高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專練：函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用【八大題型】

重難點(diǎn)03函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用【八大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】............................................................3

【題型2函數(shù)的最值問題】.....................................................................4

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】............................................................4

【題型4函數(shù)的對稱性的應(yīng)用】................................................................5

【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】...........................................................5

【題型6類周期函數(shù)1...............................................................................................................6

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)】.....................................................................7

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】................................................................8

?命題規(guī)律

從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個熱點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性是

高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查,

解題時要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活求解.對于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考查基本初等函

數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，主要考察方向是：判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較??；

對于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查難度較大.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值的求解方法】

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

(2)函數(shù)產(chǎn)細(xì)⑴)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)/2)和內(nèi)層函數(shù)Ug(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

(3)函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：

①若/⑺是增函數(shù)，則-/⑴為減函數(shù)；若/⑺是減函數(shù)，則-/⑴為增函數(shù)；

②若/(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(尤)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函

數(shù)；

③若/(x)>0且“X)為增函數(shù)，則函數(shù)77而為增函數(shù)，」一為減函數(shù)；

f(x)

④若〃x)>0且/(x)為減函數(shù)，則函數(shù)/而為減函數(shù)，一匚為增函數(shù).

/(X)

3.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復(fù)雜函數(shù)求最值：

對于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

【知識點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】

1.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷/U)與八㈤是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系

式伏尤)切？尤)=。(奇函數(shù))或兀0力-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

(3)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的

函數(shù)，如f(x)+g(x),f(x)~g(x),/(x)Xg(x)J(x)+g(x).

對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶土偶=偶；奇土偶=非奇非偶；奇*(+)奇=偶；奇*(十)偶=奇;

偶X")偶=偶.

(4)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(5)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=m(a+1)(x0)或函數(shù)—=〃;("I.

a-1<2+1

②函數(shù)/(無)=土⑷-L).

③函數(shù)/(X)=log”葉2=loga(1+3-)或函數(shù)/(X)=loga=loga(1--—)

x—mx—mx+mx+m

④函數(shù)，(x)=log”(Jx?+1+x)或函數(shù)/(x)=log“(Vx2+1-x).

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的

函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

【知識點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對稱性常用結(jié)論】

1.函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))

(1)若兀葉①寸元)，貝I]T-a-,

(2)若/(x+a)書x-a),貝!]T=2a；

(3)若於+。)=次1),貝!JT=2a；

(4)若Xx+a)=/(q)，則T=2a；

(5)若#]+〃)=-f(J),則T=2a；

(6)若y(x+〃A/(x+Z?),則T=\a-b\(a^b);

2.對稱性的三個常用結(jié)論

(1)若函數(shù)/(%)滿足/(4+工1/(/?-%),則尸於:)的圖象關(guān)于直線％="：臺對稱.

(2)若函數(shù)y(x)滿足y(4+x)=；/(z?-%),則產(chǎn)/⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)o卜寸稱.

(3)若函數(shù)?x)滿足/(a+x)t/S-x)=c,則產(chǎn)/⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.

3.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸％=〃，x=b(a<b),則函數(shù)F(x)是周期函數(shù)，且T=2S-〃)；

(2)若函數(shù)y=/(%)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(0,c)(a<6),則函數(shù)y=/(%)是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(3)若函數(shù)>=/(%)有一條對稱軸x=。和一個對稱中心S,O)(a<。)，則函數(shù)y=/(%)是周期函數(shù)，且

T=4(b-a).

?舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

【例1】(2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若對VX6R都有/?(3+x)=/(l—x),

且“久)在(2,+8)上單調(diào)遞減，貝仔(1),/(2)與f(4)的大小關(guān)系是()

A./(4)</⑴</⑵B./⑵</(I)</⑷

C.f⑴</⑵</(4)D.f(4)<f⑵<f⑴

【變式1-1](2023?山西朔州?懷仁市第一中學(xué)校?？级?定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(2—x)=/(x),

且當(dāng)%>1時，f(切單調(diào)遞增，則不等式f(2-%)>f(x+1)的解集為()

A.悖,+8)B,(0,|]C,(-0°,-|]D.(-oo,|]

【變式1-2](2023上?江西鷹潭?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=1x>1是[一3+8)上

IX'

的減函數(shù)，貝b的取值范圍是()

A.B.

C.D.(-oo,-l)

【變式1-3](2023?四川綿陽?統(tǒng)考三模)設(shè)函數(shù)/(%)為|x|-1與/—2a尤+a+3中較大的數(shù)，若存在久使

得/(x)<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[一1,-1)U(1,4]B.(-8,一]]u[4,+8)

C.(-8呼)U(H]D.[-1,1]

【題型2函數(shù)的最值問題】

【例2】(2023?江西九江??？寄M預(yù)測)若0<x<6,貝|6萬-尤2有()

A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9

【變式2-1](2023?全國?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/。)=6%—(6+3)/在上的最小值為—3,則實(shí)數(shù)6

的取值范圍是()

A.(-co,-4]B.[9,+00)C.[-4,9]D.[-|,9]

【變式2-2](2023上?廣東廣州?高一?？茧A段練習(xí))定義一種運(yùn)算min{a,b}={霽：：，設(shè)/(久)=

min{4+2x—/，比―”}(t為常數(shù)，且久€[—3,3],則使函數(shù)/(%)的最大值為4的t的值可以是()

A.-2或4B.6C.4或6D.-4

【變式2-3](2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模)若函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镈,如果對D中的任意一個x,都有f(x)>

0,-xeD,且f(-久)/(久)=1,則稱函數(shù)f(x)為“類奇函數(shù)”.若某函數(shù)g(x)是“類奇函數(shù)”，則下列命題中，

錯誤的是()

A.若0在g(x)定義域中，則g(0)=l

B.若gCOmax=9(4)=4,貝！lg(0min=9(-4)=[

C.若gO)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，則g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減

D.若g(x)定義域?yàn)镽,且函數(shù)/i(x)也是定義域?yàn)镽的“類奇函數(shù)”，則函數(shù)G(x)=gO)/iQ)也是“類奇函

數(shù)”

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】

【例3】(2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)久>0時，/(x)=ax+l,

若/(—2)=5,則不等式f(x)>巳的解集為()

B.(-j,O)U(O,i)

C(-8,-￡)U&+8)D-(一訓(xùn)U&+8)

【變式3-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)，g(x)的定義域均為R,f(3x+l)為奇函數(shù)，g(x+2)為

偶函數(shù)，/(%+l)+g(l—%)=2,f(0)=-1，則》匕g(k)=()

A.-51B.-C.—D.—

222

【變式3-2](2023?安徽亳州?蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)g(%)

是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%)，g(%)在[0,+8)上單調(diào)遞減，則()

A-f(f⑵)>/(/(3))B.f(g⑵)<f(g⑶)

C.g(g⑵)>g(g(3))D.g(/⑵)<g(/⑶)

【變式3-3](2023?江西吉安?江西省遂川中學(xué)?？家荒?若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：對任意打，冷6氏有

/(%1+%)=/(%1)+

2/(x2)-2016,且％>0時,/(%)>2016,記FO)在[一2017,2017]上的最大值和最

小值為M,N,則M+N的值為()

A.2016B.2017C.4032D.4034

【題型4函數(shù)的對稱性的應(yīng)用】

【例4】(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于直線y=x對稱，且

當(dāng)工€[—1,0]時，/(%)=X2,則/(?)=()

199717

A.--B.--C.--D.

4224

【變式4-1](2023?四川綿陽?綿陽中學(xué)校考一模)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+久)+f(a-K)=2b,則說y=

f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱，則函數(shù)人乃=喜+筌+譽(yù)+…+慧H+溪If的對稱中心是()

A.(-1011,2022)B.(1011,2022)C.(-1012,2023)D.(1012,2023)

【變式4-2](2023?四川南充?四川省南充高級中學(xué)?？既?函數(shù)f(x)和g(x)的定義域均為R,且、=

f(3+3%)為偶函數(shù),y=g(x+3)+2為奇函數(shù),對VxeR,均有/'(久)+g(x)=/+1,則/'⑺g(7)=()

A.615B.616C.1176D.2058

【變式4-3](2023?甘肅張掖?高臺縣校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,〃X-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)

對稱，"3)=0,且對任意的與,久2e(-8,0),久1彳久2,滿足必匕但<0，則不等式(久一l)f(x+l)20

%2一比1

的解集為()

A.(—8,1]u[2,+oo)B.[—4,—1]U[0,1]

C.[-4,-1]U[1,2]D.[-4,-1]U[2,+oo)

【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】

【例5X2023?四川宜賓?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g。)的圖像關(guān)于x=1對稱，且g(2x+2)

為奇函數(shù)，g⑴=l,/(x)=g(3-x)+1,則下列說法正確的個數(shù)為(

①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④比腎/(n)=2024.

【變式5-1X2023?北京大興??？既?已知函數(shù)f(x)對任意％eR都有+2)=—f(x),且f(一久)=-/(%),

當(dāng)xe(一1,1]時，f(%)=/.則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(keZ)對稱

B.函數(shù)y=/(久)的圖象關(guān)于直線x=2k也eZ)對稱

C.當(dāng)xe[2,3]時，/(x)=(x-2)3

D.函數(shù)y=|f(久)|的最小正周期為2

【變式5-2](2023?四川綿陽?綿陽校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)人久)的定義域?yàn)镽J(1)=0,且f(0)*0,Vx,yGR

都有f(久+y)+f(x-y)=2/O)f(y),則下列說法正確的命題是()

①/'(o)=1；②v久eR,f(-久)+/(x)=0；

③/O)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱；④星?,/0)=—1

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

【變式5-3](2023?安徽合肥?合肥一中?？寄M預(yù)測)己知函數(shù)/(無)與g。)的定義域均為R,/(久+1)為偶

函數(shù)，且f(3-久)+。(久)=1,/(x)-5(1-x)=1,則下面判斷錯誤的是()

A./(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)中心對稱

B./(%)與g(x)均為周期為4的周期函數(shù)

C-2譽(yù)/①=2022

D-2譽(yù)如=0

【題型6類周期函數(shù)】

【例6】(2023?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測)定義在R上的函數(shù)/(%)滿足f(%+l)=|/(%),且

當(dāng)久￡[0,1)時，/(%)=1—|2%—1].當(dāng)久E[?n,+8)時，/(%)<*則m的最小值為()

A.—B.—C.—D.—

8844

【變式6-1](2023上?湖南長沙?高三?？茧A段練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)滿足/(%+2)=2/(%)-1,當(dāng)

x2—x.xE(0.1)7,

xE(0,2］時，/(%)=I1].若xe(0,4]時，t2—W3—t恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍

是()

A.[1,2]B,[1,|]C,[|,2]D,[2,|]

【變式6-2](2022.四川內(nèi)江?校聯(lián)考二模)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(久)滿足/(x+2)=3/(%),當(dāng)x6[0,2]時，

f(x)=X2—2x,若xe[—4,—2]時，/⑶22(T)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.(-00,-1]u(0,3]B.(-oo,-VJ|U(0,V3]

C.[-1,0)U[3,+oo)D.[-V3,0)U[V3,+oo)

【變式6-3](2023上?浙江臺州?高一校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,滿足f(x)=2f(久-2),且當(dāng)

久6(0,刀時，f(x)=x(2-x).若對任意支€(-8,爪],都有f(x)W3,則小的取值范圍是()

A.(―8,|]B.(-00)1]

C.(-00)|]D.(-8,3]

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)】

【例7】(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考二模)已知/(久)，9(久)都是定義在R上的函數(shù)，對任意x,y滿足“久一y)=

f(x)g(y)—g(x)f(y)，且/(一2)=f(i)4o,則下列說法正確的是()

A.f(0)=1B.函數(shù)g(2x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

C.g(l)+g(—l)=OD.若/(I)=1,則￡四空/(n)=1

【變式7-1](2023?福建寧德?福鼎市?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(久)的定義域均為R,對任

意的居yeR,恒有fO+y)+/(%-y)=2/(x)/(y),則下列說法正確的個數(shù)是()

①f(0)=0;②尸⑺必為奇函數(shù)；③/⑴+"0)20；④若/⑴=%則￡膂/㈤=1.

A.1B.2C.3D.4

【變式7-2](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)居y恒有/(x-y)+/(x+y)=/(2久)成

立，且當(dāng)x<0時，/(%)>0.

(1)求f(0)的值；

(2)判斷/(久)的單調(diào)性，并證明；

(3)解關(guān)于x的不等式:/■[久2-(a+2)x]+f(a+y)+f(a-y)>0.

【變式7-3](2023上?廣東東莞?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x+y)=/(x)+/(y),

當(dāng)x>0時，f(x)<0,且/'(1)=-2.

(1)判斷/(%)的奇偶性;

(2)判斷函數(shù)單調(diào)性，求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值；

(3)若/(x)<m2-2am+2對所有的x6[-1,1],a&[-1,1]恒成立，求實(shí)數(shù)nt的取值范圍.

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

[例8](2023上?河北石家莊?高一校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=ax,g(x)^b-a-x+x,a>。且a+1,

若/■⑴+g⑴=1，/1⑴-⑴=|，設(shè)h(x)=/(x)+g(x),%G[-4,4].

(1)求函數(shù)％(久)的解析式并判斷其奇偶性；

(2)判斷函數(shù)/i(x)的單調(diào)性(不需證明)，并求不等式八(2x+1)+h(2久-1)20的解集.

【變式8-1)(2023上?上海?高一?？计谥?已知定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù)八支)滿足：①f(x)是偶函數(shù)；②"為

不是常值函數(shù)；③對于任何實(shí)數(shù)x、y,都有/(x+y)=/O)/(y)—/(1—0/(1—y).

(1)求/(I)和/(0)的值；

⑵證明:對于任何實(shí)數(shù)%,都有7?(%+4)=/(%)；

(3)若f(x)還滿足對0<x<1有f(x)>0,求fG)+/G)+…+/(等)的值.

【變式8-2](2023下?山西運(yùn)城?高二統(tǒng)考期末)已知/0)=產(chǎn)1+ei-x+x2_2x+a,

(1)證明：/(%)關(guān)于％=1對稱;

⑵若/(%)的最小值為3

(i)求a；

(ii)不等式/(m(e*+e-x)+1)>/(ex—%)恒成立，求血的取值范圍

【變式8-3](2023下?廣東?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=0(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形的充要

條件是+%)+(p(a-x)=2b.給定函數(shù)/(%)=%-3及其圖象的對稱中心為(一1,。).

⑴求。的值；

⑵判斷/(%)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性并用定義法證明；

(3)已知函數(shù)g(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱,且當(dāng)％E[0,1]時,5(x)=x2-mx+m.若對任意久[e[0,2],總

存在%2w[1,5],使得g(%i)=/(%2)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

?直擊真題

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)若f(x)=(>+a)ln落為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.0C.-D.1

2

2.(2021.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/O)的定義域?yàn)镽,7(%+2)為偶函數(shù)，/(2x+1)為奇函數(shù)，則()

A./(-1)=0B./(-1)=0C./⑵=。D./⑷=0

3.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/