高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列及求和（解析版）

專題4數(shù)列及其應(yīng)用

內(nèi)容概覽'

01專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）

02考情分析?解密高考

03高頻考點(diǎn)?以考定法（五大命題方向+五道高考預(yù)測(cè)試題，高考必考10-15分）

命題點(diǎn)1等差數(shù)列及性質(zhì)

>命題點(diǎn)2等比數(shù)列及性質(zhì)

>命題點(diǎn)3等差等比數(shù)列綜合

>命題點(diǎn)4數(shù)列情景題

>命題點(diǎn)5數(shù)列求和

>高考猜題

04倉(cāng)！]新好題?分層訓(xùn)練（★精選8道最新名校模擬試題+8道易錯(cuò)提升）

6》專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖二

一、一般數(shù)列性質(zhì)：

a>a,

nn+l

單調(diào)性：遞增數(shù)列：an+1>an；遞減數(shù)列：an+1<an；常數(shù)列：an+1=an；最大項(xiàng)〃

[an2冊(cè).1

二、等差數(shù)列及性質(zhì)

1.定義式：an+1-an=d（遞推公式）

2.等差中項(xiàng)：若a,b,c成等差數(shù)列，貝!]2b=a+c

V相鄰三項(xiàng)，2（1n=an+1+an_r

3.通項(xiàng)公式：。九=a1+（九一l）d（累加法）

從函數(shù)角度理解：an=An+其中A=d,B=ar—d

推廣：an=am+（n—m）d

4.｛即｝為等差數(shù)列，為其前幾項(xiàng)和

性質(zhì)1：若m+九=s+3貝+%I=%+%

特殊的，若m十幾=2%則a7n+。九=2%

9

性質(zhì)2:Q,mf^m+k,%n+2k，Qm+3上，…仍成等差數(shù)列.

性質(zhì)3：Sm,S2m—Sm,$3血—S2nl，…仍成等差數(shù)列.

5.前n項(xiàng)和：S“=秋。；/）=呵+（倒序相加法）

2

從函數(shù)角度理解：Sn=An+Bn,其中力=gB=的+g

6.單調(diào)性：d>0,單調(diào)遞增；d<0,單調(diào)遞減；d=0,常函數(shù)

7.S九最值問題：

法一：S九最值問題可由%=An2+8九二次函數(shù)求最值的角度考慮.

法二：若Qi>0,d>0,S打的最小值為Si，S九無(wú)最大值；

若%>0,d<0,S九的最大值為項(xiàng)的正負(fù)分界處（a九>0成立的最大的九），S九無(wú)最小值;

若的V0,d<0,S九的最大值為Si，S九無(wú)最小值；

若的V0,d>0,S九的最小值為項(xiàng)的正負(fù)分界處（的1Mo成立的最大的幾），S打無(wú)最大值.

法三：解不等式組SnSn>Sn+1（n>2,nEN*）,即可求得%最大值；

解不等式組%WS九_(tái)1，Sn<Sn+1（n>2,nEN*）,即可求得%最小值.

8.判斷等差數(shù)列的方法：

*定義法*等差中項(xiàng)法*通項(xiàng)公式法*前幾項(xiàng)和公式法

三、等比數(shù)列及性質(zhì)：

1.定義式：an+1an=d（遞推公式）

2.等比中項(xiàng)：若a,b,c成等比數(shù)列，則爐=以；

2

V相鄰三項(xiàng)，an=an+1an.r

71-1nm

3.通項(xiàng)公式：an=a^（累乘法）推廣：an=amq~

4.｛須｝為等比數(shù)列，S九為其前ri項(xiàng)和

a

性質(zhì)1:若TH+九=S+t,貝=CLst

特殊的，若m+n=2t,則=at2

9

’性質(zhì)2:CLmf%n+/c，^m+2k%n+3k，…仍成等比數(shù)列.

性質(zhì)3：Sm,S2m-SmfS3m-S2mf…仍成等比數(shù)列.

5.前幾項(xiàng)和：S=（qhl）（錯(cuò)位相減法）

nl-q1-q

S"'71al（q=1）

6.單調(diào)性：

若a】>0,q>1,單調(diào)遞增；

若a1>0,0<q<1,單調(diào)遞減；

若的<0,q>1,單調(diào)遞減；

若a1<0,0<q<1,單調(diào)遞增；

若q=l,常數(shù)列；

若q<0,擺動(dòng)數(shù)列.

四、數(shù)列綜合問題：

1.求通項(xiàng)公式：

（1）猜想--證明法

根據(jù)條件猜想通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證或證明其符合題意.

（2）即與％關(guān)系法：

由=h$募"=1可根據(jù)％求通項(xiàng)公式.

(3)累加法：an+1-an=f(n)

(4)累乘法：an+1-^an=f(n)

(5)構(gòu)造法：

1※構(gòu)造等比數(shù)列※形如：an+1-2an=3

待定系數(shù)法an+1+t=2(an+t)得t=3即+3=2(an+3)

2※構(gòu)造等比數(shù)列※形如：an+1-2an=n-l

待定系數(shù)法an+1+(幾+1)=2(an+n)

3※構(gòu)造等差數(shù)列※形如：an+i-2an=2"+1

等式兩邊同時(shí)除以2H、即得辭-譙=1

n+1

4※構(gòu)造等比數(shù)列※形如：an+1-3an=2

等式兩邊同時(shí)除以2“+i,得到貂-|x愛=1,即轉(zhuǎn)化為IX

5※構(gòu)造等差數(shù)列※形如：an-an+1=2anan+1

等式兩邊同時(shí)除以a/n+i，得到上-2=2

an+lan

2

6※構(gòu)造等比數(shù)列※形如：an+1=ean

等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得lncin+i=21nan+1,即轉(zhuǎn)化為IX

2.數(shù)列求和方法：

(1)公式求和法

*等差、等比數(shù)列直接用公式求和

￡k1TI=1+2+3+—I-n="C"

V2,2,02,,2n(n+l)(2n+1)

>n=12+9+3ZH----1-nz=---------------

i=l

(2)倒序相加法

距首位兩端等距的兩項(xiàng)和相等

(3)錯(cuò)位相減法

差比數(shù)列：形如的=%?4,其中｛.｝為等差數(shù)列，｛%｝為等比數(shù)列.

(4)裂項(xiàng)相消法

形如斯=二一，其中仍“｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d

^n^n+l

形如斯=」l可用分母有理化進(jìn)行裂項(xiàng)

“Vn+1+Vn

(5)分組求和法

通項(xiàng)公式有若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，可分別求和后再相加.如：廝=就亍+

2n+2n

(6)并項(xiàng)求和法

n

形如an=(-i)/(n),可兩兩結(jié)合求和的數(shù)列.

函〉考情分析?解密高考?

數(shù)列是高考中必考點(diǎn)，一般以1+1或者是2+1形式出現(xiàn)，主要考查等

差等比數(shù)列及其性質(zhì)應(yīng)用

真題多維細(xì)目表

考點(diǎn)考向考題

2023新全國(guó)I卷T7全國(guó)乙T10全國(guó)甲T5

2022全國(guó)乙卷T13

①等差數(shù)列性質(zhì)2021全國(guó)甲卷T18全國(guó)HT17

等差等比數(shù)列2023新高考II卷85全國(guó)乙卷T15全國(guó)甲卷T13T5

應(yīng)用②等比數(shù)列及性質(zhì)2022全國(guó)乙卷T10T8

2021Q全國(guó)甲卷T7

③等差等比數(shù)列綜合2023全國(guó)乙卷T10

2022全國(guó)甲卷T18新高考HT17

2021全國(guó)乙卷T19

④數(shù)列情景題2022新高考II卷T3全國(guó)乙卷T4

2020新高考II卷T4

⑤數(shù)列求和2023新高考IT20新高考HT18乙卷T18甲卷T17

2022新高考IT17

2021全國(guó)乙卷T19甲卷T9T18新高考IT17

新高考IIT17

高頻考點(diǎn)?以考定由

??高考解密＜＜

命題點(diǎn)1等差數(shù)列及其性質(zhì)

典例01(2023?全國(guó)乙卷)已知等差數(shù)列｛%｝的公差為:，集合S=kosqJ”eN*｝，若5=｛.回，則而=

()

A.-1B.—C.0D.—

22

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理

作答.

27r2冗2兀

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛〃/中，^=^+(H-l).y=yn+(^-y),

27r2兀

顯然函數(shù)＞=cos［可〃+(《-?■)］的周期為3,而〃eN*,即cos為最多3個(gè)不同取值，又

｛cos%N*｝=｛〃,8｝,

cosa

貝I］在COSQI，COSQ2，COS〃3中，cos%=cosa2wcos%或cosqwcos%-3，

2冗2冗it

于是有cos。=cos(0+7),即有0+(0+—)=2k7i,keZ,解得6=kTi--,k^Z,

LLt、Ifi-r7zJ兀、兀、471,.7T\.91兀1

所以《eZ,ab=cos(E--)cos［(KJI--)+—］=-cos(E--)cosKJI=-COSKJICOS—.

故選：B

典瓶I02(2023?全國(guó)?統(tǒng)考甲卷)記S“為等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和.若出+6=10，%。8=45,貝”5=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列｛%｝的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前〃項(xiàng)和公式即可解出；

方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列｛%｝的公差，再根據(jù)前“項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出.

【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列｛g｝的公差為d,首項(xiàng)為外,依題意可得，

%+4=〃i+d+〃i+5d=1。，即4+3d=5,

又的g=(4+3d)(4+7d)=45,解得：d=l,q=2,

5x4

所以羽=54+^x1=5x2+10=20.

故選：C.

方法二：%+。6=2。4=10,。4。8=45,所以。4=5,。8=9,

從而d=^S￡1=l,于是/=4_d=5_l=4,

8-4

所以S5=5%=20.

故選：C.

＞命題點(diǎn)2等比數(shù)列及性質(zhì)

典例01(2023.全國(guó).統(tǒng)考高考II卷)記5“為等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，若S4=-5,S6=2電，則'=(

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)S4，Sg的關(guān)系即可解出；

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,首項(xiàng)為%,

若4=-1,則邑=0*-5,與題意不符，所以q#-l；

若4=1，貝U=6%=3x2q=3S2片。，與題意不符，所以4片1；

由邑=-5,56=215?可得，/1一"4)=一5,"0=21x"」)①,

1-ql-q\-q

由①可得，1+才+/=21,解得：/=4,

所以醺=x(1+/)=一5x(1+16)=一85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

因?yàn)橐?-5,56=21S2,所以qw-1,否貝|S4=0,

從而，$2，$4-$2，及-$44-$6成等比數(shù)列，

95

所以有，(-5-S2)-=S2(21S2+5),解得：$2=-1或5="

當(dāng)Sz=T時(shí)，S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S6,即為-1,-4,-16,$8+2疊

易知,S8+21=-64,即SS=-85；

當(dāng)邑=一時(shí)，S4=O]+4+%+%=（4+的乂i+q~）=（i+c『）S2>0,

與$4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握邑，$8的關(guān)

系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

典例02（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考乙卷）已知｛4｝為等比數(shù)列，出%%=/4，a9a10=-8,則%=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)。2“洶=%/化簡(jiǎn)得%4=1，聯(lián)立。刈0=-8求出q5=_2,最后得

%—aiQ,q5=q5=—2.

【詳解】設(shè)｛4｝的公比為4（4n。）,則?/，顯然4戶。，

貝1]。4="2，即則44=1,因?yàn)椤?%0=-8,貝-8,

則4"=（7）3=-8=（-2）3,貝！Jq5=-2,則%=。0"，=q，=-2,

故答案為：-2.

命題點(diǎn)3等差等比數(shù)列綜合

典例01（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考甲卷）記S"為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知一+”=2%+1.

n

⑴證明：｛%｝是等差數(shù)列；

（2）若%，%，％成等比數(shù)列，求S”的最小值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）-78.

[S,,n=1

【分析】（1）依題意可得2S〃+/=2〃%+〃，根據(jù)%=1作差即可得到4-。1=1,從而得

[S,-S"Z2

證;

（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出生,即可得到｛見｝的通項(xiàng)公式與前幾項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)計(jì)算可得.

2s

【詳解】（1）因?yàn)橐?+n=2a+1,BP2S+n2=2na+nQ,

nnnn

當(dāng)2時(shí)，2sl+（^-l）2+（〃一1）②，

①-②得，2s〃+〃2—2S〃——1）=2nan+n—2（n——（n—1）,

即2a〃+2n—1—2nd,—2（〃一1）+1,

即2（〃-1）4一2（〃一1）%T=2（〃-1）,所以?！?4T=1,〃22且〃￡N*,

所以｛〃〃｝是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）［方法一］:二次函數(shù)的性質(zhì)

由（1）可得〃4=q+3,%=q+6,%=。1+8,

又〃4，。7,〃9成等比數(shù)列，所以%2=%?。9，

即（％+6）=（q+3）?（4+8）,解得。i=—12,

匚匚1“_〔a匚匚［“仁—12251（25丫625

所以〃〃="一13,所以S=-12〃d——---zi2--------n=—\n-----------，

〃222212J8

所以，當(dāng)撲=12或〃=13時(shí)，（5?）^=-78.

［方法二］:【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法

由（1）可得〃4=4+3,%=%+6,%=。1+8,

又。4，。7,〃9成等比數(shù)列，所以％2=&Pg，

即（％+6）=（/+3）.（/+8）,解得。i=—12,

所以?！?"一13,即有力<〃2<<%2<°，。13=0.

則當(dāng)幾=12或〃=13時(shí)，0L=-78.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最小值，適用于可以求出S〃的表達(dá)式;

法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解.

典例02（2022.全國(guó)新高考H卷）已知｛叫為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)證明：4=4;

（2）求集合刊為=+q,l4m4500）中元素個(gè)數(shù).

【答案】⑴證明見解析；（2）9.

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得加=2卜2,即可解出.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛g｝的公差為d,所以，+4_24=肪「（4+3]）’即可解得，4=4=5,所以原

命題得證.

2

（2）由（1）知，々=q=[,所以d=狐+qO偽x2"i=4+（7九-1"+121,即=2加，亦即m=2^e[1,500],

解得2W左W10,所以滿足等式的解4=2,3,4,,10,故集合卜|瓦=您+%/（機(jī)（500｝中的元素個(gè)數(shù)為

10-2+1=9.

命題點(diǎn)4數(shù)列情景題

典例01（2022.全國(guó)?統(tǒng)考II）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，44',8反"',九＞'是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中OR,CG，8綜AA是舉，

k

OOpDCpCB,,^是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為扁=°5一=k盜=2^=k3.已知k1,k2,k3

UL）｝/JC]C131n/lj

成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725,則&=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設(shè)oq=OG=cg=%=i,則可得關(guān)于心的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】^OD]=DCl=CB]=BAl=l,則CG=K，B4=%,AA=%,

DD]+CC[+BB\+AA1

依題意，有&-°-2=尢,勺-0.1=笈2，且=0.725,

ODX+DCX+CB[+B\

所以TAHAS'故&=0%

故選：D

典伊）02（2022.全國(guó)?統(tǒng)考乙卷題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第

一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星,為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列抄“｝：乙=1+1,

h=1H____________"3_'丁]

21，%+——T，…，依此類推，其中%￡N*（左=1,2,）.則（）

CC,-----1

a。2+一

2%

A.bI<b5B.b3<bsC.b6<b2D.a<片

【答案】D

【詳解】[方法一]:常規(guī)解法

因?yàn)閍?N*（左=1,2,）,

1I—I>----I-----

所以％<%+一，%“+J_，得到偽>仇，

%6tl十

a2

11

CCH—>aH---------；-,,

同理X4a,+—>可得％<&，

a3

1111

z>..............->%+—r<%+-----------

又因?yàn)?+P%+—%+j~,

CC2H-----0303H-----

%%

故為<“，

以此類推，可得4>匕3>々>&>…，2仄,故A錯(cuò)誤；

bx>b,>\,故B錯(cuò)誤；

11

屋〉1

2%+1，得偽<%，故C錯(cuò)誤；

%+…——

4

11

ax+-----------1---->ax-\---------------------

%+-----[%+…-----「，得"<A，故D正確.

OI3H------I-----

%%

［方法二］:特值法

-z-3、n_[elci3i518i13i213455

不妨設(shè)?！?1，貝!Jb]=2心=不，b3=-,b4=-,b5=--,b6=—，b7=--,b8，

Z33o13Z134

“<2故口正確.

命題點(diǎn)5數(shù)列求和

a-6,〃為奇數(shù)

典例01.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考II卷)己知｛4｝為等差數(shù)列，2=n，記S”，1分別為數(shù)歹￡%｝,

2%,〃為偶數(shù)

｛2｝的前〃項(xiàng)和,$4=32,4=16.

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

【答案】⑴4=2〃+3；

（2）證明見解析.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,用4，"表示S,及T“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出T.，并與S“作差比較作答；方

法2,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式求出（，并與S“作差比較作答.

,、-6,n=2k—l*

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而"=2；n=2k#eN，

則b[=a1—6,b2=2a2—2al+2d,b3=a3—6=ax+2d—6,

S=4q+6d=32

于是4解得q=5,d=2,a=(\+(n-1)J=2〃+3,

=4q+4d—12=16n

所以數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式是a“=2〃+3.

⑵方法1：由⑴知，3/(5+7+3)="+4",=鼠CN*,

2[4〃+6,〃=2左

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，%+2=2(及-1)-3+4幾+6=6〃+1,

t13+(6n+l)幾327

T=------------------=—n+—n,

n2222

22

當(dāng)〃〉5時(shí)，7^—Sn=(―n+—zi)—(H+4n)=-n(n—1)>0,因此l>，

327325

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn+｛-bn+1=-(H+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-H-5,

22

當(dāng)力〉5時(shí)，7^—Sn=(—n+—H—5)—(n+4n)=—(n+2)(n—5)>0,因此(〉S〃,

所以當(dāng)”>5時(shí)，Tn>Sn.

、、工-,,,cn(5+2n+3)”,〃〃丘

萬(wàn)法2：由(z1x)知，S=—―-——-=n22+4/?,b=2-3,=2"1,N*,

nn4〃+6,〃=2左

—1+2(幾一1)—3n14+4/1+6n327

---------------------------1---------------------

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，m++6,T）+（a+a+…+〃，）==-nH---Tlf

222222

—22

當(dāng)〃〉5時(shí)，7^5n=(—n+—n)—(n+4n)=—n(ji—1)>0,因此l>S〃,

—1+2〃―3n+114+4(H-1)+6n—1

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，若則<=（4+4+，+2）+（8+“+，+2一1）=

2222

3535

=jn2+|n-5,顯然4=4=-l滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，5,

351

2

當(dāng)〃〉5口寸，Tn-S=(―九2+—n—5)—(n+4n)=—(H+2)(〃—5)>0,因此北〉,

所以當(dāng)”>5時(shí)，Tn>Sn.

典例02（2023?全國(guó).統(tǒng)考乙卷）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知外=11,九=40.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)歹的前〃項(xiàng)和1一

14n-n2,n<7

【答案】⑴氏=15-2砥2）7；=

n2-14w+98,n>8

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解％”,進(jìn)而可得結(jié)果;

（2）先求S“，討論?！钡姆?hào)去絕對(duì)值，結(jié)合S“運(yùn)算求解.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

a2=q+d=11

1++9dd==118,解得%=13

由題意可得Si。=104+^^1=40'即

d=—2’

所以a”=13—2(〃—1)=15—2/z,

"03+15一2嘰]4〃”,

(2)因?yàn)镾"=

2

令為=15-2〃>0,解得且“cN*,

當(dāng)〃W7時(shí),則?！?gt;0,可得(=|%|+|?卜--^\a>\=ai+a2------Fa,,=S“=14”—療；

當(dāng)〃28時(shí)，貝!J<0,可得看=同+同卜--卜|聞=（《+々2T-----卜生）一（火---+4）

^S7-(Sn-S1)^2S1-Sn=2(14義7—72)—(14〃一“2)=〃2_]4〃+98；

14n-n2,n<7

綜上所述：Tn=\

n2—14n+98,n>8

典例03(2023?全國(guó).統(tǒng)考甲卷)設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的前力項(xiàng)和，已知外=L2S“=y.

⑴求｛?！埃耐?xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前”項(xiàng)和5.

2〃

【答案】⑴?！?"1⑵7>2-(2+〃)I

\S]9n=l

【分析】⑴根據(jù)%=°c、。即可求出；

(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出.

【詳解】(1)因?yàn)?S“=〃a,,

當(dāng)〃=1時(shí)，2%=q,即q=0；

當(dāng)”=3時(shí)，2(1+4)=3%,即%=2,

當(dāng)〃22時(shí),2s“_]=(〃-1)%,所以2(5"-5"_1)=叫,-仇-1)%=24,

化簡(jiǎn)得：(〃一2)%=5-1)舶，當(dāng)3時(shí)，;=1,^an=n-l,

當(dāng)〃=1,2時(shí)都滿足上式，所以4=〃一l(〃wN*).

⑵因?yàn)槟?/,所以；出

7=lx&+2x+3XQ++nx

+(n-1)x

兩式相減得,

2

=1一1+?］，即北=2-(2+〃)出,

是公差為的等差數(shù)列.

典例04（2022.全國(guó).統(tǒng)考I卷）記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知4=1,3

⑴求｛凡｝的通項(xiàng)公式;

111c

(2)證明：一+―+,,+—<2

n(n+l)

【答案】（1）%=

2

（2）見解析

【詳解】（1）:%=1,：.,

是公差為g的等差數(shù)列,

又??,

n+2幾+2）%

—=l+-(n-l)=

3

當(dāng)〃22時(shí)，加

3

n+2)an〃+1)%

a”=S”-S,”\

33

?+1

整理得：（〃一1"〃即j-=

an-ln-1'

生n〃+1

a“="xx&x...x-x2=-..X—x------=

aa

axa2n-2n-l12n-2n—\2

+1)

顯然對(duì)于77=1也成立，，｛4｝的通項(xiàng)公式a,=

2

(2)

111

+2|1-<2

%nn+1n+\

??技巧解密<<①裂項(xiàng)求和常見類型有：

1\(11)

分式型：----77>

n^n+k)k\nn+kj

i=ip___q__iip___M

(2n-l)(2n+l)2\2n-\In+i)'(2H-1)(2H+1)=+2Un-12n+\)，

8"1111F11

‘‘-,0--------------=----------------------------=fe

(2n-l)-(2n+l)(2n-l)(2n+l)，〃(幾+l)(〃+2)2n(n+l)(〃+l)(〃+2)

?高考猜題預(yù)計(jì)2024年高考中數(shù)列也會(huì)是以等差等比求和的形式出現(xiàn)解答題與小題，小題將是

以等差與等比結(jié)合的性質(zhì)，解答題將是數(shù)列求和的形式出現(xiàn)

1.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”，且q+生=5,%+4=4。，貝！()

A.3B.9C.12D.15

【答案】B

【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，求出首項(xiàng)和公比，然后根據(jù)等比數(shù)列前九項(xiàng)和公式計(jì)算

即可求解.

%+%=5q+%q2-5

【詳解】由,得解得q=1,q=2,

3

。4+〃6=40a{q+-40

1-26

所以＞占君=1+2』.

1-2

故選：B.

2.若1,%,出，4成等差數(shù)列;1,4也也，4成等比數(shù)列,則區(qū)產(chǎn)等于

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，然后計(jì)算求解即可.

【詳解】若1,ai9。2,4成等差數(shù)列，4=l+3d,d=l,

二.az-〃2=-1.

又1,bl,b2,b3,4成等比數(shù)列，歷2=1X4,解得岳=2,岳=-2舍去（等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同）.

.4一%_1

**b2~~2

故答案為A.

3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S",且出=3,%=底+底（/eN*且”22）.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若《喙，求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和T”.

【答案】（1）%=2〃一乂2）7；=3-誓.

【詳解】（1）當(dāng)〃=2時(shí)，％=病+后，

即3=,3+q+舊,解得4=1.

因?yàn)閍“=S“-S〃T（〃22）,

所以%=（叵一師）（瘋+師）"22）,

又+（〃22,〃eN*）,%＞。，

所以點(diǎn)—67=i(稔2),

又&=7^=&=i,

所以數(shù)歹U｛后｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)歹U,

n,所以S'=".

22

當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn_1=n-(zi-l)=2n-l,

當(dāng)〃=i時(shí)，％=1,滿足上式,

所以數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-1.

a_2n-l

(2)由(1)知a=n

2"2"

1352n-l

所以乙=4+%+4++4=萬(wàn)+級(jí)+g++-------

2"

11352n-l

所以/二域+礦+m++2"+i

22n-l112/1-11-12n-l3277+3

所以H-------=i+LM+2

2〃+i+1

T2222角22,1+122"，

2〃+3

所以北=3-

2"

4.已知正項(xiàng)數(shù)列｛?！埃那皐項(xiàng)和為S“，且4=1,"S用=(〃+2)S”.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

b,

(2)設(shè)a=2%,若數(shù)列｛%｝滿足?！?,求｛%｝的前"項(xiàng)和.

(dT(%T

1

【答案】(1)%="(2)(=1-

2"+1-1

S向S,,

【詳解】(1)因?yàn)榧涤?("+2電，且“eN*，則

S,為常數(shù)列，且合*

可知數(shù)列Q

S"1n(n+l]

則不，即Dn

2〃2

+1)n(n-l)

當(dāng)〃22時(shí)，a.=S“一S-—---L1=n,

22

且。i=l也符合上式，所以

bn2〃11

(2)由(1)可得a=2",貝

Ijg2n-l2n+1-l

設(shè)｛g｝的前幾項(xiàng)和為T.，

則北=。1+。2+—+。"=上111111

-------1-+-…-----------------------=1—

2-122-122-123-12"-12-12n+1-l

1

所以｛cj的前〃項(xiàng)和為（=1-

2n+1-1

5.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，％=1,當(dāng)〃>2時(shí)，2s“=（〃+1）%-2.

⑴求數(shù)列｛風(fēng)｝的通項(xiàng)公式;

2

（2）設(shè)數(shù)歹屹=，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

4M+1

1,n=131

【答案】⑴凡二2n,n>2(2)4~2(n+l)

【詳解】（1）由題意，當(dāng)"N2時(shí)，2s〃=（幾+1）q—2,且4=1,

若如=2,則2s2=2(4+%)=3%—2,即％=4,

當(dāng)〃之3時(shí)，2sl=nan_x-2,

%二%

兩式相減得，2s〃-2S〃T=2%=(〃+1)%-加,整理得組=4+，即

nn-1nn-1

l,n=1

所以%=2".綜上所述,

2n,n>2

-,n=\

24

因?yàn)?/p>

(2)2=-------2

4A+i,n>2

2〃(2〃+2)

設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為北,

〃=1時(shí)，T=\=1,

當(dāng)n

當(dāng)2時(shí)，T=b+b+b+1_1+1_1++1__L

nx23〃222334n〃+1

=llx113131

+,此時(shí)〃=1時(shí)適合上式，所以［=1一2（〃+1），

222n+142(?+1)

創(chuàng)新好期?分層訓(xùn)煉（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）

一、單選題

1.（2023上廣東?高三執(zhí)信中學(xué)校聯(lián)考期中汜知等差數(shù)列｛g｝和也｝的前n項(xiàng)和分別為S“,T“，若寸=有盲,

^^3?Cig

）.

13262613

A.——B.—C.—D.—

1113711137

【答案】C

%+%”■卷，即可代入已知得出答案.

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)與等差數(shù)列前“項(xiàng)和得出

d+4+瓦3b6

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:

%+%2a62,63〃_~Tn+2

4+4+々3032'T］疝色一3〃+4'

S,,1la,11+213a.13

貝