等式與不等式綜合（含基本不等式）（教師卷）- 2015-2024年高考數學試題分項匯編（全國適用）

專題04等式導系等式稼香（含基洋茶等式）

十年考情-探規(guī)律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1不等式的1.梳理等式的性質，理解不等式

2019?全國卷、2018?全國卷、2017?山東卷、2016?浙

性質的概念，掌握不等式的性質，能

江卷、2016?北京卷、2016?全國卷、2015?浙江卷

（10年5考）夠利用不等式的性質比較不等

2024?全國新I卷、2024?上海卷、2023?全國新I式的大小關系

卷、2.理解、掌握基本不等式及其

考點2解不等式

2020?全國卷、2019?全國卷、2019?天津卷、2018?全推論，會使用應用條件：“一正，

（10年10考）

國卷、2017?天津卷、2015?江蘇卷、二定，三相等”，能正確處理常

2015?廣東卷數“1”求最值，能用拼湊等思想

合理使用基本不等式求最值，能

熟練掌握基本不等式的應用，應

用于函數和解析幾何的求解過

考點3基本不等2024?北京卷、2021?全國乙卷、2021?全國新I卷程中求最值

式2020?全國卷、2015?四川卷、2015?陜西卷3.本節(jié)內容是新高考卷的?？?/p>

（10年4考）2015?湖南卷、2015?福建卷內容，一般會結合條件等式考查

拼湊思想來使用基本不等式求

最值，或者和其他版塊關聯(lián)，難

度中等偏上。

分考點二精準練二

考點01不等式的性質

1.（2019?全國?高考真題）若〃泌，則

A.In（?-/?）>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.14z|>|Z?|

【答案】C

【分析】本題也可用直接法，因為。>6,所以當。-6=1時，ln(a-6)=o,知A錯，因為y=3"是

增函數，所以3">3〃，故B錯；因為哥函數y=V是增函數，a>b,所以03>凡知C正確；取。=1/=-2,

滿足a>b,1=|a|<|Z?|=2,知D錯.

【詳解】取。=2/=1,滿足“>8，ln(a->)=O,知A錯，排除A；因為9=3">3〃=3,知B錯，排除B；

取。=1,b=—2,滿足。>/1=同<例=2,知D錯，排除D,因為塞函數y=d是增函數，。>方，所以/>"，

故選C.

【點睛】本題主要考查對數函數性質、指數函數性質、塞函數性質及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算

能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

2.(2018?全國?高考真題)設。=logo,20.3,Z?=log20.3,貝?。?/p>

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a-\-b<0<abD.ab<0<a-\-b

【答案】B

【詳解】分析：求出工=log0.3°2,：=/og0.32,得到工+工的范圍，進而可得結果.

abab

詳解：.a=log0.203,Z?=/og2°-3

.-.-=log0.302,-=/og0.32

ab

11…

+￡=/fogo3().4

ab

.?.oJ+Ll,即0〈巴心<1

abab

又.a>0,b<0

/.ab<0BPab<a+b<0

故選B.

點睛：本題主要考查對數的運算和不等式，屬于中檔題.

3.(2017?山東?高考真題)若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是

lb....b[/7、1

A.a+—<—<\og2(a+b)B.—<log2{a+b)<a+—

11/7、匕

C.a+—<log2(6Z+Z?)<^7D.log?(Q+b)<Q+習<

【答案】B

所以a>1,0<Z?<1,，〈1,log2(〃+log2y[ab=1,

【詳解】因為a>Z?>0,且必=1,2

設〃x)=2x-x,(x>1),則/,(x)=2Aln2-l>0,所以/(x)=2r-%,(%>1)單調遞增,

1]]

月f以2人>Q>Q+匕QH>log2(〃+力，月f以B.

bb

【名師點睛】比較幕或對數值的大小，若幕的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調

性進行比較，若底數不同，可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數函數、

對數函數的性質及基本不等式作出判斷.

4.(2016?浙江?高考真題)已知a,b>0,且awl,"1.若log。b>l,則

A.(?-W-l)<0

B.(a-l)(a-t>)>0

C.口電-皿礴?一:涮可麗

D.(b-V)(b-a)>0

【答案】D

【詳解】試題分析：bg,b>logfla=l,

當時，b>a>l,a—l>0,b—a>0,b—l>0,a—b<0,

:.(a-V)(b—1)>0,(a—l)(a-b)B，g-I)(b-a))0.

當Ovavl時，0<Z?<tz<1,—1<0,Z?—tz<0?Z?—1(0,a—Z?)0,

二.(a—1)(/?—1)>0,(a—1)(〃—6)(0,(Z7—1)(6—〃))0.觀察各選項可知選D.

【考點】對數函數的性質.

【易錯點睛】在解不等式log*>l時，一定要注意對，分為和兩種情況進行討論，否則很容易

出現錯誤.

5.(2016?北京,高考真題)已知羽ywH,且則

11八

A.---->0

%y

B.sinx-sin>0

c.(|r-(|y<0

D.lnx+lny>0

【答案】C

【詳解】試題分析：A：由X>J>0,得即L-LvO,A不正確；

xyxy

B：由X>>>0及正弦函數的單調性，可知曲-曲J%：訓?不一定成立；

C：由Ovlvl，x>y>0,得代廠；：：《日淋，故，，獷旗:;w，<：喇，c正確；

D：由X>)>0,得xy>0,但xy的值不一定大于1,故In元+lny=ln孫>0不一定成立，故選C.

【考點】函數性質

【名師點睛】函數單調性的判斷：①常用的方法有：定義法、導數法、圖象法及復合函數法.

⑵兩個增(減)函數的和仍為增(減)函數；一個增(減)函數與一個減(增)函數的差是增(減)函數；

⑶奇函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單

調性.

6.（2016?全國?高考真題）若a>b>l,0<c<l,則

cccc

A.a<bB.ab<baC.a\ogbc<b\ogacD.log“c<l0gz.c

【答案】C

【詳解】試題分析：用特殊值法，令a=3,b=2,c=g得I.!，選項A錯誤，3x2^>2x3^選項B

錯誤，log3g>log2；,選項D錯誤，

lgfllgbha

B^alogf,c-Z>logac=lgc-（-^---^-）=lgc-（^）,a>b>\:A<b<a<a

IgbIgaIgMga

lana-lo"

&—>0Ovcvl.,.lgccO.,.olog-vMogaC選項C正確，故選C.

Igblga

【考點】指數函數與對數函數的性質

【名師點睛】比較累或對數值的大小，若累的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數的單

調性進行比較；若底數不同，可考慮利用中間量進行比較.

7.（2015?浙江■高考真題）設a,b是實數，貝『％+5>0"是"必>0"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】本題采用特殊值法：當。=3*=-1時，a+b>0,Bab<0,故是不充分條件；當。=-3/=-1時,

ab>0,但a+b<0,故是不必要條件.所以“"+b>0"是"">0"的既不充分也不必要條件.故選D.

考點：1.充分條件、必要條件；2.不等式的性質.

考點02解不等式

1.（2024?全國新I卷?高考真題）已知集合4={3-5<尤3<5},3={-3,-1,0,2,3},則AB=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因為A={x|-正〈尤〈狗},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1V為<2,

從而A3={-1,0}.

故選：A.

2.（2024?上海?高考真題）已知xsR,貝!J不等式2%—3<0的解集為.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/一203=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程尤2—2元一3=0的解為x=-l或x=3,

故不等式爐-2%-3<0的解集為l<x<3},

故答案為：{x|-l<x<3}.

3.(2023?全國新I卷?高考真題)已知集合/={-2,—1,0,1,2},7V={x|x2-x-6>0),則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據交集的運算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】方法一：因為N={x,2-x—620}=(e,-2]U[3，+8),而“={-2,-1,0,1,2},

所以AfcN={—2}.

故選：C.

方法二：因為河={-2,-1,0,1,2},將-2,7,0,1,2代入不等式尤2一工一620,只有一2使不等式成立，所以

A/cN={-2}.

故選：C.

4.(2020?全國?高考真題)已知集合4=畫意-3工-4<0},8=1,1,3,5},則，B=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合4之后利用交集中元素的特征求得Ac3,得到結果.

【詳解】由V-Bx-dcO解得-l<x<4,

所以A={x|-l<x<4},

又因為3={-4」,3,5},所以AB={1,3},

故選：D.

【點睛】本題考查的是有關集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

運算，屬于基礎題目.

5.(2019?全國?高考真題)設集合4={X|N-5X+6>0},B={X|X-1<0},則ACIB=

A.卜8,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【詳解】由題意得，4或弓3},3=門卜<1},則AcB={x|x<l}.故選A.

【點睛】本題考點為集合的運算，為基礎題目.

6.(2019?天津?高考真題)設xeR,使不等式3f+x-2<0成立的尤的取值范圍為.

【答案】(-1,：2)

【分析】通過因式分解，解不等式.

【詳解】3X2+X-2<0,

gp(x+l)(3x-2)<0,

2

即一1<x<—,

3

2

故1的取值范圍是(-1,§).

【點睛】解一元二次不等式的步驟：⑴將二次項系數化為正數；⑵解相應的一元二次方程；⑶根據一元二

次方程的根，結合不等號的方向畫圖；⑷寫出不等式的解集.容易出現的錯誤有：①未將二次項系數化正，

對應錯標準形式；②解方程出錯；③結果未按要求寫成集合.

7.(2018?全國?高考真題)已知集合4=卜,2-.*-2>0},則=

A.{x|-l<x<2}B.|x|-l<x<2}

C.{x|x<-1}3{X|X〉2}D.{x|尤W-l}u{x|xN2}

【答案】B

【詳解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出/一工一2>0的解集，從而求得集合A,之后根據集

合補集中元素的特征，求得結果.

詳解：解不等式X?-尤-2>0得x<-l或%>2,

所以A={x[x<-lMr>2},

所以可以求得CRA={X|TWXV2},故選B.

點睛：該題考查的是有關一元二次不等式的解法以及集合的補集的求解問題，在解題的過程中，需要明確

一元二次不等式的解集的形式以及補集中元素的特征，從而求得結果.

x2—x+3,x<1,

X

8.(2017?天津?高考真題)已知函數/(%)=2設若關于x的不等式/(%注己+。|在R上

x+—,x>l.2

恒成立，則。的取值范圍是

47473939

A.[——,2]B.C.[-2^3I-,2]D.[-2Vr3,—]

1616lo16

【答案】A

vY

【詳解】不等式/食”5+。為-/（無）q+a4/（x）（*）,

乙乙

YX3

當xWl時，（*）式即為一f+%—3K,+aV]?—兀+3,—X2+—-3<?<x2--x+3,

又一小+彳-3=一（%—；）2-￡<一￥（%=；時取等號），

2416164

%2,3（X_|）^12>12（》=1時取等號），

2+3=416164

4739

所以---a<—,

〃1616

7r?3?r9

當工>1時，（*）式為一％4—a<x-\—,—x<a<—I—,

x2x2x2x

又-1x-2=-（1%+2”一24（當x=3區(qū)時取等號），

2x2x3

1+222、浮=2（當X=2時取等號），

2xV2x

所以-2君

、47

綜上—*工?！?.故選A.

16

【考點】不等式、恒成立問題

【名師點睛】首先滿足〃%注W+4轉化為-/（%）-彳工。工〃%）-2去解決，由于涉及分段函數問題

乙乙乙

要遵循分段處理原則，分別對尤的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據X的范圍，利用

極端原理，求出對應的。的范圍.

9.（2015?江蘇?高考真題）不等式2，公<4的解集為.

【答案】（-1，2）.

【詳解】試題分析：本題是一個指數型函數式的大小比較，這種題目需要先把底數化為相同的形式，即底

數化為2,根據函數是一個遞增函數，寫出指數之間的關系得到未知數的范圍.

???盧<4，

.-.2?-"<22,

?：y=:1是一個遞增函數；

二.￡?/?<23；

故答案為想―工"：

考點：指數函數的單調性和特殊性

10.（2015?廣東?高考真題）不等式一元2一3*+4>0的解集為.（用區(qū)間表示）

【答案】（<1）

【詳解】由-丁-3尤+4<0得：-4<x<l,所以不等式-Y_3x+4>0的解集為（Tl）,所以答案應填：（T,1）.

考點：一元二次不等式.

考點03基本不等式

1.（2024?北京?高考真題）己知（XQ1）,伍,%）是函數y=2'的圖象上兩個不同的點，貝U（）

A.log2211AB.iog,A±A>A±^

222-22

,y,+y,,y,+y,

C.log2<Xj+x2D.log2->x,+x2

【答案】B

【分析】根據指數函數和對數函數的單調性結合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設王<%,因為函數y=2*是增函數，所以0<2為<2*,即。<%<為，

X

0l+9數/------』+%2y,IV再+巧

對于選項AB：可得>與他=2,gpA±A>22>o,

22

Xj+%2

根據函數y=log2尤是增函數，所以10g2七衛(wèi)>log22T=七三，故B正確，A錯誤；

對于選項D：例如玉=0,兀2=1，則M=1，%=2,

可得k）g2"^=log2Te（。/），即logz2^jvlnxi+xz，故D錯誤；

對于選項C：例如無1=-1,%=-2,則%=；,%=；,

可得log2214A=log?：=log23-3e（-2,-l）,即log2A^21>_3=%+/,故c錯誤，

2o2

故選：B.

2.（2021?全國乙卷?高考真題）下列函數中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+r

■|sinx\

4

C.y=2'v+22-XD.y=lnx+——

Inx

【答案】C

【分析】根據二次函數的性質可判斷A選項不符合題意，再根據基本不等式"一正二定三相等"，即可得出B,D

不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當且僅當x=-l時取等號，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對于B,因為0<同11目41,y=Mnx|+舟^24=4,當且僅當卜inx|=2時取等號，等號取不到，所以其

最小值不為4,B不符合題意；

4f—

對于C,因為函數定義域為R,而2'>0,y=2'+22T=2工+=22/=4,當且僅當丁=2，即x=l時取

等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=lnx+-^—,函數定義域為（0,1）,而InxeR且InxwO,如當lnx=-l,v=-5,D不符

Inx

合題意.

故選：C.

【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確"一正二定三相等"的意義，再結合有關函數的性

質即可解出.

22

3.（202”全國新I卷?高考真題）已知小總是橢圓C：/+亍=1的兩個焦點，點M在C上，則|岬卜|叫|

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本題通過利用橢圓定義得到|崢|+|陛|=2。=6,借助基本不等式阿/訃眼閶，幽羋寸|即

可得到答案.

【詳解】由題，/=9/2=4,^\MFl\+\MF2\=2a=6,

所以|叫卜眼鳥歸=9（當且僅當閡=|咋|=3時，等號成立）.

故選：C.

【點睛】

22

4.（2020?全國?高考真題）設。為坐標原點，直線x=a與雙曲線。=-夫=1（“>0,10）的兩條漸近線分別交

ab

于D,E兩點,若“犯的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】因為。［-1=1（〃>08>0）,可得雙曲線的漸近線方程是y=±2x,與直線彳=。聯(lián)立方程求得

aba

E兩點坐標，即可求得比。I,根據AODE的面積為8,可得而值，根據2c=結合均值不等式，

即可求得答案.

【詳解1C:——南=1(。>0,Z?>0)

b

???雙曲線的漸近線方程是y=±-x

a

1?直線x=a與雙曲線己±-[=1(“>0力>。)的兩條漸近線分別交于。，E兩點

ab

不妨設。為在第一象限，E在第四象限

x=a

聯(lián)立|x=a

b，解得

y=-xy=b

、a

故D(a,b)

x-a(

\x=a

聯(lián)立b，解得

y=——x[y=~b7

Ia

故E(a,—b)

\ED\=2b

'的面積為：S△四=%2A="=8

22

雙曲線C:—z--=l(a>0,b>0)

a"b"

-■?其焦距為2c=2da2=2屈=8

當且僅當a=6=2&取等號

，C的焦距的最小值：8

故選：B.

【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

5.(2015?四川?高考真題)如果函數〃彳)=；(加-2)尤2+(〃_8)尤+1(m20,〃20)在區(qū)間；,2上單調遞減，

則mn的最大值為

81

A.16B.18C.25D.——

2

【答案】B

〃一8九一8

【詳解】加。2時，拋物線的對稱軸為％=——三.據題意，當相>2時，——^22即2根+〃(12.

m—2m-2