胡不歸模型-2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題

胡不歸模型

一、知識導航

在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如7M+必最值，除此之外我們還可能會遇上形如

aPA+kP^'這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓.本

文簡單介紹“胡不歸”模型.

【故事介紹】

從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最

短”，雖然從他此刻位置幺到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽

了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”

（“胡”同“何”）

而如果先沿著驛道/。先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？

【模型建立】

如圖，一動點。在直線aCV外的運動速度為T4,在直線4CV上運動的速度為以，且V1VV2,/、B

為定點，點C在直線ACV上，確定點。的位置使生++的值最小.

B

【問題分析】

-A-C1-B-C=-1AC\,亍己左=乜，

匕KKJ匕

即求8G■后4C的最小值.

【問題解決】

構(gòu)造射線AD使得sinZDAN=k,CHIAC二k,CH^kAC.

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+8最小值,過8點作助工/。交AGV于點C,交/。于〃點，此時838取

到最小值，即8C+后4C最小.

【模型總結(jié)】

在求形如“PA+kPB'的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與以中相等的線段，將“PA+kPg'型問題轉(zhuǎn)

化為'3+用'型.

而這里的心必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到此打的等線段.

二、典例精析

如圖，AABC中，AB=AC=1Q,tanA=2,BE_LAC于點E,。是線段BE上的一個動點，則8+手8。的最

小值是.

【分析】本題關(guān)鍵在于處理“日瓦M',

考慮tanA=2,△A3E三邊之比為1:2:石，sinZABE^-,故作￡)//

LAB交AB于H懸,則DH=與BD.

問題轉(zhuǎn)化為CD+O8最小值，故C、。、H共線時值最小，此時C￡>+r>H=CH=BE=4百.

【小結(jié)】本題簡單在于題目已經(jīng)將54線作出來，只需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線。即可解決問

題，若稍作改變，將圖形改造如下：

則需自行構(gòu)造a,如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問題關(guān)鍵所在.

A

三、中考真題演練

1.（2023?山東?中考真題）已知拋物線y=-d+6x+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點。（0,4）,其對稱

⑴求拋物線的表達式；

（3）如圖2,動點尸在直線AC上方的拋物線上，過點尸作直線AC的垂線，分別交直線AC,線段5c于點E,

F,過點尸作尸軸，垂足為G,求尸G+0FP的最大值.

【分析】（1）由題易得c的值，再根據(jù)對稱軸求出6的值，即可解答；

（3）求得3C所在直線的解析式為％=-4x+4,設(shè)尸（利-蘇-3根+4）,設(shè)PE所在直線的解析式為：

m

%=t+%，得%=f-布-2加+4,令%=%,解得x=；a,分別表示出FG和垃PF,再對FG+也FP

進行化簡計算，配方成頂點式即可求解.

【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點。（0,4）,

c=4,

3

:對稱軸為x=——,

J拋物線的解析式為y=-/一3%+4；

(3)設(shè)BC所在直線的解析式為％=%x+4,

k[+l\=0

把8、C坐標代入得:

4=4

勺=—4

解得

4=4

%——4%+4,

9：OA=OC,

：.ZCAO=45°f

ZAEB=90°,

???直線PE與％軸所成夾角為45。,

設(shè)P(m,-m2—3m+4)

設(shè)尸石所在直線的解析式為：％=-x+%，

把點P代入得瓦=-m2-2m+4,

2

y2=-x-m-2m+4,

令％=%,貝I-4x+4=加之一2%+4,

m2+2m

解得％=

3

—4(加2+2m)

??FG=y—-----------^+4

F3

_2

>J2PF=V2—―士=A/2?y/2-(xF.^p)=—(m-m

cos453

22

.「-4(m+2m)2(m-m\2(5Y49

??FG+42FP=—----------^+4+-^---------/=--m+-+—

332J6

???點P在直線AC上方,

-4<m<0,

540

工當機=-7時，尸G+血尸尸的最大值為高.

26

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?黑龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線必=加+法+c的圖象經(jīng)過A(-6,0),5(-2,0),。(0,6)三點,

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

(3)將拋物線％=ax?+b尤+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線％，此拋物線的圖象與x軸交于M，N

兩點(/點在N點左側(cè)).點尸是拋物線％上的一個動點且在直線NC下方.已知點尸的橫坐標為機.過點

P作PDLNC于點。.求為何值時，CD+gpD有最大值，最大值是多少？

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(3)得出CQN是等腰直角三角形，印＞￡＞是等腰直角三角形，則m==點P在拋物線為上,

2

且橫坐標為加得出〃(加，-m+6),進而可得==療+3機)=一乎一+羋則

；如.半.一O喈’根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：把A(—6,0),5(-2,0),C(0,6)代入+c

36a-6Z?+c=0

得＜4〃一2b+c=0

c=6

1

a二一

2

解得＜。=4

c=6

19,

y1=—x+4x+6

才巴3(—2,0)代入y=米+6得上=3

y=3x+6

ii

29

(3)Vyi=-x+4x+6向右平移8個單位長度得到拋物線為=](尤一8)一+4(x-8)+6

1,

當必=0，即5(犬一8)+4(尤-8)+6=0

解得：Xj=2,X2=6

：.M(2,0),N(6,0)

:%過河，N,C三點

1,

y2=—<-4x+6

在直線NC下方的拋物線為上任取一點P，作軸交NC于點H,過點我作法?，丫軸于點G

:N(6,0),C(0,6)

/.ON=OC

.CON是等腰直角三角形

VZCHG=45°,NGHP=90。

：.NPHD=45。

又PDLCN

.HPD是等腰直角三角形

，HD=DP^—HP

2

???點P在拋物線為上，且橫坐標為機

CG=GH=m

CH=^2m

,?*%v=f+6

HP=-m+6-1—m2-4m+6|=--m2+3m

(2)2

HD=DP=—Lm2+3/n]=-^^加2m

2I2)42

CD+-PD=CH+HD+-PD=CH+-PD=-Jim+-f-—m2

2222(42J

372f1371690

=--------m-------H-------------

8I3)24

.?.當力==時，CO+!PO的最大值為皿1.

3224

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=++6x+c與x軸交于3(4,0),C(-2,0)

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點尸是直線A3下方拋物線上的一動點，過點尸作無軸的平行線交A3于點K,過點尸作y軸的平行線

交x軸于點D,求與;PK+尸。的最大值及此時點尸的坐標；

【分析】(1)將A、B、C代入拋物線解析式求解即可；

(2)可求直線A3的解析式為y=gx-2,設(shè)尸[根，:(0<m<4),可求

K\-m2\,從而可求1尸犬+尸￡)=一,*+3,7+2,即可求解；

1242J222

【詳解】(1)解：由題意得

16a+4b+c=0

<4〃一2b+c=0,

c=-2

1

a=-

4

解得：</?二一5

c=-2

二拋物線的解析式為

(2)解：設(shè)直線A3的解析式為>=履+"則有

4左+b=0

b=-2

k=L

解得：,2,

b=-2

?,?直線AB的解析式為y=；

設(shè)尸］機，:機2_；m_2

(0<m<4),

1c121c

_x_2=_m—TTI-2,

242

解得:x=-m2-m,

2

K6

42J

|m12-m

PK=m-

=—m2+2m,

2

112

/.—PK=——m+m,

24

PD=-|—m2--m-2|

(42)

11c

=——m2+—m+2,

42

1111

/.—PK+PD=——m7+m——m9+—m+2

2442

13

=——m2+—m+2

22

3175

，當根==時，：PK+尸。的最大值為?,

22o

(3、

故：1PK+即的最大值25為P35.

2o1，1。J

4.(2023?天津?中考真題)已知拋物線y=-*+6x+c(b,c為常數(shù)，c>l)的頂點為尸，與》軸相交于A,

一b

8兩點(點A在點8的左側(cè))，與y軸相交于點C,拋物線上的點M的橫坐標為加，且-c<〃z<],過點M

作MN_LAC,垂足為N.

⑴若"=-2,c=3.

①求點P和點A的坐標；

②當=0時，求點Af的坐標；

(2)若點A的坐標為(―GO),^MP//AC,當4V+3MN=9應(yīng)時，求點"的坐標.

【答案】(1)①點P的坐標為(-1,4)；點A的坐標為(-3,0)；②點/的坐標為(-2,3)

【分析】(1)①待定系數(shù)法求解析式，然后化為頂點式，即可求得尸的坐標，令>=0,解方程，即可求得A

的坐標；

②過點以作MELx軸于點E,與直線AC相交于點尸.得出。4=OC.可得RtAOC中，

NQ4c=45。.RtA￡F中，EF=AE.設(shè)點”(私---2"+3),點E。%。).根據(jù)MN=及，解方程即可

求解；

(2)根據(jù)題意得出拋物線的解析式為y=-d+(l-c)x+c.得點”(八-加+(l-c)zn+c),其中

_c<m<lz￡.則頂點p的坐標為［二,對稱軸為直線/”==.過點"作MQL/于點Q,

2（24）2

則/M2尸=90°,點。］寧,一療+（1-C）MI+CJ.由MP〃AC,得/尸加。=45°.于是MQ=QP.得出

q=-2加-1,C2=-2m+1（舍）.，同（I）,過點加作MEJ_x軸于點E,與直線AC相交于點/，則點磯7”,0）,

點八私-初-1）,點療-1）.根據(jù)已知條件式，建立方程，解方程即可求解.

【詳解】（1）解：①由b=-2,c=3,得拋物線的解析式為y=/-2x+3.

y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,

???點P的坐標為（T4）.

當y=0時，-x2-2x+3=0.解得占=-3,々=1.又點A在點8的左側(cè)，

；?點A的坐標為（—3,0）.

②過點/作ME軸于點E,與直線AC相交于點廠.

?.?點4（—3,0）,點C（0,3）,

AOA=OC.可得RtAOC中，NO4c=45。.

中，EF=AE.

:拋物線y=-V一2x+3上的點/的橫坐標為"Z,其中一3（根＜-1,

設(shè)點“9九,-病-2m+3）,點網(wǎng)根,0）.

得EF=AE=m—（—3）=m+3.即點F（m,m+3）.

FM=（-〃/-2m+3）-（祖+3）=-m2-3m.

RtFMN中，可得ZMFN=45°.

FM=-J2MN.又MN=6,

得FM=2.即-m2_3帆=2.解得嗎=-2,%=-1（舍）.

點河的坐標為(-2,3).

(2),點A(-c,O)在拋物線yu-f+fer+c上，其中c>l,

—c2—bc+c=O.得b=l—c.

，拋物線的解析式為y=-f+（l—c）x+c.

得點M（〃2,-〃/+（1-C）〃Z+C）,其中

??v_T2A\（1-C）2jl+c）2

?y——X-rI1-CIX~rC——X-----------------------,

v7I2J4

，頂點p的坐標為[寧，，對稱軸為直線/：》=一?

過點/作M2,/于點Q,則/M2尸=90。，點。(寧，-療+

由MP〃AC,得NPMQ=45。.于是MQ=QP.

.1—c(l+c)2r2/i\n

..-......m=——--------y—m+(l-c)m+cj.

即（c+2利）2=1.解得C]=一2加-1,。2=-2m+1（舍）.

同(I),過點以作軸于點E,與直線AC相交于點尸,

則點E(m,0),點網(wǎng)以一罐一1),點/(犯病-1).

'?*AN+3MN=AF+FN+3MN=j2EF+2>/2FM=942,

0（-相-1）+2忘（加2-1+帆+1）=9底.

即2機2+m-10=0.解得叫=—|,〃12=2（舍）.

521

.,.點的坐標為

M2,T

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，角度問題，線段問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?福建泉州?模擬預測）如圖，已知拋物線>=5（尤+2）（尤-4）（人為常數(shù)，且%>0）與》軸從左至右

依次交于A,8兩點，與y軸交于點C,經(jīng)過點8的直線y=與拋物線的另一交點為。.

備用圖

⑴若點。的橫坐標為-5,求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵在（1）條件下，設(shè)尸為線段8。上一點（不含端點），連接AF,一動點〃從點A出發(fā)，沿線段"以每

秒1個單位的速度運動到產(chǎn)，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到。后停止.當點歹的坐標是多少

時，點/在整個運動過程中用時最少？

【答案】⑴"』一空x-典

-999

⑵卜2,2百）

【分析】（1）由點3的坐標求出直線30的解析式，再由點。的橫坐標代入直線3D的解析式求出點。的坐

標，然后將點。的坐標代入拋物線解析式求3從而得到拋物線的函數(shù)表達式；

（2）過點。作軸于點E,過點。和點P分別作x軸的平行線和V軸的平行線，交于點N,過點A作

AH工DN于點H,由點8和點。的坐標求線段OE、BE和3。的長度，得到/DBE=30。，結(jié)合速度可知

時間為+然后利用“30。角所對的直角邊是斜邊的一半”得;DF=NF,從而得到

[AF+^-DF]=(AF+NF^B=AH,進而求得此時點P坐標.

k

【詳解】(1)解：對于y=Xx+2)(x-4),當y=0時，*=-2或x=4,

8

/.A(-2,0),5(4,0),

將點B(4,0)代入y=-,得：-1~x4+b=0

.473

??bz-----,

3

貝IJ直線BD的解析式為：y=_Bx+處,

33

當x=-5時，＞=-。？(5)+#=3不，

.?.味5,3@,

將點刃卜5,3君)代入y=：(x+2)(x-4),得:1(-5+2)(-5-4)=3^,

.,8A/3

9?k----,

9

二拋物線的表達式為：y=*(x+2)(x-4)=號V-手x-孚；

(2)由題意得：點"的運動時間為+

過點。作軸于點E,

?.?味5,3⑹，5(4,0),

/.DE=3y[3,EB=9,BD=6幣,

NDBE=30°,

過點。和點/分別作*軸的平行線和y軸的平行線，交于點N,

ZDBE=NFDN=30。,

：.NF=-DF,

2

：.AF+-DF=AF+NF,

2

過點A作于點H,此時(AF+NF^—AH,

...AH與直線30的交點即為所求點尸，

VA(-2,0),

.?.當x=-2時，y=_[x(-2)+￥=2A，

???點F的坐標為卜2,2力)時，點加在整個運動過程中用時最少.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求拋物線解析式、特殊角的直

角三角形三邊關(guān)系，第2問的突破點是利用轉(zhuǎn)化的思想結(jié)合“30。角所對的直角邊是斜邊的一半”將;。尸進

行轉(zhuǎn)化，然后利用垂線段最短求得用時最小時的點F坐標.

6.(2023?廣西柳州?二模)已知拋物線丫=/+灰+。(。中0)過點4(1,0),3(3,0)兩點，與V軸交于點C,

OC=3,

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)點P為拋物線上位于直線3C下方的一動點，當PBC面積最大時，求點尸的坐標；

(3)若點。為線段OC上的一動點，問：AQ+^C。是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在,

請說明理由.

【答案】⑴解析式為y=%2-4x+3,頂點。的坐標為。(2,-1)

⑵點p的坐標為尸j

(3)存在，最小值為?±1

2

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線的交點式，然后代入點C的坐標，求解即可；

(2)作尸加//丁軸，交BC于點通過設(shè)尸和M的坐標，利用“割補法”表示出Sme，從而利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解最值即可；

(3)將直線CQ繞著。點逆時針旋轉(zhuǎn)30。，并過點C作其垂線，垂足為N,分別連接AQ,QN,CN,構(gòu)

造出含30。角的直角三角形，然后轉(zhuǎn)換為求AQ+N。得最小值，繼而確定當A、Q、N三點共線時，滿足

AQ+NQ取得最小值，此時利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)分段求解再相加即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a(xT)(x-3),其中awO,

?/0C=3,

點C的坐標為C(0,3),

將C(0,3)代入y=a(x—l)(x—3),解得:a=l,

y=(x—l)(x—3)=廠—4x+3,

拋物線的解析式為y=f_以+3,

-4

:對稱軸為直線X---=2,

.,.將x=2代入y=f-4%+3,得：y=-l,

...頂點。的坐標為。(2,-1)；

(2)解：?；3(3,0),C(0,3),

直線3c的解析式為：y=-尤+3,

???點P在拋物線上，且位于直線BC下方，

設(shè)尸(p爐一4p+3),其中，0<p<3,

如圖所示，作PM//y軸，交2C于點〃，

M(p,-p+3),

2

?，.PM=yM-yP=-p+3p,

SPBC=SPMS+SPMC，SPMB=3PM?XB_Xp),SPMC=3PM?Xp-Xc),

,,SPBC=—PM^XB-XP)+—PM^XP-XC)=—PM^XB-xc),

S詠=gPM?(4-％)=J("2+3p)x3,

整理可得：S

3

.?.當P=Q時，S.BC取得最大值,

如下圖所示，將直線CQ繞著。點逆時針旋轉(zhuǎn)30。，并過點C作其垂線，垂足為N,

分別連接A。，QN,CN,則/CQN=30。，ZCNQ=90°,

.,.在RtZkCNQ中，cosZCQN=cos30°=—=—,

CQ2

，隨著。點的運動，總有NQ=^CQ,

'AQ+^-CQ^AQ+NQ,

要使得AQ+gC。取得最小值，即要使得AQ+NQ取得最小值,

如下圖，當A、Q、N三點共線時，滿足AQ+N0取得最小值，

此時，ZCNQ=ZAOQ=90°,NCQN=ZAQO=30。,

?/OA=1,

：.AQ=2,OQ=6

：.CQ=OC-OQ=3-s/3,

/.NQ=CQ.cos30。=(3-塔義=龍盧,

..czcC373-33月+1

??AQ+NQ=2+---=---,

，AQ+半C。存在最小值，最小值為灣里.

【點睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問題，以及利用“胡不歸”模型構(gòu)造三角形求線段和

最值問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運用函數(shù)思想解決圖形面積問題是解題關(guān)鍵.

7.(2022?四川成都?模擬預測)拋物線>=辦2+汝+6分別交x軸于點A(1,O),B(-3,0),交y軸于點C,

拋物線的對稱軸與x軸相交于點。，點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且MNLAC.

⑴求拋物線的表達式；

(2)線段MN,NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；

(3)在V,N移動的過程中，是否有最小值，如果有，請寫出理由.

Wy=--x2-—x+y/3

33

(2)NC=43MN,見解析

⑶有，最小值為6

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)在RtAOC中，OC=G，OA=l,MNLAC,有/MNC=90°,即可得tan/OC4=^=黑，

問題得解；

(3)先求出/OC4=30。，即4c=60。，即有MN=，CM,則OM+,MC的最小值是。的最小

22

值，即點。到AC的垂線段。N的長，問題隨之得解.

【詳解】(1)把點A。,。)，3(-3,0)代入拋物線”辦2+法+君中得：

6

a=-----

〃+z?+y/3—03

解得：,

9Q-3b+g=026

b=-------

3

???拋物線的解析式為：片-看--孚x+5

（2）NC=43MN,

理由是：如圖1,

令尤=0,則y=JL即C（0,后）,

：A（l,0）,C（0,A/3）,

,OC=y/3,OA=1,

在RtAOC中，OC=6,OA=1,

,：MN1AC,

：.ZMNC=90°,

MN

tan^OCA=—

OCIvc

1MN

國一RE

NC=6MN;

(3)在M,N移動的過程中，有最小值是收,理由如下:

由（2）知：tanNOCA==—j==—-

OC733

AZOCA=30°,即NOAC=60°,

2

，的最小值是DM+MN的最小值，即。、M、N三點共線時，點。到AC的垂線段。N的長,

如圖2,

K2

拋物線解析式為：y=_』一也x+5,

33

.二對稱軸是：x——1,即。(-1,0),

???AD=OA+OD=1+1=2,

在中，ZDAN=60°,

DN=ADxsinADAN=6,

即DM+-MC=DM+MN=DN=y/3,

2

...在M,N移動的過程中，。河有最小值是

【點睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形以及垂線段

最短等知識.題目難度不大，細心作答即可.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

4

8.(2022?廣西梧州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-1尤-4分別與尤，y軸交于點A,B,

(1)求此拋物線的解析式;

⑵若點C的坐標是(0,6),將△ACO繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AECF，點A的對應(yīng)點是點E.

①寫出點E的坐標，并判斷點￡是否在此拋物線上；

3

②若點尸是y軸上的任一點，求gBP+EP取最小值時，點P的坐標.

［答案］⑴y=

lo2

3

⑵①點E在拋物線上；②尸(0,

【分析】(1)先求出A、B坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出項三AO=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標，然后把E的坐標代入(1)的函數(shù)

解析式中，從而判斷出點E是否在拋物線上；

②過點E作交y軸于尸，垂足為sinZABO=4?=—=則”尸=合82，得

ABBP55

3

-BP+EP^HP+PE,可知"0+PE的最小值為EH的長，從而解決問題.

【詳解】(1)解：當％=0時,尸4,

4

當,二0時，一§%—4=0,

x=-3,

AA(-3,0),B(0,-4),

士5A、B代入拋物線丁=之%2+灰+。，

c=-4

???拋物線解析式為y=尤2—：》一4.

lo2

(2)解:①(-3,0),C(0,6),

.\AO=3,CO=6,

由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3,CF=CO=6,ZFCO=90°

至IJ尤軸的距離為6-3=3,

...點E的坐標為(6,3),

當x=3時，y=—x62--x6-4=3,

182

???點E在拋物線上；

\OA=3,08=4,

\AB=5,

HP3

sinZABO=-----

AB~BP5

3

\HP=-BP,

3

\-BP+EP=HP+PE,

\HP+PE的最小值為EH的長,

作EGLy軸于G,

'：ZGEP=ZAB0,

tanNGEP=tan/ABO,

.PG_A0

?茄一茄

.PG_3

9~6~~4f

9

??PG=-,

2

93

\0P=--3=-

22

3

??P(0,——).

2

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩點之

3

間、線段最短等知識，利用三角函數(shù)將轉(zhuǎn)化為HP的長是解題的關(guān)鍵.

9.(2018?江蘇徐州?一模)如圖，拋物線y=-N+/?+c與直線A8交于A(-4,-4),B(0,4)兩點，直線AC：

y=-；x-6交y軸與點C,點E是直線A8上的動點，過點E/〃y軸交AC于點R交拋物線于點G.

(1)直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為；

(2)在y軸上存在一點H,連接即，HF,當點E運動到什么位置時，以A,E,F,H為頂點的四邊形是

矩形？求出此時點E,H的坐標；

(3)在(2)的前提下，以點E為圓心，長為半徑作圓，點M為圓E上一動點，求;AM+CM的最小值.

【答案】(1)y=-x2-2x+4；(2)運動到x軸時，此時E(—2,0),H(0,T)；(3)在

2

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；

(2)先判斷出要以A,E,F,反為頂點的四邊形是矩形，只有所為對角線，利用中點坐標公式建立方程

即可；

(3)先取EG的中點P,進而判斷出即可得出尸連接CP交圓E于點

再求出點P的坐標即可得出結(jié)論.

【詳解】解：⑴將點A(T,-4),3(0,4)代入拋物線解析式可得：

-16-40+c=-4b=-2

,解得

c=4c=4

拋物線的解析式為y=-x2-2x+4

(2)設(shè)直線AB解析式為>=區(qū)+分

「一44+b=T

將A(-4,-4),3(0,4)代入得,解得

|6=4

由題意可得：C(0,-6)

設(shè)_E(a,2a+4),H(0,p),則尸(Q,-；a-6)

,AB='不+8?=4下>BC=10?AC=V42+22=2>/5

AC2+AB2=BC2

_ABC為直角三角形，ABAC=90°

結(jié)合圖形可得，以4E,F,H為頂點的矩形為矩形AEHE,跖為矩形的對角線

由矩形的性質(zhì)可得，線段AH、FE的中點重合

則工(_4+0)」(Q+〃)，-(-4+p)=-(2a+4--a-6)

22222

解得〃=-2,P=—l

???E(—2,0),H(0,-l)

由E點坐標可知，E在x軸上

(3)取EG的中點P,如下圖:

由(2)可知，￡(—2,0),H(0,—1),A(—4,—4)

EH="AE=275

PE=-EG=—

22

連接CP交圓E于點以，連接EM、AM

EM=EH=y[5

.PEIME

又：NPEM=ZMEA

/\PEM^Z\MEA

.PMME_1

**AM-AE-2

PM=-AM

2

：.^AM+CM=PM+CM>PC,當尸、C、加三點共線時，等號成立

設(shè)尸(p,2p+4),

PE2=(p+2y+(2p+4)2=(當了

化簡得5(p+2)2=：

4

解得。=-5]或P=-3=(舍去，P在點E的左邊)

?*-P(-1>-1)

...PC=J(一|)2+(T+6)2=￥

即!AM+CM的最小值為上叵

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，中點坐標公式，距離公式，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解.

10.(2021九年級?全國?專題練習)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=o%2+6無+。的圖象經(jīng)過點A(-

1,0),B(0,-73),C(2,0),其對稱軸與x軸交于點D

(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；

(2)點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱

形，求點M的坐標；

(3)若尸為y軸上的一個動點，連接P。，求gPB+PO的最小值.

【答案】⑴y=也(x-4)2一型，(J,-至)；(2)(1,且)或(；，-也)或(一石+姮)

22828222222

或(J,一g-姮)或(J,-@)；(3)遇

22264

【詳解】思路引領(lǐng)：(1)將4B、C三點的坐標代入尸aN+bx+c,利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表

達式，進而得到其頂點坐標；

(2)當以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱形時，分三種情況：①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有

兩個交點，此時AM=A8；②以8為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時③線段AB

的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時分別列出方程，求解即可；

(3)連接AB,作。于H,交OB于P,此時;PB+P。最小.最小值就是線段求出。H即可.

_A/3

d---

a-b+c=O2

,有

答案詳解：（1）由題意，c=-百，解得b=----

2

4〃+2b+c=0

c=-A/3

，??拋物線解析式為y=乎_*飛,

?.3=旦2-與一有=/（X--）2一蛀，

-22、228

???頂點坐標（J,-%叵）；

28

（2）設(shè)點M的坐標為（；，y）.

VA（-1,0）,B（0,-V3）,

，A82=I+3=4.

①以A為圓心48為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM=AB,

則（；+1）2+產(chǎn)=4,解得y=±近，

即此時點M的坐標為（1,五）或（（，-也）；

2222

②以8為圓心A8為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM=AB,

則（；）2+（"白）解得尸一g+姮或y=一行一姮，

222

即此時點M的坐標為（；，一6+嫗）或（；，一石一反）；

③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM=BM,

則（4+1）2+產(chǎn)=（1）2+（y+白）2,解得尸_且，

226

即此時點"的坐標為（1，-B）.

26

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（J,且）或（J,一且）或（J,一石+巫）或（J,一尺叵）

22222222

或（k

26

（3）如圖，連接48,作。H_LA8于H,交OB于P,此時;PB+P。最小.

理由：?.?。4=1,OB=6

???ZABO=3Q°,

：.PH=-PB

2f

???-PB+PD=PH+PD=DH,

2

J此時;尸5+尸。最短（垂線段最短）.

3

在R3A?！爸?，VZAHD=90°,AD=-ZHA￡>=60°,

29

sin60°=,

AD

:,DH=^~,

4

PB+PD的最小值為殛.

24

11.（2019?四川綿陽?中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)丁=依2（。＞0）的圖象向右平移1個單位,

再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、3（點A在點3的左側(cè)），04=1,

經(jīng)過點A的一次函數(shù)y=kx+b（kW0）的圖象與y軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為D,MBD

的面積為5.

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式;

(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標;

3

(3)若點尸為》軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求巫+不巳4的最小值.

【答案】(i)y=：f-x-=；尤+9⑵AACE的面積最大值是孑，此時E點坐標為9,-V；

222216<2QJ

3

(3)/^+^^的