湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學年高二年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學試卷（含解析）

2024-2025學年湖北省“新高考聯(lián)考協(xié)作體”高二10月聯(lián)考

數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知（"i"=l+3i,則復數(shù)z的虛部為（）

A1B.-1C.iD.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)除法運算求得』=2+i，即可得復數(shù)z的虛部.

-_l+3i_(l+3i)(l-i)4+2i

【詳解】由題意可得:

―1+i-(l+i)(l-i)一2一，

所以z=2—i的虛部為—1.

故選：B.

2.一組數(shù)據(jù)23,11,14,31,16,17,19,27的上四分位數(shù)是（）

A.14B.15C.23D.25

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的概念求值即可.

【詳解】把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：11,14,16,17,19,23,27,31.

323+27

因為8x—=6,.?.上四分位數(shù)是-------=25.

42

故選：D

3.我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，

以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁

中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深CD=4-20，鋸道AB=4后，則圖中弧AC5與弦

A3圍成的弓形的面積為（）

C.47i—8D.8兀一8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)弓形面積等于扇形的面積減去三角形的面積，結合扇形的面積公式即可得解.

【詳解】由題意AD=3。=2j2,O。=OC—CD=04—4+2,2，

在RtAAOD中，AD2+OD2=以？，

即8+(tt4—4+2立丁=。42,解得雙=4,

故OD=2肥,易知NAO3=/，

1JT1

因此S弓形=S^AOB-S^AOB=~X~X42--x42=4^-8.

故選：C.

4.已知cos(6+工］=,0e0,二］,貝！Jsin(26—四］=()

I4J1012)13)

人4+3^/33+4^/3「4—3^/^D3-4后

A.------B.------C.------

10101010

【答案】A

【解析】

IT

【分析】以e+—為整體，利用誘導公式結合倍角公式求sin2仇cos28,結合兩角和差公式運算求解.

4

'JI(T［3冗、

【詳解】因為0G0,工，則。十:￡—,——，

12；4U4J

口(兀)M.(兀)12(兀)3A/10

且cos|0+—=-----，可得sin|0+—=Jl-cos-0+—=------

(4)10(4八L4J10

則sin26=sin+=-cos216+：)=l-2cos?16+：4

4445

兀兀兀3

cos20-cos2\I--=sin26>+-=2sin6>+-cos0+-

424445

所以sin(2e—P?！?Lsin2e—

32210

故選：A.

5.平行六面體ABCD—AgG。的底面A3CD是邊長為2的正方形，且/4公。=以人^=60。，

明=3,M為AG，BQ的交點，則線段3河的長為（）

C.而D.273

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得麗=福+工赤-工■豆，進而結合數(shù)量積運算求模長.

22

uuiruuu1uuuraumrizuuuinuuunxuuniuumiuun

【詳解】由題意可知：BM=BBi+-BiDi=BB1+-^AiDi-AiBij=AAi+-AD--ABf

UULT2i[uum]iuuunnVuuii?iuuu2ium2uuiruumumiuumiuunuum

則8M+-AD——AB=AA,+-AD+-AB+AAAD-AAAD--ABAD

2一2144ll

=9+l+l+3x2x--3x2x--0=ll,

22

uuir_

所以BM=J1L

故選：C.

6.如圖，一個正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸面

上的數(shù)字，得到樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8},記事件A="得到的點數(shù)為奇數(shù)”，記事件5="得到的

點數(shù)不大于4”，記事件C="得到的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是（）

12

5

B.P（AoB）=|

A.事件3與C互斥

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.A8,C兩兩相互獨立

【答案】C

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)互斥事件的概念分析判斷；對于BC：先求AUB，ABC,結合古典概型分析判斷;

對于D：根據(jù)獨立事件改了乘法公式可知事件A與C不相互獨立.

【詳解】由題意得，事件A的樣本點為{1,3,5,7},事件3的樣本點為{1,2,3,4},事件C的樣本點為

{2,3,5,7},

對于選項A：事件3與。共有樣本點2,3,所以不互斥，故A錯誤；

對于選項B：AUB事件樣本點S“，所以P（Au3）=g=：,故B錯誤；

411

對于選項D：因為尸（A）=—=—,P（C）=-,

822

a

且AC事件樣本點{3,5,7},則尸（AC）=?,

可得尸（AC）w尸（A）P（C）,所以事件A與C不相互獨立，故D錯誤；

對于選項C：因為ABC事件樣本點{3},可得

8

所以P（ABC）=P（A）尸（5）P（C）,故C正確.

故選：C.

7.若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為正

2

則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（）

4137

A.B.2C.D.

3~63

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓臺的內(nèi)切球的性質(zhì)以及線面夾角可得馬=3/,且3c=，以及內(nèi)切球。的半徑r=5,

再結合圓臺和球的面積公式運算求解.

【詳解】設上底面半徑為彳，下底面半徑為&,

如圖，取圓臺的軸截面，作1AB,垂足為"，

設內(nèi)切球。與梯形兩腰分別切于點E,F,

可知3C=6+G，BM=r2-rY,

TT

由題意可知：母線與底面所成角為/5二一,

3

BMr0-r1

則——存=5,可得2=34,

BC

即5c=4iBM=2外,可得CM=‘BC??也八，

可知內(nèi)切球。的半徑r=同,

可得S圓臺+9叫之+兀?+3彳）x4公=26叫2,S球=4兀x（右八）2=12叫？,

S臺_26兀片_13

所以

S球12M26

故選：C.

JT

8.在VA3C中，BC=2,ZBAC=~,。是VA3C的外心，則厲?萬心+麗?瓦的最大值為（）

10

A.2B.—

3

11

C.—D.4

3

【答案】B

【解析】

UUlULU1UUUU

【分析】根據(jù)題意結合向量運算可得04.3。+癡-。4=-2+°2,利用正弦定理求邊c的最大值即可.

【詳解】設角ABC所對的邊分別為a,b,c,

因為。是VA3C的外心，記5c中點為。，則有ODL5C,即歷.前=0,

Liuruunuiruir,uuuuumuir、uinnuiruir

可得OABC+BACAnOD+DB+BABC+BAa

ULUUUUUUULULIUUUUli

=DB?BC+BA-BC+BA,CA

1?2——?2r

=——BC+BA=-2+c2,

2

c_a_2_4

在VABC中，由正弦定理可得：sinC-sin/3由C—京一店,

~2

447i

則c=用sinC＜耳，當且僅當sinC=l,即C=,時，等號成立,

10

所以麗?比+麗的最大值為-2+

3"

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.“a=—1”是“直線4x—丁+1=o與直%—ay—2=0互相垂直”的充要條件

B.“。—2”是“直線ax+2y+a2^0與直線x+(a+l)y+l=0互相平行”的充要條件

C.直線xsina+y+2=0的傾斜角8的取值范圍是

D.若點4(1,0),5(0,2),直線/過點P(2,l)且與線段AB相交，貝U/的斜率左的取值范圍是—gW左W1

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)直線垂直結合充分、必要條件分析判斷；對于B：由題意可得

々=tan6=-sin&e[-1,1],進而可得傾斜角的范圍；對于C：根據(jù)直線平行結合充分、必要條件分析判

斷；對于D：根據(jù)圖形結合斜率公式分析求解.

【詳解】對于選項A：當a=—1時，直線x—y+l=。與直線x+y-2=0斜率分別為1,—1,

斜率之積為-1,故兩直線相互垂直，即充分性成立；

若“直線o2x-y+l=0與直線x--2=0互相垂直”，

則。2+。=0，故。=0或a=—1,

所以得不到a=—1,即必要性不成立，故A錯誤；

對于選項B：由直線平行得《,2，解得〃=—2,

a手a

所以“a=-2”是“直線辦+2丁+4=0與直線]+(。+1)丁+1=0互相平行”的充要條件，故B正確;

對于選項C：直線的傾斜角為，，則上=tan8=—sinaG[—l,l],

3兀

因為04。＜兀，所以U--,71故C正確;

4

對于選項D：如圖所示:

可得左PB=—g，kPA=1＞結合圖象知―；4左W1，故D正確;

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/(x)=cosx,g(x)=|sinx|,下列說法正確的是()

A.函數(shù)加(x)=/(x＞g(x)在仁，兀)上單調(diào)遞減

B.函數(shù)加(x)=/(x)-g(x)的最小正周期為2兀

D.函數(shù)〃(另二八力+屋"的一條對稱軸為元二：

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、值域、對稱性等知識對選項進行分析，從而確定

正確答案.

【詳解】A選項，當工￡仁,兀時，g(%)=sinx,m(x)=sin%cosx=gsin2%，

止匕時2%￡(兀,2兀)，而y=sinx在(兀,2兀)上不單調(diào)，故A錯誤；

B選項，函數(shù)加(％+2兀)=cos(x+2兀)?卜in(x+27i)|=cosx卜inx|二根(%),

/、[sinxcosx,2fei<x<2fai+7i

而研，小

-sin%cosx,2E+兀<x<2E+2兀

—sin2x,2E<x<2E+兀，左￡Z

1.，

——sin2x,2kji+7i<x<2kji+2兀,左GZ

所以m(x)的最小正周期為2兀，故B正確;

71

C選項，當％￡[2E,2kn+兀](左￡Z)時,x+—e2E+：2E+T(keZ),

4

sin")y/2'

------，]

2

所以〃(x)=cos%+sin%=V^sinx+-G

712版+學2加+分

當X￡(2E+TI,2kji+2*(k￡Z)時,X+—G(keZ),

4

cosL+^ef

I43

所以M%)=cosx-sinx=V2cos

綜上，函數(shù)”(x)=/(x)+g(x)的值域為,故C正確；

D選項，因為J-^=cosf-^+sinf-^=V2,

「3兀13兀.3兀

n\——=cos---Fsin——=0,所以x=:不是〃(力的一條對稱軸.

(4J44

故選：BC

11.在棱長為1的正方體ABC。—A4G。中，E、F、G、//分別為棱AD、AB、BC、耳G的中點,

則下列結論正確的有()

A.三棱錐￡-FGH的外接球的表面積為兀

B.過點E，F(xiàn)，”作正方體的截面，則截面面積為正

4

C.若尸為線段8Q上一動點(包括端點)，則直線P&與平面45。所成角的正弦值的范圍為g，手

D.若。為線段CD上一動點(包括端點)，過點A，G,。的平面分別交88],于Af,N,則

氏0+DN的范圍是1,1

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A：由條件確定三棱錐的外接球的球心位置，求出球的半徑，由此可得結論；

對于B：分析可知截面為EFKHZJ,其截面正六邊形，即可得面積；

對于C:根據(jù)體積關系求得點P到平面48。的距離限可得sin”看，進而分析范圍；

對于D：根據(jù)平面性質(zhì)作截面，設CQ=4CD=/l,結合平面幾何性質(zhì)分析求解即可.

【詳解】對于選項A：由題意可得：EF=FG=J,EG=GH=1,且G",平面ABC￡),

2

兀11

則EF2+FG2=EG2,即/EFG=-,可知三角形EFG外接圓的半徑為r=-EG=~,

222

所以三棱錐E-FGH的外接球的球心為EH的中點，

可得三棱錐E-FGH的外接球的半徑為R=J/+[g]:號,

所以其表面積為471K2=2兀，故A錯誤;

a

對于選項B：取BBpGDi,的中點分別為K,L,J,

可知過點E,F,〃作正方體的截面為EFKHZJ,其截面正六邊形，邊長為正

所以其面積為S=6xLxY2xY2xsin60°=白\8,故B正確;

2224

對于選項C：設點尸到平面46。的距離為限

由正方體的性質(zhì)可得：BDI/B、D、,瓦。不在平面A3。內(nèi)，5Du平面430,

當點尸在線段瓦2上運動時，則點尸到平面的距離即為點2到平面45。的距離,

由Dx-A}BD的體積可得=,解得力=當，

323223

設直線PA與平面所成角。，則sin"/=需，

Jiri|

若尸為8Q的中點時，P\±B,D,(PA);

X\二/min2112

當點尸為線段8Q的端點時，(招)3=1；

即，2</弭<1，所以sin。=二-e,故C正確；

21PAL33

對于選項D：設。GIAB=5,QGIAD=T,

可知平面4G。即為平面A】ST,則ASIBB^M.AJIDD1=N,

可得,設CQ=4CD=2,

22

1-2

221—2

當0<2<1時，由相似三角形知識可得：——=——，—

12+111+41+2

22

即BM=〃一1-2

,DN=

1+21+2

且當2=0或4=1時，也符合——，DN=——；

1+21+2

21-21

BM+DN=----------1----------

1+21+21+2

且0W4W1,可得5M+DN=」一

e，

1+2

所以3M+DN的取值范圍是1,1,D正確.

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：1、對于三棱錐體積的求解可采用等體積法求解，通過選擇合適的底面來求幾何體體

積的一種方法，多用來解決錐體的體積，特別時三棱錐的體積.

2、對于線面角的計算問題可以通過根據(jù)直線與平面所成角的定義，結合垂線段與斜線段的長度比求得線

面角的正弦值；

3、對于球的組合體問題：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點

的距離相等且為半徑.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知4(2,1),3(4,3)兩點到直線%—@+1=。的距離相等，則。=.

【答案】1或2

【解析】

【分析】根據(jù)題意利用點到直線的距離公式列式求解即可.

【詳解】由題意可得：=3吆把，即攸一4=|5—34，

J1WJ1W1111

可得3—a=5—3a或a—3=5—3a，解得a=1或a=2.

故答案為：1或2.

13.在空間直角坐標系中已知40,2,1),5(1,0,2),C(-l,l,4),CD為三角形ABC邊AB上的高，則

【答案】3

【解析】

【分析】應用空間向量法求點到直線距離.

【詳解】AC=(-2,-1,3)-AB=(O,-2,l),貝］恁［=內(nèi)，

\AD\=,__,,=-j==<5,

11|AB|7?

所以|CD|=yl\ACf-\AD\"=V14-5=3，

故答案為：3

—?—?—?—*

--?a.b——a?b

14.對任意兩個非零的平面向量％和石，定義：aOb=-若平面向量辦滿足

H+WWr>

問>W>0,且Z十B和方都在集合小〃eZ,0<“<41中，則滿石=,cos(a,b^=

【答案】①.m②?苧吟

【解析】

cos3--1,且cose〉工，分析可得

【分析】設Z與B的夾角為e,分析可得￡十,進而可得〃十b=—

242

rr1一一3一

aeb>cosO>—,即可得。。6=一或1,結合向量夾角公式運算求解.

24

【詳解】設Z與分夾角為e,

n

因為Z十行和都在集合中,所以其取值可能為

4

|2

因為問〉W〉0,則問2+心2同懷

同忖cosecose

可得〃十日=a-b

小T<2琲I2

cos。，1,可得a十石<工，所以〃十石=」；

因為cosOWl,即<—

2-224

cos01"口八1

又因為z十八一即----->—,解得cos。〉一，

242

因為卜卜W>0,

|^||^|cos^|^|cos<9

a-b八1一一3

可得％。萬>cos6>>-,即〃。5=—或1,

bfW24

1I11

一一1--3_a-b1a-b3

當。十Z?=—且。。5=一時，即r2—字■=］且而二

4444〃+34'

rr312r

可得。?/?=—/7,a=y[2b,所以cos(a,b)=

4

ii

a-b1a-b

1

當。十B且％oB=i時，即Tai+獷下且而

綜上所述：cos（a,B）=3f或~^~

故答案：上手或半

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，角A5c的對邊分別為。，b,c,已知0=+cosC.

b3

（1）求角3;

BARDBDBC

（2）若。是VABC邊AC上的一點，且滿足一=—,9Q+4c=25,求比）的最大值.

\BA\

JT

【答案】（1）B=-

3

⑵昭

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得a=WosinC+"cosC，利用正弦定理結合三角恒等變換可得tan5=豆，即

3

可得結果;

（2）根據(jù)題意結合向量夾角公式可得NABD=C8D=工，利用面積關系可得正=L+工，利用乘“1”

6BDac

法結合基本不等式運算求解.

【小問1詳解】

因為@=Y^sinC+cosC，即。=^-bsinC+bcosC，

b33

由正弦定理可得sinA=Y3sinBsinC+sinBcosC>

3

且sinA=sin+C)=sinSeosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，可得cos5sinC=—sinBsinC，

33

且Ce（0,兀），則sinCwO,可得tan5=百，

7T

又因為0<5<兀，所以5=—

3

【小問2詳解】

BA-libBDBCBABDBDBC

因為阿||阮|'即網(wǎng)網(wǎng)"聞阿'

可得cosNAB￡>=cosNCBZ),即NABD=NCBr),

71

可知平分ZABC,則ZABD=CBD=一,

6

因為S”BC=^AABD+SgcD'

^—acx^-=—BDxax--\--BDxcx—,整理可得^^=工+，,

222222BDac

又因為9Q+4c=25，

4c9a55

當且僅當"=二即"葭,=5時取等號，

可得5。V百，所以BD的最大值為退.

16.已知VA3C的頂點4(1,1),邊AC上的高所在直線的方程為％—丁+8=0,邊AB上的中線。0

所在直線的方程為5尤一3y-10=0.

(1)求直線AC的方程；

(2)求VABC的面積.

【答案】(1)x+y-2=0

(2)24

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩直線垂直，求直線方程.

(2)先確定3、C點的坐標，可求線段AC的長度，利用點到直線的距離求點3到直線AC的距離，即三

角形的高，就可以求出三角形的面積.

【小問1詳解】

由于邊AC上的高5〃所在直線方程為x—丁+8=0,

所以設直線AC的方程為尤+y+c=。，

由于點4(1,1)在直線AC上，即l+l+c=O,解得c=—2,

所以直線AC的方程為x+y—2=0.

【小問2詳解】

由于點C既滿足直線5%-3y-10=0的方程，又滿足x+y—2=0的方程,

5x-3y-10=0x=2/、

所以<解得C，故。(2,0)，

x+y-2=0y=0

所以AC=^（2-1）2+（0-1）2=6，

設3(。力)，由于點B滿足直線x—y+8=0,故a—〃+8=0,

設AB的中點坐標為［苫上告，滿足5x—3y—10=0,

所以5義但一3x以一10=0,整理得5a—3Z?—18=0,

22

〃一5+8=0ci—21/、

所以u°,I。7解得，”，所以8(21,29),

5。-3匕-18=0w=29,7

48r-

則點5（21,29）到直線x+y—2=0的距離=正=24^2，

故=!義恒弓義d=,義0X24夜=24.

CDC||

17.某中學舉行了一次“數(shù)學文化知識競賽”，高二年級學生參加了這次競賽.為了了解本次競賽成績情況，從

中抽取了部分學生的成績x作為樣本進行統(tǒng)計.將成績進行整理后，分為五組(50<x<60,60Vx<70,

70Vx<80,80Vx<90,90<x<100),其中第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積.請根據(jù)下

面尚未完成的頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題:

(1)若根據(jù)這次成績，年級準備淘汰60%的同學，僅留40%的同學進入下一輪競賽，請問晉級分數(shù)線劃

為多少合理?

(2)從樣本數(shù)據(jù)在8090,904x<100兩個小組內(nèi)的同學中，用分層抽樣的方法抽取6名同學，再

從這6名同學中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率.

(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學生的分數(shù)：西,％,%，…，石。，已知這1。個分數(shù)的平均數(shù)

元=90,標準差s=5,若剔除其中的96和84兩個分數(shù)，求剩余8個分數(shù)的平均數(shù)與方差.

【答案】(1)73分合理

⑵*

15

(3)22.25

【解析】

【分析】(1)由題意知可得，0.16?=0.8a計算可求得。；根據(jù)小長方形的面積和為1求得6,利用頻率分

布直方圖計算第60百分位數(shù)即可；

(2)利用分層抽樣可得兩層應分別抽取4人和2人，分別記為a,b,c,d和A,B,

列出所有基本事件，根據(jù)古典概型計算即可得出結果；

(3)根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式求解即可.

【小問1詳解】

由第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積可知，0.162=0.8a，

解得a=0.032,

又(0.008+0.016+0.032+0.04+Z?)xl0=l,解得3=0,004,

所以。=0.032,6=0.004,

成績落在［50,70)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32=0.48,

落在［50,80)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32+0.40=0.88,設第60百分位數(shù)為加，

則(帆―70)0.04=0.6—0.48,解得加=73,所以晉級分數(shù)線劃為73分合理；

【小問2詳解】

由圖可知，按分層抽樣法，兩層應分別抽取4人和2人，分別記為a,b,c,d和A,B,

則所有的抽樣有：Q=(AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd),共15個樣本點，

A="抽到的兩位同學來自不同小組”，

則A={Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,3d}共8個樣本點，

Q

所以「(A)=話.

【小問3詳解】

因為五=90,所以西+々+...+石()=10x90=900,

所以52=\(x；+X；+…+流)-9()2=52,

所以％；+%2+?,?+k)-81250,

剔除其中的96和84兩個分數(shù)，設剩余8個數(shù)為不，x2,七，…，4，

平均數(shù)與標準差分別為京，”,

E1至I人c人八mAA.F_LJW—%+%+$+…+/900—96—84

則剩余8個分數(shù)的平均數(shù)：/=」----------------=------------=90,

88

方差：5^+...+4)-902=1(81250-962-842)-902=22.25

18.在VABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點，滿足。石〃BC,

且?！杲?jīng)過VABC的重心.將VADE沿折起到△ADE的位置，使A。，。。，存在動點Af使

AM=240(2>0)如圖所示.

(1)求證：4。，平面3。。石；

(2)當2=^■時，求二面角C—MB—E正弦值；

2

(3)設直線與平面ABE所成線面角為e，求sin8的最大值.

【答案】(1)證明見解析

(Z1--------------

20

⑶反

8

【解析】

【分析】(1)先證DEL平面4。。，可得DE，4C,進而可得4。，平面3cDE；

(2)建系標點，分別求平面BMC、平面的法向量，利用空間向量求二面角；

(3)根據(jù)題意可得詢'=(22,-3,2退-2J會)和平面ABE的法向量，利用空間向量求線面夾角.

【小問1詳解】

因為NC=90。，則

豆DE〃BC,可得ACLDE,

將VADE沿DE折起到△ADE的位置，始終有DELA。，DE1CD,

因為4?？凇?。，A。，CDu平面AC。，所以DE,平面A。。，

由ACu平面4。。，可得。EJ_A]C,

且ACLCD,CDC\DE=D,CD,DEu平面5CDE，

所以AC，平面3cDE.

【小問2詳解】

由（1）可知，AC,CD,CB兩兩垂直，翻折前，因為DE經(jīng)過VA3C的重心，豆DE〃BC,

2

所以AD=2CD,所以CD=2,AD=4,DE=-BC=2,翻折后片。=4,

由勾股定理得4。=^Dr-CD2=742-22=243，

以。為原點，直線C￡>,CB,C4分別為％,V,z軸建立空間直角坐標系,

則C（0,0,0）,4（0,0,20），￡＞（2,0,0）,M（1,0,73）,3（0,3,0）,￡（2,2,0）,

可得標=（1,0,指），MB=（-1,3,-73）,BE=（2,-1,0）,

m-CM=M+y/3z,-0

設平面的法向量訪=（%L%,Z1）,則〈一,L

m?MB=-xx+3%一73z\-0

令4=1,則為=—6,%=。，可得成=卜0,0,1）,

—

n,MB——x2+3y2—0

設平面5四石的法向量元=（%2，丫2*2），則<

n-BE=2X2-y2=0

/

「551

令％=1，則%=2/2=力,可得衍=1,2,

7

m-n3^1_V10

可得cos沅，為=

I郵司c2^/10—2M~20'

2x—

73

39_A^90

且施為￡[0,兀],則sinm,n=yll—cos2m,n=

40-20

所以二面角C—MB—E的正弦值為返0.

20

【小問3詳解】

由⑵可知明=（0,—3,2/），BE=（2,-1,0）,4D=（2,0,-2A/3）

/、fp-BA=-3y3+2A/3Z3=0

設平面ABE的法向量萬=（毛,％,Z3）,則”」73,

p-BE=2x3-y3=0

令退=1,則為=1*3=6，可得?=（1,2,、回），

且麗=觀+AAj）=（0,-3,26）+2（2,0,—2/）=（22,—3,2布-2后]

因為直線BM與平面&BE線面角為夕，

I-I\P-BM\

則sin0=cosp,BM\=J,?

\P\]BM\

426也,用

—------------_=——,=————<-------

8

2口J16-242+21/21_24+16I4丫64—

1力22\2\2~7j+T

當且僅當4=:時，等號成立，

所以sin。的最大值為巫.

8

19.對于一■組向量q,%,%，,??凡（〃￡N且3）,令S