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安徽省渦陽(yáng)縣第一中學(xué)2025屆高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.?dāng)?shù)列{an},滿足對(duì)任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.992.已知,,,,.若實(shí)數(shù),滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)()A.有最大值,無(wú)最小值 B.有最大值,有最小值C.無(wú)最大值,有最小值 D.無(wú)最大值,無(wú)最小值3.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.44.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.06.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.7.如圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說(shuō)法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.9.已知正三角形的邊長(zhǎng)為2,為邊的中點(diǎn),、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn),并滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.雙曲線的左右焦點(diǎn)為,一條漸近線方程為,過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.211.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若,則λ+μ的值為()A. B. C. D.12.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_____.14.已知平面向量,,滿足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.15.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.16.已知函數(shù),則過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元,乙設(shè)備每臺(tái)9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對(duì)于每臺(tái)設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修,三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過(guò)的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設(shè)備分別在50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),希望設(shè)備購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購(gòu)買哪種設(shè)備?請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩(shī)分成7大類別,并從《全唐詩(shī)》48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩(shī)》含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過(guò)95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為,,.已知,,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63519.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說(shuō)明理由.20.(12分)在三棱柱中,四邊形是菱形,,,,,點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn),且.(1)求證:平面平面;(2)求四棱錐的體積.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè),且當(dāng)時(shí),不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知為各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列,為的前項(xiàng)和,若為和的等比中項(xiàng),.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求最大的正整數(shù),使得.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對(duì)任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.2、B【解析】
判斷直線與縱軸交點(diǎn)的位置,畫出可行解域,即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由,,所以可得.,所以由,因此該直線在縱軸的截距為正,但是斜率有兩種可能,因此可行解域如下圖所示:由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.3、C【解析】
逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.5、D【解析】分析:因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時(shí)注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.6、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題,是求和還是求項(xiàng).7、A【解析】
執(zhí)行程序框圖,逐次計(jì)算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計(jì)算結(jié)果,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計(jì)算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計(jì)算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?,,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.9、A【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線,設(shè)出點(diǎn),通過(guò),找出與的關(guān)系.通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)表示,將表示成與的關(guān)系式,消元,轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí),求出其值域,即為的取值范圍.【詳解】以D為原點(diǎn),BC所在直線為軸,AD所在直線為軸建系,設(shè),則直線,設(shè)點(diǎn),所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函數(shù)的圖像知,,所以的取值范圍是.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.10、A【解析】
設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到,得到離心率.【詳解】設(shè),直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn),所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.11、B【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示,利用,列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得則.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù),屬于中檔題.12、B【解析】
先解不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對(duì)值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、70【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為:70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題。14、【解析】
計(jì)算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.15、【解析】
先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.16、【解析】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點(diǎn)的切線方程,將原點(diǎn)代入切線方程,求出的值,于此可得出所求的切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,由于該直線過(guò)原點(diǎn),則,得,因此,則過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程,求解思路是:(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程;(2)將所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程,求出參數(shù)的值,可得出切點(diǎn)的坐標(biāo);(3)將參數(shù)的值代入切線方程,可得出切線的方程.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)分布列見解析,分布列見解析;(2)甲設(shè)備,理由見解析【解析】
(1)的可能取值為10000,11000,12000,的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列;(2)計(jì)算期望,得到,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,,計(jì)算分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(1)的可能取值為10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列為如下9000100001100012000(2)設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,的可能取值為2,3,4,5,,,則的分布列為2345的可能取值為3,4,5,6,,,則的分布列為3456由于,,因此需購(gòu)買甲設(shè)備【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18、(1)該唐詩(shī)屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最??;屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序?yàn)椤盎ā?,“簾”【解析?/p>
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表,算出觀測(cè)值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩(shī)屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為;(2)列聯(lián)表如下:屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計(jì)含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計(jì)100400500計(jì)算得:;因?yàn)椋?,所以有超過(guò)95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系,故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關(guān)鍵字,而“山”不是;又因?yàn)?,故選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序?yàn)椤盎ā保昂煛?【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn).考查了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)讀與計(jì)算能力,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).19、(1)60;25(2)見解析,2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差;(2)由題意知服從二項(xiàng)分布,分別求出,,,,進(jìn)而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)由第一問可知服從正態(tài)分布,繼而可求出的值,從而可判斷.【詳解】解:(1)(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,體重在的概率為0.7.隨機(jī)拍取3人,相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),隨機(jī)交量服從二項(xiàng)分布,則,,,,所以的分布列為:01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望(3)由題意知服從正態(tài)分布,則,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.【點(diǎn)睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì),考查了二
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