空間向量及其應(yīng)用（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第31講空間向量及其應(yīng)用

（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第6題,5分線(xiàn)面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線(xiàn)面平行面面角的向量求法點(diǎn)到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線(xiàn)面平行廣求點(diǎn)面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線(xiàn)面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線(xiàn)面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標(biāo)表示線(xiàn)面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為15分

【備考策略】1.理解、掌握空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算，掌握共線(xiàn)、共面問(wèn)題。

2.能掌握線(xiàn)線(xiàn)角，線(xiàn)面角，與面面角問(wèn)題。

4.會(huì)解空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，會(huì)解決空間中的動(dòng)點(diǎn)含參問(wèn)題。

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給幾何體，求解夾角問(wèn)題，與空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

卜々?考點(diǎn)梳理?

知識(shí)點(diǎn)一.空間向量的有關(guān)概念考點(diǎn)一、空間向量加減數(shù)乘運(yùn)算

1.共線(xiàn)向量定理考點(diǎn)二、空間向量基本定理

《考點(diǎn)四、共線(xiàn)問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)二.空間向量的有關(guān)定理2.共面向量定理

3.空間向量基本定理考點(diǎn)五、共面問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)三?空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律2.空間信■的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用考點(diǎn)三、空間向量數(shù)量積運(yùn)算

空間向量及其應(yīng)用1.直線(xiàn)的方向向量

知識(shí)點(diǎn)四.空間位置關(guān)系的向量表示＜2.平面的法向量

3.空間位置關(guān)系的向量表示

1.異面直線(xiàn)所成的角

考點(diǎn)六、線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面角問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)五.夾角相關(guān)2.直線(xiàn)與平面所成的角

考點(diǎn)七、面面角問(wèn)題

3.平面與平面的夾角

考點(diǎn)八、點(diǎn)面、線(xiàn)面、面面距

1.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

知識(shí)點(diǎn)六.距離相關(guān)考點(diǎn)九、點(diǎn)線(xiàn)、線(xiàn)線(xiàn)距

2?點(diǎn)到平面的距離

考點(diǎn)十、空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.空間向量的有關(guān)概念

名稱(chēng)定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相壬任

共線(xiàn)向量（或平行向量）

或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

知識(shí)點(diǎn)二.空間向量的有關(guān)定理

1.共線(xiàn)向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量“，的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使“=肪.

2.共面向量定理：如果兩個(gè)向量“，5不共線(xiàn)，那么向量p與向量a,&共面的充要條件是存在唯二的有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)（尤，y）,使。=網(wǎng)+9.

3.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得p=xa

+yb+zc,[a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底.

知識(shí)點(diǎn)三.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

1.數(shù)量積

非零向量a,?的數(shù)量積a3=|a||臼cos[a,b）.

2.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)。=（。1，。2,俏），b=（bi,岳，bi）.

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b〃回+a?2+a3b3

共線(xiàn)/leR)〃2=%62，

垂直a仍=0（a，0,萬(wàn)￥。）包―+。2岳+a3b3=Q

模\a\q裙+詔+曙

a，b,_____〃而1+。2—+。3人3

夾角余弦值cos〈a,b)—忸|(〃W0,萬(wàn)#0)c°\"'q屆+層+曷々3+優(yōu)+質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)四.空間位置關(guān)系的向量表示

1.直線(xiàn)的方向向量：如果表示非零向量”的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與直線(xiàn)/平行或重合，則稱(chēng)此向量a為直線(xiàn)/

的方向向量.

2.平面的法向量：直線(xiàn)取直線(xiàn)/的方向向量a,則向量a為平面a的法向量.

3.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

h//hn\//敢=2〃2(/1￡R)

直線(xiàn)/1，辦的方向向量分別為“1，?2

/山2〃1_L〃2=〃1，〃2=O

直線(xiàn)/的方向向量為〃，平面a的法1//a〃?機(jī)=0

向量為m,/0al-Lan//=2/w(A￡R)

a//pn//機(jī)=〃￡R)

平面a,乃的法向量分別為“，m

a_L4〃_L/n=〃?帆=0

4.常用結(jié)論

1.三點(diǎn)共線(xiàn)：在平面中A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)Q殖比（其中x+y=l）,O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

2.四點(diǎn)共面：在空間中尸，A,B,C四點(diǎn)共面=辦=*次+y彷+z求（其中x+y+z=l）,。為空間中任意

~'點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)五.夾角相關(guān)

1.異面直線(xiàn)所成的角

若異面直線(xiàn)Z1,/2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則cose=|cos〈〃，力尸黑.

2.直線(xiàn)與平面所成的角

如圖，直線(xiàn)A2與平面a相交于點(diǎn)2,設(shè)直線(xiàn)A3與平面a所成的角為仇直線(xiàn)A2的方向向量為“，平面a

\u'n\

的法向量為“，則sin『=|cos〈“,”〉|=

|w||?l~\u\\n\'

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面￡相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱(chēng)為平面a與平

面P的夾角.

若平面a,4的法向量分別是"1和"2，則平面a與平面4的夾角即為向量”1和”2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面

a與平面￡的夾角為仇則cos0=|cos<ni，n2)|=黑湍.

知識(shí)點(diǎn)六.距離相關(guān)

1.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

如圖，已知直線(xiàn)/的單位方向向量為“，A是直線(xiàn)/上的定點(diǎn)，P是直線(xiàn)/外一點(diǎn)，設(shè)#=a,則向量力在直

線(xiàn)/上的投影向量毆=("?")”，在R3APQ中，由勾股定理，得尸0=｛油2_曲|2=,2_4/2.

AQ

2.點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為"，A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，尸是平面a外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸作平面a的垂線(xiàn)/,交

平面a于點(diǎn)Q,則n是直線(xiàn)I的方向向量,且點(diǎn)P到平面a的距離就是力在直線(xiàn)I上的投影向量辦的長(zhǎng)度，

考點(diǎn)一、空間向量加減數(shù)乘運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間四邊形2BCD中，E,尸分別是BC,CD的中點(diǎn)，則:就+（麗+育=

（）

A.BAB.AFC.ABD.EF

2.（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，空間四邊形。4BC中，耐=心礪=3,前=落點(diǎn)M在。4上,

且麗=：方I,點(diǎn)N為8C中點(diǎn)，則而等于（）

A.-a+-D——cB.——a+-b+-c

222322

242T2T2T1-?

C.-a+-b--cD.--a+-b--c

332332

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD中，已知而=屈+|而+］麗*,截面40*

與正方體側(cè)面BCC14交于線(xiàn)段MN,則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為（）

A.1B.夜C.芋D.2V2

2.（23-24高三上?江蘇?階段練習(xí)）若空間中四點(diǎn)4B,C,D滿(mǎn)足4瓦5+前=4而，則粵=（）

\BC\

113

A.-B.3C.-D.-

344

3.（2024?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟.模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，己知4（0,3,0）,5（0,0,0）,C（4,0,0）,3（0,3,2）,

則四面體ABCD外接球的表面積為（）

A.29TTB.28兀C.321TD.30兀

4.（2024?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)x,yeR,a=（1,1,1）1=（l,y,z）,c=（%,-4,2）,且日1c,b||c,貝”22+同=

A.2V2B.0C.3D.3a

考點(diǎn)二、空間向量基本定理

典例引領(lǐng)

1.（20-21高三上.浙江寧波?階段練習(xí)）己知。，A,B,C是空間中的點(diǎn)，則“耐，礪，擊”不共面是“對(duì)于任意

的久,yeR,向量成+支而與向量4+y瓦都不共線(xiàn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知體積為百的正三棱錐P-4BC的外接球的球心為。，若滿(mǎn)足瓦？+赤+

OC=0,則此三棱錐外接球的半徑是（）

A.2B.V2C.V2D.V4

1.（2024?山東濟(jì)南?一模）在三棱柱ABC-4/16中，AM=2MB,A^N=mA^_,且BN〃平面&CM,則機(jī)

的值為.

考點(diǎn)三、空間向量數(shù)量積運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A,B,C三點(diǎn)在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上，則前?前的最小值為（）

934

A.--B.-2C,--D,--

2.（2024.江西贛州.二模）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P-ABC。，PA=AB^2,EF是球O的一條直徑，點(diǎn)

Q為正四棱錐表面上的點(diǎn)，則詼?麗的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[4-2V3,2]C.[0,4-V3]D.[0,4-273]

即時(shí)便測(cè)

1.（2024?山東日照.二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4/停1。1，以正方體中心為球心的球。與正方體的

各條棱相切，若點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則麗?麗的最大值為（）

731

A.2B.;C.;D.;

2.（2024.上海.三模）已知點(diǎn)C在以AB為直徑的球面上，若BC=2,則荏?芯=_.

3.（2024.貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABC。-ABiGDi的頂點(diǎn)均在半徑為1的球。表面上，點(diǎn)P在正方體

ABC。表面上運(yùn)動(dòng)，MN為球。的一條直徑，則正方體2BCD—A/iGA的體積是,

兩?兩的范圍是.

考點(diǎn)四、共線(xiàn)問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知向量江=（2m+1,3,血一1），b=（2,m,—m）,且五〃3,則實(shí)數(shù)m的值為

（）

A.-|B.-2C.0D.-1或-2

2.（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐S-ABC,空間內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足詢(xún)=襦-3宓+4元，則三棱錐M-ABC

與S-4BC的體積之比為.

即時(shí)便測(cè)

1.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，2（1,—2,a）,B（0,3,l）,C（b,—1,2）,若4,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，則

ab=.

2.（2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知向量日=（1,0,爪），b=（2,0,-2V3）,若由/立則|團(tuán)=.

考點(diǎn)五、共面問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024.河南.三模）在四面體28CD中，△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。是4鳥(niǎo)。。內(nèi)一點(diǎn)，四面體48CD

的體積為2百，則對(duì)Vx,y€R,|為一x礪—y沆|的最小值是（）

A.2V6B.手C.V6D.6

2.（23-24高三上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）已知空間向量用=（1,2,4）,而=（5,—1,3）,麗=（瓶,上—1）,則

呼,48,。四點(diǎn)共面”是“10機(jī)+1771=-11”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

即時(shí)性測(cè)

1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在四面體。—2BC中，空間的一點(diǎn)M滿(mǎn)足麗=

流共面，則九=.

2.（23-24高三上?上海寶山?期末）已知空間向量方=（1,2,4）,而=（5,-1,3）,PC=（m,n,-1）.若P,4B,C四

點(diǎn)共面，則10根+17?1=.

3.（23-24高三上?河北張家口?階段練習(xí)）若向量江=（1,一2,-n）,另=&—（0,1,—|）共面，則

n=.

4.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正三棱柱28。-4/1的中，4B=4,44】=3,M是4B的中點(diǎn)，AN=

2M點(diǎn)P在BJV上，且第=2瓦R（0W4W1）.是否存在實(shí)數(shù)人使C,M,P，4四點(diǎn)共面？若存在，求;I的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

考點(diǎn)六、線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面角問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知平行六面體4BCD-力iBiQDi中，棱44i，4B,4D兩兩的夾角均為60。,

AA±=2AB,AB=AD,E為aG中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）

2.（24-25高三上?四川成都?開(kāi)學(xué)考試）已知M,N分別是正四面體4BCD中棱AD,BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)E是

棱CD的中點(diǎn).則MN與AE所成角的余弦值為（）

A.—3B.在C.—漁D.在

3366

即時(shí)檢測(cè)

I_________L__________

1.（2024?廣東?一模）在正方體ABC?！猘/iGA中，點(diǎn)P、Q分別在上，且&P=2PB1,C1Q=2QDr

則異面直線(xiàn)BP與DQ所成角的余弦值為

2.（2022?全國(guó)?高考真題）在四棱錐P—ABC。中，PDl^ABCD,CD||AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=

V3.

(1)證明：BD1PA；

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

3.(2022?全國(guó)?高考真題)如圖，四面體48C。中，AD1CD,AD=CD.^ADB=^BDC,E為AC的中點(diǎn).

A

(1)證明：平面BED_L平面4CD；

(2)設(shè)AB=BD=2/ACB=60°,點(diǎn)F在8。上，當(dāng)AAFC的面積最小時(shí)，求CF與平面4BD所成的角的正弦

值.

4.(2022?北京?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-&B1Q中，側(cè)面BCC/i為正方形，平面BCC1/，平面

AB=BC=2,M,N分別為4/1，AC的中點(diǎn).

C

(1)求證：MN〃平面BCC1%；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線(xiàn)AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

考點(diǎn)七、面面角問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC中，AABC=￡,4。=CO,PA=PB=PC.

⑴證明：0Pl平面ABC；

（2）若PA==E是棱BC上一點(diǎn)且2BE=EC,求平面P4E與平面P4C的夾角公

2.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?三模）如圖，三棱錐P-ABC中，/LABC=^,AB=BC=2,P4=PB,D是棱AB的

（1）下面有①②③三個(gè)命題，能否從中選取兩個(gè)命題作為條件，證明另外一個(gè)命題成立？如果能，請(qǐng)你選取

并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；

①平面P4B_L平面4BC；

@DE1AC；

@PE1AC.

（2）若三棱錐P-ABC的體積為I，以你在（1）所選的兩個(gè)條件作為條件，求平面PDE與平面P8C所成二面角

的大小.

即時(shí)檢測(cè)

1.（24-25高三上?山東荷澤?開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱柱48C—2/16中，A4i1平面4BC,ABi14C,AB1

BC,AB=BC=2.

⑴求證：平面ABiG1平面&BC；

⑵設(shè)點(diǎn)P為aC的中點(diǎn)，求平面4BP與平面8CP夾角的余弦值.

2.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐P—A8C中，PA1平面ABC,PA=AB=BC1,PC=瓜

⑴求證：BC_L平面PAB；

(2)求二面角4-PC-B的大小.

3.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在正四棱柱力BCD中，4B=2,441=4.點(diǎn)醺為，C2,“分別在

棱441，BB],CCi，DZ)i上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2||A2D2-,

(2)點(diǎn)P在棱8%上，當(dāng)二面角P—42c2-。2為150°時(shí)，求82P.

4.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，三棱錐4—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,^ADB=^ADC=60°,E

為BC的中點(diǎn).

AF

(1)證明：BCIDA；

(2)點(diǎn)F滿(mǎn)足麗=瓦?，求二面角0—48—F的正弦值.

考點(diǎn)八、點(diǎn)面、線(xiàn)面、面面距

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試)如圖，四邊形48CD是圓柱0E的軸截面，點(diǎn)尸在底面圓。上，0A=BF=

聒AD=3,點(diǎn)G是線(xiàn)段8尸的中點(diǎn)，點(diǎn)H是師的中點(diǎn).

(1)證明：EG〃平面小4尸；

(2)求點(diǎn)H到平面ZMF的距離.

2.(2021?廣西柳州?一模)如圖AdBC的外接圓。的直徑4B=2,CE垂直于圓。所在的平面,BD〃CE,CE=2,

BC=BD=1,M為。E上的點(diǎn).

⑴證明：BMLAC；

(2)當(dāng)“為DE的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M到平面ZCD的距離.

即時(shí)期I

1.(2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺(tái)ABC-4tBic1中，△ABC為等邊三角形，AB=2A1B1=4,AA1，平

面ABC,點(diǎn)M,N,D分別為AB,AC,BC的中點(diǎn)，ArB1AQ.

(1)證明：CCi〃平面4MN；

(2)求直線(xiàn)&D與平面&MN所成角的正弦值；

⑶求點(diǎn)D到平面&MN的距離.

2.(24-25高三上?福建?開(kāi)學(xué)考試)如圖所示，在四棱錐U-4BCD中，底面4BCD為直角梯形,4B〃CD,乙4BC=

90°,側(cè)面UBC底面4BCD且KB=VC=BC=AB=2CD=2,E為V4中點(diǎn).

(1)求證：EBLAD；

(2)求二面角B-VD-4的正弦值；

⑶求點(diǎn)C到平面匕4。的距離.

3.(2024?黑龍江?二模)如圖，已知正三棱柱力BC-的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,M是BC的中點(diǎn)，N

是AB】的中點(diǎn)，P是81G的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面41cP；

(2)求點(diǎn)P到直線(xiàn)MN的距離.

4.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))在三棱錐4BCD中，AC1平面BCD,P是4B上一點(diǎn)，且3AB=4BP,連接CP與OP,

Q為DP中點(diǎn).

B

(1)過(guò)Q點(diǎn)的平面平行于平面AC。且與8C交于點(diǎn)M,求翳；

(2)若平面PCD_L平面ABC,且AC=2BC=2CO=4,求點(diǎn)P到平面BCQ的距離.

考點(diǎn)九、點(diǎn)線(xiàn)、線(xiàn)線(xiàn)距

典例引領(lǐng)

1.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，半圓柱。。1與四棱錐4-BCDE拼接而成的組合體中，F(xiàn)是半圓弧上

(不含B,C)的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G為圓柱的一條母線(xiàn)，點(diǎn)4在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，0B=2。。1=2,48=2。=

2A/2.

(1)求證：CG1BF；

(2)若DF〃平面ABE,求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)G到直線(xiàn)。。距離的最大值.

2.(2024?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè))如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體48CD中，點(diǎn)E在棱44］上，且4E=1.

⑴求四棱錐久—EABBi的表面積

(2)若點(diǎn)P在棱DiQ上，且P到平面B/E的距離為學(xué)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)EE1的距離.

包即

1.(2024.天津河西?模擬預(yù)測(cè))如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體。ABC-O7T夕廠(chǎng)中，民F分別是棱48,BC上的動(dòng)

點(diǎn)，且4E=BF.

(1)求證：A'F1C'Ei

(2)當(dāng)三棱錐次-BEF的體積取得最大值時(shí)，求平面9EF與平面BEF夾角的正切值及點(diǎn)。到直線(xiàn)BN的距離.

2.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))如圖所示的空間幾何體是以4。為軸的工圓柱與以4BCD為軸截面的半圓柱拼接

4

而成，其中AD為半圓柱的母線(xiàn)，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn).

(1)求證：平面BDF_L平面BCG；

(2)當(dāng)4B=4,平面BDF與平面力BG夾角的余弦值為平時(shí)，求點(diǎn)E到直線(xiàn)BG的距離.

3.(23-24高三下?天津南開(kāi)?階段練習(xí))如圖，棱柱力BCD-4/1Ci。1的底面是菱形，^DAB=60°,所有棱

長(zhǎng)都為2,ACQBD=0,&。1平面ABCD,F為DC1的中點(diǎn).

AB

(1)證明：OF〃平面BCG/；

(2)求二面角D-A4i-C的余弦值；

(3)求點(diǎn)F到直線(xiàn)D&的距離.

4.(2024?山西呂梁?一模)如圖，在四棱錐P—4BCD中，已知P41平面4BCD,且四邊形4BCD為直角梯形,

^ABC=^BAD^,PA=3,AD=2,AB=BC=1.

(1)線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)Q使得QC1CD,若存在，求出BQ的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由；

(2)定義：兩條異面直線(xiàn)之間的距離是指其中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)距離的最小值，求異面直線(xiàn)

PB與CD之間的距離.

考點(diǎn)十、空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.(24-25高三上?四川達(dá)州?開(kāi)學(xué)考試)如圖，在三棱柱ABC—a/iG中，AA11^ABC,AB11ArC,AB1

⑴求證：AB11平面4BC；

⑵設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足中=4碇(0W4W1),若平面48P與平面8CP的夾角為以求實(shí)數(shù)人

2.(22-23高三下?江蘇連云港?階段練習(xí))如圖，在正四棱柱ABC?！?B1GD1中，44=248=2,E,F分

別為棱441,CG的中點(diǎn)，G為棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求正四棱柱4BCD-&B1QD1過(guò)點(diǎn)B,E,F的截面的面積;

(2)是否存在點(diǎn)G,使得二面角G-EF-B的大小為60°?若存在，求出DG的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.

即時(shí)檢測(cè)

1.(24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?開(kāi)學(xué)考試)在四棱錐P-4BCD中，24，平面力BCD,底面ABC。為正方形，P4=

AB,E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF=ABC(O<A<1).

(2)求實(shí)數(shù)4的值，使得平面4EF與平面PDC所成角的余弦值最大.

2.(2025?浙江?模擬預(yù)測(cè))在正四面體ABCD中,P是△4BC內(nèi)部或邊界上一點(diǎn),滿(mǎn)足而=%荏+〃尼,4+〃=

1

2,

(1)證明：當(dāng)|DP|取最小值時(shí)，DP1BC；

⑵設(shè)加=茄1+)/礪+Z反，求/+y2+z2的取值范圍.

3.(2024.貴州貴陽(yáng)?二模)由正棱錐截得的棱臺(tái)稱(chēng)為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)4BCD-4/1G4中，分別

為4D,48的中點(diǎn)，AB=2A/1=4,側(cè)面BBiQC與底面48CD所成角為45。.

AFB

(1)求證：8必〃平面&EF；

(2)線(xiàn)段48上是否存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)與平面4EF所成的角的正弦值為管，若存在，求出線(xiàn)段AM的長(zhǎng)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2025?廣東深圳?一模)如圖，PD1平面ABCD,AD1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=

24B=2,點(diǎn)E,F,M分別為AP,CD,BQ的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面CPM；

(2)若N為線(xiàn)段CQ上的點(diǎn)，且直線(xiàn)DN與平面QPM所成的角為3求QMNC的值.

6

IN.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(23-24高三上.廣東東莞?階段練習(xí))如圖，AB是圓的直徑，平面PAC1面ACB,且AP1AC.

(1)求證：BC，平面P4C；

(2)若=2,AC=1,AP=1,求直線(xiàn)AC與面PBC所成角的正弦值.

2.(2024.天津紅橋.二模)在如圖所示的幾何體中，P4_L平面48CD,PA//QD,四邊形A8CD為平行四邊形,

AB=PA=1,PQ=2V2.

(1)求證：直線(xiàn)PB//平面DCQ；

(2)求直線(xiàn)P8與平面PCQ所成角的正弦值;

(3)求平面PCQ與平面DCQ夾角的正弦值.

3.(2024.天津?二模)如圖，在直三棱柱ABC-4/1的中，AC1BC,AC=BC=2,CCr=3,F為名的的

中點(diǎn)，點(diǎn)、D,E分別在棱和棱CQ上，且4。=1,CE=2.

⑴求證：&F//平面BDE；

(2)求平面4CC14與平面BDE夾角的余弦值；

⑶求點(diǎn)4到平面8DE的距離.

4.(2024?天津?二模)如圖，DAJ_平面力8C,AB1AC,AD||CE,ABAC=CE=1,AD=2,M為4。的

(2)求平面D8C與平面48C夾角的余弦值；

(3)設(shè)N是棱BC上的點(diǎn)，若EN與CD所成角的余弦值為察，求BN的長(zhǎng).

5.(23-24高三下?天津?階段練習(xí))已知四棱臺(tái)4BCD-4/傳1。1，下底面48CD為正方形,AB=2,44=1,

側(cè)棱A4i_L平面4BCD,且=2,E為CD中點(diǎn).

⑴求證：&E//平面BCC/i；

(2)求平面4BC1A與平面BCQB］所成角的余弦值；

(3)求E到平面力BQDi的距離.

6.(2024?天津河西?一模)已知三棱錐P—A8C中，PA1平面力8C,AB1AC,AB=2PA=2AC=4,N為AB

上一點(diǎn)且滿(mǎn)足3麗=而，M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).

(1)求證：CM1SN；

(2)求直線(xiàn)SN與平面CMN所成角的大小;

⑶求點(diǎn)P到平面CMN的距離.

B能力提升

1.（24-25高三上?天津薊州?開(kāi)學(xué)考試）如圖，PD1平面1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=

(1)求證：EF〃平面CPM；

(2)求平面QPM與平面CPM夾角的正弦值；

(3)若N為線(xiàn)段CQ上的點(diǎn)，且直線(xiàn)DN與平面QPM所成的角為士求N到平面CPM的距離.

2.(23-24高三上?天津?期中)如圖，PD垂直于梯形4BCD所在平面，N4DC=N瓦W=90。,尸為P力的中點(diǎn),

PD=41,AB=AD=1,四邊形PDCE為矩形.

(1)求證：4C〃平面OEF；

(2)求平面4BCD與平面BCP的夾角的余弦值;

⑶求點(diǎn)尸到平面BCP的距離.

3.(2024?天津薊州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知棱4P兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1,2,

C

⑴求實(shí)數(shù)九值；

(2)求直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面P8D與平面PCD夾角的余弦值.

4.(23-24高三下?天津?階段練習(xí))如圖，已知多面體4BC—a/iG，A±A,BrB,均垂直于平面ABC,

/.ABC=120°,A1A=4,CtC=1,AB=BC=BrB=2.

B

(1)求證:ABr1平面A/iQ；

(2)求直線(xiàn)4C1與平面4BB1所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)a到平面A/IG的距離.

5.(2024?天津?模擬預(yù)測(cè))四棱錐P—4BCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD為矩形，且=4,=3,

PA=5,E、F分別為PD、PB中點(diǎn)，CM=|c?.

(1)求平面EFM與平面力BCD夾角余弦值；

(2)求平面EFM與直線(xiàn)PB夾角正弦值；

⑶平面EFM與PA交于N點(diǎn)，求AN的長(zhǎng).

6.(23-24高三下