函數(shù)與基本初等函數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第02講函數(shù)與基本初等函數(shù)

(新高考專用)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,l)+f(x—2),且當(dāng)x<3時(shí)f(x)=x,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D.7(20)<10000

【解題思路】代入得到/(I)=1,/(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)/(X)=x,所以打1)=1/(2)=2,

又因?yàn)閒(x)>f(x-1)+f(x-2),

則f(3)>/(2)+/(l)=3,/(4)>f(3)+/(2)>5,

f(5)>f(4)+f(3)>8/(6)>f(5)+/(4)>13/(7)>f(6)+f(5)>21,

f(8)>f(7)+f(6)>34/(9)>f(8)+f(7)>55)(10)>f(9)+f(8)>89,

/(ll)>/(10)+f(9)>144,f(12)>f(ll)+/(10)>233,/(13)>f(12)+/(ll)>377

f(14)>f(13)+f(12)>610/(15)>f(14)+f(13)>987,

f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,則依次下去可知f(20)>1000,則B正確；

且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

2.(2024?北京?高考真題)已知(巧，乃)，(4,乃)是函數(shù)丫=2工的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則()

A.10g2手〈手B.四2中>手

C.1唯中V+%2D.1臉中>+冷

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【解答過(guò)程】由題意不妨設(shè)X1＜久2，因?yàn)楹瘮?shù)y=2X是增函數(shù)，所以0＜2肛＜2皿，即。＜丫1＜為，

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得號(hào)2＞,2肛-2犯=2中,即在/＞2空＞0,

根據(jù)函數(shù)y=log2%是增函數(shù)，所以log2空＞1咤22中=空，故B正確，A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如％1=0,%2=L則丫1=1,了2=2,

可得Iog2蟲(chóng)產(chǎn)=Iog2(e(0,1),即Iog2笠2<1=%+冷，故D錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C:例如％1=-1,%2=-2,則丫1=：,丫2=3

Z4

可得log2左產(chǎn)=log2(=log23-3€(-2,-1),即log2若2>-3=X1+%2，故c錯(cuò)誤，

LoL

故選：B.

3.(2024?北京?高考真題)生物豐富度指數(shù)d==是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S,N分別表示河流中

inN

的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)“越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)s沒(méi)有

變化，生物個(gè)體總數(shù)由N1變?yōu)镹2,生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則()

A.3N2=2&B.2N2=3%

C.鳩=NlD.鳩=

【解題思路】根據(jù)題意分析可得浮=2.1,號(hào)=3」5,消去S即可求解.

Ingln^2

【解答過(guò)程】由題意得^=2.1饋=3.15,則2.11nNi=3.151n7V2,即21叫=3\nN2,所以鳩=N；.

故選：D.

4.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=/j/在R上單調(diào)遞增，則”的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，且x>0時(shí)，/(x)=^+ln(x+1)單調(diào)遞增，

(--->o

則需滿足2x(-1)-,解得—IWaWO,

I—a<eO+Ini

即。的范圍是[—1,0].

故選：B.

3

5.(2024,天津,高考真題)若a=4.2~Q3,1)=4.2°,c=log4.20.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=40在R上遞增，且—0.3<0<0.3,

所以0<4.2毋<4.2°<4.203,

所以0<4,2-03<1<4,20-3,即0<a<1<b,

因?yàn)閥=log4.2%在(0,+8)上遞增，且0<0.2<1,

所以log4,20.2<log4.21=0，即C<0,

所以b>a>c,

故選：B.

6.(2024?天津?高考真題)設(shè)a,b￡R,則“廬=那是"3。=3加，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】說(shuō)明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.

【解答過(guò)程】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，/=扭和3a=3b都當(dāng)且僅當(dāng)Q=b,所以二者互為充要條

件.

故選：C.

7.(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=(%+a)ln(%+b),若/(%)20,則―+扶的最小值為()

A.-B.-C.-D.1

842

【解題思路】解法一：由題意可知：/(%)的定義域?yàn)?-仇+8),分類討論一a與一心1—b的大小關(guān)系，結(jié)合

符號(hào)分析判斷，即可得b=a+l,代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(%+b)的符號(hào)，進(jìn)

而可得％+a的符號(hào)，即可得b=a+l,代入可得最值.

【解答過(guò)程】解法一：由題意可知：/(%)的定義域?yàn)?-b,+8),

令％+a=0解得X=—a；令ln(x+b)=0解得％=1—b；

若一a<—b,當(dāng)％G(一心1—瓦)時(shí)，可知％+a>0,ln(x+h)<0,

此時(shí)/(%)<0,不合題意;

若—b<—a<1—h,當(dāng)％G(—a,1—b)時(shí)，可知％4-a>0,ln(x+b)<0,

此時(shí)/(%)VO不合題意;

若—a=l-b,當(dāng)％E(—瓦1—b)時(shí)，可知％+aV0,ln(%+b)V0,此時(shí)/(%)>0；

當(dāng)％E[1—瓦+8)時(shí)，可知％+a>0,ln(x+6)>0,此時(shí)/(汽)>0；

可知若—a=l—b,符合題意；

若—a>1—6,當(dāng)％E(1—瓦—a)時(shí)，可知％+a<0,ln(x+b)>0,

此時(shí)/(%)<0,不合題意；

綜上所述：一。=1一b,即b=a+l,

則小+按=/+(0+i)2=2(0+g)>I，當(dāng)且僅當(dāng)a=-■1/=[時(shí)，等號(hào)成立，

所以。2+/的最小值為點(diǎn)

解法二：由題意可知：/(%)的定義域?yàn)?-瓦+8),

令％+a=0解得X=—a；令ln(x+b)=0解得％=1—b；

則當(dāng)％6(-瓦1—b)時(shí)，ln(x+/?)<0,故X+QWO,所以1—b+aWO；

久E(1一瓦+8)時(shí)，ln(%+b)>0,故X+a>0,所以1—b+a之0；

故1—b+a=O,則a2+b2=a2+(a+l)2=2(a+g)+1

當(dāng)且僅當(dāng)a=-Q=泄，等號(hào)成立，

所以a2+X的最小值為今

故選：C.

8.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-lnxB.f(x)=今

C.f(x)=-iD.fO)=3吐11

【解題思路】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)閥=In%在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=-無(wú)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(%)=-Inx在(0,+8)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2方在(0,+8)上單調(diào)遞增，丫=：在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(%)=?在(。，+8)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閥=：在(0,+8)上單調(diào)遞減，y=-刀在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以在(。,+8)上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?"?=3~=3^=b，/'⑴=3""=3。=1/(2)=312T=3,

顯然f。)=3忱-11在(0,+8)上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

9.(2023?全國(guó)?高考真題)若人久)=(x+a)ln鋸為偶函數(shù)，則。=().

1

A.-1B.0C.-D.1

2

【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗(yàn)即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閒(%)為偶函數(shù)，則/(I)=f(-1),(1+a)ln1=(-1+a)ln3,解得a=0,

當(dāng)Q=0時(shí)，/(%)=(2x—1)(2%+1)>0,解得汽或％V—g,

則其定義域?yàn)椋?|%>［或％<-卦，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

"T)=(-x)ln|ggi=-On碧=(一久皿|^/=如等=/(%)，

故此時(shí)/(%)為偶函數(shù).

故選：B.

10.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/'(x)=e-f2.記a=;?停),b=/(與,c=/(乎)，貝|()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】令g(%)=-(％-1)2,則g(%)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為4=1,

因?yàn)閮?nèi)—1—(1——p而(V^+V3)2—42=9+6A/2-16=6V2—7>0,

所以當(dāng)_1_(1_苧=三4>0,即當(dāng)_1>1—苧

由二次函數(shù)性質(zhì)知g(半)<g冷,

因?yàn)槿?1-(1-y)=一%而(乃+V2)2-42=8+4V3-16=4V3-8=4(73-2)<0,

艮吟-i<i-亨,所以g謬)>g(1),

綜上，g(亨)<g(當(dāng))<g(日)，

又y=e”為增函數(shù)，故a<c<b,即b>c>a.

故選：A.

11.(2023?全國(guó)?高考真題)已知/(%)=法是偶函數(shù)，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=矢為偶函數(shù)，則/(%)—/(—燈=茨—杳=注手1=0,

又因?yàn)楣げ缓銥?,可得e%-e(a-D%=0,即e%=e(a-1)x,

則％=(a—l)x,即1=a—1,解得a=2.

故選：D.

12.(2023?天津?高考真題)設(shè)a=L0102b=L010*6,c=0.6%則見(jiàn)-c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】根據(jù)對(duì)應(yīng)幕、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【解答過(guò)程】由y=IQ-在R上遞增，則。=l,oi0-5<b=l.Ol06,

由y=x°,S在[0,+8)上遞增，則a=1.O10,5>c=O.605.

所以b>a>c.

故選：D.

13.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=2Kx-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

A.(—8,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

【解題思路】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【解答過(guò)程】函數(shù)y=2方在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(>)=24-a)在區(qū)間(O，D上單調(diào)遞減，

則有函數(shù)y=x(久一或=(%-發(fā)2-9在區(qū)間(01)上單調(diào)遞減，因此與21,解得a22,

所以a的取值范圍是[2,+8).

故選：D.

歸的圖像為()

14.

【解題思路】分析函數(shù)f(x)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在(-8,0)上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出

合適的選項(xiàng).

【解答過(guò)程】函數(shù)八%)=正尹的定義域?yàn)閧%比豐0},

且/(一%)==_=_/),

函數(shù)/0)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)="'JW0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)%>1時(shí)，f(x)=====%—工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

XXX

故選：D.

15.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且/(%+y)+/(%-y)=/(%)/(y),/(l)=1,則

2短f?=()

A.-3B.-2C.0D.1

［解題思路】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)f0)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的f…,f(6)

的值，即可解出.

【解答過(guò)程】［方法一］：賦值加性質(zhì)

因?yàn)?'(X+y)+/(X-y)=/CO/O)，令x=l,y=0可得，2/(1)=所以/(0)=2,令x=0可

得，f(y)+/(-y)=2f(y),即f(y)=/(—y),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù),令y=1得，f(x+1)+f(x-1)=

y(x)/(i)=y(x),即有+2)+/(%)=f(x+1),從而可知/'(X+2)=-/(%-1),y(x-1)=-y(x-4),

故f(x+2)=f(x-4),即/(x)=f(x+6),所以函數(shù)f(二的一個(gè)周期為6.因?yàn)槠?)=。1)一/0)=1-

2=—1,f(3)="2)-/(I)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,/(5)=/(-I)=/(l)=1)/(6)=

f(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的f(l)+/(2)+-+/(6)=0.由于22除以6余4,

所以￡普"(上)=/⑴+f⑵+/⑶+/(4)=1-1-2-1=-3.故選：A.

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由f(X+y)+—y)=/(x)f(y)，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x—y)=2cosxcosy,可設(shè)/'(x)=acosatx,則由方法一中/'(0)=2,/(l)=1知a=

2,acosto-1,解得cos3=g,取3=］,

所以/'(X)=2cosgx,則

/(%+y)+f(x—y)=2cos+2cosQx—=4cos^xcos^y=/(x)f(y),所以f(%)=2cos|x

符合條件，因此/(%)的周期7=啰=6,/(0)=2J(l)=l,且/⑵=-1/⑶=-2/⑷=-1,八5)=

3

1/(6)=2,所以f(l)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

所以￡需"㈤=/⑴+f⑵+/3)+f⑷=1-1-2-1=-3.

故選：A.

16.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)f(%),g(%)的定義域均為R,且

f(x)+g(2—無(wú))=5,。(無(wú))—/(%―4)=7.若y=g(%)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g⑵=4,則￡["(/<)=

()

A.-21B.-22C.-23D.-24

【解題思路】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到口卻+/(x-2)=-2,從而得到f(3)+/⑸+...+/(21)=-10,

f(4)+/(6)+...+/(22)=-10,然后根據(jù)條件得到/(2)的值，再由題意得到g(3)=6從而得到/"(1)的值即

可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)?(x—4)=7,所以。(久+2)—/(x—2)=7，即g(x+2)=7+—2),

因?yàn)槿她?+9(2—x)=5,所以/(x)+g[x+2)=5,

代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+/(x-2)=-2,

所以/'(3)+/(5)+...+/(21)=(-2)x5=—10,

f(4)+/(6)+...+f(22)=(-2)X5=-10.

因?yàn)閒(x)+g(2—x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1,所以/(2)=—2-f(0)=—3.

因?yàn)?(x)—/(x—4)=7,所以g(x+4)—/(%)=7,又因?yàn)?(x)+g(2—久)=5,

聯(lián)立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,

所以g(3)=6

因?yàn)閒(x)+。(尤+2)=5,所以f(l)=5-g(3)=-1.

22

所以2/(fe)=/(l)+f(2)+[/(3)+f(5)+…+/(21)]+[/(4)+/(6)+...+7(22)]=-1-3-10-

k=l

10=-24.

故選：D.

17.（2022?天津?高考真題）化簡(jiǎn)（21。843+10883）（10832+1（^92）的值為（）

A.1B.2C.4D.6

【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【解答過(guò)程】原式=（2x|log23+|log23）（log32+|log32）

43

=,log23x-log32=2,

故選：B.

18.（2022?浙江?高考真題）已知2a=5,log83=b,則4-3b=（）

255

A.25B.5C.—D.-

93

【解題思路】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，塞的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.

【解答過(guò)程】因?yàn)?a=5,b=log83=1log23,即23b=3,所以4a-3b=9=,=今

故選：C.

19.（2022?全國(guó)?高考真題）已知9m=10,a=lOm—ii,。=8機(jī)—9,貝!J（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【解題思路】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，換底

公式可得小>lglL10g89>zn,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【解答過(guò)程】［方法一］:（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9m=10可得爪=logglO=署>1,而lg91gll<（峻詈1）2=（詈）2<1=（坨10）2,所以附>需，即

m>Igll,所以a=10m-11>10館11-11=0.

又lg81gio-）2=（等）2<（幽2,所以督〉署，即1嗝9>m,

所以6=8m-9<8^89-9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）

由9m=10,可得m=logglOC（1,1.5）.

根據(jù)a,b的形式構(gòu)造函數(shù)/'（%）=廿1—%一1（%>1）,則/''（X）=-1,

令/''（X）=0，解得=加丁^，由巾-log910￡（1,1.5）知e（0,1）.

/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以f(10)>/(8),即a>b,

又因?yàn)?(9)=9^91°-10=0,所以a>0>b.

故選：A.

20.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)/(久)=壺，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有()

A./(—%)+/(%)=0B./(一%)—/(%)=0

C./(-%)+/(%)=1D./(-%)-/(%)=1

【解題思路】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

【解答過(guò)程】打―x)+n>)=表+3喬=5+e=i,故A錯(cuò)誤，c正確;

2、___1Whi一品，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤;

1+2X-1+2%

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題

21.(2023?全國(guó)?高考真題)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp=

20x1g巨，其中常數(shù)p0(Po>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):

P0

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050?60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為pi，p2，P3,則().

A.Pl>p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.p1<100p2

【解題思路】根據(jù)題意可知應(yīng)￡[60,90],G[50,60],5=40,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過(guò)程】由題意可知：Lpi6[60,90],Lp2e[50,60],43=的，

對(duì)于選項(xiàng)A：可得入口[一L?=20x1g——20xlg—=20xlg—,

'InPOP0P2

因?yàn)長(zhǎng)piNLpz，則Lp1一"2=20x18^20,即Ig^NO,

所以"N1且P1，P2＞。，可得Pi'P2，故A正確；

P2

對(duì)于選項(xiàng)B：可得—Lp=20xlg——20xlg—=20xlg—,

""PoPoP3

—

因?yàn)長(zhǎng)pzLp3=Lp2—40>10,則20xIg^->10,即1g">p

所以於之JIU且P2，P3>0，可得22241所>3，

P3

當(dāng)且僅當(dāng)“2=50時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椤耆?20x1g”=40,即1g空=2,

可得第=100,即P3=1OOPO，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：Lpi-Lp2=20xlgg,

且J-Lp2<90-50=40,則20xIgg<40,

即lg”W2,可得及4100,且Pi，P2>0，所以Pi工IOOP2，故D正確;

P2P2

故選：ACD.

三、填空題

22.(2024?上海?高考真題)已知〃>)=則f(3)=——.

【解題思路】利用分段函數(shù)的形式可求f(3).

【解答過(guò)程】因?yàn)?(%)=故/(3)=V3,

故答案為：V3.

23.(2024?上海?高考真題)已知/(%)=%3+Q,%e/?,且f(%)是奇函數(shù)，則。=_0

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù)Q.

【解答過(guò)程】因?yàn)?(%)是奇函數(shù),故/(一%)+/(%)=0即%3+Q+(-%尸+a=0,

故a=0,

故答案為：0.

24.(2024?全國(guó)?高考真題)已知a>1且「――乙=一々則。=64.

log8aloga42

【解題思路】將10g8Q,10ga4利用換底公式轉(zhuǎn)化成10g2a來(lái)表示即可求解.

【解答過(guò)程】由題S----^―=-^---1log2a=-1,整理得(log2a)2-510g2。-6=0,

log8a10ga4log2a22

=>log2a=—1或log2a=6,又a>1,

66

所以log2。=6=log22,故a=2=64

故答案為：64.

25.(2023?北京?高考真題)已知函數(shù)/'(%)=4，+log2X,則咱=1.

【解題思路】根據(jù)給定條件，把x=?弋入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.

111

【解答過(guò)程】函數(shù)/㈤=4、+log2x,所以/⑸=42+log21=2-1=1.

故答案為：1.

26.(2023?天津?高考真題)設(shè)aeR,函數(shù)/(%)=ax2-2x-\x2-ax+1|,若f(%)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，貝>Ja的取值

范圍為—(~0°,Q)U.(0.1)U,(1,+QQ)—.

【解題思路】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷Q的取值范圍.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)％2—2o時(shí)，/(汽)=oo(a—l)x2+(a—2)x—1=0,

即[(a—l)x—1](x+1)=0,

若a=1時(shí)，x=-1,此時(shí)/—ax+1>0成立；

若aH1時(shí)，x=」-或％=—1,

a-l

若方程有一根為%=—1,則1+a+120,即a>—2且aH1；

若方程有一根為汽='了貝U?)—ax，y+lZ。，解得：aW2且aW1；

若％=」一=—1時(shí)，a=0此時(shí)1+a+1之0成立.

a-lf

(2)當(dāng)久2—a%+1v0時(shí)，f(x)=0<=>(a+l)x2—(a+2)x+1=0,

即[(a+l)x—1]{x-1)=0,

若a=-1時(shí)，x=1,顯然/—a%+1V0不成立；

若a1時(shí)，%=1或%=」一，

a+l

若方程有一根為％=1,則1—a+lv。，即a>2；

若方程有一■根為第=-7，貝hl")—ax――+1<0,解得：a<—2；

a+l\a+l/a+l

若％=」—=1時(shí)，a=0,顯然/—+1<0不成立；

a+l

綜上，

當(dāng)a<-2時(shí)，零點(diǎn)為4p-

a+la-1

當(dāng)一24aV0時(shí)，零點(diǎn)為二7，—1；

當(dāng)Q=0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)一1；

當(dāng)0<aV1時(shí)，零點(diǎn)為二—1:

a—1

當(dāng)a=1時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)一1；

當(dāng)1Va42時(shí)，零點(diǎn)為二■；,-1;

當(dāng)a>2時(shí)，零點(diǎn)為1,-1.

所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。工0且。工1.

故答案為：(—co,0)U(0,1)U(1,+00).

27.(2022?北京?高考真題)函數(shù)f(x)=1+VT=^的定義域是(—8,0)u(0,1].

【解題思路】根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；

【解答過(guò)程】解：因?yàn)閒(x)=[+VT=,所以解得XW1且XR0，

故函數(shù)的定義域?yàn)?一8,0)u(0,1]；

故答案為：(―8,0)u(0,1].

(_:若"X)存在最小值，則a的一個(gè)取值為0(答

案不唯一)；a的最大值為1.

【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)y=-ax+l的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，a=0符合條件，a<0

不符合條件，a>0時(shí)函數(shù)y=-ax+1沒(méi)有最小值，故/(x)的最小值只能取y=(x-27的最小值，根據(jù)定

義域討論可知一a?+120或一a?+12(a-2尸，解得0<aW1.

【解答過(guò)程】解：若a=0時(shí)，/(*)={(》_2尸jY,vn；，,fCOmin=。；

若a<0時(shí)，當(dāng)久<a時(shí)，/'(%)=-as:+1單調(diào)遞增，當(dāng)乂->-8時(shí)，—8,故f(x)沒(méi)有最小值，不符

合題目要求；

若a>0時(shí)，

當(dāng)x<a時(shí)，/(x)=—a無(wú)+1單調(diào)遞減，/(x)>/(a)=—a2+1,

咿〃、_r0(0<a<2)

當(dāng)龍>a時(shí)，/'(Wmin-{俗_2)29>2)

、2

一4+120或—(12+1>(CL—2),

解得OVaWL

綜上可得04a41;

故答案為：0(答案不唯一)；1.

_12_j_2xV]//\\

29.（2022?浙江?高考真題）已知函數(shù)/（久）=1；一；則f（/（；））=_虹；若當(dāng)xe口句時(shí)，1W

%H--------1,x>1,\w）--

x

/（X）<3,則6-a的最大值是b一.

【解題思路】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出a的最小值力的最大值即可.

【解答過(guò)程】由己知先）=—（丁+2=：,%）="；1=條

所以八6）]=茅

當(dāng)工41時(shí)，由1W/（x）<3可得1式一/+2工3,所以一1<x<1,

當(dāng)%>1時(shí)，由1W/（久）W3可得1W久+}—1W3,所以1<%<2+百，

14f（%）工3等價(jià)于-1<%<2+V3,所以[a,b]G[—1,2+V3],

所以b-。的最大值為3+V3.

故答案為：3+V3.

Zo

30.（2022?天津,高考真題）設(shè)a€R,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記/'（久）=min{|x|—2,必—。久+3a-5}.若/（久）至少

有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解題思路】設(shè)g（x）=x2-ax+3a-5,h（x）=\x\-2,分析可知函數(shù)g（K）至少有-一個(gè)零點(diǎn)，可得出A>0,

求出a的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，綜合可求

得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過(guò)程】設(shè)g（x）=x2—ax+3a—5,h（x）=|x|—2,由|x|-2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)〃>）至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)，則△=a?—i2a