線性代數(shù)總復習：第四第五章

第四章

向量組的

線性相關性定義1分量全為復數(shù)的向量稱為復向量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，維向量的概念維向量的表示方法

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：注意

１．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進行運算；

３．當沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當作列向量.注意：定義３線性相關性的概念則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關．5.線性無關向量組的“延長向量組”必線性無關.定理向量組（當時）線性相關的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．解讀:線性相關性的判定解例１解例２分析分析證明向量組的一個部分組構成最大線性無關組的基本方法就是：分析根據(jù)最大線性無關組的定義來證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系．那末，向量組就稱為向量的一個基，

稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．向量空間的基與維數(shù)定義3

設是向量空間，如果個向量，且滿足

（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基．說明

（3）若向量組是向量空間的一個基，則可表示為

（2）若把向量空間看作向量組，那末的基就是向量組的最大無關組,的維數(shù)就是向量組的秩.定理1例1

求齊次線性方程組的基礎解系與通解.解

對系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃?，有證明１．非齊次線性方程組解的性質非齊次線性方程組

解的性質與結構證明證畢．其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.２．非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為３．與方程組有解等價的命題:線性方程組有解例4

求解方程組解:思考題思考題解答可逆矩陣的特征性質

n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是

(1)存在n階矩陣B,使得

AB=E.或

(2)存在n階矩陣C,使得

CA=E.或

(3)|A|0.或

(3’)A的轉置矩陣A為可逆矩陣.或

(4)|A*|0.或

(4’)A的伴隨矩陣A為可逆矩陣.或

(5)秩(A)=n.或

(5’)A等價于n階單位矩陣.或

(6)A可經(jīng)有限次行(列)初等變換化為n階單位矩陣.或

(7)A可表示為有限個初等矩陣的乘積.或者

(8)A的行(列)向量組線性無關.或者

(9)對任意的n維列向量β,n元線性方程組

AX=β

都有唯一解.或者

(10)對任意的n×t

矩陣B,線性矩陣方程

AX=B都有唯一解.或者

(11)n元齊次線性方程組AX=0只有零解.或

(12)線性矩陣方程AX=0只有零解.

第四章測試題一、填空題(每小題5分，共40分)．二、計算題(每小題8分，共24分)．三、證明題(每小題8分，共24分)．四、向量組線性無關,問常數(shù)滿足什么條件時,向量組線性無關．(12分)第五章

相似矩陣及二次型定義向量內積的定義及相關問題定義向量的長度具有下列性質：向量的長度定義向量的夾角所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量．向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基．定理定義正交向量組的性質施密特正交化方法施密特正交化方法：求一單位向量，使它與向量均正交．思考題思考題解答證明有關特征值的一些結論定理定理屬于同一個特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．注記：(1)矩陣A的任一多項式矩陣g(A)與A有相同的特征向量(2)可逆矩陣A的逆矩陣、伴隨矩陣均與A有相同的特征向量

有關特征向量的一些結論思考題:有關相似矩陣的性質若與相似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同．

(4)能對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量．(5)有個互異的特征值，則與對角陣相似．思考題實對稱矩陣的正交相似問題

化二次型為標準形

正定二次型的判定化為標準型，并指出表示何種二次曲面.1.求一正交變換，將二次型思考題：思考題解答可逆矩陣的特征性質

n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是

(1)存在n階矩陣B,使得

AB=E.或者

(2)存在n階矩陣C,使得

CA=E.或者

(3)|A|0.或者

(3’)A的轉置矩陣A為可逆矩陣.或

(4)|A*|0.或者

(4’)A的伴隨矩陣A為可逆矩陣.或

(5)秩(A)=n.或者

(5’)A等價于n階單位矩陣.或

(6)A可經(jīng)有限次行(列)初等變換化為n階單位矩陣.或

(7)A可表示為有限個初等矩陣的乘積.或者

(8)A的行(列)向量組線性無關.或者

(9)對任意的n維列向量β,n元線性方程組AX=β

都有唯一解.或者

(10)對任意的n×t

矩陣B,線性矩陣方程AX=B

都有唯一解.或者

(11)n元齊次線性方程組AX=0只有零解.或

(12)線性矩陣方程AX=0只有零解.或者

(13)A的特征多項式的根均不為0.或者

(14)A的特征多項式的常數(shù)項不為0.或者

(15)A的最小多項式的常數(shù)項不為0.或者

(16)A相似于可逆的上(下)三角矩陣.或者

(17)線性替換X=AY是非退化的.或者

(18)實矩陣A可表示為一個正交矩陣與一個正對角線的上三角矩陣的乘積.或者

(19)A是實矩陣，且AA(或