此，建議根據學生實際掌握情況和總體水平，選擇性講解

部分考點考題。

品考點數(shù)量六個考點。

匿【第二篇】目錄導航篇

30【考點一】一半模型問題一：犬齒模型.........................................3

v，0【考點二】一半模型問題二：鋸齒模型.........................................5

30【考點三】一半模型問題三：添加輔助線構建一半模型..........................7

【考點四】一半模型問題四：結合中點構建一半模型...........................io

30【考點五】一半模型問題五：在梯形中構建一半模型...........................13

【考點六】一半模型問題六：重疊等于未覆蓋.................................16

a【第三篇】典型例題篇

30【考點一】一半模型問題一：犬齒模型。

■【方法點撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個面

積相等的三角形，而這兩個三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。(犬齒三角形和鋸齒三角形)

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

解析：50+2=25

【對應練習11

如圖，在長方形ABCD中，試比較三角形BCE和三角形CDF的面積的大小。

解析：兩個三角形都等于長方形ABCD面積的一半。

【對應練習2]

如圖，這個平行四邊形的底是8厘米，面積是40平方厘米，它的高是

（）厘米，陰影部分的面積是（）平方厘米。

【答案】520

【分析】根據“平行四邊形的面積=底義高”，可得平行四邊形的高=面積+底，

代入數(shù)值即可求出平行四邊形的高；陰影部分是一個三角形且與平行四邊形同

底等高，根據“三角形的面積=底乂高+2”，代入數(shù)值即可求出陰影部分的面積。

【詳解】40+8=5（厘米）

8x5+2

=40+2

=20（平方厘米）

所以這個平行四邊形的底是8厘米，面積是40平方厘米，它的高是5厘米，陰

影部分的面積是20平方厘米。

【點睛】本題考查了平行四邊形的面積公式和三角形的面積公式的應用。

【對應練習31

2

如圖所示：平行四邊形的面積是24cm2,陰影部分的面積是（）cmo

ZX7

【答案】12

【分析】因為陰影部分與平行四邊形等底等高，所以陰影部分的面積是平行四

邊形面積的一半，用平行四邊形的面積除以2即可。

【詳解】24+2=12（cm2）

陰影部分的面積是12cm2。

【點睛】此題解答關鍵是明確：等底等高的平行四邊形的面積是三角形面積的

2倍。

3°【考點二】一半模型問題二：鋸齒模型。

，【方法點撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個面

積相等的三角形，而這兩個三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。(犬齒三角形和鋸齒三角形)

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，四邊形ABFE和四邊形CDEF都是長方形，AB的長是8厘米，BC的長

是5厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

解析：8X54-2=20（平方厘米）

【對應練習1】

如圖，ABCD是平行四邊形，EF與AD平行，BC長16厘米，陰影部分面積是

80平方厘米，那么BC上的高是（）厘米。

【分析】根據圖示，在平行四邊形ADFE中，3個陰影三角形面積與平行四邊

形ADFE等底等高，則3個陰影三角形面積和是平行四邊形ADFE面積的一

半。在平行四邊形EFCB中，陰影部分三角形面積與平行四邊形EFBC等底等

高，則三角形陰影面積是平行四邊形EFCB面積的一半。綜上所述，陰影部分

面積是平行四邊形ABCD的面積的一半，平行四邊形ABCD的面積就是160平

方厘米，平行四邊形底BC=16厘米，根據平行四邊形的高=面積+底，求出

BC上的高。

【詳解】80x2=160（平方厘米）

160-16=10（厘米）

BC上的高是10厘米。

【對應練習2]

如下圖，已知長方形N2C。的面積是180cm2,陰影部分的面積是

2

（）cmo

【答案】90

【分析】根據題意可知，長方形ABCD中的陰影部分是四個三角形的面積，四

個三角形的底的和與長方形的長相等，四個三角形的高與長方形的寬相等，所

以長方形ABCD中陰影部分的面積是長方形面積的一半，據此解答。

【詳解】180+2=90（cm2）

如下圖，已知長方形ABCD的面積是180cm2,陰影部分的面積是90cm2。

【點睛】明確等底等高的三角形面積與長方形面積之間的關系是解答本題的關

鍵。

【對應練習3]

如圖，四邊形AEFD和EFCB都是長方形，AD的長是10分米，AB的長是6分

米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方分米？

解析：

10x6+2=30（平方分米）

答：圖中陰影部分的面積是30平方分米。

30【考點三】一半模型問題三：添加輔助線構建一半模型。

，【方法點撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個面

積相等的三角形，而這兩個三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。（犬齒三角形和鋸齒三角形）

1=>

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，正方形ABCD的邊長為12厘米，長方形EFGD的長DG為16厘米，那

么長方形的寬DE為多少厘米？

E

解析：

連結AG,AADG是正方形ABCD和長方形EFGD的共同部分，4ADG既是正

方形ABCD面積的一半，也是長方形EFGD面積的一半，所以長方形EFGD的

面積等于正方形ABCD的面積。

正方形面積：12x12=144(平方厘米)

長方形的寬：DE=144-16=9(厘米)。

【對應練習11

如圖，已知四邊形ABCD是一個長方形，四邊形AEFG是梯形，B是GF的中

點，已知長方形ABCD的面積是40,求梯形AEFG的面積。

G

【答案】40

【分析】如圖，連接BE,三角形ABE的底等于長方形的長，三角形ABE的高

等于長方形的長，根據三角形面積公式：三角形的面積=底義高+2=長義寬+2,

因此可得三角形ABE的面積是長方形ABCD面積的一半；根據在梯形存在的

性質：由梯形的一個腰和另外一個腰的中點組成的三角形的面積是梯形面積的

一半。可得三角形ABE的面積是梯形AEFG的面積的一半，即梯形AEFG的

面積是三角形ABE的面積2倍，據此解答。

【詳解】40+2x2=40

答：梯形AEFG的面積是40o

【對應練習2]

長方形ABCD的面積是70平方厘米，梯形AFGE的頂點F在BC上，D是腰

EG的中點，試求梯形AFGE的面積。

【答案】70平方厘米

【分析】根據題意可連接DF,三角形ADF和長方形ABCD是同底等高的，因

此可知三角形ADF的面積是長方形ABCD面積的一半，因為點D是EG的中

點，AE平行與FG,所以三角形ADF也是梯形AFGE面積的一半，因為點D

是線段EG的中點，所以三角形ADE和三角形DGF的面積和就為梯形AFGE

面積的一半，即梯形的面積等于長方形的面積，據此解答即可。

【詳解】三角形ADF=70+2=35（平方厘米）

因為點D為EG的中點，所以三角形AED十三角形DFG=35（平方厘米）

梯形AFGE的面積：35+35=70（平方厘米）

答：梯形AFGE的面積是70平方厘米。

【點睛】解答此題的主要依據是三角形的面積是與其等底等高的平行四邊形的

面積的一半。

【對應練習31

如圖，平行四邊形ABCD的面積是24平方厘米，E、F、G、H分別是AB、

BC、CD、DA的中點，連接EF、FG、GH、HE,那么四邊形EFGH的面積是多

少平方厘米？

解析：連結EG,則三角形HEG的面積是平行四邊形AEGD的一半，三角形FEG

的面積是平行四邊形BCGE的一半，所以四邊形EFGH的面積是平行四邊形

ABCD面積的一半。

24+2=12（平方厘米）

答：四邊形EFGH的面積是12平方厘米。

3°【考點四】一半模型問題四：結合中點構建一半模型。

■【方法點撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個面

積相等的三角形，而這兩個三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當然，

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。（犬齒三角形和鋸齒三角形）

1=>

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

已知四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，連接DF,BE。四邊形

BEDF的面積為6平方分米，則四邊形ABCD的面積為多少？

解析：

連結BD,則三角形ABE和三角形BDE相等，三角形BDF和三角形CDF相等,

三角形BDE的面積和三角形BDF的面積加在一起等于四邊形BEDF的面積，

即6平方分米，三角形ABD的面積和三角形BCD的面積加在一起等于四邊形

ABCD的面積，也就是四邊形BEDF面積的2倍，所以四邊形ABCD的面積為

12平方分米。

【對應練習11

如圖，四邊形ABCD的面積是80平方厘米，其中E、F分別是AD和BC的中

點。已知三角形ABE的面積是15平方厘米，那么三角形CDF的面積是多少平

方厘米？

D

E

A

【答案】25平方厘米

【分析】

三角形面積=底義高+2,等底等高的三角形面積相等，如圖

連接BD,三角形ABD的面積是三角形ABE面積的2倍，用四邊形ABCD的面

積減去三角形ABD的面積，得到三角形BCD的面積，再除以2,求出三角形

CDF的面積。

【詳解】15x2=30（平方厘米）

(80-30)+2

=50+2

=25（平方厘米）

答：三角形CDF的面積是25平方厘米。

【對應練習21

如圖所示，已知四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，連接DF、

BEo四邊形ABCD的面積為10,則四邊形EDFB的面積是多少？

【答案】5

【分析】如圖，連接BD

△BED是AABD面積的一半，ABDF是ABDC面積的一半，那么

S+$\BFD=5^\BAD+],^ABCD,可推出EDFB=]ABCD,據此解答即可。

【詳解】10+2=5

答：四邊形EDFB的面積是5。

【對應練習31

如圖，正方形ABCD的邊長是10厘米，P是正方形內的任意一點，E、F、G、H

分別是正方形四條邊上的中點，連接PE、PF、PG、PH,那么圖中陰影部分的面

積是多少平方厘米?

Aa

E

B1-----1c

解析：連結PA、PB、PC、PD,因為E、F\G\H分別是正方形四條邊上的中

點，可構造出三角形的一半模型。從而得到陰影部分的面積等于正方形面積的一

半。

10x10-2=50（平方厘米）

答：圖中陰影部分的面積是50平方厘米。

【考點五】一半模型問題五：在梯形中構建一半模型。

■【方法點撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個面

積相等的三角形，而這兩個三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。（犬齒三角形和鋸齒三角形）

1=>

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，在梯形ABCD中，E是AB的中點，陰影三角形的面積是16平方厘米,

則梯形ABCD的面積是多少平方厘米？

解析：如下圖所示，再畫出一個與題中圖形相同的圖形，最終得到一個平行四邊

形，由一半模型可以得到陰影部分圖形的面積是平行四邊形面積的一半，那么梯

形面積就是陰影三角形面積的2倍，所以梯形的面積是16x2=32(平方厘米)。

【對應練習11

如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，面積是400,E是DC的中點，求陰影

部分的面積。

【答案】200

【分析】取AB的中點F,連接E、F作輔助線，如圖所示:

假設梯形的上底為a,下底為d,高為h,根據三角形和梯形面積公式：三角形

面積=底、高+2,梯形面積=(上底+下底)x高一2,求出空白部分、陰影部分

與梯形的面積關系，即可解答。

【詳解】取AB的中點F,連接E、F作輔助線，如圖所示：

假設梯形的上底為a,下底為d,高為鼠

空白部分面積=三角形ADE面積十三角形BCE面積

a*(h+2)+2+dx(h+2)-2

=ah+2+2+dh+2-2

=(ah+dh)+2+2

=(a+d)h+2+2

梯形的面積=(a+d)h+2

所以，空白部分的面積是梯形面積的一半，則陰影部分的面積也是梯形面積的

一半。

400-2=200

答：陰影部分的面積是200。

【對應練習21

如圖，在梯形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BC的中點。Si和S2的面積分

別是15和35,求梯形ABCD的面積。

DC

【答案】200

【分析】觀察圖形可知，三角形Si和S3等底等高，則它們的面積相等。同理

S?和S4面積相等。S1+S2=S3+S4=15+35=50,所有空白部分面積與陰影部

分面積相等，梯形ABCD的面積是50*2x2=200。

【詳解】15+35=50

50x2x2

=100x2

=200

答：梯形ABCD的面積是200。

【對應練習31

如圖，在梯形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，S1和S2的面積分別

是5和15,求梯形ABCD的面積。（單位：厘米）

提示：過點0作垂線MN。

解析：

過點O做如圖輔助線，則梯形ABCD被分成梯形ABNM和CDMN,根據這兩

個梯形的一半模型可求得。

5x2x2+15x2x2=80（平方厘米）

答：梯形ABCD的面積是80平方厘米。

30【考點六】一半模型問題六：重疊等于未覆蓋。

A【方法點撥】

1.一半模型。

對于長方形或平行四邊形來說，最簡單的一半就是連接對角線，可以得到兩個面

積相等的三角形，而這兩個三角形分別是長方形或平行四邊形面積的一半。當然,

通過等積變形還可以得到很多很多一半，最為常見的就是長方形中的一座山的樣

子的三角形，如圖，常見的一半模型。(犬齒三角形和鋸齒三角形)

2.解題方法。

(1)三角形的面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半。

(2)鋸齒三角形的底之和等于長方形的長，高相等且都等于長方形的寬，則它

們的面積之和等于長方形面積的一半。

(3)作輔助線構造長方形、正方形的一半模型解決問題。

(4)輔助線構造任意四邊形的一半模型。

【典型例題】

如圖，在長方形中有3塊面積已經給出，求陰影部分的面積是()。

A.10B.llC.12D.13

解析：

通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)，已知三角形的面積和陰影部分圖形的面積沒有直接的聯(lián)

系，那不妨換個角度，在這個長方形中有兩個長方形一半的三角形，那么這兩

個三角形的面積相加應該等于長方形面積，但是由于有重疊部分，兩個三角形

沒有占滿整個長方形，那么空出來的部分其實就和重疊部分面積相同，即重疊

等于未覆蓋。陰影面積=5+3+4=12,選C。

【對應練習11

如圖，四邊形ABCD中，E,F分別是AD和BC的中點，三角形ABG的面積

是15,三角形DHC的面積是21,求陰影部分的面積。

【分析】因為E,F分別是AD和BC的中點，那么四邊形AECF的面積是四邊

形ABCD的面積的一半，四邊形DEBF的面積是四邊形ABCD面積的一半。

設四邊形ABCD面積為S,各部分面積如圖，e+5+其=5+2,

S2+S6+S3=S^2,即岳+56+8+邑+5+號=5=岳+8+號+54+&+$6+57,所以

答：陰影部分的面積是36。

【點睛】解決本題時