高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)（新高考專用）含答案及解析

專題05三角函數(shù)

題型一：任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)量、易錯(cuò)點(diǎn)：三角函數(shù)值正負(fù)判斷不清導(dǎo)致錯(cuò)誤

題型二：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式求值問題已、易錯(cuò)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致變形錯(cuò)誤

題型三：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)6、易錯(cuò)點(diǎn)：忽視三角象和圖象變換研究又掾選取

題型四：函數(shù)y=Asin((i)x+(p)的圖象及其應(yīng)用＜口、易錯(cuò)點(diǎn)：求cp時(shí)忽略升降零點(diǎn)的區(qū)別

題型五：三角恒等變換人易錯(cuò)點(diǎn)：遺忘^特殊角其實(shí)也是一種特殊角

易錯(cuò)點(diǎn)一：三角函數(shù)值正負(fù)判斷不清導(dǎo)致錯(cuò)誤(任意角、弧度制及任意角

的三角函數(shù))

1.角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形;

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S={夕0=h360。+a,旌Z}.

(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與無軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a12kTr<a<2kTT+^Jc&Z}

象

限第二象限角：［a\2kTr+^<a<2kTt+Tt,kEZ}

角

瞿,一*第三象限角：{al2ATT+TT<a<2iir+:^,A:6Z}

第四象限角：{al24TT+^<a<2AF+2E?eZ})

2.弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)陽〃表示，讀作弧度.正角

的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=萬rad,1°=—rad,lrad=—

180n

(3)扇形的弧長公式：/=同"，扇形的面積公式：S=|zr=l|a|-r2.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)時(shí)，貝|sina=y,cosa=x,tan?=—(x^O).

X

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)PP(x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到原

點(diǎn)。的距離為廠，貝!|sina=",cosa=—,tana=2(x*0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象限符

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)號(hào)

sinaR++一一

cosaR+一一+

71

tana{a\ak7r+—,kE：Z}+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4.三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過尸作尸加，尤軸，垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切

線與a的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)T.

易錯(cuò)提醒：(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的

所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k(keZ)賦值來求得所需的角.

(2)確定3,氫上eN*)的終邊位置的方法

K

先寫出hr或3or的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定或n￡的終邊所在位置.

kk

(3)利用三角函數(shù)的定義，已知角。終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求夕的三角函數(shù)值；已知角。的三角函數(shù)值,

也可以求出角?終邊的位置.

(4)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定

所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

三

例如圖，已知兩質(zhì)點(diǎn)A,8同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，繞單位圓逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)A,8運(yùn)動(dòng)的角速度分

別為3rad/s和5rad/s,設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了s時(shí)這兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為/(%).

⑴求的解析式；

(2)求這兩質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后第〃次相遇的時(shí)間乙(單位：s).

變式1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與

單位圓交于點(diǎn)尸(&%),cosor=好

⑴求M的值；

JT

(2)射線0P繞坐標(biāo)原點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)!■后與單位圓交于點(diǎn)加(乙，%)，點(diǎn)N與M關(guān)于x軸對(duì)稱，求

tan/MON的值.

變式2.角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸1方,尚〉分別寫出點(diǎn)尸關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，并

求角兀-c,-。，Tt+a,2兀-a的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.

(71711

變式3.如圖，已知。PQ是半徑為1,圓心角為。［彳的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形

的內(nèi)接矩形，設(shè)/POC=a(0<c<e).

Q

rr

（2）已知當(dāng)a=z時(shí)，矩形ABCD的面積S最大.求圓心角0的大小，并求此時(shí)矩形A3C。面積S的最大值是多

6

少？

.aa

sin----cos—

1.已知角a的始邊為無軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（一44）,則一2--------2_=（）

.a、a

sin——b2cos—

22

A.2B.—C.!或2D.—

224

2.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點(diǎn)（租,6）,且

tan（一萬+tz）=-3,貝ijcosa=（）

A回A/IO

A?-----R.-----Cr.VioLn）.Tio

510510

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角。以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點(diǎn)則

y=sin（x+6）取最小值時(shí)尤的可能取值為（）

A.色B.」C.,c兀

D.-

3363

4.已知夕是第三象限角，則點(diǎn)。（cos#,sin2⑶位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知角a終邊上有一點(diǎn)尸［sin^,cos石J,則無一。為（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

6.已知角。€（0,2兀）,0終邊上有一點(diǎn)（cos2-sin2,-cos2-sin2）,則0=（）

A.2B.—+2C.--2D.-+2

442

7.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩個(gè)點(diǎn)A（l,〃）,5（2]），且cos2。=-,

貝！Ja-b=（）

A.—B.—此C.叵或-立D.還或HL

555555

8.已知角。的終邊落在直線y=-2x上，則2cos2a+sin2a+3的值為（）

A.-1B.1D.73

9.已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P)

D,也

2

10.下列說法正確的是（）

A.若sina=sin齊，貝!]a與夕是終邊相同的角

B.若角。的終邊過點(diǎn)尸（3太水）（％片0）,則sina=1

C.若扇形的周長為3,半徑為1,則其圓心角的大小為1弧度

D.若sina-cosa>0,則角a的終邊在第一象限或第三象限

7T

11.如圖所示，角a的終邊與單位圓。交于點(diǎn)P,將。尸繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),后與圓。交

于點(diǎn)Q.

⑴求為；

（2）若AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,°=應(yīng)，b=2,sinA=|ye|,求兄即小

易錯(cuò)點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致變形錯(cuò)誤(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與

誘導(dǎo)公式求值問題)

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2c?r+cos2a=l-

(2)商數(shù)關(guān)系：S^a=tancr(6Z^—+k/r)；

cos。2

2.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式—*二三四五六

7171

角2kji+a(keZ)7i+a-a7i-a-----a----FCC

22

-sincr

正弦sina-sincrsinacosaCOSO

余弦coscr—cosacosa—cosasina-sina

一tana

正切tanatana一tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

題型L同角三角函數(shù)關(guān)系齊次化

sinex.

(1)利用方程思想，對(duì)于sina,cosa,tana,由公式sin?e+cos?e=l,tan(z=------,可以“知一求二”.對(duì)

COS6Z

于sina土cos。,sinacosa,由下面三個(gè)關(guān)系式

(sina±cosa)2=1±2sin?cosa,(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2,可以"知一求二

(2)sina,cosa的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sina,cos。的齊次式，或含有sir?a,cos2a

及sir?acosc的式子求值時(shí)，可將所求式子的分母看作“1”，利用“sin?a+cos2a=1”代換后轉(zhuǎn)化為“切”求

解.

題型2.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)及其計(jì)算

(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；

②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了.

(2)學(xué)會(huì)誘導(dǎo)公式的逆用，如sina=sin(萬一a),cosa=-cos(萬一0)等，再如y=sin仁-xJ=sin卜+J

能將y=sin[?-d中x的系數(shù)由負(fù)變正，且不改變“正弦”前面的符號(hào).

(3)學(xué)會(huì)觀察兩角之間的關(guān)系，看看它們的和或差是否為5的整數(shù)倍.

2

einry

技巧：L利用si^c+cos2a=1可以實(shí)現(xiàn)角。的正弦、余弦的互化，利用——=tanc可以實(shí)現(xiàn)角，的弦

COSCT

切互化.

2.“sina+cosa,sinacosa,sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosaf=sin2a+cos2a+2sincrcosi=1+sin2a

(sina-cosa)2=sin2a+cos21一2sinacosa=1—sin2a

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

TT

易錯(cuò)提醒：奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作(2)無論

7T

有多大，一律視為銳角，判斷小所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)幾為奇數(shù)

2

是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可。

4

例.已知tana=-]

兀

2sin(7i-a)+sin——a

2

(1)求sin2a-2cos2a的值.(2)求——N的值.

cos+cos(-?)

變式L已知區(qū)夕均為銳角，S,sina=—,sin(a-/3)=-

510

(1)求tan(c—月)的值；(2)求cos(2a—6)的值.

cos(—a-兀)sin(2兀+a)tan(2兀-a)

變式2?.已知cosa=；且一=＜。＜0,化簡(jiǎn)并求77號(hào)―1—赤―1的值?

2sin------acos—+a

12J^2J

變式3.已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)尸(3,T).

⑴求cos(a-7t)-sin"熱的值；⑵若銳角夕滿足cos(a+/?)=帝求sin"的值.

三9

1什1

1.右tana=3,貝Usin2a—cos2a=()

11「i7

A.—B.—C.—D.一

5425

<T，cos(a-y0)=^|',siny0=1,貝°cosa=()

2.已知0＜方＜。

84「36-13-77

A.——B.—C.—D.—

85858585

3.在平面直角坐標(biāo)系中，角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點(diǎn)（私6）,且

tan(一乃+1)=-3,則cosa=()

A.一叵B.

C.yioD

5IF-f

2sin2

「八?1

已矢口sina-cosa=—,則一、

3COS2|Clf--I-sin[

I4J

218

1C1

--B.---

A.399D.

8

已知a為銳角，sin[a+I]=M，則sina=()

5.

A3-4山“46—3r3+4\/33+473

10101010

JT兀

6.已知?！?一5,0),且tan(——a)=3cos2a,貝ljsin2a=(

24

5

6

7.若1￡(0,兀)，且cosa-sina=—,則tana=()

B.4-不4+774-77

A,c.D.

5533

1,6e(0,兀)，則

8.已知sin0+cos0=()

37

A.tan8=——B.cos2。----

425

e0（九、V2

C.tan—=2D.cos3+—=

2I4J10

9.已矢口511108$[0+6)=3(\)505詁[二+6)，貝Utana=

7

10.已知。是第四象限角，且滿足sina+cosa=n",貝|tana=

一H八7i「?,smcr-cosa

11.右0<i<一,且tan<z=2,貝！J----------------=_____.

2cos2a

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視三角函數(shù)圖象變換研究對(duì)象選?。ㄈ呛瘮?shù)的圖象和性質(zhì)）

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

jr34

（1）在正弦函數(shù)y=sin尤，xe[0,2^]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,（耳，1）,（萬，0）,（5，-1）,（2萬，0）.

7T%冗

（2）在余弦函數(shù)y=cosx,xe[0,2%]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,（,，0）,（萬，一1）,（三，0）,（2萬，1）.

函數(shù)y=smxy=cosxy=tanx

_7T\77\3TT

2ol/；\2-

圖象

-vKi5

2；n；2

定義JI

RR{X\XE：R,x^kjv+—}

域

值域[-1.1][-b1]R

周期

2萬2TT71

性

奇偶

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

遞增[2左萬一q,2左7+—1[-7T+2kji，2左刀]冗]冗、

2(kjT-,K7C~\

區(qū)間

遞減7137r

[2k7rH—,2kji+——1[2k兀，n+2ki]

2無

區(qū)間

對(duì)稱仔,。）

(kn,0)(匕r+g,0)

中心

對(duì)稱.n

X=K7C-\——X=k7T無

軸方程2

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左eZ）

注：正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是工；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是工;

22

正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離

4

3.y=Asin(wx+(p)與y=Acos(w%+^)(A>0,w>0)的圖像與性質(zhì)

2萬

(1)最小正周期：T=—.

w

(2)定義域與值域：y=Asin(“，x+e),y=Acos(wx+。)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-A,A].

(3)最值

假設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=Asin(wx+。)，

當(dāng)w%+0=—+2左〃(左eZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值1;

<2

jr

當(dāng)松+0二——+2版■(左eZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值—A;

、2

②對(duì)于丁=Acos(wx+cp),

當(dāng)wx+(p=2k7i(keZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值4;

當(dāng)叩尤+夕=2k兀+兀(kGZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值-A;

(4)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心.

假設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于丁=AsinO4a+。),

冗

當(dāng)yr/+0=左"+5(左￡Z),即sin(w%o+0)

<=±1時(shí)，y=sin(w%+0)的對(duì)稱軸為￥=%

當(dāng)w%o+(p=k兀(keZ),即sin(w%o+0)=0

時(shí),y=sin(wx+9)的對(duì)稱中心為(%o,O).

②對(duì)于丁=Acos(wx+cp),

當(dāng)w%o+/=k兀(kGZ),BPcos(wx0+°)=±1

時(shí)，y=cos(w%+0)的對(duì)稱軸為x=/

<7C

當(dāng)w/+cp=k兀+^(kEZ),即cos(w%o+0)

=0時(shí)，y=cos(wx+9)的對(duì)稱中心為(%0,0).

正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大(小)值的位置.正、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與x軸交點(diǎn)

的位置.

(5)單調(diào)性.

假設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=Asm(yvx+(p),

rrjr

wx+(pE[—+2左肛一+2kG(k￡Z)n增區(qū)間；

<22

wx+(pe[—+2^,—+lk7i}(JceZ)n減區(qū)間.

、22

②對(duì)于y=Acos(ua+cp),

wx+(pE[~7i+2k兀,2k7f\(keZ)=>增區(qū)間；

VEX+/￡[2k7l,2k7l+7i](kGZ)=>減區(qū)間.

(6)平移與伸縮

77

由函數(shù)y=sinx的圖像變換為函數(shù)y=2sin(2x+§)+3的圖像的步驟；

7T7T

方法一：(xfx+—f2x+—).先相位變換，后周期變換.

23

v—sinx的圖像向左平移/單位〉y=sin(x+工)的圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?

y-sinxHjtsdi^.>，3縱坐標(biāo)不變，

所有點(diǎn)的鬻寢來的？倍〉

y=sin(2x+《)的圖像y=2sin(2x+3)的圖像

77"

向上平移3個(gè)單位>丁=2sin(2x+()+3

7TTT

方法二：(xfx+—f2x+—).先周期變換，后相位變換，再振幅變換.

23

、，一311丫M1圖像所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?_向左平移￡個(gè)單位

y_sinx仃圖1家-------胡編襦—j)=sin2x的圖像--------§------>

y=sin2(x+彳)=sin(2x+])的圖像所有點(diǎn)的駕疆誓來的？倍>

向上平移各單位>

y=2sin(2x+三)的圖像3y=2sin(2x+y)+3

結(jié)論：關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；

TT

(1)函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸為％=左萬+—/￡Z),對(duì)稱中心為(版",0)(左￡Z)；

2

TT

(2)函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸為x=版■(左eZ),對(duì)稱中心為(Qr+—,0)(Z；eZ)；

2

⑶函數(shù)y=tan*函數(shù)無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為(竺,0)(AeZ)；

2

TT

(4)求函數(shù)y=Asin(wx+0)+b(vvwO)的對(duì)稱軸的方法；^wx+(/)=—+kn(kGZ),得

J…對(duì)稱中心的求取方法；令他+。=4萬伏?Z),得彳=紅二幺，即對(duì)稱中心為

%—)W

W

kjr

b).

W

(5)求函數(shù)y=Acos(wa+e)+Z?OwO)的對(duì)稱軸的方法；令館+。=左萬(左eZ)得

7V71

-+K71—(DI,、srHkjl—(p

2，即nn對(duì)稱中心為‘2八〃八

x=--------------(―--------------,p)(KeZ)

ww

題型1.研究三角函數(shù)的性質(zhì)(如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等)的前提是用公式把已給

函數(shù)化成同一個(gè)角同一種類型的三角函數(shù)形式(簡(jiǎn)稱：同角同函)J=Asin(wx+y=Acos(wx+,常

見方法有：

(1)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函；

(2)用倍角公式(升幕或降幕)將已給函數(shù)化成同角；

(3)用兩角和、差公式或輔助角公式asinwr+3cos也將已給函數(shù)化成同函.

題型2.研究三角函數(shù)的性質(zhì)(如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等)時(shí)，一般是把已給函數(shù)

化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述工示皿例+防或尸旦也"/。)的形式，有時(shí)會(huì)

化簡(jiǎn)為二次函數(shù)型：y=asin2x+bsin2x+c^y=acos2x+bcos2x+c,這時(shí)需要借助二次函數(shù)知識(shí)求解，

但要注意sinx或cosx的取值范圍.

若將已給函數(shù)化簡(jiǎn)為更高次的函數(shù)，如y=(1+sinx)cos2x=(1+sinx)(l-sin2x),則換元后可通過導(dǎo)數(shù)求

解.如：解析式中同時(shí)含有sinx±cosx和sinxcosx,令，=sinx土cosx,由關(guān)系式

t2=(sin尤土cos￡)2=l±2sinxcos尤得到sinxcosx關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式.

題型3.求三角函數(shù)的值域(最值)，通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本

類型：

(1)y=asinx+b,^t=sinx,則y=成+e；

b______

(2)y=asinx+6cos尤+c,引入輔助角。(tan0=—),化為y=J/+〃sin(尤+0)+c;

a

(3)y=asin2x+bsinx+c,^/=sinx,貝ljy=〃/+4+c,Q￡；

(4)y=asinxcosx+Msin%±cos%)+c,=sinx±cosx,

/2_]

則t2=(sinx±cosx)2=l±2sinxcosx,所以y=a(±——)+bt+c；

asmx+b

(5)y=根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形

ccosx+a

結(jié)合法求最值.

易錯(cuò)提醒：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移(先周期后相位)在題目中也經(jīng)常出

現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量X而言的，即圖像變換要看“變量X

發(fā)生多大變化，而不是“角wa+夕'變化多少.

三

例.定義在R上的函數(shù)〃x)=2sin|8+三)3村)滿足在區(qū)間卜屋)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn),

則下列說法不思理的是()

A.〃x)的最小正周期為m

B.將/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位長度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.“X)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為中

D.在區(qū)間(-/0)上單調(diào)遞增

變式1.已知函數(shù)『小+3OS尤-手，把函數(shù)的圖象向右平移￡個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象,

JT

若xe0,-時(shí)，方程g(x)+左=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取值可以為()

A.!B.-C.--D.--

2434

變式2.已知函數(shù)/(x)=3sin(2x+0)的初相為，則下列結(jié)論正確的是()

A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

jr

B.函數(shù)/■(*)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為-丁，-7

03

C.若把函數(shù)“X)的圖象向右平移巳個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)為偶函數(shù)

D.若函數(shù)在區(qū)間-氣上的值域?yàn)?*孚

變式3.已知函數(shù)/(x)=6sinxcos尤-cos?尤+g,則下列說法正確的是()

A./(x)=sin(2x_2J

B.函數(shù)f(x)的最小正周期為兀

C.函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=far+$4eZ)

jr

D.函數(shù)/（x）的圖象可由y=cos2x的圖象向左平移二個(gè)單位長度得到

1.為了得到函數(shù)〃x）=3應(yīng)叫2尤-力1的圖象，可將函數(shù)g（x）=3而i“2x-：J+l的圖象（）

A.向右平移二個(gè)單位長度B.向左平移三個(gè)單位長度

C.向右平移詈個(gè)單位長度D.向左平移署個(gè)單位長度

2.要得到函數(shù)/（x）=sin（2x+小的圖象，可以將函數(shù)g（x）=cos（2x+1^的圖象（）

A.向右平移g個(gè)單位長度B.向左平移g個(gè)單位長度

33

C.向右平移9JT個(gè)單位長度D.向左平移g-TT個(gè)單位長度

66

3.函數(shù)/（x）=sin。尤（。>0）在區(qū)間-上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱，則（）

A.將函數(shù)/（x）的圖象向右平移胃?jìng)€(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.函數(shù)“X）在［兀,2可上單調(diào)遞減

C.若函數(shù)〃x）在區(qū)間①,號(hào)）上沒有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-得，皆）

D.若函數(shù)/（X）在區(qū)間（a,等）上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-9,0）

4.已知函數(shù)〃x）=sin（s+e）（0>O,閘的最小正周期是兀，把它圖象向右平移？個(gè)單位后得到的圖象

所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（）

A.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于直線x=1|對(duì)稱B.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)1寸稱

C.函數(shù)“X）在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)“X）在:號(hào)上有3個(gè)零點(diǎn)

5.已知函數(shù)〃X）=2COS（0X+T（O<0<3）,且對(duì)VxeR,者B有:（x）=/（2一］,且把〃龍）圖象上所有

點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變），再把圖象右移g,得到函數(shù)g（x）的圖像，則下列說法正確的是（）

/3

5兀

A.ct)=lB.g(x)=-g--x

C.g［x+^J為奇函數(shù)D.g(元)在(0，鼻上有兩個(gè)零點(diǎn)

6.將函數(shù)/(x)=2sinx的圖象向右平移￡個(gè)單位長度，再將得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?/p>

(。>0),縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若在0,：上有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)占,受滿足

g(jq)g(j;2)=-4,則。的取值可以是()

A.5B.6C.7D.8

7.已知函數(shù)/■(x)=cos(0x+：j,g(x)=cos(0x-：J,其中0>0,貝I］()

A./⑴與g(x)的圖像關(guān)于直線彳=工7T對(duì)稱

①

B./⑴與g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)［焉,oj對(duì)稱

C.當(dāng)/(x)與g(x)在區(qū)間,3上單調(diào)性相反時(shí)，。的最大值為1

D.當(dāng)Ax)與g(x)在區(qū)間兀］上單調(diào)性相同時(shí)，。的最大值為:

8.已知函數(shù)〃x)=2j§siiu8Sx+2sin2x-2,以下說法中，正確的是()

A.函數(shù)〃x)關(guān)于點(diǎn)心,。］對(duì)稱

TT7T

B.函數(shù)“X)在上單調(diào)遞增

OO

C.當(dāng)即時(shí)，“X)的取值范圍為(-2,1］

jr

D.將函數(shù)的圖像向左平移己個(gè)單位長度，所得圖像的解析式為g(x)=2sin2x-l

9.已知/'(x)=c0sMeos尤+底inx),下列結(jié)論正確的是()

A.〃x)的最小正周期為2兀

B.把/(x)的圖象向左平移?個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

0

C.若“X)在區(qū)間［-［，"］上的最大值是：，則機(jī)的最小值為:

_0J23

57r

D.若無1+無2=^，則/(%)+/(羽)=1

6

10.已知函數(shù)"X)=2sin(2x+￡|,下列結(jié)論中正確的有()

A.若〃%)="々)，則%一%是兀的整數(shù)倍

B.函數(shù)的圖象可由函數(shù)g(無)=2sin［Af的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

再向左平移居57r單位得到

C.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

D.函數(shù)y=〃x)在［-9譚］上單調(diào)遞增

一4X_

11.已知/(x)=cos(2x-3，g(x)=cosx,/z(x)是〃尤)的導(dǎo)函數(shù)()

A.力⑺是由g(x)圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的:倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移之得

到的

B.是由g(x)圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的:倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移？得

到的

C./z(x)的對(duì)稱中心坐標(biāo)是］：兀+：0),左eZ

D.丫=7》+2是/心)的一條切線方程.

易錯(cuò)點(diǎn)四：求(P時(shí)忽略升降零點(diǎn)的區(qū)別(函數(shù)y=Asin(①*+0)的圖象及其應(yīng)

用)

函數(shù)V=Asin(0x+e)Q4>0,0>0)的物理意義

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式>=Asin(Ox+0),xe［O,y),其中A>0,a>>0.在物理中，描述簡(jiǎn)諧

運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是

做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是7=',這是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)

(D

運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式/=3給出，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)

運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；“沈+。稱為相位；x=0時(shí)的相位。稱為初相.

題型1.已知/(x)=Asin(s+0)(A>O,0>O)的部分圖象求A的方法:

(1)利用極值點(diǎn)的縱坐標(biāo)求A；(2)把某點(diǎn)的坐標(biāo)代入求A.

題型2.已知/(%)=Asin(/尤+，)(A>O,。>0)的部分圖象求。的方法:

由。=一，即可求出。.常用結(jié)論：(1)相鄰兩個(gè)極大(小)值點(diǎn)之間的距離為T；(2)相鄰兩個(gè)零

T

點(diǎn)之間的距離為!；(3)極值點(diǎn)到相鄰