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第23講復(fù)數(shù)

（9類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

2023年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

2022年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

2021年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

2020年天津卷，第10題,5分求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的概念，能夠理解復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部與共軌復(fù)數(shù)的概念

2.能掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助圖形，理解復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系

4.會(huì)解復(fù)數(shù)方程問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，求解實(shí)數(shù)虛數(shù)問題。

Fl?考點(diǎn)梳理。

1

⑴復(fù)數(shù)的定義

(2)復(fù)數(shù)的分類｛考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念

r知識(shí)點(diǎn)一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念《(3)復(fù)數(shù)相等

(4)共拆復(fù)數(shù)

(5)復(fù)數(shù)的模

考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義

知識(shí)點(diǎn)二.復(fù)數(shù)的幾何意義

考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)模長問題

復(fù)數(shù)

考點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

知識(shí)點(diǎn)三.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等

(2)幾何意義

｛考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)類型

考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)方程問題

知識(shí)點(diǎn)四.復(fù)數(shù)常用結(jié)論考點(diǎn)八、復(fù)數(shù)最值與取值范圍

考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)軌跡問題

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如〃+歷(〃，b￡R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中且是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，么是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)

單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6GR)

(實(shí)數(shù)Cb=O)

'虛數(shù)(b豐0)(當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù)；

(3)復(fù)數(shù)相等：

a+bi=c+"i=a=c且b=d(a,b,c,dGR).

(4)共輾復(fù)數(shù)：

a+從與c+di互為共朝復(fù)數(shù)o4=c,b=—d(a,b,c,dGR).

(5)復(fù)數(shù)的模：

向量域的模叫做復(fù)數(shù)z=a+6i的?；蚪^對值，記作|a+歷I或團(tuán),即團(tuán)=|a+bi|=V^T"(a,bCR).

知識(shí)點(diǎn)二.復(fù)數(shù)的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6GR)一—對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,6).

(2)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6GR)——對應(yīng)平面向量反.

知識(shí)點(diǎn)三.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)zi=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,dGR),貝!]

①加法：zi+z2=(a+6i)+(c+di)=(a+c)+(6+*i；

②減法：zi-Z2=(a+6i)—(c+di)=(a—c)+(6-d)i；

2

③乘法：z\'Z2=(a+bi),(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

④除法：魚=當(dāng)=t+督=粵+。i(c+di#?.

Z2c+山(c+dj)(c—dj)c+dc-Vd

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即放萬+無，ZN=O方

—OZ\.

知識(shí)點(diǎn)四.復(fù)數(shù)常用結(jié)論

1.(1士i)2=±2i；—=i；—=-i.

2.—6+ai=i(a+6i)(a,bGR).

3.i12*4"=l,i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i(?GN).

4.i4n+i4)1+1+i4?+2+i4n+3=0(〃eN).

5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

⑴好團(tuán)劭表示以原點(diǎn)。為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);

(2)區(qū)一(a+歷)|=r(r>0)表示以(a,6)為圓心，r為半徑的圓

考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念

中典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?海南?開學(xué)考試)復(fù)數(shù)z滿足z(2+i)=|3+4i|,則復(fù)數(shù)z的虛部是()

A.2iB.2C.-iD.-1

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)虛部概念求解.

【詳解】由2(2+。=|3+的可得2=粵=7^消=2-"

所以虛部為-1,

故選：D.

2.(2024?河南周口?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=(l+g\i為虛數(shù)單位，則z的虛部為()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘方的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.

3

【詳解】(1+目3=(1-=(1-i)3=1+3x12?(一i)+3X1x(-i)2+(—i)3=1-3i-3+i=-2—

2i,

因此復(fù)數(shù)(1+1)3的虛部為-2.

故選：D

也

1.(23-24高三下?廣西?階段練習(xí))設(shè)z=3^,則2=()

1+r+r

A.-1-3iB.-1+3iC.1-3iD.1+3i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.

【詳解】由題得，z=^^=斗=0?=3i—1.

l+r+rl-l—i—r

故選：B.

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)2知z==,則z+z3+z5=()

1—1

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【答案】A

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則求得z=i,代入所求式計(jì)算即得.

【詳解】因?yàn)?=臺(tái)=需瘟=日三，

l-i(1-1)(1+1)2

所以z+z3+z5=i+i3+i5=i—i+i=i.

故選：A.

3.(2025?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z,滿足|z|=5,z在復(fù)平面中的第一象限，且實(shí)部

為3,貝屹為

【答案】3-4i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及模長公式即可求解.

【詳解】由于復(fù)數(shù)z的實(shí)部為3,故設(shè)2=3+區(qū)(6>0),根據(jù)|2|=5,所以32+/=52,解得b=4,

所以z=3+4i,故2=3—4i,

故答案為：3-4i

考點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.(2024?天津?高考真題)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(而+i)-(V5-2i)=-

【答案】7—回

4

【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

（詳解】（遍+i）?（岔一2i）=5+-2V5i+2=7-V5i.

故答案為：一底.

2.（2023?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡誓的結(jié)果為_________

2+31

【答案】4+i/i+4

【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以2-3i,然后計(jì)算其運(yùn)算結(jié)果即可.

(5+14i)(2-3i)52+13i

【詳解】由題意可鱷土=4+i.

(2+3i)(2-3i)13

故答案為：4+i.

即時(shí)檢測

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)z=—，則2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義確定其共軌復(fù)數(shù)即可.

【詳解】由題意可得z=點(diǎn)==/=容2=#=1—2i,

14-r+rl—l+ir-1

則2=1+2i.

故選：B.

2.(2023?全國?高考真題)已知z=巖，貝吻―2=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共輾復(fù)數(shù)的概念得到落從而解出.

【詳解】因?yàn)閦=總=（；二）（；「）=m=_5,所以2=5,即z-2=-i.

2+211）422

故選：A.

3.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足2（1-i）=3+5i,則復(fù)數(shù)z=（）

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-1-4i

【答案】D

【分析】由已知等式化簡求出兄從而可求出復(fù)數(shù)z.

【詳解】因?yàn)?=譽(yù)=需普=學(xué)=一l+4i,

1—12

所以z=-1—4i.

故選：D.

5

考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等

中典例引領(lǐng)

1.(2022?全國?高考真題)已知z=1-2i,且z+a2+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù)，貝!!()

A.a=l,b=—2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

【答案】A

【分析】先算出7,再代入計(jì)算，實(shí)部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z=1-2i

z+az+6=1—2i+a(l+2i)+b=(1+a+b')+(2a-2)i

由z+az+6=0,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對應(yīng)相等，

得｛‘Ml“噂12

故選:A

2.(2016?天津?高考真題)已知a,beR,i是虛數(shù)單位，若(1+i)(1-bi)=a,則1的值為_____.

b

【答案】2

【詳解】試題分析：由(l+i)(l-i)=l+b+(l—b)i=a,可得二，所以｛，［j，(=2,故答

案為2.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等

【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)

掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,deR),

巖j=一等*(a,瓦c,dCR),.其次要熟悉復(fù)數(shù)的相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)。+萬缶/6夫)的實(shí)部為以

虛部為氏模為“12+爐、共軌復(fù)數(shù)為a—bi.

即0^(

1.(2024?新疆烏魯木齊?三模)若(1—2。(2+。=(1+歷(￡1,66&是虛數(shù)單位)，則a”的值分別等于()

A.4,-5B.4,-3C.0,-3D.0,-5

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的充要條件計(jì)算得答案.

【詳解】???(l—2i)(2+i)=4—3i=a+bi,??.a=4,b=-3.

則a,b的值分別等于4,-3.

故選：B.

2.(24-25高三下?全國?單元測試)設(shè)aER,(a+i)(l—ai)=2,則。=()

6

A.—2B.-1C.1D.2

【答案】c

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)相等列方程組求解即可.

【詳解】因?yàn)?a+i)(l—ai)-a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以I2a；2,解得a=i.

故選：C

3.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))若集合A=[m2||m|=l,mEC),B={a+bi\ab=0},則/nB的元

素個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】通過討論求得加2,。+歷，利用集合交集運(yùn)算求出4八8,從而求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镮刈=1,且血GC,則zn=±1,或m=%+yi,且/+y2=1(y0),所以?n?=1,或/=/一

y2+2xyi,

因?yàn)閍b=0,則a=0或b=0,當(dāng)Q。0,b=0時(shí)，a+b\=a,當(dāng)a=0,力。0時(shí)，a+bi=bi,當(dāng)a=0且b=0

時(shí)，a+bi=0,

當(dāng)a=l,且b=0,m2=1,貝Ua+bi=l=m2,

當(dāng)a=-1,且b=0,x=0,y=±1時(shí)，m2=—1,則a+bi=mz=-1

x2—y2=0

Q2

“2+y2=i,即+歷=濟(jì)=7n2=j,或。_|,歷=折=m=-i,

b=2xy

{a=0

綜上=—所以/n8的元素個(gè)數(shù)為4

故選：D

4.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)己知翟=2—i,x,yeR,則無+y=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)條件得出久+yi=(1+i)(2-i),再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得出x+yi=3+i,然后即可求出

x+y的值.

【詳解】解：=2-i,.??x+yi=(1+i)(2-i)=34-i,

???x=3,y=1,?,?%+y=4.

故選：C.

考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)類型

7

中典例引領(lǐng)

1.(2020?浙江?高考真題)已知adR,若a-l+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則a=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)列式求解即可.

【詳解】因?yàn)?a—1)+(a—2)i為實(shí)數(shù)，所以a—2=0/a=2,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

2.(2024?江西新余?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=1,1+Z+Z2+Z3為純虛數(shù)，則這樣的復(fù)數(shù)z共有()

個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】法一：設(shè)該復(fù)數(shù)2=。+折(見6￡冏，借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算出1+Z+Z2+Z3后結(jié)合純虛數(shù)定

義即可得；法二：借助復(fù)數(shù)的三角形式及其幾何意義計(jì)算即可得.

【詳解】法一：設(shè)2=。+歷9/￡氏)，則1+Z+Z2+Z3的實(shí)部為。且虛部不為0,

l+z+z2+z3=l+a+bi+a2+2abi—h2+a3+3a26i—3ab2-63i

=(a3-3ab2+a2-+a+1)+(—63+3a2b+2ab+Z?)i,

則蘇—3ab2+匠―力2+q+i=0,—/+3a2b+2ab+bH0,

因?yàn)閨z|=1,故/+b2=1,即按=1—a2,

則有M—3ab2+次―力2+。+1=2a(2/+a—1)=0,解得a=0或g或—1,

當(dāng)a=0時(shí)，b2=1,則—b3+3a2b+2ab+b——b+b=0,舍去；

當(dāng)Q=—1時(shí)，fa2=0,即b=0,則—力3+3/力+2ab+b=0,舍去；

當(dāng)a=工時(shí)，b2=則一b3+3a2b+2ab+b=--b++b+b=2bW0,

2444

故6=士亨，即z=?士?i,共有兩個(gè).

綜上所述，這樣的復(fù)數(shù)z共有兩個(gè).

法二：設(shè)Z的輻角為仇06[-

表示將復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(r-1)0,

由幾何圖形的對稱性：z與z2在復(fù)平面內(nèi)應(yīng)關(guān)于y軸對稱，

貝懈得：”三或彳或?；蛞?，

易知：3不±押，z=0,舍去，

故。=±$故有兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)z滿足題意.

故選：B.

8

即時(shí)檢測

1.(2024?北京大興?三模)已知(爪-i￥為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)爪=()

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方運(yùn)算化簡(m-i)2,再根據(jù)實(shí)部為0,虛部不為0得到方程(不等式)組,

解得即可.

【詳解】因?yàn)?m—i)2=m2—2mi+i2=m2—1—2mi,

又(a-i)2為純虛數(shù)，所以［爪2-1=0,解得爪=±1.

1—2mH0

故選：D

2.(24-25高三上?湖南?開學(xué)考試)已知復(fù)數(shù)Zi=2-i,Z2=a+i(a€R),若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a

的值為()

11

A.--B.-C.-2D.2

22

【答案】A

【分析】求出Z「Z2,再根據(jù)純虛數(shù)概念得解.

【詳解】由已知，復(fù)數(shù)Z「Z2=(2-。9+。=(2。+1)+(2-?！窞榧兲摂?shù)，

所以｛黃金；：'得。=-*

IL—afU,L

故選：A.

3.(2024?北京?三模)若復(fù)數(shù)2=。一1+59+1》為純虛數(shù)，其中aCR,i為虛數(shù)單位，則喘=()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)概念求出參數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)四則運(yùn)算即可求解.

【詳解】由2=a-1+5(a+l)i是純虛數(shù)可知a=1,所以誓■=二=與t=i，

1—ail—i2

故選：A

4.(23?24高三下?湖南?階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,且z—l是純虛數(shù)，則忘=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】設(shè)2=。+歷，其中Q,b是實(shí)數(shù)，由|z+2i|=|z|求出b,再求出z—l,根據(jù)z—l的類型求出a,即

可得到z,最后根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)2=。+歷，其中a,b是實(shí)數(shù)，則由|z+2"=|z|,得〃+(b+2)2=次+力2,

所以b=-1,則z-l=a-l-i,

又因?yàn)閦-l是純虛數(shù)，所以@一1=。，解得a=l,即z=l-i,

9

所以力=(l—i)(l+i)=2.

故選：B

考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義

典例引領(lǐng)

1.(2023?北京?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,遮)，則z的共軌復(fù)數(shù)2=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z,然后利用共軌復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.

【詳解】z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是(-1,遮)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=-l+V3i,

由共輾復(fù)數(shù)的定義可知，z=-1-V3i.

故選：D

2.(2023?全國?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3-i)對應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因?yàn)?1+3i)(3-i)=3+8i-3i12=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

1.(2024?云南?模擬預(yù)測)在復(fù)平面內(nèi)，(l—i)(2+i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】(1—i)(2+i)=2+i—2i—i2=3—i,

;其對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),位于第四象限，

故選：D.

2.(23-24高三上?天津?期中)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(2,-1),則注的共軌復(fù)數(shù)的模為

10

【答案】V5

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=2-i,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，進(jìn)而由模長公式即可求解.

【詳解】由題意可得z=2—i,所以岑=芋1=（3i+?d+i）=警=_]+2i

z—11—122

故共軻復(fù)數(shù)為一l+2i,|-l+2i|=V（-l）12+22=V5,

故答案為：V5

3.（23-24高三上?天津河北?開學(xué)考試）復(fù)數(shù)上在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是_________.

2+1

【答案】&|）

【分析】由復(fù)數(shù)除法法則可得復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，即可得其對應(yīng)坐標(biāo).

【詳解】忘=濫1匕=（+|"則其在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為G，|）.

故答案為：&|）

4.（2024?青海西寧?二模）已知復(fù)數(shù)z=i2024—i,貝屹對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用i的運(yùn)算性質(zhì)，得到z=l-i,從而有Z=l+i,即可求解.

【詳解】因?yàn)閆=i2024—i=(i2)1012—i=i—i,所以2=1+)其對應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),

故選：A.

5.（23-24高三上?天津紅橋?階段練習(xí)）已知】為虛數(shù)單位，貝埸在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到z=/方，即可得到答案.

13.

【詳解】令z=W=b

2+1（2+1）（2—1）"5-5

則z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限.

故選：D

考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)模長問題

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高考真題）|2+i2+2i3|=（）

A.1B.2C.V5D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i2+2i3,然后計(jì)算其模即可.

11

【詳解】由題意可得2+i2+2i3=2-1—2i=1-2i,

貝!!|2+i2+2i3|=|1-2i|=-^/l2+(―2)2=V5.

故選：C.

2.(2022?北京?高考真題)若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3—4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出z,再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.

【詳解】由題意有Z=上11=(31：)(丁=_4_3i,故|Z|=，(一4)2+(-3)2=5.

故選：B.

即時(shí)檢測

I______________________

1.(2020?全國?高考真題)若z=l+i,則|Z2—2Z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】由題意首先求得z2-2z的值，然后計(jì)算其模即可.

【詳解】由題意可得:z2=(1+I)2=2i,ffllz2-2z=2i—2(1+i)=-2.

故以2-2z|=|-2|=2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2020?全國?高考真題)設(shè)復(fù)數(shù)Z],Z2滿足憶/=憶2|=2,+z2=V3+i,則|Z]-Z2|=.

【答案】2V3

【分析】方法一:令Zi=a+bi,QaER,bER),z2=c+di,(cER,deR),根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得ac+bd=

-2,代入復(fù)數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.

方法二：設(shè)復(fù)數(shù)z1*2所對應(yīng)的點(diǎn)為Z1匕2,番=市1+及2,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模，判定平

行四邊形OZ1PZ2為菱形，I而I=IOZ1I=|OZ2|=2,進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計(jì)算氏-

Z2l.

【詳解】方法一：設(shè)Zi=a+bi,(a€R,b€R),z2=c+di,(ceR,dER),

???Zi+z2=a+c+(b+d)i=V3+i,

.,.{；；)=，，又|z/=|z2|=2,所以a2+》2=4,c2+d2-4,

(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4

ac+bd—2

22

|zt—z2\—|(a—c)+(b—cT)i\—yj{a—c)+(6—d)=,8—2(ac+bd)

=V8T4=2V3.

12

故答案為：2VI

方法二：如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)Z1，Z2所對應(yīng)的點(diǎn)為Z1，22，m=被1+被2,

由己知I而I=V3TT=2=IOZJ=|0Z2|,

二平行四邊形OZ1PZ2為菱形，且△OPZ1，ZkOPZ2都是正三角形，...NZ10Z2=120。,

2222

|Z/2|2=IOZJ+\OZ2\-2|0Z1||0Z21cos120。=2+2-2?2?2-(-1)=12

；?憶1-Z2|=|Zj_Z21—2V3.

z2

【點(diǎn)睛】方法一：本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是

一道中檔題.

方法二：關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解

3.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）若z=2—i-券（久6R）且|z|=1,則x取值的集合為（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,根據(jù)|z|=l得方程，求解即得.

【詳解】Z=2—i-土=（2f（2+i）一（?。?

2+i2+i2+i

因|z|=l,貝”殳著|=1,即專早=i,

可得，（5—%y+l=5,解得，％=3或7.

故選：C.

4.（2024?貴州?模擬預(yù)測）|1-1|=（）

A.V2B.V5C.2D.5

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算得2-1=-l-2i,再利用模長的計(jì)算公式，即可解.

1

【詳解】因?yàn)獒?1=-l-2i,所以p-1|=|-1-2i|=V1T4=V5,

故選：B.

考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)方程問題

*典例引領(lǐng)

1.（2024?江西?模擬預(yù)測）已知1+i是實(shí)系數(shù)方程/+a久+b=0的一個(gè)根.則a+b=（）

13

A.4B.-4C.0D.2

【答案】C

【分析】利用實(shí)系數(shù)的一元二次方程的虛根成對原理結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?+i是關(guān)于％的方程/+Q%+b=O(a,bGR)的一個(gè)根，

則1一i也是關(guān)于工的方程久2+。％+力=oQbGR)的一個(gè)根.

可得[Uki?=一?解得a=—2,b=2,

(.(1+i)x(1-i)=o

所以a+Z?=0.

故選：C.

2.(2024?四川宜賓?三模)已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+1=0且2是z的共輾復(fù)數(shù)，貝Uz+2=()

A.-1B.IC.V3D.-V3

【答案】A

【分析】由韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】由求根公式可知，若z為方程z2+z+l=0的根，則其共輾復(fù)數(shù)2也是該方程的根，

故由韋達(dá)定理可知，z+z=-^=-l.

故選：A.

1.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足z3=l+gi,則2=()

A.1+V3iB.魚(cos^1+isin自

C.1+V3iD.皿cos^+isinS

【答案】D

【分析】設(shè)z=rcosd+rsin0i(r>0,6E[0,2兀))，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式計(jì)算可得答案.

【詳解】設(shè)z=rcosB+rsin歷(廠>0,0G[0,2兀))，

所以z3二丁3cos36+ir3sin30=l+V3i,

可得sin30=舊,兩式相除可得tan38=百，

(r3cos38=1

可得3e=：+/m(kez),6?=^+y(/cez),

因?yàn)閑e[0,2兀)，所以”；口,,與甘，華,

當(dāng)9=1時(shí)，r3sin^3x=V3,解得丁=遮，此時(shí)z=版((：05：+isin3),

當(dāng)8=短時(shí)，r3sin^3x^=V3,解得廠3=一2,舍去，

當(dāng)6=(時(shí),r3sin^3x^=V3,解得丁=好,此時(shí)z=V^(cos￡+isin)),

14

當(dāng)。=華時(shí)，r'sin(3x皆)=舊，解得73=—2,舍去，

當(dāng)時(shí)，r'sin(3x號(hào))=百，解得r=冠，此時(shí)z=短(cos手+ising)

當(dāng)。=等時(shí)，Nsin(3X詈)=舊，解得f3=一2,舍去，

結(jié)合選項(xiàng)，只有D正確.

故選：D.

2.(2024?山西陽泉?三模)已知2+i是實(shí)系數(shù)方程/+px—q=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則p+q=()

A.-9B.-1C.1D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)虛根成對原理2-i也是實(shí)系數(shù)方程d+PK-q=o的一個(gè)復(fù)數(shù)根，再由韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?+i是實(shí)系數(shù)方程/+—q=o的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

則2-i也是實(shí)系數(shù)方程/+px-q-0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

所以戶藍(lán)：笈一:解得憶一1

k-q=(2+1)(2-1)kq=-5

所以p+q=-9.

故選：A

3.(2024?重慶九龍坡?三模)設(shè)Zi，Z2是關(guān)于X的方程A2+p%+q=0的兩根，其中p,qCR,若z1=一1+V^i

(i為虛數(shù)單位)，則工+工=()

Z1Z2

A.--2B.2￡C.-2D.2

33

【答案】A

【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)根的關(guān)系求出另一個(gè)根，再代入求解即可.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于X的方程式2+p%+q=0(p,qeR)的一個(gè)根為Zi=-1+V2i,

所以另一個(gè)根Z2=-1—V2i,

所以工_1__1?1_-1-Ti-i+-i__2

刈十石--1+V2i+-1-V2i_(-1+V2i)(-1-V2i)~-3,

故選：A.

4.(2024?天津河西?模擬預(yù)測)已知2i—3是關(guān)于汽的方程2%2+p%+q=0(p,q￡R)的一個(gè)根，則

p+q=.

【答案】38

【分析】代入方程結(jié)合復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則待定系數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】將％=2i-3代入方程2,+p%+q=。

得2(2i-3)2+p(2i-3)+q=(2p-24)i+10—3p+q=0,

所以In"cn=>DG'所以p+q=38.

(10-3p+q=0(q=26/1

故答案為：38

15

考點(diǎn)八、復(fù)數(shù)最值與取值范圍

典例引領(lǐng)

1.(2024?黑龍江牡丹江?一模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a+bi,a,bER且滿足|z-i|=V2,求點(diǎn)Z(a,b)

到直線y=x+3距離的最大值為()

A.0B.2V2-2C.V2D.2V2

【答案】D

【分析】根據(jù)模長求出軌跡方程再求出圓心和半徑，最后應(yīng)用圓心到直線距離求出距離的最大值.

【詳解】z=a+bi,\z-i\=V2,

則|a+(b—l)i|=魚，即。2+他一1)2=2,圓心為(0,1),半徑為「=衣，

圓心(0,1)到直線x-y+3=0的距離d==V2,

故點(diǎn)Z(a,b)到直線y=久+3距離的最大值為d+r=&+企=2&.

故選：D.

2.(2024?山東煙臺(tái)?三模)若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z—2-2i|,則|z|的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)集是線段。力的垂直平分

線，其中。(0,0),4(2,2),

所以|z|的最小值為(。川=[療百=V2.

故選：B.

即時(shí)性w

1.(2024?云南?二模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足|z-1|=|z+i|,則|z-i|的最小值為()

A.—B.-C.-D.0

223

【答案】A

【分析】由模長公式結(jié)合題設(shè)條件得條件等式丫=-％,結(jié)合模長公式將所求轉(zhuǎn)換為求二次函數(shù)最值即可.

【詳解】設(shè)z=%+WR),而|z—1|=|z+i|,所以(％—+y2=第2+@十1)2,即丫=一％,

所以|z-i|=y]x2+(y—1)2=+(一第一1)2=+2%+1=[(X+g1>y,等號(hào)成立當(dāng)且僅

當(dāng)y=-%=|,

16

綜上所述，|z-i|的最小值為爭

故選：A.

2.(2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)Zi，Z2滿足出-3“=2,氏-4|=1,則歷-z2|的最大值是()

A.6-V2B.6+V2C.7D.8

【答案】D

【分析】設(shè)Zi=a+bi,a,beR,復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Zi(a,b),z2-x+yi,x,y6R,復(fù)數(shù)z2在

復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z2(x,y),依題意可得Zi、Z2的軌跡方程，最后根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義計(jì)算可得?-Z2|

的最大值.

【詳解】設(shè)Zi=a+6i,a,beR,z2=x+yi,x,y6R,

因?yàn)閨ZI-3i|=2,|z2-4|=1,

所以a?+(6—3)2=4,(x-4)2+y2=L

所以點(diǎn)Zi(a,b)的軌跡為以(0,3)為圓心，2為半徑的圓，

點(diǎn)Z2(x,y)的軌跡為以(4,0)為圓心，1為半徑的圓，

又口一Z2I表示點(diǎn)Z/a,b)與Z2(x,y)的距離，

所以|zi-Z21的最大值是J(0-4尸+(3—0)2+3=8,

故選：D.

3.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))設(shè)Z6C,且(z+5)(2+5)=4,則z?的實(shí)部的取值范圍為()

A.[8,36]B.[9,49]

C.[10,64]D.[11,81]

【答案】B

【分析】z=a+bi(a,6€R),由(z+5)(2+5)=4,可得(a+5尸+L=4,設(shè)a=—5+2cos0,b=2sin0,

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及余弦函數(shù)的值域即可求解.

【詳解】設(shè)z=a+bi(a,Z?e/?),貝!J。=a-歷，

所以z+5=a+5+bi,Z+5=a+5—?dú)v，

所以(z+5)(2+5)=(a+5尸+扭=4.

設(shè)a--5+2cos仇b—2sin0,

z2=(a+hi)2-a2,—b2+2a歷，故z?的實(shí)部為a?—b2,

所以a2—b2—4cos2。—2Ocos0+25+4sin20

=29-20cos6?e[9,49],

即z2的實(shí)部的取值范圍為[9,49].

故選:B.

4.(23-24高三下?江西?開學(xué)考試)已知復(fù)數(shù)2=。+折(￡1/67?).且[2—1—2|=1,則筆的取值范圍為()

a+1

人[三±三耳B.(-8,三耳u[^,+8)

17

D.（-8，F(xiàn)]U[竽,+8）

c號(hào),噌

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得到復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以(2,-1)為圓心，1為半徑的圓C,

得到圓的方程2)2+(>+1)2=1，再由鬻=*+1,結(jié)合票的幾何意義為過圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)力的直

線I的斜率匕利用直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)z滿足|2—i—z|=1,即為|z-2+i|=l,

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z(a,6)的軌跡是以(2,-1)為圓心，1為半徑的圓C,

即圓C:(a-2)2+(b+1)2=1,

如圖所示，空=空+1，

a+1a+1

又由M的幾何意義為過圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)4(-1,1)的直線Z的斜率k,

a+1

直線2的方程為ka-b+k+1^0,

由題意可知，圓心C到直線/的距離dW1,即粵幺W1,

—3+V3QI-|-3—V3b—1.—3+V3

解得苧Q------,即------V----<-------

44-a+1-4

又由學(xué)=二+1,—i*zg1—V3/b+a1+V3

a+la+1可特丁《六三工.

考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)軌跡問題

典例引領(lǐng)

1.(2024?江蘇南京?三模)已知復(fù)數(shù)z滿足|z-引2=z+2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】設(shè)2=乂+必(x,yGR),運(yùn)用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)z=%+yi(%,yGR),貝吃=x-yif

18

所以z+z=%+yi+x—yi=2%,z—z=(%+yi)—(x—yi)=2yi,

所以|z-團(tuán)2=4y2,

又|z—z|2=z4-z,所以4y2=2x,即y2二

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為拋物線.

故選：D.

2.(2024?廣東揭陽?二模)已知復(fù)數(shù)