高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：排列組合（新高考專用）含答案及解析

專題15排列組合

——題型一：相鄰問題0、易錯(cuò)點(diǎn)：相鄰與不相鄰問題處理方法不當(dāng)致誤

——題型二：不相鄰問題易錯(cuò)點(diǎn)：“捆綁法"中忽略了"內(nèi)醐例"或"整體列"

排列組合------題型三：排列組合綜合司、易錯(cuò)點(diǎn)：忽概例數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件

——題型四：力口法與乘法原理易錯(cuò)點(diǎn)：實(shí)際問題不清楚導(dǎo)致計(jì)算重復(fù)或者遺漏致誤

——題型五：相同元素與不同元素分配問題易錯(cuò)點(diǎn)：均勻分組與不均勻分組混淆致誤

易錯(cuò)點(diǎn)一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當(dāng)致誤（相鄰問題）

相鄰問題

技巧總結(jié)

相鄰問題

1、思路：對(duì)于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個(gè)整體，在于其他元素放在

一起考慮.如果設(shè)計(jì)到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進(jìn)行計(jì)算.

2、解題步驟：

第一步：把相鄰元素看作一個(gè)整體（捆綁法），求出排列種數(shù)

第二步：求出其余元素的排列種數(shù)

第三步：求出總的排列種數(shù)

易錯(cuò)提醒：排列組合實(shí)際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊

元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排

列）；

（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安

排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；

三當(dāng)

例、現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（)

A.A「A；種B.（A：-A?A；）種

C.A；種D.（A；-A3種

變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A,B,C,D,E,其中工序A,8必須相鄰，工序C,。不能

相鄰，那么有（）種加工方法.

A.24B.32C.48D.64

變式2：中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列.中國(guó)的目標(biāo)是到2030

年成為主要的太空大國(guó).它通過訪問月球，發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計(jì)劃.在航天

員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序8和C

實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（）

A.24種B.48種C.96種D.144種

變式3：為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，

以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩

階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（）

A.10種B.12種C.16種D.24種

1.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

2.六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相

鄰，則不同的排法共有（）

A.48種B.72種C.120種D.144種

3.把二項(xiàng)式的所有展開項(xiàng)重新排列，記有理項(xiàng)都相鄰的概率為p,有理項(xiàng)兩兩不相鄰的概率為q,

則"=（）

q

A.5B.-C.4D.一

54

4.A,B,C,D,E,E六人站成一排，滿足A,8相鄰，C,。不相鄰的不同站法的種數(shù)為（）

A.48B.96C.144D.288

5.2023年5月21日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分3:0戰(zhàn)

勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能

站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

6.為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識(shí)比賽活動(dòng).高一、高二、高三年級(jí)分別

有1名、2名、3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng).若將上述獲一等獎(jiǎng)的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)同學(xué)排在一起，則

不同的排法共有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

7.甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小

孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，

則所有不同站法的種數(shù)為（）

A.144B.864C.1728D.2880

8.某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和8不相鄰，則不同的排法共有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

9.某高鐵動(dòng)車檢修基地庫(kù)房?jī)?nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動(dòng)車01,02、

高鐵01,02,03共五列車入庫(kù)檢修，若已知兩列動(dòng)車安排在相鄰軌道，則動(dòng)車01停放在A道的概率為（）

A.—B.-C.—D.—

45810

10.班長(zhǎng)邀請(qǐng)A民四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議.如圖，班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四

個(gè)座位，則A3兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

①

1

B.

3

2

D.

3

11.將3名男生，2名女4要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（）

A.4種B.12D.

12.5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（）

A.70種B.72種C.36種D.12種

13.現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列，則（）

A.排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種

B.全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種

C.全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種

D.全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種

14.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種

B.若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種

C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種

D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種

15.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊(duì)訓(xùn)練，則（）

A.甲乙不相鄰的不同排法有48種

B.甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有36種

C.甲乙不排在兩端的不同排法有36種

D.甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種

16.某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會(huì)對(duì)他們的出場(chǎng)順序進(jìn)行安排，則下列

說法正確的是（）

A.若3個(gè)女生不相鄰，則有144種不同的出場(chǎng)順序

B.若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場(chǎng)順序

C.若4位男生相鄰，則有576種不同的出場(chǎng)順序

D.若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，共有72種不同的出場(chǎng)順序

17.某校高二年級(jí)安排甲、乙、丙三名同學(xué)到A,B,C,D,E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每名同學(xué)只

能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，且多名同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，則下列說法正確的有（）

A.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有50種

C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種

18.在樹人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生排成一排合

影，貝U（）

A.3名男生排在一起，有6種不同排法B.2名女生排在一起，有48種不同排法

C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法D.女生不站在兩端，有108種不同排法

19.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種

20.（多選）把5件不同產(chǎn)品A,B,C,D,E擺成一排，貝U（）

A.A與8相鄰有48種擺法

B.4與C相鄰有48種擺法

C.A,8相鄰又A,C相鄰，有12種擺法

D.A與2相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法

21.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老

師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（）

A.…B.A”C；A；C.C；C；A；D.夫

易錯(cuò)點(diǎn)二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”

（不相鄰問題）

不相鄰強(qiáng)

技巧總結(jié)

1.思路：對(duì)于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進(jìn)行全排列，然后將要求不相鄰

的元素插入到已排列的元素之間，最后進(jìn)行計(jì)算即可

2.解題步驟：

①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)

②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種（插空法），求出排列種數(shù)

③求出總的排列種數(shù)

易錯(cuò)提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)元素，然后與其

余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列.處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即

先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.但應(yīng)該注意插入

的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進(jìn)行排列.

例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù).

（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；

（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起.

變式1：為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，

以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩

階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（）

A.10種B.12種C.16種D.,24種

變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相令R,丙、丁不相鄰的概率為（

1-1-15

A.—B.C.-D.

543,12

變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有（）

A.12種B.24種C.72種D.120種

1.4名男生和3名女生排隊(duì)（排成一排）照相，下列說法正確的是（）

A.若女生必須站在一起，那么一共有A；A；種排法

B.若女生互不相鄰，那么一共有A；A：種排法

C.若甲不站最中間，那么一共有種排法

D.若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有A；-2A：種排法

2.某校文藝匯演共6個(gè)節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目3個(gè)，舞蹈類節(jié)目2個(gè)，語(yǔ)言類節(jié)目1個(gè)，則下列說法正確

的是（）

A.若以歌唱類節(jié)目開場(chǎng)，則有360種不同的出場(chǎng)順序

B.若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場(chǎng)順序

C.若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場(chǎng)順序

D.從中挑選2個(gè)不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法

3.現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是（）

A.4個(gè)空位全都相鄰的坐法有120種

B.4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有240種

C.4個(gè)空位均不相鄰的坐法有120種

D.4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有900種

4.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（）.

A.若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B.若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)，則不同的排法有20種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分

配方案有36種

5.現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是（）

A.4個(gè)空位全都相鄰的坐法有720種

B.4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有1800種

C.4個(gè)空位均不相鄰的坐法有1800種

D.4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有9000種

6.現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（）

A.A；-A；A；A：-A；A：B.A：A：

C.A；-A；A；A：-C；A；A；A：D.A：A：

7.為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”

六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（）

A.某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法

B.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有24。種排法

C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法

D.課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法

8.有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是（）

A.6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480

B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240

C.6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個(gè)工廠都有人），則有90種不同的安排方法

D.6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng)，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種

9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（）

A.若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B.若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)，則不同的排法有20種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分

配方案有72種

10.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法

種數(shù)是（）

A.36B.72C.81D.144

11.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬9月14日在浙江臺(tái)州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺(tái)州活力城市”為主題，全長(zhǎng)

8公里.從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺(tái)州市圖書館、文化館、體育中心等地標(biāo)建筑.假設(shè)某段線路由甲、乙等6

人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（）

A.288種B.360種C.480種D.504種

12.A,B,C,D,E五名學(xué)生按任意次序站成一排，其中A和B不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）

A.72B.36C.18D.64

13.某選拔性考試需要考查4個(gè)學(xué)科（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序中物理考

試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

3234

14.現(xiàn)有4男3女共7個(gè)人排成一排照相，其中三個(gè)女生不全相鄰的排法種數(shù)為（）

A.A；A；B.A；-A；A；C.A：A；D.A；-A；

15.黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長(zhǎng)短不等的b

兩段，使得長(zhǎng)線段。與原線段a+b的比等于短線段b與長(zhǎng)線段。的比，即a：（a+b）=6：a,其比值約為

0.618339.…小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6,1,8,3,3,9這六個(gè)數(shù)字組成了手機(jī)開機(jī)密碼，如果兩個(gè)3

不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（）

A.180B.210C.240D.360

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件（排列組合綜合）

1.兩個(gè)重要公式

(1)排列數(shù)公式

=7~\=〃(“一1X"-2)........{n-m+l)(n,mcN*,且＜n).

\ii-my.

(2)組合數(shù)公式

°”而匕T…且隆〃)

2、要點(diǎn)：C：=……'—加+1)一般用于計(jì)算,而c：=J和禺，=冬一般用于證

明、解方程(不等式).

重點(diǎn)：三個(gè)重要性質(zhì)和定理

組合數(shù)性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：C；=工=dmeN\且加<n)；

組合意義：從九個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素，則

從幾個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素后只剩下〃一加個(gè)元素了，則從九個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素與從"

個(gè)不同的元素中任取〃-加個(gè)元素是等效的.則CT"',故c;二c7".

等式特點(diǎn)：等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).

應(yīng)用：①簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)機(jī)〉〃時(shí)，通常將計(jì)算C：轉(zhuǎn)化為計(jì)算CT，如(^=0=8x7x6=56

23x2x1

②列等式：由C：=C3可得x=y或x+y=",如C；=C3則3=%或3+%=8故x=3或x=5.

(2)Ml=C：+C/T(〃,加eN*,且根<〃)；

組合意義：從(n+1)個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素，則C：：「

對(duì)于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的幾個(gè)元素中任取(m-1)個(gè)元

素，所以共有C："T種，如果不取這一元素，則需從剩下的九個(gè)元素中任取加個(gè)元素，所以共有C：,根據(jù)

分類加法原理：=c;+c：i.

等式特點(diǎn)：下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的相同的一個(gè)組

合數(shù).

應(yīng)用：恒等變形

H—-4-1Hn

常見的組合恒等式：C：二C『,c：=-^C￡,C：=-C^

mn-mm

C；+C；+1++…+q=B,C；E+c『c：+C『c：+…+c：c;=c：

(3)C°=l.

重點(diǎn)：三個(gè)重要性質(zhì)和定理

組合數(shù)性質(zhì)

=務(wù)=。；喉機(jī)eN*,且小n)；

(1)對(duì)稱性:

21

組合意義：從九個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素，則c：".

從幾個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素后只剩下n-加個(gè)元素了，則從〃個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素與從〃

個(gè)不同的元素中任取〃一加個(gè)元素是等效的.則CT1,故c：=c；f.

等式特點(diǎn)：等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).

應(yīng)用：①簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)機(jī)〉4時(shí)，通常將計(jì)算C：轉(zhuǎn)化為計(jì)算CT"如=0=8x7x6=56

23x2x1

②列等式：由C：=G：，可得無=丁或兀+y=〃，如*=Cj,則3=%或3+*=8故％=3或x=5.

(3)CM=C；+qi(%加eN*,且根<九)；

組合意義：從(n+1)個(gè)不同的元素中任取加個(gè)元素，則

對(duì)于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的九個(gè)元素中任取(加-1)個(gè)元

素，所以共有C；"T種，如果不取這一元素，則需從剩下的〃個(gè)元素中任取掰個(gè)元素，所以共有C：,根據(jù)

分類加法原理：C%=C：+c;-1.

等式特點(diǎn)：下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的相同的一個(gè)組

合數(shù).

應(yīng)用：恒等變形

常見的組合恒等式：禺，=紇絲1。丁1,C：=^—C：T，c；f=-c^

mn—mm

C；+C著+c；+2+…+G；=c：：；,c：C+c7c：+c『c：+…+c;c;=c,；!+?.

(3)C：=1.

易錯(cuò)提醒：解排列、組合的綜合問題要注意以下幾點(diǎn)

(1)元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題.

(2)對(duì)于有限多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處

理排列、組合的綜合問題的一般方法.

例、解不等式笠＜6A:2.

變式1.若C：=C；,則w的值為()

A.7B.8C.9D.10

變式2.計(jì)算C；+C；+C；+L+^015的值為()

A?』B.%

C%6TD.C5-l

變式3.若整數(shù)X滿足C；：+3，+2=C?,則X的值為()

A.1B.-1C.1或-1D.1或3

*

1.(x-2)(x-3)(x—4).(x-15)(xeN+，x>15)可表示為()

A.AMB.A匕

C.A；"D.A'

2.已知A：=C：v,貝|〃=)

A.6B.7C.8D.9

3.l-l!+2-2!+3-3!++672-672!除以2019的余數(shù)為（）

A.1B.2018C.2017D.前三個(gè)答案都不對(duì)

4.甲，乙，丙3位同學(xué)從即將開設(shè)的4門校本課程中任選一門參加，則他們參加的校本課程各不相同的概

率為()

c.A

A.-B.-D.&

84279

5.若A：=12C：,則〃等()

A.8B.4C.3或4D.5或6

6.若3c“=5A：,則正整數(shù)〃=()

A.7B.8C.9D.10

7.一條鐵路有幾個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了機(jī)個(gè)車站，且知力＞1,客運(yùn)車票增加了62種，則現(xiàn)

在車站的個(gè)數(shù)為()

A.15B.16C.17D.18

8.不等式窖＜6x窖點(diǎn)的解集為()

A.{2,8}B.{2,6}

C.{7,12}D.{8}

9.若24C：=P,：',貝打〃=.

10.已知A：+A3=xA；：；(〃eN+，〃22),求x的值.

11.解關(guān)于正整數(shù)x的不等式?。?P:2.

12.解關(guān)于正整數(shù)〃的方程：At+1=140At

，；2

13.已知A：=56C：,.1.(1-2x)=a0+(\x+a2xH--1~0"尤”.求。1+2。2+3。3_|-------的值.

14.(1)解不等式A；＜4A}.

(2)若C；+C；+C；+..+C；=55,求正整數(shù)”.

15.(1)若3A：=2A，+6A；,貝5]x=.

(2)不等式C：＞C：的解集為.

易錯(cuò)點(diǎn)四：實(shí)際問題不清楚導(dǎo)致計(jì)算重復(fù)或者遺漏致誤

（加法與乘法原理）

正難則反問題

技巧總結(jié)

正難則反排除處理：對(duì)于正面不好解決的排列、組合問題，考慮反面（取補(bǔ)集的思想），一般在題目中有字

眼“至多、至少”等體現(xiàn)。

正規(guī)方法：限制（定位）問題優(yōu)先處理：某個(gè)（幾個(gè)）元素要排在指定位置，可先排這個(gè)（幾個(gè)）元素，

再排其它元素，或某個(gè)（幾個(gè)）位置要求排指定元素，可先排這個(gè)（幾個(gè)）位置，再排其它位置。（即可從

限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。

秒殺方法：對(duì)立事件處理+韋恩圖解釋

模型：7個(gè)同學(xué)站隊(duì)，要求甲同學(xué)不站在排首，乙同學(xué)不站在排尾，求站隊(duì)的總方案數(shù).

包含合理的方案

破解：①全部方案:'［包含不合理的方案

L甲站在排首的情況：耳（含乙站在排尾的情況）

②其中不合理的方案＜2、乙站在排尾的情況：河j含甲站在排首的情況）

3、甲站在排首、乙站在排尾的情況：反

貝（JA；-星-醴+H=3720種方案.

解釋：

Ar\B

易錯(cuò)提醒：排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以我們?cè)诮鉀Q這類

問題時(shí)就要遵循一定的解題原則，如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、

正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)，解答組合問題必須心思細(xì)膩，考慮周全，

這樣才能做到不重不漏，正確解題.

三

例、有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等

品的不同取法有多少種？

變式1：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面點(diǎn)，不同取法有種。

變式2：從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同

的組隊(duì)方案共有（）

A.70種B.80種C.100種D.140種

變式3：定義“規(guī)范01數(shù)列”卜,｝如下：｛4“｝共有2加項(xiàng)，其中加項(xiàng)為0,加項(xiàng)為1,且對(duì)任意左W2機(jī)，

。1，出,…，以中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)。若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）

A.18個(gè)B.16C.14個(gè)D.12個(gè)

1.高考期間，為保證考生能夠順利進(jìn)入考點(diǎn)，交管部門將5名交警分配到該考點(diǎn)周邊三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交

通，每個(gè)路口至少1人，至多2人，則不同的分配方染共有（）

A.60種B.90種C.125種D.150種

2.某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A,B,C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)

單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，8醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)

院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（）

A.-B,-C,-D.-

3355

3.將3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（）

A.1260B.120C.240D.720

4.用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)

的個(gè)數(shù)為（）

A.81B.48C.36D.24

5.從4名優(yōu)秀學(xué)生中選拔參加池州一中數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三學(xué)科培優(yōu)研討會(huì)，要求每名學(xué)生至多被一學(xué)科

選中，則每學(xué)科至少要選用一名學(xué)生的情況有（）種

A.24B.36C.48D.60

6.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

7.哈六中高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)在從中任選3人，要

求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，且在三班至多選1人，不同的選取法的種數(shù)為

A.484B.472C.252D.232

8.下列說法正確的是（）

A.4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有81種報(bào)名方法

B.4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有24種報(bào)名方法

C.4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有64種可能的結(jié)果

D.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為12

個(gè)

9.如圖，線路從A到8之間有五個(gè)連接點(diǎn)，若連接點(diǎn)斷開，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)AB之間線路不通，

則下列判斷正確的是（）

2

1HZLh5

>r_*-4-§

------■

A.至多三個(gè)斷點(diǎn)的有19種B.至多三個(gè)斷點(diǎn)的有22種

C.共有25種D.共有28種

10.某班有5名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的四個(gè)比賽項(xiàng)目，計(jì)算在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法.

（1）每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；

（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，每項(xiàng)都有人報(bào)名，且每人至多參加一項(xiàng)；

（3）每人限報(bào)一項(xiàng)，人人參加了項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目均有人參加.

11.已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)對(duì)它們一一進(jìn)行測(cè)試，直至找到所有次品.

（1）若在第5次測(cè)試時(shí)找到最后一件次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？

（2）若至多測(cè)試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？

12.杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙等6人報(bào)名參加了A、B,C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作

需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加8項(xiàng)目，乙不能參加8、C項(xiàng)

目，那么共有種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）

13.某校在高二年級(jí)開設(shè)選修課，其中數(shù)學(xué)選修課開四個(gè)班.選課結(jié)束后，有四名同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但每

班至多可再接收2名同學(xué)，那么不同的分配方案有（用數(shù)字作答）

14.某單位有A、B、C、。四個(gè)科室，為實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓(xùn)，培訓(xùn)后這8

人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有一種不同的安排方法？

易錯(cuò)點(diǎn)五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素分配問

題）

不同元素分組分配問題

技巧總結(jié)

分組問題與分配問題

I：將“個(gè)不同元素按照某些條件分成左組，稱為分組問題.

分組問題共分為3類：不平均分組、平均分組、部分平均分組.

將〃個(gè)不同元素按照某些條件分配給人個(gè)不同的對(duì)象，稱為分配問題.

分配問題共分為2類：定額分配、隨機(jī)分配.

區(qū)別：分組問題是組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同，是不區(qū)分的.而分配問題即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)?/p>

象不同，仍然是可區(qū)分的，對(duì)于分配問題必須先分組后分配.

w分組問題的常見形式及快速處理方逋）

①非均勻不編號(hào)分組：九個(gè)不同元素分成，〃組，每組元素?cái)?shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是

否分完，其分法種數(shù)為：

N=C;、CM,

（呵+叫）n-(mi+m2+……

如：6個(gè)不同的球分為3組，且每組數(shù)目不同，有多少種情況?

Cg-Cs-Cj=6x10x1=60

②均勻不編號(hào)分組：將〃個(gè)不同元素分成不編號(hào)的加組，假定其中「組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其

分法種數(shù)為下（N為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)）.如果再有左組均勻分組，應(yīng)再除以Af.除的原因?yàn)椋?/p>

如：123456平均分成3組，可能是[1,243,445,6]

也可能是[1,2]、[5,6刊3,4]或者是[5,6此3,4]、[1,2]等，一共有用種不同的組別，但這些組都是一樣的，所以

除以用.

如：A、B、C、。兩兩一組，分兩組，若直接用C1C：=6種，但列舉出來的分別為｛[A、聞,仁、。]｝、

QA、C][B、。]｝、｛[A、鳳由、c]｝再往下列舉就已經(jīng)重復(fù)了.

如：｛仍、C][A、￡>]｝、｛仍、D],[A,c]｝、｛[c、D],[A,聞｝.

如：6個(gè)不同的球分為3組，且每組數(shù)目相同，有多少種情況？

N=C；CC=90,種數(shù)=a=里=15.

86

③非均勻編號(hào)分組：將"個(gè)不同元素分成加組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種

數(shù)為N-a；'（N為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)）

④均勻編號(hào)分組：將〃個(gè)不同元素分成機(jī)組，各組兀素?cái)?shù)目均相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為

N-Am

-（N為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)）.

易錯(cuò)提醒：均勻分組和部分均勻分組在計(jì)數(shù)過程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，注意計(jì)算公式的應(yīng)用.重復(fù)的次數(shù)是

均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以加.

三

例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少一本的不同分法共有種.（用數(shù)字作答）

變式1：12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有

）種。

>^4

A.C*C；C：B.3墨C；C：C.C^CX12)1284

變式2：將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名

教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

變式3：某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少

安排一個(gè)班，不同的安排方法共有種。（用數(shù)字作答）

1.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者.甲、乙等4人

報(bào)名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個(gè)場(chǎng)館的各一個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人

至多參加一個(gè)項(xiàng)目.若甲不能參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有（）

A.6種B.12種C.18種D.24種

2.從2個(gè)不同的紅球、2個(gè)不同的黃球、2個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)

袋子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（）

A.42種B.36種C.72種D.46種

3.陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛，三個(gè)家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行

一條小溪時(shí)，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每?jī)晌?/p>

大人之間至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種

數(shù)為（）

A.216B.288

C.432D.512

4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多

安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種C.50種D.60種

5.杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙等6人報(bào)名參加了A、3、C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作,因工作需要，

每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加A、3項(xiàng)目，乙不能參加8、C項(xiàng)目，那么

共有（）種不同的選拔志愿者的方案.

A.36B.40C.48D.52

6.現(xiàn)有甲、乙、丙3位同學(xué)在周一至周五參加某項(xiàng)公益勞動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要

求甲同學(xué)安排在另外兩位前面，則不同的安排總數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.60

7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多

安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種C.40種D.60種

8.甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，則恰好

甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是

A.-B.-C.-D.-

3345

9.從2個(gè)不同的紅球，2個(gè)不同的黃球，2個(gè)不同的藍(lán)球共6個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)

袋子中，每個(gè)袋子至多放入1個(gè)球，且球色與袋色不同，則不同的放法有種.

10.將2枚白棋和2枚黑棋放入一個(gè)4x4的棋盤中，使得棋盤的每個(gè)方格內(nèi)至多放入一枚棋子，且相同顏

色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子，則不同放法的種

數(shù)為.

11.現(xiàn)有紅、黃、白三種顏色的小球（形狀、大小完全相同）5個(gè)，每種顏色至多2個(gè)小球，若將這5個(gè)小

球排成一排，要求中