河北省石家莊市2025屆高三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)

數(shù)學(xué)

(本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={%6即1"<5},3={xeR|x2-3%_4<0},則4B=()

A.(-1,1]B.(-1,4)C.[1,4)D,[1,5)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出B,根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得答案.

【詳解】集合A={xeR|lWx<5}=口,5),B=R|x2-3x-4<oj=(-1,4),

故AB=[l,4),

故選；C

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2+3i,則復(fù)數(shù)z的虛部為()

5

D.

2

【答案】A

【解析】

分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到2="，得到虛部.

2

2+3i_(2+3i)(l-i)_2-2i+3i-3i25+i

【詳解】

1+i(l+i)(l-i)-~r

故虛部為

2

故選：A

3.已知平面向量d1滿足=2,且同=1,1卜2,則向量。力的夾角為（）

兀2兀兀57t

A.—B.—C.-D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算及夾角公式得解.

【詳解】因?yàn)橥?1,忖=2,

9

所以〃?（〃—〃）=Q—a-b=l—a-b=2即〃?/?二一1，

/,\a，b1

所以儂卜力”麗=一5，

所以卜,6〉=,，

故選：B

4.已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2,且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（）

A.BB.-C.D,243

333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)己知得出斜高，從而可得正四棱錐的高，由體積公式可得正四棱錐的體積.

【詳解】如圖，正四棱錐S—ABCD,BC=2,。為底面正方形中心，E為BC中點(diǎn),

由已知可得4x^x2xSE=2x2x2,

2

所以S￡=2,

又OE=1，所以S0=dSE2_0E?=#），

所以正四棱錐的體積為V='x2x2xJ^=生亙.

33

故選：C.

4

5.已知sin(a+/?)=2cos(a-/?),tana+tan/=—,則tan。?tan/?=()

c11

A.3B.-3C.-D.——

33

【答案】D

【解析】

4

【分析】根據(jù)條件可得sin(a+0=]cosacos力，結(jié)合sin(a+/?)=2cos(o—力)及差角余弦公式，即可求

目標(biāo)式的值.

.、，一.,八sincrsin6sinacosa+sin6cosBsin(a+/7)4

【詳解】由tana+tan/?=——+—=------------5~―

cosacospcosacospcosacosp3

4

所以sin(a+0=-coscrcos/3,而sin(a+/?)=2cos(a-J3)=2(cosacos/?+sinasin/?),

42

所以一cosacos尸=2cosacos尸+2sinasin[3,即2sinasin/?=——cosacosf3,

33

所以tana?tan，二一；.

故選：D

6.若數(shù)歹u｛??｝為等差數(shù)列，sn為數(shù)列｛4｝的前/項(xiàng)和，%+%>0，兒<0,則s”的最小值為

()

A.S5B.S6C.S7D.Ss

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)由Su<0可得%>0,即可求出數(shù)列｛%｝前6項(xiàng)均為負(fù)值，可得結(jié)論.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得S”=11(“；4J=11%<。，即可得4<0；

又。4+%=&+%>。，所以%〉0；

因此可得數(shù)列｛4｝的公差d〉0,且前6項(xiàng)均為負(fù)值，

所以S”的最小值為前6項(xiàng)和，即為S6.

故選：B

7.已知雙曲線C：￡—1=1的左、右焦點(diǎn)分別為《、F2,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩

點(diǎn)，若用匈=2|耳耳,則卜()

A.477B.277C.4GD.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性及定義，求出|伍|、|耳川長(zhǎng)度，由直角三角形求解可得解.

【詳解】如圖,

所以a=2,Z?=2A/2,c=J'4+8=2y/3，

由雙曲線的對(duì)稱性知閨因=I9J,

所以閨川=2閨.=2|4閭，

由雙曲線定義可得閨旬―|隹|=2|隹|—|隹|=|然|=2。=4,

所以閨A|=8,又比q=2c=4百，

所以比A「=|Ag「+閨閭2,即大鳥(niǎo)，

所以|。4|=yj\OF^+\AF^=V12+16=2幣,

故|的=2儂=4夕，

故選：A

8.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞減，滿足

/(log??)-/(log；d)<2f⑶，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為()

2

B.P8C.(0,8]D.[8,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得/(log2a)</(3),利用單調(diào)性解不等式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解

【詳解】函數(shù)/(%)為定義在R上的奇函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞減,

所以/(幻在R上是減函數(shù),

/(log?a)-/(log1a)<2/(3),即/爪+/爪公〈2/(3),

2

所以/(logz。)vy(3),

3

J5)f^log2o>3=log22,

所以。28,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［8,+8).

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知實(shí)數(shù)a,b,。滿足a>/?>c>0,則下列選項(xiàng)正確的是()

a+caia-c八bc

A.---->—B.1g---->0C.---->-----D.a+bH—>2-\/2

b+cbb-ca-ba-cy/ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用作差法可判斷AC；根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷B；利用基本不等式判斷D.

【詳解】對(duì)于A,實(shí)數(shù)a,b,。滿足a>Z?>c>0,

a+ca(〃+c)Z?—(b+c)a[b-a^c

則--------<0,即竺￡<幺，A錯(cuò)誤;

b+cb(Z?+c)Z?(Z?+c)Z?b+cb

a—c

對(duì)于B,由于a>A>c>0,故a—c>Z?—c>0,:.---->1,

b-c

則lg^~->0,B正確;

b-c

對(duì)于C,因?yàn)閍>Z?>c>0,故々一6>0,4-。>0/一。>0,

bc〃9-c)hc

則>0,即---->-----,C正確;

a-ba-ca-ba-c

對(duì)于D,由于a>b>c>0,故a+b>2j^，

則a+/+j—>2^/^+1—,而2\[ab+.——>2y/2,當(dāng)且僅當(dāng)二,時(shí)等號(hào)成立,

yjaby/ab7ab2

故a+b+—f=>2A/2,D正確,

7ab

故選：BCD

JT

10.已知函數(shù)/(x)=sin3x+:)(@>0),則下列說(shuō)法正確的是()

6

4兀7兀

A.當(dāng)。=3時(shí)，/(x)在~9,~9上單調(diào)遞增

7T

B.若|/(石)-/(W)|=2,且%—々L二則函數(shù)/(X)的最小正周期為兀

Irmn2

7T

c.若/(X)的圖象向左平移五個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則G的最小值為3

2329

D.若/(%)在［0,2兀］上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則外的取值范圍為—

【答案】ABD

【解析】

T兀

【分析】對(duì)于A,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對(duì)于B,直接可得一二一,由此即可判斷；對(duì)于C,由題

22

意得號(hào)+t=5+結(jié)合。的范圍即可判斷；對(duì)于D,先得到

€兀71

口>0,%￡[0,2兀]=8+￡+兀,進(jìn)一步列出不等式組即可求解.

66

(4兀7兀、7T1i3兀5兀

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)外二3時(shí)，若xe，則+

v99/o6萬(wàn)'萬(wàn)

4TI7兀

所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/(x)在~9,~9上單調(diào)遞增;

對(duì)于B,若/(七)—/(9)|=2,且%―%匕=］，則當(dāng)且僅當(dāng)(=］=7=兀，故B正確;

7T

對(duì)于C,若/(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：

12

fl(X)=sin(?x+—+-)((?>0),

12o

若工(%)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則墨+&"|+EkZn0=4+⑵:水eZ，

注意到。>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，。的最小值為4,故C錯(cuò)誤；

「"I兀兀兀7T

對(duì)于D,0>0,%E［0,2兀+—￡一,—+2G兀,若/(%)在/(x)=sin0x+—)(口>0)上恰有4個(gè)零

6\_66J6

點(diǎn)，

兀

2①兀+—24兀

則當(dāng)且僅當(dāng)］'232923291

,即①的取值范圍為12912J

C兀L

2〃>兀+—<5兀

、6

故選：ABD.

n.如圖，曲線。過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且。上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足到兩個(gè)定點(diǎn)耳(-。,0),乙3,0)3>0)的距

離之積為9,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=3

B.若直線y=Ax與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為［1,+8)

C.P4鳥(niǎo)周長(zhǎng)的最小值為12

9

D.P耳鳥(niǎo)面積的最大值為萬(wàn)

【答案】AD

【解析】

【分析】求解曲線方程后，利用過(guò)原點(diǎn)求得。=3,可判斷A；聯(lián)立方程組，結(jié)合其解唯一求出左的范

圍，可判斷B；利用基本不等式求解怛耳|+歸耳|的范圍，即可求解.「耳工周長(zhǎng)范圍，判斷C；根據(jù)面積

公式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷D.

【詳解】由定義歸耳卜|尸閭=9,即J(x+a)2+y2xJq_a)2+y2=9,

BP(x2+/+a2+2ax).(x2+/+?2-2ox)=81,該曲線過(guò)原點(diǎn)，所以4=81，

又〃>0,所以。=3,故選項(xiàng)A正確；

故方程為+y2+9+6x)?(尤2+y2+9—6%)=81,

所以曲線C的方程為1+力2=18(/—力，

直線y=丘與曲線C：(/+/?=18(/—必有公共點(diǎn)(0,0),

因此若直線丁=區(qū)與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn)，則<卜)=18卜—，)只有一個(gè)解(o,o),

y=kx

即/0+42)2=]8/(1—左2)只有一個(gè)解為％=0,

即XW0時(shí)，/(1+/)2=18工2(1—左2)無(wú)解，

故1—父<0,即實(shí)數(shù)左的取值范圍為故B錯(cuò)誤；

由IP41+1P閭之2都網(wǎng)=6,僅當(dāng)戶周=|P閭=3時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)點(diǎn)尸在E8的垂直平分線上，故點(diǎn)P與原點(diǎn)。重合，不能形成三角形，

所以歸國(guó)+歸閭〉6,所以不工周長(zhǎng)|尸國(guó)+|尸閭+閨用>6+6=12,

等號(hào)取不到，故C錯(cuò)誤；

S帖=：附歸叫sinN甲里=gx9xsin4PE4，

3

當(dāng)且僅當(dāng)N^P居=90,等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為

方程(f+/)2=18(X2—丁)可化為犬+(2/-18)%2+/(/+18)=0,

令;好，則方程產(chǎn)+(2丁—i8>+y2b2+18)=0,

29

由判別式△=(2y2—18)一—4y2(/+18)=-18(8y2-18)>0,可得VV—,

9

故面積能取到最大值一，故D正確.

2

故選：AD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)

化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意

變形過(guò)程中的等價(jià)處理.如復(fù)合方程通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單方程來(lái)研究時(shí)，不能忽視求解新元的范圍；

高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來(lái)研究時(shí)，要注意幾個(gè)低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方

程研究時(shí)，分母是否為0的分類討論；無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時(shí)，被開(kāi)方數(shù)的限制條件等.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.在等比數(shù)列｛%｝中，q=1,a2a3a4=64,則a5=

【答案】16

【解析】

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

(詳解】由a2a3a4=64,及a2a4=af

可得：a；=64,即％=4,

又%%=al，

所以%=16.

故答案為：16

—x~+3x—1,x20

13.已知函數(shù)/(力=14，若y=|x|與y=F(龍)的圖象相切于48兩點(diǎn)，則直線A3的

—+4,%<0

方程為.

【答案】x+3y-4=0

【解析】

【分析】解方程先求出A5的坐標(biāo)即可求解.

【詳解】x>0,/(x)=|x|=>x>0,-%2+2%-1=0=>%=1,

X<0,/(X)=W=>JC<0,X+±+4=>X=-2,

不妨設(shè)A(-2,y(-2)),所以A(-2,2),B(1,1),

所以直線AB的方程為：y—l=2±(x-i)nx+3y—4=0.

—2—1

故答案為：x+3y-4=0.

14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中

最高大的是胡夫金字塔，如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個(gè)正四棱錐，則該正四棱錐的5個(gè)面所在的平

面將空間分成部分（用數(shù)字作答）.

【答案】23

【解析】

【分析】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成18塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析求

解.

【詳解】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成18塊，

把四面進(jìn)行極限傾斜相交，如圖所示，

在傾斜的過(guò)程中，在不管底面的情況下，4個(gè)側(cè)面在頂點(diǎn)以下的“水平范圍”內(nèi)最多可以切割出9個(gè)空

間，與沒(méi)有傾斜極限的情況一樣，

多出來(lái)的空間是交叉的切割出來(lái)的空間，

在空間上是對(duì)稱的，四個(gè)傾斜的側(cè)面在空間中的延伸還是這樣的傾斜側(cè)面，

如圖所示的對(duì)稱的錐面同樣會(huì)切割出9個(gè)空間，

即頂點(diǎn)之上的4個(gè)延伸的傾斜的面同樣會(huì)切割出9個(gè)空間，

但是四個(gè)空間和下面的四個(gè)傾斜的側(cè)面切出的是同一個(gè)，

即標(biāo)記“X”的位置，

所以在18基礎(chǔ)上加9減4,即結(jié)果是23.

故答案為：23.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為RA是拋物線上橫坐標(biāo)為2且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物

線焦點(diǎn)的距離為*.

2

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)尸的直線/交拋物線C于夙。兩點(diǎn)（異于。點(diǎn)），連接若‘△。一白四〃

求的長(zhǎng).

【答案】（1）V=2x

（2）-

4

【解析】

【分析】（1）由拋物線上焦半徑的計(jì)算公式求解出尸，然后得到拋物線的方程即可；

⑵聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，由得

\OG\-\BF\=^\DF\-\OG\,BP|BF|=||DF|,計(jì)算BD的長(zhǎng)即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得光+2=：,解得。=1,故拋物線方程為/=2x.

【小問(wèn)2詳解】

由題意得直線/的斜率不為0,設(shè)直線/：X=3+；,與y2=2x

聯(lián)立得y2一2什—1=0,由韋達(dá)定理得％+必=2乙①

設(shè)過(guò)。點(diǎn)作/垂線，垂足為G.

由S△.得|。*忸口=。。斗|OG|,即忸月司

由忸用得以=一；%②

由①②聯(lián)立上式得以=孝，%=—血，”―乎

|BD\=J（x「可）2+（乂-%）2=%）2=|?

16.如圖，在直四棱柱ABCD—AB'C'D'中，A,G=-A,D,,AB±BC,AB=1,BC=6，

3

(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)G、B、。的平面交直線A?于點(diǎn)M,求線段GM的長(zhǎng);

(2)若AC15。，當(dāng)二面角3'—AC—D為直二面角時(shí)，求直四棱柱ABC?！狝BC'。'的體積.

73

【答案】(

1)~T

⑵逑

4

【解析】

【分析】(1)由直棱柱得B'D'IIBD且BDH平面AB'C'D',利用線面平行的性質(zhì)得BD//GM，進(jìn)而求線段

GM的長(zhǎng);

(2)法一:設(shè)A。BD=O,連接B'O,D'O,利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理及二面角的定義有NB'OD'

為二面角8-AC-D的平面角，令3笈=?！?gt;'=/7結(jié)合已知條件求。，最后應(yīng)用棱柱的體積公式求體積;

法二：設(shè)?！?gt;'=〃，根據(jù)已知二面角大小，應(yīng)用向量法列方程求力，進(jìn)而應(yīng)用棱柱的體積公式求體積;

【小問(wèn)1詳解】

連接B'D',由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，知B'D'IIBD且BDH平面AB'C'D',

平面A'3'C'。'平面G8￡)=GM,BDu平面GB。，所以5ZX/GM,

由平行傳遞性知GMUB'D',

所以M為靠近A'的AE三等分點(diǎn)，GM=LB'D'=2

32

【小問(wèn)2詳解】

方法一：幾何法,

如上圖，設(shè)ACBD=O,連接BO,D'O,

由題意ACIB。，AC±BB，BB'3。=3且都在面班O內(nèi)，故AC上面班O,

同理有AC上面OD'O,由8Ou面BB'O,DOu面ODO,

所以B'OJ_AC，D'O±AC,故NB'OD'為二面角U—AC—D的平面角，

TT

設(shè)BB'=DD=h,由二面角5'—AC—D為直二面角，知/8'。9'二一，

2

由題設(shè)有AC=2,等面積法得50=走，故0D=6B'O~^BO~+lr，D'O^DO2+h2,

2

在RtZkB'OD'中5'O2+￡），O2=5'。'2,即』+"+3+//=ZZ,整理得丸2=。，解得力=土逅，

4422

由題設(shè)，知BB'=近，則SABCD=S^ABC+SA48=38X2XL=￡3,

所以^ABCD-A'B'C,D'=Sh=~~；

方法二：向量法，

設(shè)直線AC與直線交于點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以08為無(wú)軸，以O(shè)C為y軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系。-工yz.

在&/^^。中(95,47,由射影定理得。4=J，OC=-,OB=B，

222

設(shè)DB=h，則A(0,—g,0),B'(—,O,h)，C(0,1,0),D'(-y/3,0,h),

設(shè)平面B'AC的一個(gè)法向量為4=（玉,％,zj,

(石，乂，馬>(0,2,0)=0%=0

n.?AC=0

，即《

則,；,丸)=0,所以‘冬i=。'

?AB=0(%，如4>

令%=-2h,貝UZ[=百，=(-2A,0,A/3),

設(shè)平面ZX4c的一個(gè)法向量為巧=(x2,y2,z2),

(^,y,z)-(0,2,0)=0

n,,AC=0222

，即《

則(%,y,z)-(-73,1-,/z)=0,所以

n、-AD=0222

令X]=h,則z2=百，％=("，°，6)

當(dāng)二面角F—AC—D為直二面角時(shí)，勺?巧=—2川+3=0,得h=4~，

I9J2

^ABCD-A'B'C'D'=SAR「D,h=—2AC-BD-h=4-----.

17.在VABC中，AB=6，AC=26，點(diǎn)D在邊5c上，且3￡)=CD.

7T

(1)若NBAD=—,求BC的長(zhǎng)；

2

兀1

(2)若/BAC=-,點(diǎn)E在邊AC上，且AE=—EC,BE與AD交于點(diǎn)M，求cos/AMB.

32

【答案】(1)BC=V21

⑵」

7

【解析】

【分析】(1)設(shè)在/^1班和丫43。中分別得出0)56,即可求解；

2

(2)根據(jù)數(shù)量積的定義可得A3.AC，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得的).BE，由向量的夾角運(yùn)算公式即可

求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)BD=CD=巴,

2

n_AB不

在中，COSJB=^5=V)

2

VA3C中，由余弦定理可得

.§2+5A2_3_+4一倒@,

2ABBC-2.8a

222

所以，斗（A/3）+?-（2A/3）

2.行a，

2

解得a=J五，所以BC=衣'；

【小問(wèn)2詳解】

AB-AC=y/3x2^3xcosy=3,

AD.SE=1（AB+AC）（AE-AB）=1（AB+AC）（|AC-AB

222

=-1AJB-AC-||AB|+||AC|=-|X3-1X3+|X（273）=-1

AD|=Q（AB+AC）2=^（^AB2+2AB-AC+AC2=J|x（3+2x3+12）=當(dāng)

BE|=jQAC-呵=^AC-^ABAC+AB=^|xl2-|x3+3=答，

1

Af）.BF一71

cosZAMB=cosAD,BE=,~n~r=「'=——

|AD|.|BE|V21V217

x

is.已知函數(shù)y(x)=一e.

X

(1)當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)/(X)的最小值；

Y4-1

(2)設(shè)方程/(x)=一的所有根之和為T,且Te(〃,n+1),求整數(shù)力的值；

x

(3)若關(guān)于x的不等式/(%)2公—alnx+e—1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)e

(2)〃=—1

(3)a<\

【解析】

【分析】(1)由題可得/(X),判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)/(X)的最小值；

(2)/(x)=王?=廿-工-1=0,由g(x)=e1'-工-1單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得g(x)零點(diǎn)范圍，

XXX

即可得T的范圍，即可得答案；

(3)令//(x)=/(x)—G；+alnx—(e—l),求導(dǎo)得〃(乃=色二組二也，然后分aVe,a〉e兩種情

x

況討論可得答案；

【小問(wèn)1詳解】

尤>o,

X

xe(0,l),r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

XG(l,+oo),f\x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

/(X)min=/(D=e；

【小問(wèn)2詳解】

方程f(x)=-X+]可化簡(jiǎn)為/——11=0

XX

方程/—工—1=0的根就是函數(shù)^(x)=el---l的零點(diǎn)，

XX

注意到g'(x)=e'+4>0,貝Ug(x)=d—工―1在(―8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增.

XX

因?yàn)間(—g)=e2_；<0,g(—1)=—>0,

所以函數(shù)g(x)在(T?,0)有唯一零點(diǎn)X],且X].

因?yàn)間(；)=疵'一3<0,g(l)=e-2>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)有唯一零點(diǎn)乙，且%2

則T=X]+々e(—L0),因此，n=-l.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)/z(x)=/(x)-ax+alnx-(e-l),則當(dāng)x>0時(shí)〃(尤)之0恒成立,

hr(x)=任一"—Cl~\——(心'一①

X"XX"

er

①由(1)得一>e,ex>ex

x

當(dāng)aVe時(shí)，eA-ax>ex-ex>0

%e(O,l),/z'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(1,+oo),h'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

h(x)>h(y)=e-fl-(e-l)=l-?>0..\a<l

②當(dāng)a>e時(shí)，7z(l)=l-a<0,這與"(x)NO矛盾,

綜上，a<l.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)范圍問(wèn)題，常利用零點(diǎn)存在性定理確定具體范圍；對(duì)于函數(shù)不等式恒成立問(wèn)

題，

可利用分離參數(shù)解決，也可直接分類討論處理.

19.母函數(shù)(又稱生成函數(shù))就是一列用來(lái)展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架.這是數(shù)學(xué)家赫伯特?維爾夫?qū)δ负瘮?shù)的

一個(gè)形象且精妙的比喻.對(duì)于任意數(shù)列為，”1，"2，?，/，即用如下方法與一個(gè)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)：

2n

G(x)=a0+axx+a2x++anx,則稱G(x)是數(shù)列｛q,｝的生成函數(shù).例如：求方程

10

100=^+?2++九的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù).設(shè)此方程的生成函數(shù)為G(x)=(l+x+/+),其中尤的

指數(shù)代表較'=1,2,3,,10)的值.G(x)=(l+x+f+)1。=、4/，則非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為%°。.若

n=0

/(x)=l+x+f+,則對(duì)Xx)=x+x2+x3+,可得(1—x)/(x)=l,于是可得函數(shù)/(x)的收縮表

達(dá)式為：/(x)=-^.故G(x)=(《嚴(yán)=(1-x)T°=C°]0(-x)°+C：0(-劃++C?(-%)100+

1-x1-x

(廣義的二項(xiàng)式定理：兩個(gè)數(shù)之和的任意實(shí)數(shù)次累可以展開(kāi)為類似項(xiàng)之和的恒等式)則

成"喘=T)x(一口)：0；70一必+1)J09X1案X]。?嘴根據(jù)以上材料,解決下述問(wèn)

題：定義“規(guī)范01數(shù)列”｛4｝如下：｛4｝共有2機(jī)項(xiàng)，其中機(jī)項(xiàng)為0,加項(xiàng)為1,且對(duì)任意左W2/〃，

￡k

7,不同的“規(guī)范01數(shù)列”個(gè)數(shù)記為么”.

i=i2

(I)判斷以下數(shù)列是否為“規(guī)范01數(shù)列”;

①0,1,0,1,0,1；②0,0,1,1,1,0,0,1；③0,1,0,0,0,1,1,1.

(2)規(guī)定d=1,計(jì)算偽，b2,d的值，歸納數(shù)列也｝的遞推公式;

m

(3)設(shè)數(shù)列但｝對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)為為：X)=%+3；+%/++bmx+

①結(jié)合歹(x)與產(chǎn)(工)之間的關(guān)系，推導(dǎo)F(%)的收縮表達(dá)式；

②求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)①，③是“規(guī)范01數(shù)列”，②不是“規(guī)范01數(shù)列”，理由見(jiàn)解析;

(2)4=1,4=2,&=5,&=14；數(shù)列也｝的遞推公式為

4相+2

b

bm=b0bm7+4*+4*++m-A+2,1瓦或%=——~bm;

m+2

(2加)！

⑶①…三/;②久=

m!(m+1)!

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“規(guī)范01數(shù)列”的定義進(jìn)行驗(yàn)證，①③正確，其中②中囚+4+%+%+%=3>g，故

②錯(cuò)誤；

(2)列舉法得到仇=1,么=2,4=5，仇=14,方法一：“規(guī)范01數(shù)列”滿足：①當(dāng)

"=1,2,3,.，左一1時(shí)，②當(dāng)〃=左時(shí)，￡%=工,從而可將｛&J劃分為兩部分，即

i=i2z=i2

，6和4+1，/+2，4,得到｛〃,｝的遞推公式；方法二：利用正難則反的方法進(jìn)行求解，得到

I4Hz+2

推出%="2小

(3)①推出x產(chǎn)(x)=F(x)—1,求出F(X)=1±M4X,由極限思想舍去砥》)=手,得到

2x

F=1-V1-4X；②在①的基礎(chǔ)上，推出

2%

*)=三手$"。+卒尸外吃號(hào)廠得到答案

小問(wèn)1詳解】

①，③是“規(guī)范01數(shù)列”，②不是“規(guī)范01數(shù)列”，理由如下：

13

①0,1,0,1,0,1；〃]=0V—,〃]+%=1V1,q+a?+/~1——，

q+%+%+〃4=2<2,q+%+。3+%+。5=2Vg,

q+%+〃3+%+。5+4=3<3,故①為“規(guī)范01數(shù)列”,

②0,0,1,1,1,0,0,1,4+%+4+。4+"5=3>5，不滿足要求;

③o,i,o,o,o,1,1,1,滿足左v8,<-,③為“規(guī)范oi數(shù)列”;

i=l2

【小問(wèn)2詳解】

m=1時(shí),“規(guī)范01數(shù)列”只有0,1,故5=1,

加=2時(shí)，"規(guī)范01數(shù)列”有0,0,1,1和0,1,0,1,故仇=2,

冽=3時(shí)，”規(guī)范01數(shù)列”有0,0,0,1,1,1和0,1,0,1,0,1和0,0,1,0,1,1

和0,1,0,0,1,1和0,0,1,1,0,1,故4=5,

加=4時(shí)，"規(guī)范01數(shù)列”有0,0,0,0,1,1,1,1和0,1,0,1,0,1,0,1

和0,0,1,0,1,1,0,1和0,1,0,0,1,1,0,1和0,0,1,1,0,1,0,1

和0,0,1,1,0,0,1,1和0,1,0,0,1,1,0,1和0,0,0,1,0,1,1,1

和0,0,1,0,0,1,1,1和0,1,0,0,0,1,1,1和0,0,1,0,1,0,1,1

和0,1,0,1,0,0,1,1和0,0,0,1,1,0,1,1和0,0,0,1,1,1,0,1;

故。4=14,

方法一：“規(guī)范01數(shù)列”｛即｝中，首項(xiàng)。1=。，若同時(shí)滿足:

?k￡左

當(dāng)〃=1,2,3,?，左一1時(shí)，22"，＜彳；②當(dāng)〃=左時(shí)，4=彳

i=i2；=12

此時(shí)可將九｝劃分為兩部分，即4M2，，，/和以+1，以+2，?，/，

由于。1=0且以=1,則。2M3，，%一1可構(gòu)成