復(fù)數(shù)（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第05講復(fù)數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................4

高頻考點一：復(fù)數(shù)的概念..........................................4

高頻考點二：復(fù)數(shù)的幾何意義......................................6

高頻考點三：復(fù)數(shù)分類............................................9

高頻考點四：復(fù)數(shù)模..............................................13

高頻考點五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù)z=a+bi15

高頻考點六：復(fù)數(shù)的四則運算.....................................17

高頻考點七：共拆復(fù)數(shù)............................................19

第四部分：新定義題(解答題)......................................21

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、復(fù)數(shù)的概念

我們把形如初，。/eR的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中，叫做虛數(shù)單位,滿足片=-1,全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合

C=｛a+bi\a,b&R｝叫做復(fù)數(shù)集.

復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi,a,beR,其中的a與匕分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛

部.

2、復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集。=｛。+初I。力eR｝中任取兩個數(shù)。+初，c+di,(a,b,c,de7?),我們規(guī)定

\a=c

a+bi=c+dio<.

b=d

3、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)。+初(a,AeR),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=5=0時，它是

實數(shù)0；當(dāng)心70時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)。=0且時，它叫做純虛數(shù).這樣，復(fù)數(shù)

z=a+初(a,beR)可以分類如下:

'實數(shù)(6=0)

復(fù)數(shù)'純虛數(shù)(a=0)

虛數(shù)(6w0)<

非純虛數(shù)(awO)

4、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的幾何意義一一與點對應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)<---對應(yīng).復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,Z?)

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義一一與向量對應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)z=a+應(yīng)(a力eR):一一對應(yīng)，平面向量9=(a,6)

5、復(fù)數(shù)的模

向量無的模叫做復(fù)數(shù)z=a+〃a/eR)的模，記為|z|或+

公式：|zHa+4l=Ja2+/,其中

復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+應(yīng)在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z(a,?到原點的距離；

特別的，5=0時，復(fù)數(shù)z=a+應(yīng)是一個實數(shù)，它的模就等于IaI(a的絕對值).

6、共軌復(fù)數(shù)

(1)定義

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軌復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩

個共軌復(fù)數(shù)也叫共輾虛數(shù).

(2)表示方法

表示方法：復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)用I表示，即如果z=a+4?，則5=。_切.

7、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法(減法)運算

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)4=。+歷，Z2=c+di,(a,A,c,deR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和：

Z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

顯然：兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù)

(2)復(fù)數(shù)的減法法則

類比實數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足：

(c+成)+(x+M)=a+4的復(fù)數(shù)％+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+成的差，記作(a+bi)-(c+di)

實部相減為實部

III

（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i

IIT

虛部相減為虛部

注意：①兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù)；

②兩個復(fù)數(shù)相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（一1,6），貝心的共軟復(fù)數(shù)2=（）

A.1+后B.1-/

C.—1+^3iD.—1—y/3i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z,然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義計算.

【詳解】z在復(fù)平面對應(yīng)的點是（T,石），根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=T+gi,

由共瓏復(fù)數(shù)的定義可知，z=-l-V3i.

故選：D

2.（2023?全國?（乙卷文））|2+i2+2i3|=（）

A.1B.2C.75D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i?+2i3=2—1—2i=l-2i，

則|2+尸+2i31=|1一2i|=+（_2）=下.

故選：C.

5（l+i3）

3.（2023?全國?（甲卷文））.（）

（2+D（2T）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.

5(1+F)5(j)

【詳解】=l-i

(2+i)(2-i)5

故選：c.

1-i_

4.（2023?全國?（新高考I卷））已知z=「；7，則z—I=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出z,再由共輾復(fù)數(shù)的概念得到『從而解出.

1-i-2i1-1

【詳解】因為==所以"尹即Z-

故選：A.

5.（2023?全國?（新高考II卷））在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：復(fù)數(shù)的概念

典型例題

例題1.（2024下?上海?高三開學(xué)考試）下列命題不正確的為（）

A.若復(fù)數(shù)4，4的模相等，則為,4是共軌復(fù)數(shù)

B.4，句都是復(fù)數(shù)，若Z1+z?是虛數(shù)，則與不是z2的共軌復(fù)數(shù)

C.復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是z=N

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,貝ijz對應(yīng)的點z的軌跡為線段

【答案】A

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義可判斷ABC,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.

【詳解】對于A,若復(fù)數(shù)4，4的模相等，則4，Z2還可能是相等的復(fù)數(shù)，故A錯誤;

對于B,若Z和z?是共軌復(fù)數(shù)，則相加為實數(shù)，不會為虛數(shù)，故B正確；

對于C,若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則z=a（awR）,從而N=a（aeR）,所以z=彳，

反之若z=N,貝!|由口+歷=4一歷（0,6611）得6=0,所以z=a,

所以復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是z=5,故C正確；

對于D,設(shè)z=>+歷（a,b￡R）,

由復(fù)數(shù)的幾何意義可知|z+i|+|z-i|=2表示點（心切到點（0,-1）和（0,1）距離之和為2,

而點（。,-1）和（0,1）之間距離為2,所以z對應(yīng)的點Z的軌跡為線段，故D正確.

故選：A

4-2i

例題2.（多選）（2。24上,云南昆明?高二統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)Z=H'則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為一B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

C.z的共輾復(fù)數(shù)］=i+iD.|z|=V2

【答案】CD

【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運算化簡復(fù)數(shù)可判斷A；由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B；由共輒復(fù)數(shù)的定義可判斷

C；由復(fù)數(shù)的模長公式可判斷D.

4-2i（4-2i）（3-i）_12-10i+2i2

【詳解】

3+i—（3+i）（3-i）—W-

對于A,z的虛部為T,故A錯誤；

對于B,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（1,-1）,位于第四象限，故B錯誤;

對于C,z的共輾復(fù)數(shù)三句+i，故C正確；

對于D,國==及,故D正確.

故選：CD.

練透核心考點

1.（2024上?廣東深圳?高三統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)（2+講的實部與虛部之和是（）

A.7B.13C.21D.27

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求解即可.

【詳解】因為（2+if=（4+4i+i2）（2+i）=（3+4i）（2+i）=6+3i+8i+4i2=2+lli,

所以復(fù)數(shù)（2+以的實部與虛部之和是2+11=13,

故選：B.

2

2.（2024下?高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z=『

①在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)點的坐標(biāo)為（1,-1）;

②復(fù)數(shù)的虛部為-i;

③復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)為i-l;

@|Z|=A/2；

⑤復(fù)數(shù)z是方程f-2元+2=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個根.

以上5個結(jié)論中正確的命題個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求得z=l-i,根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)判斷①的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)的

概念判斷②的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)可以判斷③的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念判斷④的正誤，利用方

程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解判斷⑤的正誤.

[詳解】因為z=fv="2（\D

所以在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)點的坐標(biāo)為（1,-1）,所以①正確；

復(fù)數(shù)Z的虛部為-],所以②錯誤；

復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)為1+i,所以③錯誤；

回=#+（-1）2=0,所以④正確；

方程f_2x+2=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為也m=1士i,

2

所以復(fù)數(shù)z是方程Y-2x+2=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個根，所以⑤正確;

所以正確的命題個數(shù)為3個，

故選：C.

高頻考點二：復(fù)數(shù)的幾何意義

典型例題

例題1.（2024下?全國?高一專題練習(xí)）"0＜機(jī)4"是"復(fù)數(shù)2=（3〃2-2）+（m-1》在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

第四象限"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】求出復(fù)數(shù)Z=（3〃-2）+（〃Ll）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限的等價條件，利用集合的包含關(guān)

系及充分條件、必要條件求解.

【詳解】因為復(fù)數(shù)Z=（3根-2）+（根-l）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限＜根＜1,

4、、、.224

而0＜相＜一成立推不出一＜相＜1成立，—cmvlnOcmc—,

所以0＜加＜g是復(fù)數(shù)Z=（3m-2）+（〃Ll）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限的必要不充分條件，

故選：B

例題2.（2024上?四川成都?高三樹德中學(xué)?？计谀┰趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4,%?對應(yīng)的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

則立的模是（）

Z1

A.5B.75C.2D.41

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用共軌復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的除法化簡，模長公式求模.

【詳解】復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，z?對應(yīng)的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

l+3i（l+3i）（2+i）17.

則有4=2—i,z=1—3i,z=1+3i,--=-----=------------=----1--1

22Z12-i（2-i）（2+i）55

三

zi

故選：D

例題3.（多選）（2024?湖南長沙?長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)4，4在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為

A,B,且。為復(fù)平面原點若.z=^+』i（i為虛數(shù)單位），向量函繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，且模伸

122

長為原來的2倍后與向量礪重合，則（）

A.22的虛部為走B.點5在第二象限

2

C.\z1+z2\=y/2D.p1=2

【答案】BD

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，依題意求解出對應(yīng)的坐標(biāo)，然后逐項判斷即可;

【詳解】因為4=#+；i,所以向?qū)?yīng)的坐標(biāo)為團(tuán)=1,

OA向量與X軸夾角為atane=/r=g,e=2

“33o

~2

由題意可知，卜|=2,且麗=2,os[e+3，sin[e+T]=bLG）,選項B正確；

z2=—1+V3i,z2的虛部為6，選項A錯誤；

Zj+z?=^^-l+[g+6）i,所以2]+z?|=+g+g]=也,選項C錯誤；

-2—-=2,選項D正確；

Z14

故選：BD.

練透核心考點

;3

1.（2024上?廣東佛山?高三石門中學(xué)?？计谀?fù)數(shù)z=一—在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

1-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法以及幾何意義求解即可.

-i-i（l+2i）21（11

【詳解】因為z=r==所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點J二位于第四象限，

1-21（1-21）（1+21）55155J

故選：D.

2.（多選）（2024下?高一單元測試）關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法錯誤的是（）

A.若|z|=l,貝ljz=±l或土i

B.復(fù)數(shù)6+5i與-3+4i分別對應(yīng)向量方與歷，則向量須對應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+，

C.若z是復(fù)數(shù)，則z2+l>0

D.若復(fù)數(shù)z滿足14閆<忘，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形面積為兀

【答案】ABC

【分析】對于A,結(jié)合特殊值法，即可求解；對于B,結(jié)合向量的運算法則，即可求解；對于C,結(jié)合特

殊值法，即可求解；對于D,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】對于A,取z=；+#i,則回=1,故A錯誤；

對于B,AS=OB-（M=-3+4i-（6+5i）=-9-i,B錯誤；

對于C,Wz=i,但，=一1/2+1=0矢口C錯誤;

對于D,設(shè)復(fù)數(shù)2=%+何(%,丁€1<),則由14目<忘可知IV尤2+y2<2,

故復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形面積為71X2-71X1=71,D正確.

故選：ABC.

3.(2024?全國?高一假期作業(yè))復(fù)平面上兩個點Z1,Z?分別對應(yīng)兩個復(fù)數(shù)40,它們滿足下列兩個條件：

①zz=z「2i；②兩點Z”Z?連線的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+4i,若。為坐標(biāo)原點，則△ZOZ?的面積為

【答案】20

【分析】設(shè)Z=“+bi(a,beR),根據(jù)復(fù)數(shù)的運算及集合意義可得點的坐標(biāo)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式列方

程求得的值，從而可得向量西，應(yīng)■的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算確定模長與角度，從而得△4。4的

面積.

【詳解】設(shè)馬=。+瓦(a,beR),

則z2=4?2i=(Q+bi)-2i=—2b+2ai.

所以點Z],Zz的坐標(biāo)分別為Z、(a,b),Z2(-2b,2a)

又兩點Z],Z2連線的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+4i,

又OZ[=(a,b),OZ2=(-2b,2a),

OZi?OZ2=0,「.OZ；_LOZ2

,■,△ZjOZ,的面積為S=gX2&X4石=20.

故答案為：20.

高頻考點三：復(fù)數(shù)分類

典型例題

例題1.(2024上?河北廊坊?高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末)若復(fù)數(shù)/瑞(aeR)為純虛數(shù)，則。=

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則以及純虛數(shù)的定義求解.

【詳解】因為匚聲=后-TN1)=十J為純虛數(shù),

［tz+1=0,

所以,c解得a=T，

［。一140,

故選：A.

例題2.(2024下?全國?高一專題練習(xí))復(fù)數(shù)z=(1+i)”/_(8+i)"z+15-6i(meR),求實數(shù)機(jī)的取值范圍使

得：

(l)z為純虛數(shù)；

(2)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限.

【答案】⑴》=5

(2)—2<772<3

【分析】(1)根據(jù)Z為純虛數(shù)，列出方程，即可求解；

(2)根據(jù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，列出不等式組，即可求解；

【詳解】(1)z=(l+i)m2—(8+i)m+15—6i=(?/i2-8m+15)+(m2—m—6)i,

若z為純虛數(shù)，則收一8加［1510,解得：m=5.

m—m-60

2

/、,口H+心f^-8m+15>0-

(2)由題思知，<2,，斛得：—2<m<3.

\m-m-6<0

例題3.(2023下?河北唐山?高一校聯(lián)考期中)已知beR,a>0,復(fù)數(shù)z=a+歷，且同=逐，復(fù)數(shù)z(l+i)

在復(fù)平面上對應(yīng)的點在函數(shù)y=-3x的圖像上.

⑴求復(fù)數(shù)z；

⑵若z-言(meR)為純虛數(shù)，求實數(shù)"，的值.

【答案】⑴z=l+2,

(2)2

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的四則運算，得到z(l+i)=a-"(a+6)i,再根據(jù)條件得到6=2a,又由題設(shè)知

a2+b2=5,從而求出。力得到結(jié)果；

(2)利用(1)中的結(jié)果和復(fù)數(shù)的除法，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因為z=a+Z?i(a,》￡R),

所以z(l+i)=(Q+Z/i)(l+i)=Q+dd+"-Z?=a-b+(a+Z?)i,對應(yīng)的點為(a—友〃+〃),

所以a+b=-3(a-b),得到Z?=2a,又忖=石，

所以/+/=5,又。>0,

[a2+b2=5

由，c一，解得。=11=2,

[b^2a

所以z=1+2i.

（2）由（1）知，z=l+2i,

*2m1機(jī)（1-i）1_m..

所以z----=1+21——-——-=1——m+（z2+—）1,

1+i222

l--=0

故2,得到m=2.

2+—。0

12

練透核心考點

1.（2024?天津濱海新?高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知Z=（/n+l）+（2-m）i是純虛數(shù)（其

中，"?R,i是虛數(shù)單位），則生且=;

Z

【答案】下

【分析】根據(jù)實部為0虛部不為0,解方程可得復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算計算模長即可.

fm+l=0

【詳解】由題意。八，解得機(jī)=-1,z=3i,

|2-加w0

6+3i6+3i亞包=6

z3i3

故答案為：5

2.（2024?全國?高一假期作業(yè)）已知復(fù)數(shù)z滿足忖=5.

（1）若（4+3i>z是實數(shù)，求復(fù)數(shù)z；

7

（2）求,+2-i的取值范圍.

【答案】（]）復(fù)數(shù)z=4—3i或~4+3i；（2）1?一石,g+

【分析】（1）利用實數(shù)概念及模長，即可得到復(fù)數(shù)z；

（2）利用點與圓的位置關(guān)系，即可得到取值范圍.

【詳解】（1）設(shè)2=々+加，a、Z?GR,則/+b2=25，

又（4+3。?2=44—3匕+（3々+4））1是實數(shù)，

「?3。+48=0,又/+b2=25,

/.a=4,6=—3或。=-4*=3,

復(fù)數(shù)z=4—3i或T+3i；

(2)-+2-i=］卜一(一4+2i)|

2

|z-(-4+2i)|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與T+2i對應(yīng)的點A間的距離,

而復(fù)數(shù)z在以原點為圓心，半徑為5的圓上，

如圖所示，

5

2-

3.(2024下?全國?高一專題練習(xí))已知〃工eR,復(fù)數(shù)z=(1+i)加？一(竽+3)m-(4+6i),當(dāng)m為何值時,

(1)z為實數(shù)？

(2)z為虛數(shù)？

(3)z為純虛數(shù)？

(4)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限？

【答案】(1)m=6或機(jī)=-1(2)且相片一1(3)〃z=4(4)4<〃z<6

【分析】由題意得解得z=(〃廣-3/-4)+(1-5%-6?,

(1)由“-5%-6=0,求出m即可；

(2)nr—5m—6^0,即可得出m；

,f"/一3m-4=0—HL,

(3)由12?，c，解得加范圍；

[m一5加一6w0

f加之—3m-4>0

(4)根據(jù)象限特征，由2V/7解得加范圍.

[m-5m-6<0

【詳解】解：z=(l+i)M-(5i+3)機(jī)-(4+6i)=(療-3m-4)+(m2-5m-6)i,

(1)由加之-5m—6=0得%=6或加=-1,

即當(dāng)帆=6或加=-1時，z為實數(shù)；

(2)由加之一5機(jī)—6。0得根。6且mW—1,

即當(dāng)機(jī)w6且相時，z為虛數(shù)；

/、-r加2-3加一4=0,/=

(3)由｛2得m=4,

m-5機(jī)一6。0,

即當(dāng)m=4時，z為純虛數(shù)；

、,m2-3m-4>0,“0

(4)由｛r2解得4<加<6,

m-5m-6<0,

即當(dāng)4vmv6時，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其運算法則、方程與不等式的解法，考查推理能力與計算能力.

高頻考點四：復(fù)數(shù)模

典型例題

例題1.(2024,福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)4,z?滿足4+24=-3-i,|z「zj=l,則區(qū)+2i|的最

大值為.

【答案】^+i/i+Vio

【分析】設(shè)Z=x+yi,根據(jù)題意求得4,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求得Z?對應(yīng)點的軌跡，再根據(jù)幾何意義求目

標(biāo)式的最大值.

【詳解】令復(fù)數(shù)4=x+yi,x,yeR,則2=x—yi,

所以4+2%=3x-yi=-3-i,所以x=-l,y=l,即4=T+i.

又因為區(qū)-4=1,即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z之所對應(yīng)的點的軌跡是以(-M)為圓心，1為半徑的圓.

又點(-M)到點(0,-2)的距離為7(-1-0)2+(1+2)2=回，

所以|z?+2i怕勺最大值為拘+1.

故答案為：V10+1.

例題2.(2024?全國,高三專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足|z+科+卜-科=4,貝的最大值是.

【答案】史占6

33

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的幾何意義及橢圓的定義可得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z(x,y),然后利用三角代換

結(jié)合條件即可求解.

［詳解］設(shè)2=苫+優(yōu),(北)€口)，由上+若|+卜_6卜4,得J(x+石『+尸++=4>2后,

因此在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z(x,y)在以(土道,0)為焦點，長軸長為4的橢圓上，

22

所以可設(shè)橢圓方程為：■+4■=1(〃>b>0),則a=2,C=5b=l,

所以橢圓方程為=+y2=i,

4

而|z-i|表示點z與點（0,1）的距離，可設(shè)Z（2cos6,sin。）,

所以Z（2cos0,sin6>）與點（0,1）的距離d=J（以os。）?+（sine-l『=V-3sin26?-2sin6'+5

IJ.〃[丫]6

VI3；3

所以當(dāng)sin。=一時，d=處,即|z-i|的最大值是生回.

33113

故答案為：鹿

3

例題3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,i為虛數(shù)單位，則|z-3-4i|的最

大值為.

【答案】6

【分析】將問題化為定點（3,4）到圓/+丁=1上點距離的最大值，即可求解.

【詳解】令2=芯+其且x,yeR,則f+y2=l,即復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在原點為圓心，半徑為1的圓上，

而|z-3-4i|=J（x-3>+（y-4）2,即點（羽V）到定點（3,4）距離的最大值，

所以|z-3-4i|的最大值為J（0-3）2+（0-4）2+1=6.

故答案為：6

練透核心考點

1.（2024?天津濱海新?高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知z=（〃?+l）+（2-%）i是純虛數(shù)（其

中，*R,i是虛數(shù)單位），則色=;

【答案】小

【分析】根據(jù)實部為。虛部不為0,解方程可得復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算計算模長即可.

【詳解】由題思L,解得加=-1,「.z=3i,

6+3i6+3i3s

z3i3

故答案為：行.

2.（2024?全國?高一假期作業(yè)）若zeC,且滿足Iz+l-i|=l,則I2-1-”的最大值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圖形，即可求解.

【詳解】|z+l-i|=|z—（T+i）|=l,復(fù)數(shù)z的軌跡表示以點（-1,1）為圓心，1為半徑的圓，|z-l-i|=|z-（l+i）|

表示圓上的點到點（1,1）的距離,

如圖，當(dāng)過點（L1）和圓的圓心，即|以|=3為最大值.

故答案為：3

3.（2024?全國?高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)4、z2,滿足閔=閆=1,z「zz=6i,則|z+z』=.

【答案】1

【分析】設(shè)4=玉+用，z2=^+y2i（^,^2,y1,y2eR）,利用復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)相等可

得出％、%以及X；的值，再利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得忖+Zzl的值.

【詳解】設(shè)4=玉+卬，z2=x2+y2i（%1,x,,y1,y2eR）,

因為聞=閡=1,則+=尤;+貢=1,

%

又因為z「Z2=（玉+用）一（々+%。=（占一2）+（%-%》=后，

x-=0fx.=x9

所以，瓜，即6，

[X+%二0X=

由占2+父=%+%,可得（乂―%）（乂+為）=。，故｛用，解得＜2

*%=。3

%=

2

31

由x；+y；=無；+[=1,可得

所以，z1+z2=2xI+(yl+y2)i=2xl,所以，卜+z?|=2卜|=2xg=1.

故答案為：1.

高頻考點五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù)z=a+bi

典型例題

例題1.(2024?全國?高一假期作業(yè))設(shè)復(fù)數(shù)4、z2,滿足聞=閭=1,z「z?=后,則Iz+z?k.

【答案】1

【分析】設(shè)4=玉+m，z2=x2+y2i(x1,x2,y1,^2eR),利用復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)相等可

得出為、%以及X；的值，再利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得|Zj+Z21的值.

【詳解】設(shè)21=玉+印，z?=%+%可%,%,%,%eR),

因為閡=閡=1,則無;+y；=考+%=1,

又因為z「Z2=(AJ+y,i)-(x2+y2i)=(%1-x2)+()；1-j2)i=5/31,

x}-x?=0

所以，后，即＜

〔乂-％=，3

由牙+*=考+4，可得(％_%)(必+%)=0,故「-一解得《

=13

由X；+y；=邸+[=1,可得弁=；,

所以，4+Z?=2芯+(x+%)i=2%，所以，|Z|+Z2|=2㈤=2x；=l.

故答案為：1.

例題2.(2024?全國?高三專題練習(xí))滿足z2eR，|zT=l的一個復(fù)數(shù)z=.

【答案】0(。或2i中的一個，答案不唯一)

【分析】設(shè)2=。+歷(a,beR),根據(jù)deR可得出。=0或匕=0,分。=0、8=0兩種情況討論，結(jié)合復(fù)數(shù)

的模長公式可求得復(fù)數(shù)z的值.

【詳解】設(shè)z=a+6i(a,beR),則z?=(a+6i)2=]一〃+2口歷，

因為z'eR,貝【J仍=。,即。=0或6=0.

當(dāng)4=0時，即z=bi,由|z-i|=@-1*=忸-1|=1,解得6=0或2,此時，z=0或2i；

當(dāng)b=0時，即z=a,由|z-i|=|a-i卜J/+]=i,解得。=(),止匕時，z=o.

綜上所述，z=0或2i.

故答案為：0(0或2i中的一個，答案不唯一)

練透核心考點

1.(2024?全國?高一假期作業(yè))若復(fù)數(shù)4和復(fù)數(shù)z?滿足㈤=1,㈤=1,k+Zz|=l,貝U—L=.

Z1-2

【答案】好總也

33

【分析】設(shè)4=。+歷,(a,beR),Z2=c+di,(c,deR),根據(jù)復(fù)數(shù)的運算及模的公式即可求解.

【詳解】設(shè)Z]=a+bi,(〃,Z?￡R),Z2=c+di,(c,dcR),S.a2+b2=l,c2+J2=1,

則4+z2=(a+c)+(b+d)i,

又|zi+Z2|=l,所以(a+c)2+(b+d)2=1,

即a?+2〃。+。2+/+2〃d+Q2=i,貝ij2ac+2bd=-1,

因為Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i,

所以|Z]一z2|=y](a-c)2+(b-d)2=yja2+c2+b2+d2-2ac-2bd二石，

故答案為：旦.

3

2.(2024?全國?高三專題練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,i為虛數(shù)單位，則|z-3-4i|的最大值

為.

【答案】6

【分析】將問題化為定點(3,4)到圓/+丁=1上點距離的最大值，即可求解.

【詳解】令z=x+yi且x,ywR,則V+y2=i,即復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在原點為圓心，半徑為1的圓上，

而|z-3-4i|=J(x-33+(y-4)2,即點(x,y)到定點(3,4)距離的最大值，

所以|-3-4i|的最大值為J(0一3)2+(0-4>+1=6.

故答案為：6

高頻考點六：復(fù)數(shù)的四則運算

典型例題

例題1.(2024?湖南邵陽?統(tǒng)考一模)下列各式的運算結(jié)果不是純虛數(shù)的是()

A.(1+i)2B.(1-i)2

1_i

C.-一7D.(1+i)4

l+i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算對選項一一化簡即可得出答案.

【詳解】對于A,(l+i)2=l+i2+2i=2i,故A正確；

對于B,(1—i)2=1+i2—2i=—2i,故B正確；

l-i_(l-i)-_-2i

對于c,故C正確;

1+i(l+i)(l-i)2

對于D,(1+i)4=(l+i)2(l+i)2=2i-2i=4i2=-4,故D錯誤.

故選：D.

例題2.（2024上?貴州遵義?高二統(tǒng)考期末）若z=l+i,則|z+'i|=（）

A.2B.1C.V2D.2A/2

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)的概念，乘法、加法運算，復(fù)數(shù)模得解.

【詳解】|z+z-i|=|（l+i）+（l-i）i|=|l+i+i+l|=|2+2i|=V22+22=272.

故選：D

例題3.（2024?全國?高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)4、z2,滿足團(tuán)=閡=1,z「z?=后,則1Z+z?卜.

【答案】1

【分析】設(shè)4=玉+羽，z2=x2+y^xvx2,yvy2^,利用復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)相等可

得出為、%以及x；的值，再利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得I4+Z2I的值.

【詳解】設(shè)4=玉+羽，z2=x2+y2i（^,x2,eR）,

因為團(tuán)=閭=1,則+=*+￡=1,

又因為Zi-z?=（占+源）-（々+%）=（占-七）+（乂-%》=后，

x-=0玉二馬

所以，卜-乃二忖即

%一%=退

73

%=

y+y=02

由尤;+犬=考+代，可得（%-%）（必+%）=。，故，后,解得

〔％一%=。3

%=

2

31

由片+犬=%+1=1,可得

所以，Zi+Z2=2%+(x+y2)i=2%,所以，,+Z2|=2㈤=2x；=l.

故答案為：1.

練透核心考點

1.（2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-l）i=4+3i（i為虛數(shù)單位）,貝魚+彳=（）

A.8B.6C.—6D.-8

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及共軌復(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解】因為（z—l）i=4+3i,

解得2-1="4+三3i=3-4i,即z=4-4i,

i

所以z+N=4—4i+4+4i=8,

故選：A

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）若z=上%，則彳等于（）

1-1+1

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡復(fù)數(shù)z,再由共軌復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.

【詳解】因為z=3-4i=-3-t4li=4+3i,所以z_=4-3i.

1-i+r-i

故選：B.

3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=l+2i+3i2+…+2022i202i+2023i2022的虛部為

【答案】1012

【分析】根據(jù)錯位相減法求和，復(fù)數(shù)乘除法，i乘方的周期性等相關(guān)知識直接求解.

［詳解】由題意得z=l+2i+3i2+---+2O22i2021+2023i2022,

所以z?i=i+2/+3i3+…+2022嚴(yán)+2023嚴(yán),

所以（1-i）z=1+i+i?+…+i2022-2O23i2023

1：2023

I-1

-2O23i2023=—+2023i=i+2023i=2024i,

1-i1-i

2024i(2024i)(l+i)

所以z=

1-i(l-i)(l+i)

2024i-2024

----------------=-1012+1012i,

2

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012.

故答案為：1012

高頻考點七：共輾復(fù)數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-l）i=4+3i（i為虛數(shù)單位）則z+z=()

A.8B.6C.-6D.-8

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及共軌復(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解】因為（z—l）i=4+3i,

解得z-l=——=3-4i,即z=4-4i,

1

所以z+N=4—4i+4+4i=8,

故選：A

例題2.（2024上?四川成都?高三樹德中學(xué)?？计谀┰趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z，4對應(yīng)的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

則義的模是（）

4

A.5B.75C.2D.V2

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用共輾復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的除法化簡，模長公式求模.

【詳解】復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，Z?對應(yīng)的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

z1+3i(l+3i)(2+i)17.

則有Z]=2-i,z=1-3i,z=1+3i,--2-----------------------------------1---1

2242-i(2-i)(2+i)55

故選：D

2+4i

例題3.（2。24上天津?高三校聯(lián)考期末）設(shè)“G+L則②的共軌復(fù)數(shù)為—

【答案】3-2i

【分析】由復(fù)數(shù)的運算化簡z,再求共輾復(fù)數(shù).

2+4i._(2+4i)(l-i),_6+2i

【詳解】因為z=1+i+1-(l+i)(l-i)+1-2+i=3+2i,

故』=3-2i.

故答案為：3-2i.

練透核心考點

1.（2024?陜西寶雞?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)2=上幸，2為z的共輾復(fù)數(shù)，則|z|-2在復(fù)平面表示的點在（）

1+V3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】首先利用除法運算化簡復(fù)數(shù)Z,并求彳和忖，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】z=j^=-2-2V3i16.

------------1,

1+V3i+一后)422

在第四象限.

故選：D

.1—

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=l-i,貝！|——z)

Z

372

貶R回rD,