《胡不歸與阿氏圓兩類系數(shù)不為1的最值小例》(上集)

第第#頁共8頁《胡不歸與阿氏圓兩類系數(shù)不為1的最值小例》（上集）剛剛結(jié)束不久的我校第6次獨(dú)立練習(xí)中，填空題最后一題“坑”住了全年級(jí)幾乎所有學(xué)生，筆者任教的兩個(gè)班級(jí)中，九（2）班只有一個(gè)人做對(duì)了，而九（13）班也只有兩三人爾！究竟是什么題難住了如此之多“英雄好漢”呢？且隨我一同去觀望觀望：原題重現(xiàn)：（來源：高郵市贊化學(xué)校獨(dú)立練習(xí)（6））如圖1所示，拋物線y=x人2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過B的直線交拋物線于E,且tan/EBA=4/3,有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)處覓食，則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是s.要想解決這個(gè)所謂“難題”，不得不提起一起著名的、大名鼎鼎的、古老的“胡不歸”問題.一、模型典故（“胡不歸”問題），下文來源于網(wǎng)絡(luò)有一則古老的歷史故事：說的是一個(gè)身在他鄉(xiāng)的小伙子，得知父親病危的消息后便日夜趕路回家.然而，當(dāng)他氣喘吁吁地來到父親的面前時(shí)，老人剛剛咽氣了.人們告訴他，在彌留之際，老人在不斷喃喃地叨念：“胡不歸？胡不歸？……”早期的科學(xué)家曾為這則古老傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線：如圖1-1所示，A是出發(fā)地，8是目的地；AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是砂土地帶.為了急切回家，小伙子選擇了直線路程AB.但是，他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快的這一因素.如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長(zhǎng)一些，但是速度卻可以加快），是可以提前抵達(dá)家門的.B圖1-1那么，他應(yīng)該選擇那條路線呢？顯然，根據(jù)兩種路面的狀況和在其上行走的速度值，可以在AC上選定一點(diǎn)D,小伙子從A走到D,然后從D折往B,可望最早到達(dá)目的地B.用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來就是：已知在驛道和砂地上行走的速度分別為V1和V2,在AC上找一定點(diǎn)D,使從A至D、再從D至B的行走時(shí)間最短.于是，問題在于如何去找出D點(diǎn).這個(gè)古老的“胡不歸”問題風(fēng)靡了一千多年，一直到十七世紀(jì)中葉，才由法國著名科學(xué)家費(fèi)爾馬揭開了它的面紗.二、模型解決“一步（設(shè)出時(shí)間t,將教學(xué)問題字母化）“殳總時(shí)間為“則片彳+西'這里匕＞要求的就是t的最小值,這是一個(gè)系數(shù)不為1的最值問題,而且有兩個(gè)系數(shù)均不為「第二步（提取“大系數(shù)"，化為只有一個(gè)系數(shù)不為1的最值問題）=一般情況下J遇到兩個(gè)系數(shù)不為1的最值問題，首先要將其傳化為單個(gè)系數(shù)不為1的最值問題，這個(gè)轉(zhuǎn)化還是比較好實(shí)現(xiàn)的，只需提取一個(gè)系數(shù)出來即可？問題是，該提取哪個(gè)系數(shù)比較好呢？一般情況下，提取數(shù)值比較大的那個(gè)系數(shù):堂本例來說，由匕＞匕知t的表達(dá)式中兩個(gè)系數(shù)上＜上，因而應(yīng)該提取工出來，即F例來說，由匕＞匕知，（今，打）+DF）,注意這里K與4均為常數(shù)，這樣要求t的最小值，只要求匕，WD+DE的最小值即可，從而問題被轉(zhuǎn)化為單個(gè)系數(shù)不為1的最值問題$匕第三步（構(gòu)造三角函數(shù)，化為系數(shù)均為1的常如最值問題）：如何求解裝㈤的最小值問題呢？還是要想辦法處理不為1的系數(shù)，將系盤都化為1.但是問題來了,此時(shí)明顯不能再用提取系教的辦法了！那咋辦？數(shù)學(xué)是門神奇的科學(xué)，只有你想不到,'沒有她做不到的！聯(lián)想到初中階段學(xué)到的銳角三角函數(shù)，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，將不為1的系數(shù)無形中化為1,這也是解決所謂“胡不歸以問題的核心與難點(diǎn)所在，具體操作如下：由今q聯(lián)想到三角函數(shù)值，如圖1一2所示，過定點(diǎn)A在直線AC的下方構(gòu)造銳角工CAE=cl?使其酒是sin&——二?￥℃ y再過動(dòng)點(diǎn)D作DG_LAE于點(diǎn)G,貝I］蛔=」=——，從而有DG=/，2D

要求京?4要求京?4Q+DB的最小值問題,就被順利轉(zhuǎn)化為2G+IJ8的最小值問題，變成了一個(gè)系教均為1的常規(guī)最值問題,需要特別提醒大家的是，這里的關(guān)鍵角a是依托于哪些考慮作出來的呢？注意到最原始的“胡不歸”問題是一個(gè)“兩定一動(dòng)型”最值問題，只不過系數(shù)不為1了而已；如圖1-2，點(diǎn)A和點(diǎn)B是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)D是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且定點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)D在同一條定直線AC上；上面的角a其實(shí)就是依托于這里的定點(diǎn)A及定直線AC做出的，即過定點(diǎn)A作一條射線與定直線AC所交銳角為角a即可！說到底就是“抓不變量”的解題策略，依托于定點(diǎn)A及定直線AC作角4,使其滿足sina=V2/V1，即可順利將所謂“胡不歸”“難題”轉(zhuǎn)化為系數(shù)均為1的常規(guī)最值問題！第四步（利用“垂線段最短原理”，解決系數(shù)均為1的常理最值問題）：注意到構(gòu)造的AE也是一條定射線，要求QG+Q月的最小值問題,其實(shí)就是在兩定直線AC、AE±分別找點(diǎn)D、G,且DG_LAE,使DG+DB最小.先利用“兩點(diǎn)之間緘段最矩“易知DG+D君之君G,當(dāng)且僅當(dāng)E、D、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)I如圖1T所示,再利用“垂線段最矩”只需過點(diǎn)E作EG_LAE于點(diǎn)G,此時(shí)BG最小,則EG與AC的交點(diǎn)即為所要尋找的點(diǎn)Da所9*3+四4的，3—3As及/及4G均為常值，故所求時(shí)間的最小值為工，4?日ii/A4G.%至此，“胡不歸”模型得到完美解決！如果奄奄一息的父親能夠堅(jiān)持到工33,■口/E4G這個(gè)時(shí)間，那么就能夠見他的兒匕子最后一面了！三、原題解決回到我們最初的考題上，設(shè)螞蟻從點(diǎn)A到點(diǎn)E所需的時(shí)間為t,如圖1-"則ADDE 4DE 4DEt=—+—=JZ)+^；要求的就是t的最小值，即HQ+*的最小值歹1 1.25 5 5很明顯，這就是一個(gè)曲型的『,胡不歸打問題,可按照上述解決模型的步驟進(jìn)行操作：卸-4第一步(構(gòu)三甬函數(shù)，化系數(shù)為1:；由系數(shù)士七1聯(lián)想到三角函數(shù)值,如圖1耳所示,5過定直線EB上的定點(diǎn)E在直線EB的上方構(gòu)造銳角/EEF=*使其滿足期=3j■,■--■■.DG 4再過動(dòng)點(diǎn)D作DG_LEF于點(diǎn)G,則疝ilh=—=——』從而有DG=--ZZEjDE 5ADE這樣t=/￡>+*=AADG,轉(zhuǎn)化為了常規(guī)的系數(shù)均為L(zhǎng)的最值問題?5

第二步（尋題目特殊性，重新調(diào)整圖形）:但先不要忙于計(jì)算.我們還要敢銳地意識(shí)到此題有個(gè)角彳艮特殊，那就是tm/EBA二由此易知sin/EEA=2,因而剛剛我們所作3 5的/EEF=/EBA,從而發(fā)現(xiàn)此題的特殊性,即EFh軸,接下來我們把圖形調(diào)整成圖1-6寧第三步（利用“垂線段最短原理M,解決系熟均為1的常裁最值問題::注意到構(gòu)造的玨也是一條定射線，要求如+出的最小值問題,其實(shí)就是在兩定直線EE、EF上分別找點(diǎn)D、G,且DG_LEF,使他+DG最小.先利用「'兩點(diǎn).之間線段最短”易知4D+DG2,當(dāng)且僅當(dāng)A、D、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)J如圖1-7所示』再利用“垂線段最短”只需過點(diǎn)A作AG_LEF于點(diǎn)G,此時(shí)AG最小,則AG與EF的交點(diǎn)即為所要尋找的點(diǎn)Di因而仁HD十3竿4D十DGNAGj拔所求時(shí)間t的最小值即為AG的長(zhǎng)，即點(diǎn)E的縱坐標(biāo)的值，下面求出點(diǎn).E的坐標(biāo)即可；第四步（求定點(diǎn)E的坐標(biāo)）：這里提供兩種方法求點(diǎn)E的坐標(biāo);方法一（求交點(diǎn)坐標(biāo)）：設(shè)直線EB與y軸交于點(diǎn)如圖所示，由題易知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3,0）；在Rt^MCE中由tm/E電=g知皿=42則點(diǎn)M坐標(biāo)為（0；4）；由E（3,Q）及M（0,4）可得直線EE的解析式為尸—：其+出聯(lián)立直線更與拋物線的解析式得：?'=一彳"+4,即尸2『3=—4羌+4,即y=x2-2x-^3f-2廠21=0,解之得工=—,，冬=3（舍去），故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（--,—）;TOC\o"1-5"\h\z3 3 9方法二《段坐標(biāo)法）二設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（口產(chǎn)-2f-3）,過點(diǎn)E作EH_Lx軸于點(diǎn)H,如圖1-9所示，在RiAEHB中由血口/EEh±可得里=三,即"f）J,即3EH3 3-1 3-fr+l）=-,解得力=—N,故點(diǎn)E的坐標(biāo)為—）53 3 3 9因此，所求時(shí)間t=/LD+坨的最小值為處.5 9此題搞走，所謂的“難題內(nèi)看來也不是太難啊，玩的都是"套路,'！

解題后反思：平時(shí)“套路”積累多了，真的遇到了所謂的“套路題”，同學(xué)們就能立于不敗之地了！這題也給我們的教學(xué)一定的啟發(fā)性，即應(yīng)該重視模型教學(xué)這一塊！有人說“成也模型，敗也模型”，但我想說如果真的不講模型或者說不先經(jīng)歷模型過程，真的想跳出模型達(dá)到更高境界也是癡心妄想！初中階段學(xué)生還是應(yīng)該重視模型的積累與應(yīng)用過程，可以這樣說，每一節(jié)新課，每一道題目可能都能稱之為一個(gè)模型！其實(shí)名稱都是回事，或者說叫某某模型也無所謂，之所以起