高考數(shù)學專項復習：導數(shù)必考壓軸解答題全歸類【十一大題型】（新高考專用）

重難點06導數(shù)必考壓軸解答題全歸類【十一大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1函數(shù)的切線問題】.....................................................................3

【題型2（含參）函數(shù)的單調(diào)性問題】...........................................................4

【題型3函數(shù)的極值、最值問題】..............................................................5

【題型4函數(shù)零點（方程根）問題】............................................................6

【題型5不等式的證明】.......................................................................7

【題型6利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】......................................................8

【題型7利用導數(shù)研究能成立問題】............................................................9

【題型8雙變量問題】........................................................................11

【題型9導數(shù)中的極值點偏移問題】...........................................................12

【題型10導數(shù)與三角函數(shù)結合問題】..........................................................13

【題型11導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】.......................................................14

?命題規(guī)律

導數(shù)是高中數(shù)學的重要考查內(nèi)容，是高考必考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，在解答題中試題

的難度較大，主要涉及導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性問題、函數(shù)的極值和最值問題、函數(shù)零點問題、不

等式恒成立與存在性問題以及不等式的證明等內(nèi)容，考查分類討論、轉化與化歸等思想，屬綜合性問題，

解題時要靈活求解.

其中，對于不等式證明中極值點偏移、隱零點問題和不等式的放縮應用這三類問題是目前高考導數(shù)壓

軸題的熱點方向.

?知識梳理

【知識點1切線方程的求法】

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)在x=xo處的導數(shù)，即曲線y寸龍）在點（無0危0））處切線的斜率；

②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=yo+f（xo）（x-xo）.

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設出切點坐標T（xo雙3））（不出現(xiàn)加）；

②利用切點坐標寫出切線方程：＞=⑥0）+八＞0）。-尤0）;

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點2導數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】

1.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

（1）研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因

式分解，則需討論判別式4的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關系處理：y=/(x)在(0力)上單調(diào)，則區(qū)間(七。)是相應單調(diào)區(qū)間的子集.

(2求x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的xGQ6)都有/(x)>0(T(x)<0),且在(a,6)內(nèi)的任一非空子區(qū)間

上，了(無)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉化為不等式有解問題.

【知識點3函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導數(shù)求函數(shù)八x)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)兀0的定義域；

(2)求導數(shù)/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗了(無)在/(元)=0的根沏左右兩側值的符號；

(5)求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

(1)利用導數(shù)求函數(shù)/(尤)在［a,句上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值八a),fib)；

③將函數(shù)五幻的各極值與八①，式6)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和

極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識點4導數(shù)的綜合應用】

1.導數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題

利用導數(shù)研究含參函數(shù)的零點(方程的根)主要有兩種方法：

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)1X)的最值，轉化為/U)圖象與X軸的交點問題，主要是應用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由兀r)=0分離參變量，得。=8(尤)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.

2.導數(shù)中的不等式證明

(1)一般地，要證Kr)>g(x)在區(qū)間(a,加上成立，需構造輔助函數(shù)F(x)=/(X)—ga),通過分析網(wǎng)x)在端點

處的函數(shù)值來證明不等式.若F(。)=0,只需證明尸(x)在(a,6)上單調(diào)遞增即可；若F(b)=。,只需證明尸(無)

在(a,b)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉化為兩個函數(shù)的最值問題.

3.導數(shù)中的恒成立、存在性問題

解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路：

(1)分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另

一端是變量表達式的不等式，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題.

(2)分類討論法解決恒(能)成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數(shù)進行分

類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進行求解即可.

4.導數(shù)中的雙變量問題

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.

5.極值點偏移的相關概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性.

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個極值點與,方程/(幻的解分別為

再、x2,且a</<々<沙.

(1)若%；馬/X。，則稱函數(shù)y=/(X)在區(qū)間(xpx2)上極值點X。偏移；

(2)若％>x°,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(玉,々)上極值點/左偏，簡稱極值點為左偏；

(3)若生產(chǎn)</,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(石,聲)上極值點/右偏，簡稱極值點為右偏.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的切線問題】

【例1】(2023?河南?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/(久)=a(e'-1)-In%.

(1)當a=1時，求/O)的圖象在點(14(1))處的切線方程；

(2)當a>1時，證明：/(%)>sinx.

【變式1-11(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=aex+bx+c在%=ln2時有極小值.曲線y=/(%)在

點(0廳(0))處的切線方程為％+y=0.

(1)求a,hc的值；

(2)若對任意實數(shù)%,/(%)>(e-2)x+TH恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【變式1-2](2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)函數(shù)f(久)=|+In久在x=4處的切線方程為y=

⑴求九(%);

(2)已知:<a<1,過(a,b)可作f(%)的三條切線，證明：h(a)<b</(a).

【變式1-3](2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=a\nx—Qa—l^x2—2%+|a+1.

(1)當a=4時，求f(%)的極值及曲線y=/(%)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

【題型2(含參)函數(shù)的單調(diào)性問題】

[例2](2023?海南?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)f(%)=xlnx-ax2.

(1)當a=1時，討論函數(shù)f(%)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(%)>aex+(1-a)x2-%恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式2-1](2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)f(x)=%e\x6R.

(1)求函數(shù)/(久)=久e*單調(diào)區(qū)間；

(2)若過點P(l,t)(tGR)可以作曲線y=/(乃的3條切線，求實數(shù)t的取值范圍.

【變式2-2](2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=2e，—ax,aeR.

(1)討論函數(shù)fCO的單調(diào)性；

(2)當a=e時，求證：/(x)>e(l—cosx).

【變式2-3](2023?河北邢臺?寧晉中學?？寄M預測)已知函數(shù)〃x)=a(eX+eT)-l(a是非零常數(shù)，e

為自然對數(shù)的底數(shù))

⑴討論函數(shù)人久)的單調(diào)性；

(2)當a>0時，若f(x)-1N/在R上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【題型3函數(shù)的極值、最值問題】

【例3】(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=比Inx+(t-1)(%-t)(teR).

⑴當t=0時,討論函數(shù)f(x)的極值；

(2)若F(x)=/(久)一捺有兩個不同的極值點，求f的取值范圍.

【變式3-1](2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預測)已知奇函數(shù)/(久)=ax3+bx2+ex在x=1處取得極大值2.

(1)求/的解析式；

(2)求/O)在[-4,3]上的最值.

【變式3-2](2023?寧夏固原?寧夏回族自治區(qū)西吉中學?？寄M預測)已知實數(shù)a>0,函數(shù)/(x)=久Ina-

alnx+(x-e)2,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=e時，求函數(shù)/(￡)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/(x)存在極值點而，并求通的最小值.

【變式3-3](2023?吉林長春?東北師大附中校考二模)已知函數(shù)/'(x)=ni久e-x+x-lnx(meR).

(1)討論函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)；

(2)若m〉0,/(x)的最小值是1+Inzn,求實數(shù)ni的取值范圍.

【題型4函數(shù)零點(方程根)問題】

【例4】(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=2x+^+a.

(1)當a=1時，求曲線/(%)在點處的切線方程.

(2)若/Q)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式4-1](2023?廣東廣州?廣東廣雅中學?？级?已知函數(shù)/(乃=In久+§-1.

⑴求函數(shù)/(%)的最小值；

(2)若g(x)=x2[/(x)+1-a]-%+a,求函數(shù)g(%)的零點個數(shù).

【變式4-2](2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=%+1—aln%.

⑴判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

(2)若/(%)=1有兩個不相等的實根%L%2，且%1<%2，求證：+%2>

【變式4-3](2023?廣西?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=21n(%+1)+-2%+m有三個零點，mER.

(1)求zn的取值范圍；

(2)記三個零點為％且％1<x2<x3,證明：x3—<2.

【題型5不等式的證明】

【例5】(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=2e%—ex.

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/(x)>e(lnx+cosx).

【變式5-1](2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)f(%)=%-77iln%(znER).

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若存在不相等的實數(shù)久1，%2，使得f(%1)=/(%2)，證明：0Vm<%i+%2?

【變式5-2](2023?四川成都?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(%)=e%—asin%(a>0),曲線y=/(%)在(0,/(0))處的

切線也與曲線y=2x--相切.

⑴求實數(shù)Q的值；

(2)若均是f(x)的最大的極小值點，久2是/0)的最大的極大值點，求證：2<f(久1)+f(冷)〈萼.

【變式5-3](2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)fO)=x\nx-mx2-l.

(1)當m>凱寸，討論/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性；

2

(2)已知%],久2是/'(久)的兩個零點，證明：%1%2>V6e.

【題型6利用導數(shù)研究不等式恒成立問題】

【例6】(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=|a/一也久.

(1)當a=l.時，求/(%)的極值;

(2)若不等式/(x)2x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式6-1](2023?全國?模擬預測)已知/(乂)=ae*+In(久+1),a為任意實數(shù).

⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)令a=2,對Vx>0,均有f(x)>kx+2恒成立，求k的取值范圍.

【變式6-2](2023?云南紅河?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(久)=mx—Inx—eR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若關于x的不等式e工t+alnx一(a+l)x+a>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式6-3](2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/(X)=ae%—e-,(aGR).

(1)若f(x)為偶函數(shù)，求此時f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設函數(shù)g(久)=f(x)-(a+l)x,且存在久口上分別為9(久)的極大值點和極小值點.

(i)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)若ae(0,1),且g(Xi)+kg(%2)>0,求實數(shù)k的取值范圍.

【題型7利用導數(shù)研究能成立問題】

【例7】(2023?寧夏銀川??？寄M預測)已知函數(shù)/(%)=依01n(l+x)(/c>0).

(1)當k=1時，求曲線y=f(x)在點(0)(0))處的切線方程；

(2)如果存在X。e(0,+8),使得當xe(0,久0)時，恒有/■(>)</成立，求k的取值范圍.

【變式7-1](2023?河北?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(e-a)e*+久(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若存在實數(shù)a,使得關于久的不等式<4a恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

【變式7-2](2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測)已知/(%)=(%-a-l)e*-+口2%一L(aeR)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若a=-1,且存在x6(0,+8),使得/(x)WInx+卷/+(b+1)%,求b的取值范圍.

【變式7-3](2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(久)=eax-x.

(1)當a=1時，求曲線y=/(久)在點(0)(0))處的切線方程；

(2)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在的,久2e[―1,1]，使得〃久1)"(乂2)29,求。的取值范圍.

【題型8雙變量問題】

【例8】(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=(%+t)ln(x+t)+(t—l)x(t6R).

⑴當t=0時，討論函數(shù)/(%)的極值；

(2)已知F(%)=f(x)-ex,函數(shù)F(%)存在兩個極值點%i，冷，證明：％1+冷<°?

【變式8-1](2023?四川自貢?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(%)=。眇一%2有兩個極值點%]、如

(1)求a的取值范圍；

(2)若&>3/時，不等式+入%2N2%I%2恒成立，求4的最小值.

【變式8-2](2023?河南?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)f(%)=|mx2+(m—l)x—lnx(meR),g(%)=x2—^+1.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當?n>0時，若對于任意的%ie(0,+8),總存在%2e[1,+8),使得fO。>g(%2)，求m的取值范圍.

【變式8-3](2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)f(x)=W+ln%-a%,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a=l時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)g(x)=/(%)-9有兩個零點%<%2)，證明：?%2>e2.

【題型9導數(shù)中的極值點偏移問題】

[例9](2023?貴州畢節(jié)??？寄M預測)已知函數(shù)/(%)=(2%+a)\nx-3(%-a),a>0.

(1)當久>1時，/(x)>0,求a的取值范圍.

1

(2)若函數(shù)/(X)有兩個極值點久1，久2，證明：%1+%2>2e~.

【變式9-1](2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/(久)=xlnx-^x2-x+a(aeR)在其定義域內(nèi)有兩

個不同的極值點.

(1)求a的取值范圍；

1+A

(2)記兩個極值點為與,久2，且與<刀2—若％21>證明：e<x1■x^.

【變式9-2](2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預測)己知函數(shù)/(￡)="竽也

(1)若函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求a的最大值；

(2)若函數(shù)/(%)在定義域上有兩個極值點%1和%2，若%2>%i，A=e(e-2),求尢r1+外的最小值?

【變式9-3](2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/O)=x2(lnx-|a),。為實數(shù).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)在％=e處取得極值，/'(%)是函數(shù)/(%)的導函數(shù)，且尸(%1)=/'(第2)，xi<12,證明:2<%1+

%2<e

【題型10導數(shù)與三角函數(shù)結合問題】

【例10](2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=ax3+2sinx—xcosx.

(1)若a=0,判斷f(x)在上的單調(diào)性，并說明理由；

(2)當a>0,探究f(x)在(0,兀)上的極值點個數(shù).

【變式10-1】(2023?四川成都?成都七中校考一模)設函數(shù)F(x)=(1-4)cosx+4cosa一處土陋其中aG

X-CL

蛇)

(1)若4=1,討論F(%)在(aj)上的單調(diào)性;

(2)當xe(aj)時，不等式F(x)<0恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

【變式10-2】(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(%)=a/+2sin%—%cos%(其中a為實數(shù))

(1)若a=—|,XG(0,2),證明：/(%)>0；

(2)探究/(%)在(-m用)上的極值點個數(shù).

【變式10-3】(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=e/cosx+/)一(x+l)sinx,其中e是自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)求函數(shù)的圖象在點(04(0))處的切線方程;

(2)若x>-1,求證：/(x)>0.

【題型11導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】

IHA,

【例11】(2023?山東濟南??？寄M預測)設函數(shù)/(x)=o=Q>-1),已知/(%)21恒成立.

(1)求實數(shù)爪的值；

⑵若數(shù)列｛廝｝滿足即+1=111/(廝)，且的=1—ln2,證明：|ea?-1|<(1)n.

【變式11-1】(2023?海南??？谛Ｂ?lián)考模擬預測)已知函數(shù)與=lnx-也?.

x+lX+1

⑴若函數(shù)/(%)在［1,+8)上只有一個零點，求a的取值范圍；

f^=l2

(2)若a九=\In，記數(shù)列｛a九｝的前幾項和為立,證明：2Sn<ln(n+3n+2).

【變式11-21(2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預測)已知函數(shù)/(久)=

(1)證明：當x<0時，/(%)<1；當x〉0時，/(x)>1.

Xn+1

(2)正項數(shù)列｛xn｝滿足：e==1,證明：

(i)數(shù)列｛0｝遞減；

(ii)N2一左.

【變式11-3】(2023.上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)設函數(shù)加(x)=-l+x+捺+?+???+'.

(1)求函數(shù)/3(久)在點(1房(1))處的切線方程；

(2)證明:對每個幾6N*,存在唯一的為G[|,1],滿足加(xn)=0；

(3)證明:對于任意PeN*,由(2)中X"構成的數(shù)列｛%n｝滿足0<當一%n+p<：?

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)“X)=G+a)ln(l+x).

(1)當a=-1時，求曲線y=/(%)在點(1)(%))處的切線方程.

(2)若函數(shù)/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/Q)=a久-翳,xe(0,f.

⑴當a=1時，討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若f(%)+sinx<0,求a的取值范圍.

3.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設函數(shù)f(%)=%-x3eax+z?,曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的切線方程為y=

—x+1.

⑴求a,b的值；

(2)設函數(shù)g(%)=尸(%),求g(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求/(%)的極值點個數(shù).

4.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(久)=G+a)ln(l+x).

(1)當a=