高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：不等關(guān)系與不等式性質(zhì)【六大題型】

專題L3不等關(guān)系與不等式性質(zhì)【六大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】......................................................................2

【題型2比較數(shù)(式)的大小】....................................................................3

【題型3證明不等式】.............................................................................5

【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】..................................................7

【題型5不等式的綜合問(wèn)題】......................................................................9

【題型6糖水不等式】............................................................................12

?考情分析

1、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)不等式的性質(zhì)的考查比較穩(wěn)定，

一般以選擇題、填空題為主，主要考查

不等式的求解；單獨(dú)考查的題目雖然不

(1)等式性質(zhì)

多，但不等式的相關(guān)知識(shí)往往可以滲透

(2)比較兩個(gè)數(shù)的大小

2022年H卷：第12題，5分到高考的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，作為解題工具

(3)理解不等式的性質(zhì)，并

與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)

能簡(jiǎn)單應(yīng)用

相結(jié)合，在知識(shí)的交匯處命題，是進(jìn)行

不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù)，

是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】

1.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a=b,那么b=a；

性質(zhì)2如果a=b,b=c,那么a=c；

性質(zhì)3如果a=b,那么=

性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc\

性質(zhì)5如果a—b,今o,那么@=2

CC

2.不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么Q>6.即a>b=b<a.

(2)如果a>b,b>c,那么q>c.即b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>bfc>Of那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

⑺如果Q>6>0,那么n>2).

3.比較大小的基本方法

方法

關(guān)系作差法作商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0—>1(?,>0)或@<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=01=l(^0)

a<ba-b=0q<1(。，6>0)或q>l(a,b<0)

bb

【方法技巧與總結(jié)】

1.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí),

有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2,比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函

數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.

?舉一反三

【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】

【例1】（2024?上海楊浦?二模）已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足：a>b>Q>c>d,則下列不等式一定正確的

是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【解題思路】舉例說(shuō)明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.

【解答過(guò)程】對(duì)于ABD,取a=2,匕=l,c=-2,d=-4,滿足a>b>0>c>d,

顯然a+d=-2<—1=b+c,ccd=—8V—2=be,ac=-4=bd,ABD錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a>b>O>c>d,貝!Ja+c>b+d,C正確.

故選：C.

【變式1-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）"V0<y”是“（％-丫）2>%2+、2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】由不等式的性質(zhì)結(jié)合充分不必要的條件即可得解.

【解答過(guò)程】若（x-y）2=x2+y2-2xy>x2+y2,貝！Jxy<0,所以y<0<x或者x<0<y,

所以"x<0<y”是“（x-y）2>x2+產(chǎn)，的充分不必要條件.

故選：A.

【變式1-2］（2023?上海楊浦?一模）已知實(shí)數(shù)a,b滿足a>b,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.a?>b3C.|a|>\b\D.a-1>b-1

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?O）=/,/（x）=田是定義在R上的偶函數(shù)，

所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，a2>振,|可>向不一定成立，故A,C不符合題意；

因?yàn)?（%）=/是定義在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，則a3>〃，故B符合題意；

因?yàn)?'（X）=在（一8,0）,（0,+00）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，aT>6T不一定成立，不符合題意.

故選：B.

【變式1-3］（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）已知a,6,x均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<b,則a2°24<62024

D/7rT|.（20242024

B.右a〈b,則?。ü?/p>

2024

C.若Q/024<^,則a<b

D.若a<b,貝|JQ%2024<b%2024

【解題思路】結(jié)合特殊值與不等式的性質(zhì)可求.

【解答過(guò)程】A,當(dāng)。=一2/=1時(shí)，（—2）2024>"024,人錯(cuò)誤；

B,當(dāng)a=0時(shí)，也沒(méi)意義，B錯(cuò)誤；

a

C,由a/°24<6乂2024,知刀2024>0,所以a<6,C正確；

D,當(dāng)X=0時(shí)，a/024<b/024不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【題型2比較數(shù)（式）的大小】

【例2】（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足久<y,設(shè)。=xe*+y,b-yey+x,c-yex+x（

中e為自然對(duì)數(shù)：2.71828…)，則。，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】利用作差比較法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍=xex+y,b=yey+%,c=yex+x,所以b—c=y(ey—ex)

又y>%>0,e>1,所以e'Ae”,所以b>c；

又c—a=(%—y)+(y—x)ex=(x—y)(l—ex),

又y>%>0,ex>1,所以c>a.

綜上，a<c<b.

故選：A.

【變式2-1](2023?江西?模擬預(yù)測(cè))已知logs。>logsb,則下列不等式一定成立的是()

A.y[a<4bB.log5(a—b)>0

C.Sa-b>1D.ac>be

【解題思路】由log5a>log5b可得a>b>0,然后對(duì)選項(xiàng)一一分析即可得出答案.

【解答過(guò)程】由log5a>log5b可知a>b>0,所以所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)閍—b>0,但無(wú)法判定a—b與1的大小，所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)cWO時(shí)，ac<be,故D錯(cuò)誤；

因?yàn)閍—b>0,所以5。-匕>5。=1,故C正確.

故選：C.

【變式2-2](2023?北京東城?一模)已知久V-1,那么在下列不等式中，不成立的是

O1

A.%2-1>0B.x+-<—2C.sinx—%>0D.cosx+%>0

X

【解題思路】利用作差法可判斷A、B選項(xiàng)的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.

綜合可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】???X<-1,則/一1=(%—1)(%+1)>0,%+工+2=/+2X+1=處之<0,

XXX

又??,sin%、cosxG[—1,1],sinx—x>0,cosx+x<0.

可得：ABC成立，D不成立.

故選：D.

【變式2-3](2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))若c>b>a>0,貝!J()

A.abbc>acbbB.21nb<Ina+Inc

C.CL—>b—D.logc>log^

aba

【解題思路】利用不等式的基本性質(zhì)，并對(duì)選項(xiàng)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化，判斷對(duì)錯(cuò)即可.

【解答過(guò)程】解：選項(xiàng)A中，由于得=4-758=仁?1>1,所以a5c>a%b成立；故A正確;

選項(xiàng)B中，21nh=Inb2,Ina+Inc=Inac,扶與此大小不能確定,故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C中，由于。一：一（b-3=（。-5）（1+京）V0，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D中，令c=l,則log/=log8c=0,故。錯(cuò)誤.

故選：A.

【題型3證明不等式】

【例3】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知a,b為正實(shí)數(shù).求證：^-+—>a+6.

ba

【解題思路】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到《+眩-（a+b）=生空坦，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證.

baab

【解答過(guò)程】證明：因?yàn)椋?.一（a+b）=a旺氏十加=a2（~）=（j）?a+b）,

baababab

又因?yàn)閍>0,6>0,所以空斗上絲20,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，

ab

所以j+匕>a+b.

ba

【變式3-1］（22-23高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）證明下列不等式：

（1）已知a>b,e>f,c>0,求證/—acVe—be

（2）已知。>b>0,cVd<0,求證：苦V小.

【解題思路】（1）（2）利用不等式的基本性質(zhì)即可證明.

【解答過(guò)程】（1）證明：c>0,

???ac>be,?"ac<—be,

又因?yàn)閑>f,即/<e,

所以/—ac<e—be.

（2）證明：vcVdCO,?,?一”>一工>0；

acac

又a>b>0,T>」，；.中；

acac

【變式3-2］（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）證明命題：“若在△ABC中a、仇c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng),

則上〈捻+W”

aab

【解題思路】由作差法證明白<再由--------<----------------<白證明盤<

1+cl，+:c等+(a+『b—c)=-1+a+b1+a+bl+cz+b1+a+b1+af1+a+b

士+￡

【解答過(guò)程】證明：取l+c=d,a+b-c=zn,:c+m_c(d+m)—d(c+m)_m(c-d)

ad+md^d+m)d^d+m)

因?yàn)閐>c>0,m>0,所以宏之<0,即:<善?

a{a+m)aa+m

匚匕i、ic,c+fa+b—c)a+ba,a

所以---<-------------=------=--------1----------

1+cl+c+(a+b—c)1+a+bl+a+匕1+a+b

aab,b./a,a,a,b

又因?yàn)?<___sy_______|----------<_____|-------

1+b1+a+b1+a+b1+a1+b

所以搟+

1+c1+a1+b

【變式3-3](22-23高二下?湖北省直轄縣級(jí)單位?期末)若a>b>0,c<d<0,網(wǎng)>|c|

(1)求證：b+c>0；

b+c/a+d

(2)求證:----<-?

(a-c)2----(b—d)2,

(3)在(2)中的不等式中,能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足券<所求式<白？若能,請(qǐng)直接寫出該代數(shù)

式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)b,c的符號(hào)去絕對(duì)值可證不等式成立;

(2)根據(jù)同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質(zhì)可證明不等式成立;

⑶在°<旨<小的兩邊同時(shí)乘以b+c，得蒜<般，在a+d>b+c>。的兩邊同時(shí)乘以七,

a+db+cb+ca+d

得所以b+c<…<_____

(b—d)2>(b-d)2'(a-c)2(匕一02(b-d)2'

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)榫W(wǎng)>|c|,且b>0,c<0,所以b>—c,所以b+c>0.

(2)因?yàn)閏<d<0,所以—c>—d>0.又因?yàn)閍>b>0,所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相

加得a—c>b—d>0,所以(a—c)2>(b—d)2>0.

11

所以0V(a-c)2V{b—d)2f

因?yàn)閍>b,d>c,所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得a+d>b+c.

所以Q+d>b+c>0,

所以由兩邊都是正數(shù)的同向不等式的相乘可得高

<(…產(chǎn)

(3)因?yàn)閎+c>0,0<-^-2<-i-2，

(a-c)z(b—d)

匕匕I、I

所以Eb+c<,Eb+c，

-1

因?yàn)镺vb+c<a+d,——7>0,

(b-dy

所以就<臺(tái),

6[I、]b+cb+ca+d

所'(a-c)2(b-d)2(b-d)2'

所以在(2)中的不等式中，能找到一個(gè)代數(shù)式小鼻滿足題意.

(*-d)

【題型4利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】

【例4】(2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知a—be[0,l],a+be[2,4],則4a-2b的取值范圍是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【解題思路】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.

【解答過(guò)程】設(shè)4a—2b=m(a—b)+n(a+h)=(m+ri)a—(m—n)b,

所以fn+〃=3解得[爪=

—n=2tn=1

所以4a—2b=3(a—b)+(a+b),

又a—be[0,1],a+bC[2,4],

所以3(a—b)w[0,3],4a—2bE[2,7],故A,C,D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式4-1](23-24高一上?山東荷澤?階段練習(xí))已知一l〈X+y4l,1<x-y<3,則3%-2y的取值

范圍是()

A.2<3%—2y<8B.3<3x—2y<8

C.2<3%—2y<7D.5<3%—2y<10

【解題思路】

設(shè)3%-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x4-(m+n)y,利用待定系數(shù)法求得皿九，利用不等式的性質(zhì)

即可求3%-2y的取值范圍.

【解答過(guò)程】設(shè)3%—2y=m(x+y)—n(x—y)=(m—n)x+(m+n)y,

所以7113解得[“一]，即可得3x—2y=；(x+y)+“x—y),

l/n十71——ZI-yj—___ZL

因?yàn)橐?第一yW3,

所以2W3%-2y=[(x+y)+|(x-y)<8,

故選：A.

【變式4-2](23-24高三上?湖北?階段練習(xí))已知a<6<c且a+2b+4c=0,貝暇的取值范圍是()

a

A-(一8，-9B.C.(o,i)D.g,l)

【解題思路】根據(jù)題目條件得到a<0,c>0,由?=—"―1和b<c得至上>—由a<b得至暇<1,從而

42a6a

得到答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍+2b+4c=0,a<b<c,所以a<0,c>0,

由a+2b+4c=0得到c=--a--b,則一工?！へ?gt;0,解得>-

4242a2

由b<c得b<—La—整理得;a<—解得2>—3

4242a6

由a<b得1,

a

綜上，-J<eVL

6a

故選：B.

【變式4-3](2023,廣西南寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=第2++c,0<x1<l<x2<2,

/(X1)=/(%2)=。，貝昉+2c的取值范圍為()

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,1)D.(-1,2)

【解題思路】先利用一元二次方程根的分布求得關(guān)于實(shí)數(shù)瓦c的不等式組，再利用不等式的性質(zhì)即可求得b+

2c的取值范圍

【解答過(guò)程】由函數(shù)/(%)=/++。中，/(x1)=f(x2)=0,0<x1<l<x2<2f

可知一元二次方程/+b%+c=0有二相異根，分別位于區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)

(7(0)>o'c>0c>0

則"⑴V0,即1+6+c<0,即b+c<-1

1/(2)>04+2b+c>02b+c>—4

^Cb+c<-l-rzf3(h+c)<-3

由12b+c4'可信Bt—(2b+c)<4

則3(Z)+c)—(2Z?+c)V4—3,即b+2c<1

由X-可得｛3c>0

2b+c>—4

則(2b+c)+3c>-4,貝昉+2c>-2

綜上，b+2c的取值范圍為(-2,1)

故選：B.

【題型5不等式的綜合問(wèn)題】

【例5】(23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí))解決下列問(wèn)題：

(1)已知m,nCR,設(shè)a=(爪2+1)52+4),b=(mn+2尸.比較a與b的大小;

(2)已知a>b>0,c<d<0,e>0,求證：—<—.

a—cb—d

【解題思路】(1)利用作差法進(jìn)行求解即可;

(2)利用作差法,結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可

【解答過(guò)程】(1)a—b=(m2+l)(n2+4)—(jnn+2)2=m2n2+4m2+n2+4—m2n2—4mn—4=

4m2+n2—4mn=(2m—n)2>0=>a—fo>O=>a>b；

(2)ee_e(b-d)-e(a-c)_e(b-d-a+c)_e[(d—d)—(a—c)]

a—cb-d(a—c)(b—d)(a—c)(b—d)(a—c)(b-d)

因?yàn)閏<d<0,所以一c>-d>0,

因?yàn)閍>b>0,所以a—c〉b—d>0今(a—c)一(b—d)>0,

因?yàn)閑>0,所以上—￡=平陪?<on上〈意.

a—cb—a{a—c){b—a)a—cb—a

【變式5-1](2023高一?上海?專題練習(xí))給定無(wú)理數(shù)ee(0,1).若正整數(shù)a,b,c,d滿足

(1)試比較三數(shù)三，g5的大?。?/p>

b+dba

(2)若bc-ad=l,證明下面三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立

①I"股看②I”恕2^^;③卜。|2春

【解題思路】(1)作差法比較大小；

(2)利用反證法，因等又三故可分然與8〈器證明?

bb+dabab+aab+d

【解答過(guò)程】(1)由題意可知，所以bc>ad,

ba

所以￡±￡—烏=上%>0,所以￡±￡>9，

7/1b(b+d)b7/1^b+db

a+cc_ad-be<0所以鬻<3

b+dd(b+d)d'b+aa

所以產(chǎn)

(2)證明：由(1)汽<3又？

bb+aaba

若/<吟

假設(shè)①9一(2意；②一會(huì)2焉了；需一92點(diǎn)都成立,

①③之和可得:2+，

②③之和可得：就r>需2點(diǎn)+—?，

④化簡(jiǎn)得02/+-V5bd,⑤化簡(jiǎn)得02(2-V5)d2+(2-㈣bd+b2,

由④⑤之和可得：0>2[(3-V5)d2+2(1-V5)hd+2b2]=[(V5-l)d]2-4(V5-l)bd+(2b)2,

即02[(V5-l)d-2b]2,貝%=后，

又a,b,c,d為正整數(shù)，所以[是有理數(shù)，故矛盾；假設(shè)不成立

若9<咨且be-ad=l,同理可證下列三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立；

b+d

①。一韓康②鬻一。27^^；③點(diǎn)

所以三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立.

【變式5-21(23-24高一上?河北保定?階段練習(xí))(1)當(dāng)pq都為正數(shù)且p+q=l時(shí),試比較代數(shù)式(px+qyY

與p%24-qy2的大小.

(2)已知14%-y<2,3<2%+y44,求4%—y的取值范圍.

【解題思路】(1)利用作差比較法比較大小即可；

(2)先利用％-y,2%+y表示出4%-y,結(jié)合式一y,2%+y的范圍可得答案.

【解答過(guò)程】(1)(px+qy)2—(px2+qy2)=p(p-l)%2+q(q—l)y2+2pqxy.

因?yàn)閜+q=l,所以p—1=—q,q—1=—p,

所以(p%+qy)2—(px2+qy2)=—PQ(X2+y2—2xy)=—pq(x—y)2.

因?yàn)閜，q都為正數(shù)，所以一pq(%-y)2W0,

因此(p%+qy)2<px24-qy2,當(dāng)且僅當(dāng)汽=y時(shí)等號(hào)成立.

(2)由題意可設(shè)4%—y=a(%-y)+b(2%+y),

則｛4;"2b,解得&=2,6=1,

l—l=b—a

因?yàn)?W%—yW2,3W2%+yW4,

所以2<2(%—y)<4,3<2%+y<4,

則5W4%—y<8.

【變式5-3K23-24高一上?上海普陀?期中)設(shè)t是不小于1的實(shí)數(shù).若對(duì)任意a,bC[一14,總存在c,d€

使得(a+c)(b+d)=1,則稱這樣的t滿足“性質(zhì)r

(1)分別判斷t>2和1<t<決寸是否滿足“性質(zhì)1”；

(2)先證明:若u>且〃+u>貝！>1;并由此證明當(dāng)|<t<2時(shí)，對(duì)任意a,b6[-1,。，總存在“心G

[-1,t],使得(a+ci)(b+&)N+

(3)求出所有滿足“性質(zhì)1”的實(shí)數(shù)t

【解題思路】(1)分別舉反例證明t>2和1Wt<m時(shí)性質(zhì)1不成立；

(2)先分別就|a-切Wg,|a-訓(xùn)>g討論證明若a,u2g,且a+u2|,貝！再利用這個(gè)結(jié)論可得

證；

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論可得解.

【解答過(guò)程】(1)iH/t=[—1,t],S=(a+c)(b+d),

假如t>2,則當(dāng)a=b=t時(shí)，對(duì)任意c,dE/t，均有SN(t-1)2>1,不滿足要求；

假如則當(dāng)。=-1,b=2-t時(shí)，對(duì)任意c,5均有-2<a+c<t—1,l-t<b+d<2,

若Q+C,b+d同正或同負(fù)，則S42(t—l)<l,其余情況下總有S40V1,不滿足要求.

(2)先來(lái)證明：若〃,uN?，且〃+"之|,則“uNl,同時(shí)該結(jié)論記為引理.

當(dāng)也一訓(xùn)W|時(shí)，"V=(^)2-(JT)22(丁一(J=L

當(dāng)也一切>|時(shí)，不妨設(shè)UN",則u>〃+|,又〃之3所以〃u>D|)=l.

所以右〃,UNQ,且〃+貝!N1.

下面證當(dāng)力工2時(shí)，對(duì)任意a,bE[—1用，總存在“森E[—1用，使得(a+q)(b+盛)21,

若a+b<—?jiǎng)t取Q—di——1,此時(shí)S=(d—1)(/?—1)—(1—a)(l—b),

其中，1——人之日+0之1,且(1—a)+(1—b)=2—(a+b)N

由引理可得SNL

33

r3\

--Ga+T+-

12Jt2

27

3315

其禮b

a+-+->--

2222

綜上，當(dāng)53亡42時(shí)，對(duì)任意a,bE[-1,打，總存在“翁E[-1用，使得(a+q)(b+獺)21.

(3)當(dāng)2時(shí)，當(dāng)a,be/七時(shí)，可取cE4，使得|a+c|WL理由如下：

當(dāng)ae[一1,1]時(shí)，取c=0,則|a+c|=\a\<1；

當(dāng)ae(l，H時(shí)，取。=-1,貝iJlVaWt42,貝ij0<a—lWl,故|a+c|=|a-1|41,

同理，可取deIt,使得|b+d|<1,此時(shí)S=(a+c)(b+d)<|a+c|?|&+d|<1,

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意￡[-1,t],總存在c,d￡[-1,打，使得(a+c)(b+d)W1.

結(jié)合(2)的結(jié)論可得，對(duì)任意a,bE[-1,t],總存在c,d￡[-1用，使得(a+c)(b+d)=1.

綜上，所有滿足性質(zhì)1的實(shí)數(shù)te[|,2].

【題型6糖水不等式】

[例6](22-23高一上?貴州六盤水?期末)十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“〉”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)

不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見(jiàn)到，可以說(shuō)大部分人都喝過(guò)糖水.如果a克糖水中含有b

克糖(a>6>0),再添加n克糖(n>0)(假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正

確的是()

A.也>2B.

a+naa+na

cb+nbca+na

a+nab+nb

【解題思路】根據(jù)加糖前后糖水濃度的變化即可得答案.

【解答過(guò)程】解：由題意可知，加入ri克糖(n>0)后糖水變甜了，

即糖水的濃度增加了，

加糖之前，糖水的濃度為：-；加糖之后，糖水的濃度為：~

aa+n

所以也>2

a+na

故選：A.

【變式6-1](23-24高一上?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí))已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖

完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大).根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定不成

立的有()

m

Aa一a+mca+m,a+2

A.—<---B.---<----

?bb+mb+mb+2m

2i

C.(a+2.171)(^b+TH)V(a+m)(b+2TTI)D.--V^a-i

【解題思路】根據(jù)題意得三<產(chǎn)，進(jìn)而根據(jù)？<產(chǎn)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

bb+mbb+m

【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知？<產(chǎn)，故正確；

bb+m

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?<小<2『所以誓=故正確；

b+mb+m+2,H—mb+2,H

對(duì)于C選項(xiàng)，由？v?”可得（四v進(jìn)而得（a+2m）（b+zn）>（a+m）（b+2m）,故錯(cuò)誤；

bb+mb+mb+2m

對(duì)于D選項(xiàng)，/<曰=*<擊，故正確?

故選：C.

【變式6-21（22-23高一上?廣東東莞?階段練習(xí)）（1）已知6克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加根克糖（爪>0）

（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.

（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：力種糖每千克pi元，B種糖每千克「2元（兩種糖

價(jià)格不相等）.東東買了相同質(zhì)量的兩種糖，華華買了相同價(jià)錢的兩種糖.請(qǐng)問(wèn)兩人買到糖的平均價(jià)格分別是

多少？誰(shuí)買的糖的平均價(jià)格比較高？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（物品的平均價(jià)格=物品的總價(jià)錢+物品的總質(zhì)量）

【解題思路】（1）根據(jù)糖在糖水中所占的比例的變化可得出不等式，再利用作差法可證得結(jié)論成立；

（2）求出兩人買到的糖的平均價(jià)格，利用作差法可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：（1）b克糖水中含有a克糖（b>a>0）,則糖在糖水中所占的比例為今

再添加M克糖（巾>0）（假設(shè)全部溶解）,則糖在糖水中所占的比例黑,

糖水變甜了，說(shuō)明加糖后，糖在糖水中所占的比例變大了，即有黑瑕，證明如下:

m+aa(m+a)6—(m+b)am(b—a)、八i?n+a、a

----------------------------=〉U,則mi〉—：

m+bbb(m+b)b(m+b)-------m+bb

（2）對(duì)于東東而言，他買到的糖的平均價(jià)格為號(hào)（元/千克），

對(duì)于華華而言，設(shè)華華買兩種糖的費(fèi)用均為c元，則他買到的糖的總質(zhì)量為上+?千克，

PlP2

故華華買到的糖的平均價(jià)格為3=呼（元/千克），

港+逅P1+P2

中-呼=粵三/>0,即東東買到的糖的平均價(jià)格較高.

2P1+P22（P1+P2）

【變式6-3］（22-23高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知她糖水中有ag糖（6>a>0）,往糖水中加入mg

糖（m>0）,（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了.

（1）請(qǐng)將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式.

⑵利用（1）的結(jié)論證明命題：“若在△ABC中a、6、c分別為角/、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，貝匕亍<3+3”

【解題思路】（1）根據(jù)題意直接寫出答案，利用作差法證明該不等式;

（2）利用三角形的三邊關(guān)系和放縮法即可證明.

【解答過(guò)程】（1）由題可得，汴惡

ab+am—ab—bm

證明：因?yàn)?—魯b>a>0,m>0,

bb+mb(b+m)b(b+m)'

所以，a—b<0,b+m>0,從而晟—F^<0,即？<

bb+mbb+m

（2）由三角形三邊關(guān)系，可得a+b>c,而函數(shù)y=W=l-2,為單調(diào)遞增函數(shù),

.cvc+(a+b-c)a+ba,b

---------=------------1,

1+cl+c+(a+b—c)1+a+b----1+a+b-----1+a+b

a<ab<b

1+a+b1+a1+a+b1+b

AA_B

1+a+b1+a+b

ab

所以，上<---1.

1+a----1+b

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知x>y,則下列不等式正確的是（）

A.l-x<l—yB.x2>y2C.|||>1D.xz>yz

【解題思路】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤，通過(guò)舉反例可說(shuō)明B,C兩項(xiàng)錯(cuò)誤.

【解答過(guò)程】?；x>y,x<-y,x+1<—y+LBP1-x<1—y,故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)％=-1,?=一2時(shí)，滿足久〉y,但/=l,y2=4,此時(shí)%2<必，|^|=|Z1|=|<1,故選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤;

當(dāng)z<0時(shí)，由無(wú)〉y可得xz<yz,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:A.

2.（2024?北京豐臺(tái)?二模）若a,beR,且a>b,貝1J（）

A."n—V—B.a2b>ab2

cz2+lb2+l

a+b

C.a2>ab>b2D.a>、—>、bR

2

【解題思路】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

【解答過(guò)程】由于Q>b,取a=l,b=-1,=*■=a2b=ab2=1,無(wú)法得到蔡匕<**，02b>ab2,

故AB錯(cuò)誤，

22

取a=0,b=—2,則小=Qfab=0,b=4,無(wú)法得到/>ab>b,C錯(cuò)誤，

由于Q>b,貝ij2a>b+a>2b,所以a>>b,

故選：D.

3.（2023?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知1Va<3,3VbV6,則二的取值范圍為（）

A.（|,1）B.（2,6）C.（1,6）D.&3）

【解題思路】由不等式的性質(zhì)即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閘<a<3,3<6<6,所以2<2a<6,

62a2

所以工<2<2<2<3.

262a2

故選：D.

4.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,c￡R,則下列選項(xiàng)中是“a<b”的一個(gè)充分不必要條件的是（）

A.—>B.ac2<be2

ab

C.a3<b3D.3a<3b

【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】由回〉可得工>3因?yàn)閍,b的符號(hào)不確定，推不出a<b,故A不滿足題意；

abab

由ac?vbe?,可得a<b,反之當(dāng)a<b,c=0時(shí)不成立，故"ac2<be?”是"a<b”的充分不必要條件，故B

滿足題意；

因?yàn)閍3Vb30a<b,3a<3ba<b,所以C,D不滿足題意.

故選：B.

5.（2023?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知內(nèi)瓦c為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（）

A.若aVb,則ac<be

B.若a<b,則Q—c>b—c

C.若a|c|>b|c|,則a>b

D.若a>b9則,<—

ab

【解題思路】根據(jù)不等式性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,若a<b,當(dāng)c=0時(shí)，不滿足ac<bc,即A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若aVb,則Q—cVb—c,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a|c|>b|c|,可知cAO,不等式兩邊同時(shí)除以|c|,即萼〉誓，可得a>b,即C正確；

\c\\c\

對(duì)于D,若a>b,不妨取a=l,b=—1,貝脛=2>]=—2,可得D錯(cuò)誤；

ab

故選：c.

6.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,b.設(shè)甲：義>與乙：§<盧|,則（）

y/a7bbD+3

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)由命題甲可得到b>a>0,作差法可判斷命題乙正確，得出甲是乙的充分

條件；將命題乙變形后分類討論得出甲是乙的不必要條件，即可得出答案.

【解答過(guò)程】由連>吃可知a>0,b>0.

所以工>3即b>a>0.

ab

因?yàn)閗震3(a—b)

b(b+3)

所以寢<0,即￡〈寢.

aD+3bD+3

所以甲是乙的充分條件.

若二〈出，即巴一出=迤也<0,

bb+3bb+3b（b+3）

a—b<0詞/a-b>0

人」+3）>0或+3）<0,

當(dāng)L2二貝肪>?；蜇?lt;一3,顯然小>W不一定成立;

1b（b4-3）>0VaVb

當(dāng)二H°n，則一3<b<0,顯然右>去不成立.

（伏。+3J<Uyjay/b

所以甲是乙的不必要條件.

綜上可知，甲是乙的充分不必要條件.

故選：A.

7.（2023?廣東?二模）若。=百++6=有—總c=&+專，則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

【解題思路】利用作差法比較大小即可得出正確選項(xiàng).

【解答過(guò)程】因?yàn)閍-c=用-五+>°>所以a>c.c-b=&-遍+奈=

2V2+V3-2V5

因?yàn)椋?金+遮）2-（2V5）2=4V6-9=V96-V81>0,

且2a+百>0,2*>0,所以2e+國(guó)>2通，所以c—b>0,所以c>b.故a>c>尻

故選：A.

8.（2023?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知一1Va<5,—3<b<l,則以下錯(cuò)誤的是（）

A.-15<ab<5