復數(shù) （分層訓練）（解析版）-2025年高考數(shù)學一輪復習（新高考專用）

第05講復數(shù)（分層精練）

A夯實基礎

一、單選題

1.（2024下?廣東?高三校聯(lián)考開學考試）（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算求解即可.

【詳解】（3+2i）（2-2i）=6-6i+4i-4i2=10-2i.

故選：D

2.（2024下?重慶?高三重慶八中?？奸_學考試）若復數(shù)z=a2+i（a—l+i）是純虛數(shù)，則實數(shù)

a=（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】利用復數(shù)的定義及乘法法則計算即可.

【詳解】由z=a?+i（a—l+i）=a?—l+（a—l）i,

根據(jù)題意可知卜二1=>a=-L

故選：B

3.（2024?吉林延邊?統(tǒng)考一模）已知復數(shù)z滿足（l+i）z=3+5i（i是虛數(shù)單位），則目=（）

A.V15B.4C.歷D.5

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z,再利用模長公式計算即可.

,、3+5i（3+5i）（l-i）

【詳解】因為（l+i）z=3+5i,所以7=0='（［+"|；_1,=4+以

所以|z|=G7F=a.

故選:C.

4.（2024上?山東青島?高三統(tǒng)考期末）復數(shù)z=a+i（QER,i為虛數(shù)單位），N是z的共

輾復數(shù)，若（z+l）（N+l）=l,則。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由共舸復數(shù)的概念以及復數(shù)的乘法運算可得結(jié)果.

【詳解】因為z=a+i,所以5=a-i,

(z+l)(z+1)=(a+l+i)(o!+l—i)=(?+1)-+1=1,

解得＜2=-l,

故選：B.

5.(2024下?山東?高三山東省實驗中學校聯(lián)考開學考試)已知復數(shù)

z=-l+i,z-az=-6+&i(a,Z?eR),則6=()

A.-5B.-4C.-3D.-1

【答案】B

【分析】利用復數(shù)相等的條件得到方程組，求出答案.

【詳解】(-L+i)—a(-l—i)=-6+為，故a—l+(l+a)i=-6+歷，

[〃-1=-6\ct——5

所以心，解得7/

[l+a=b[b=-4

故選：B

6.(2024下?云南紅河?高二開遠市第一中學校?？奸_學考試)已知復數(shù)z滿足(2-i)z=2,

則z在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】利用復數(shù)的除法法則得到z=手，得到z在復平面內(nèi)對應的點坐標，得到答案.

22（2+i）4+2i4+2i

【詳解】7^-（2-i）（2+i）-4-i2-5

42

故z在復平面內(nèi)對應的點坐標為,位于第一象限.

555

故選：A

7.(2024?山西晉城?統(tǒng)考一模)設z在復平面內(nèi)對應的點為(1,-2),則工7在復平面內(nèi)對應

Z+1

的點為()

A.

C.

【答案】C

【分析】利用復數(shù)運算法則化簡二即可求解.

【詳解】依題意得z=l-2i,

"z2_l+2i_(l+2i)(l+i)_-l+3i_13.

所以-----=------------=-------=1—1

z+i1-i(l-i)(l+i)222

則三在復平面內(nèi)對應的點為J1/1.

z+i\2

故選：C

8.（2024下?江西?高三校聯(lián)考開學考試）已知復數(shù)z=a+bi（a,beR）.且|2-i-z|=l,則詈

的取值范圍為()

--3-x/3-3+V3

A.----------,----------

44

[1-731+6

4，4

【答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，得到復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z的軌跡是以（2,-1）為圓心,

1為半徑的圓C,得到圓的方程（a-2）2+（b+l）2=l,再由史］=鋁+1,結(jié)合組的幾何

意義為過圓C上的點與定點A的直線/的斜率左，利用直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式，

即可求解.

【詳解】由復數(shù)z滿足|2-i-z|=l,即為|z-2+，=1,

根據(jù)復數(shù)的幾何意義，可得復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z（4,》）的軌跡是以（2,-1）為圓心，1

為半徑的圓C,即圓C:（a-2）2+S+l）2=l,

如圖所不，=7+1，

Q+1Q+1

又由U的幾何意義為過圓C上的點與定點A（-U）的直線/的斜率左,

直線/的方程為以一人+女+1=0,

|34+2|

由題意可知，圓心C到直線/的距離dWl,BPS=^<1,

A/V+1

解得土立V左V士在，即土立工絲_<士避，

444a+14

又由上q=B+i,可得?士4*/+上.

a+1a+14a+14

故選：C.

9.（2024上?河南南陽?高三統(tǒng)考期末）設復數(shù)z=-g-*i的共輾復數(shù)為1，則下列結(jié)論正

確的有（）

_2%..2〃z1

A.z=cos---F1sin—B.一7二一

33z22

Z-

c.-=1D.Z2+Z2=2

z

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共輾復數(shù)的概念，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算法則，即可

求解.

【詳解】對于A,z=--+^i=cos—+isin—,故A正確;

2233

z

對于B,了故B錯誤;

對于C,=1,故C正確;

對于D,^ftUz2+z2=-l

故D錯誤.

故選：AC

10.（2024上?山東日照?高三統(tǒng)考期末）設z為復數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有

()

A.若zwR,則z=zB.若Z2?R,貝1JzeR

C.若(l+i)z=l—i,則|z|=lD.若z?+1=0,則z=i

【答案】AC

【分析】利用共甄復數(shù)的定義可判斷A選項；利用特殊值法可判斷B選項；利用復數(shù)的除

法化簡復數(shù)z,利用復數(shù)的模長公式可判斷C選項；解方程z2+l=0,可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，若zeR,貝A對；

對于B選項，若Z?￡R,不妨取z=i,則z2=-l￡R,但z^R,B錯；

對于C選項，若(l+i)z=l—i,則=.、=-i,故|z|=l,c對；

1+1

對于D選項，若z2+l=0,則z2=-l，解得z=±i,D錯.

故選：AC.

三、填空題

11.(2024下?廣東深圳?高三深圳中學校考開學考試)設aeR,若復數(shù)(q-2i)(2+i)在復

平面內(nèi)對應的點位于虛軸上，則.

【答案】T

【分析】由復數(shù)的乘法運算結(jié)合復數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】(a-2i)(2+i)=2a+ai—4i+2=2a+2+(a-4)i,

復數(shù)(a-2i)(2+i)在復平面內(nèi)對應的點為(2a+2,a-4),

所以2a+2=0,解得：。=-1.

故答案為：-1.

12.(2024上?全國?高三統(tǒng)考競賽)設z=(2+i)2-(l+2i))則|z+8i|=.

【答案】10

【分析】由復數(shù)四則運算以及模的運算公式即可求解.

【詳解】由題意z=(2+i)2-(l+2i)2=(3+4i)-(-3+4i)=6,所以

|z+8i|=|6+8i|=736+64=10.

故答案為：10.

四、解答題

13.(2024上?北京房山?高二統(tǒng)考期末)已知復數(shù)z=l-2i.

⑴求|z|；

(2)若Z]=-——,求Z]；

3+41

⑶若%|=6,且zz?是純虛數(shù)，求zZ.

【答案】⑴指

⑶z?=2-i或z?=-2+i

【分析】（1）根據(jù)模的計算公式直接求解；

（2）利用復數(shù)的除法進行計算；

（3）設4=°+4，根據(jù)條件列方程求解即可.

【詳解】（1）|Z|=#+（_2）2=J；

zl-2i（l-2i）（3-4i）3-4i-6i+8i2-5-10i12.

）13+4i3+4i（3+4i）（3-4i）32-（4i）2555，

（3）設Z2=笠+初,

22

則|z2|=y/a+b=#，所以。之+/=5（D

zz2=（l-2i）（〃+歷）=（Q+2b）+（b-2a）i,

因為ZZ2是純虛數(shù)，所以a+2b=0力—2aw0②

[Q=2\a=—2

由①②聯(lián)立，解得八I或八I

[〃=-1Ib=I.

所以z?=2-i或Z2=-2+i.

14.（2024?全國?高一假期作業(yè)）己知z為復數(shù)，z+2i和二均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2-1

⑴求復數(shù)z和閡；

17

（2）若4=三+—-——不在第四象限，求機的取值范圍.

m—1m+2

【答案】（l）z=4—2i；Iz|=26

⑵-Vu4

【分析】（1）設z=a+歷（a,beR）,依據(jù)題設，建立方程求出。力,即可求得z,再求其模;

4m-3?

------>0

（2）先求出％=4竺M2一—3+‘2m一—3，再根據(jù)題意建立不等式組丁一:求解即可.

m—\m+23<0

、m+2

【詳解】（1）設2=。+歷（a,Z?￡R）,則z