上海市松江區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第12頁松江區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷高三數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時間120分鐘）考生注意：1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫座位號和姓名．3．答題紙與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，不能錯位．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.已知集合，，則______．2若，則______．3.函數(shù)定義域是______．4.在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則______.5.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．6.已知一個圓錐底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為______．7.已知，則＝________．8.已知等比數(shù)列中，，則______．9.已知函數(shù)的表達(dá)式為，則滿足的實數(shù)m的最大值為______．10.已知點P為橢圓上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是______．11.已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是______．12.交通信號燈由紅燈、綠燈、黃燈組成．黃燈設(shè)置的時長與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān)．根據(jù)路況不同，道路的限定速度一般在30千米/小時至70千米/小時之間．由相關(guān)數(shù)據(jù)，駕駛員反應(yīng)距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：；剎車距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：，反應(yīng)距離與剎車距離之和稱為停車距離．已知某個十字路口寬度為30米，為保證通行安全，黃燈亮的時間是允許限速車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十字路口，則該路口黃燈亮的時間最多為______秒（結(jié)果精確到0.01秒）．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號涂黑．13.已知，以下四個數(shù)中最大的是（）A.b B. C. D.14.漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡．對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲．如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：出生時間1965年1月-4月1965年5月-8月1965年9月-12月1966年1月-4月……改革后法定退休年齡60歲＋1個月60歲＋2個月60歲＋3個月60歲＋4個月……那么1974年5月出生的男職工退休年齡為（）A.62歲3個月 B.62歲4個月 C.62歲5個月 D.63歲15.拋擲三枚硬幣，若記“出現(xiàn)三個正面”、“兩個正面一個反面”和“兩個反面一個正面”分別為事件A、B和C，則下列說法錯誤的是（）A.事件A、B和C兩兩互斥 B.C.事件A與事件是對立事件 D.事件與相互獨立16.設(shè)函數(shù)與均是定義在上的函數(shù)，有以下兩個命題：①若是周期函數(shù)，且是上的減函數(shù)，則函數(shù)必為常值函數(shù)；②若對任意的a，，有成立，且是上的增函數(shù)，則是上的增函數(shù)．則以下選項正確的是（）A.①是真命題，②是假命題 B.兩個都是真命題C.①假命題，②是真命題 D.兩個都是假命題三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)依次為1、2、3、4、5，現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：12345（1）若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a、b、c的值；（2）在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為、、，等級系數(shù)為5的2件日用品記為、，現(xiàn)從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率．18.如圖，已知平面，，為等邊三角形，，點F為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.19.為了打造美麗社區(qū)，某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊由一個半圓和長方形組成的空地進(jìn)行美化，如圖，長方形的邊為半圓的直徑，O為半圓的圓心，，現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個等腰三角形區(qū)域（底邊）種植觀賞樹木，其余區(qū)域種植花卉．設(shè)，．（1）當(dāng)時，求的面積；（2）求三角形區(qū)域面積最大值．20.如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是一個橢圓的長軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線．若雙曲線與橢圓是“共軸”曲線，且橢圓，（、分別為曲線、的離心率）．已知點，點為雙曲線上任意一點．（1）求雙曲線的方程；（2）延長線段到點，且，若點Q在橢圓上，試求點P的坐標(biāo)；（3）若點P在雙曲線的右支上，點A、B分別為雙曲線的左、右頂點，直線交雙曲線的左支于點R，直線、的斜率分別為、．是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21.定義在上的函數(shù)y=fx，若對任意不同的兩點，，都存在，使得函數(shù)y=fx在處的切線與直線平行，則稱函數(shù)y=fx在上處處相依，其中稱為直線的相依切線，為函數(shù)y=fx在的相依區(qū)間．已知．（1）當(dāng)時，函數(shù)在R上處處相依，證明：導(dǎo)函數(shù)在0,1上有零點；（2）若函數(shù)在0,+∞上處處相依，且對任意實數(shù)、，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）當(dāng)時，，為函數(shù)在的相依區(qū)間，證明：．松江區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷高三數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.【答案】2.【答案】3.【答案】4.【答案】5.【答案】6.【答案】47.【答案】658.【答案】或9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號涂黑．13.【答案】D14.【答案】C15.【答案】C16.【答案】A三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求的值，根據(jù)頻率和為可求的值.（2）用列舉法寫出所有可能性，再結(jié)合古典概型公式求解即可.小問1詳解】因為等級系數(shù)為4的恰有3件，所以；等級系數(shù)為5的恰有2件，所以；因為，所以.故，，.【小問2詳解】從、、、、這5件日用品中任取兩件，所有可能得結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種情況.這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的結(jié)果有：，，，，共4個.因為每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，所以這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率為：.18.【解析】【分析】（1）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算得出，結(jié)合線面平行判定定理即可得結(jié)論；（2）確定平面的一個法向量，利用和的夾角求解即可.【小問1詳解】因為平面，，為等邊三角形，設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，為的中點，，，，，平面，平面.【小問2詳解】又是軸上的單位向量，則其是平面的一個法向量，因為，設(shè)和平面所成的角為，則，直線和平面所成角的正弦值為.19.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)表達(dá)出的長，再由面積公式即可求解.（2）用的三角函數(shù)表達(dá)出三角形區(qū)域面積，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出三角形區(qū)域面積的最大值.【小問1詳解】設(shè)與相交于點，則，則，，易知等于到的距離，所以【小問2詳解】過點作于點，則，而，則三角形區(qū)域面積為，設(shè)，因為，所以，故，而，則，故當(dāng)時，取得最大值，故三角形區(qū)域面積的最大值為20.【解析】【分析】（1）根據(jù)“共軸”曲線定義，直接列式計算可得答案；（2）設(shè)，由，可得，代入方程與方程聯(lián)立，即可求得點P的坐標(biāo)；（3）討論當(dāng)重合時，；不重合時，設(shè)出直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消元后利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值.【小問1詳解】根據(jù)題意雙曲線，因為，解得，雙曲線的方程為；【小問2詳解】由（1）知，，，設(shè)，已知，又，所以，由點Q在橢圓上，則，又點為雙曲線上任意一點，則，聯(lián)立，解得，或，所以點P的坐標(biāo)為或或；【小問3詳解】當(dāng)重合時，；當(dāng)不重合時，存在實數(shù)，使得，理由如下，當(dāng)重合時，由題意，則，則，當(dāng)不重合時，，設(shè)直線的方程為，，由得，因為雙曲線的漸近線方程為，又直線交雙曲線的左支于點R，右支于點P，所以，由韋達(dá)定理得，，所以，所以存在實數(shù)，使得.21.【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)零點存在性定理判斷證明；（2）根據(jù)函數(shù)在0,+∞上處處相依，可得，使得，轉(zhuǎn)化，x0∈0,+∞，得解；（3）根據(jù)題意可得，結(jié)合的單調(diào)性將要證明的問題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明.【小問1詳解】當(dāng)時，，，所以，，即，又在上處處相依，所以函數(shù)在0,1上有