計數(shù)原理（練習）（解析版）-2025年上海高考數(shù)學一輪復習重難點題型專項突破

專題17計數(shù)原理（練習）

02

一、填空題

1.2名男生和2名女生站成一排照相，則男生站在一起的概率為.

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)排列以及古典概型概率計算公式求得正確答案.

【解析】2名男生和2名女生站成一排照相，基本事件有A：=24種，

其中男生站一起的事件有=12種，

所以男生站在一起的概率為1治2=11

故答案為：—

2

2.四名男生和兩名女生排成一排，要求兩位女生不相鄰，則不同排法的種數(shù)是.（結(jié)果用數(shù)字作答）

【答案】480

【分析】利用插空法，先排男生再排女生求解即可.

【解析】先排男生，再將女生排到5個空位里，有人/；=24、20=480種情況.

故答案為：480

3.電視臺在電視劇開播前連續(xù)播放5個不同的廣告，其中3個商業(yè)廣告2個公益廣告，現(xiàn)要求2個公益廣

告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有種.

【答案】72

【分析】不相鄰的問題利用插空法求解即可.

【解析】先將3個商業(yè)廣告排好，有A；種，

再將2個公益廣告插入4個空中，有A；種，

所以不同的播放方式共有A；A：=72種.

故答案為：72.

4.7個人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有種排法.

【答案】240

【分析】根據(jù)排列與分步乘法計數(shù)原理相關知識，先排特殊位置，再排其他位置即可.

【解析】先排甲和乙,有A；=2種排法，

再排其他5人,有排=120種排法,

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2x120=240種排法.

故答案為：240

5.2023年杭州亞運會需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的5名志愿者中任意選出3名，分別擔任語言服務、人員

引導、應急救助工作，其中甲不能擔任語言服務工作，則不同的選法共有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

【答案】48

【分析】先從除甲外的4人選1人擔任語言服務工作，然后從剩下的4人中選2人分別去擔任人員引導和

應急救助工作即可.

【解析】由題意可知，先從除甲外的4人選1人擔任語言服務工作，有C：=4種方法，

然后從剩下的4人中選2人分別去擔任人員引導和應急救助工作，有C：A；=12種方法，

所以由分步乘法原理可知不同的選法共有4x12=48種，

故答案為：48

6.有8名學生排成一排，甲、乙相鄰的排法種數(shù)為,甲不在排頭，乙不在排尾的排法種數(shù)

為.（用數(shù)字作答）

【答案】1008030960

【分析】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列；

（2）可采用間接法得到；

【解析】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列，故有2用=10080種情況；

（2）利用間接法，用總的情況數(shù)減去甲在排頭、乙在排尾的情況數(shù)，再加上甲在排頭同時乙在排尾的情況，

故有A；-2A；+A：=30960種情況

故答案為：10080；30960

7.至少通過一個正方體的3條棱中點的平面?zhèn)€數(shù)為.

【答案】81

【分析】利用間接法，根據(jù)共面的條件，分析出重復的平面，即可求解.

【解析】共有12條棱，即有12個中點，根據(jù)任意3點不共線，故可得C：z=220個平面，

其中，過4個中點的平面有：正方體的6個面，正方體的3個中截面，與面對角線和棱平行的面有4x3=12

個，共有6+3+12=21個，

過6個中點的平面有4個，

所以重復的有21x(C：-l)+4x(C；-l)=139個平面，

所以滿足條件的平面有220-139=81個.

故答案為：81

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用空間想象能力，將過4個點和過6個點的平面中與過3個點的平面

重復的找出來.

8.10個相同的小球放到6個不同的盒子里，每個盒子里至少放一個小球，則不同的放法有種.

【答案】126

【分析】由隔板法，將10個小球排成一排，中間插入5個隔板，即可求得不同的放法.

【解析】由隔板法，將10個小球排成一排，除去兩端中間插入5個不相鄰的隔板，此時9個空中選5個空

放隔板，將10個球分成六份，再將六份裝入六個盒子中即可，不同的放法有C：=126種.

故答案為：126.

9.某興趣小組有10名學生，若從10名學生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為己，且女

生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對順序固定，則共有種

不同的站隊方法.

【答案】25200

【分析】由已知得10名學生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.

【解析】設10名學生中，有女生x人，男生(10-x)人，

(10-x)(9-x)

則10名學生中選取3人，恰有1名女生的概率「=CCJ=-2=_3_,

12010

整理得：x(10-x)(9-x)=72,BPx3-19x2+90x-72=0

因式分解可得：(x-6)(x-l)(x-12)=0,

解得：x=6>l或x=l(舍去)或x=12(舍去)

所以10名學生中，有女生6人，男生4人，

將6名女生排成一排有A。種方法，再將4名男生插到7個空中有A：A；種方法，

因為男生的左右相對順序固定，而4名男生排成一排有A：種方法，

所以一共有弊=6x5x4x3x2xb<7x6x5x4=2520（）

A：4x3x2xl

故答案為：25200

10.某校開展“全員導師制有2名導師可供5位學生選擇，若每位學生必須也只能選取一名導師且每位導

師最多只能被3位學生選擇，則不同的選擇方案共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】20

【分析】先分為兩組，再利用全排列知識求解.

【解析】由題意得，5位學生中有3位學生選取同一名導師，

先將5人分為2組，一組3人，一組2人，再將2組對應兩名導師，

故有C；A；=20種方案.

故答案為：20

11.4名志愿者全部分到3所學校支教，要求每所學校至少有1名志愿者，則不同的分法共有種.

【答案】36

【分析】先選兩名志愿者看成一個整體，再與剩余志愿者一起排列，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理運算求解.

【解析】先選兩名志愿者看成一個整體，共有C：=6種，

再與剩余志愿者一起排列，共有A；=6種，

所以不同的分法共有6x6=36種.

故答案為：36.

12.8支足球隊進行三輪淘汰賽角逐出冠軍，賽前進行隨機抽簽來確定賽程表，賽程安排方式如下：確定第

一輪4場比賽的分組，再確定第一輪的4支勝者隊伍在第二輪2場比賽的分組，最后確定第二輪的2支勝

者隊伍進行第三輪比賽.注意：進行比賽的兩支隊伍不計順序，每輪各場比賽不計順序，賽程表賽前一次性

完成制定（與具體每場比賽的勝者是誰無關）.則賽程表有種.

【答案】315

【分析】分別確定第一輪比賽，第二輪比賽，第三輪比賽安排方案數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理確定總的方

法數(shù).

C；晨c；c；

【解析】由已知可得第一輪比賽的安排方法數(shù)為,即105種安排方法,

C2c2

第二輪比賽的安排方法數(shù)為宇，即3種安排方法，

第三輪比賽的安排方法數(shù)為1,

由分步乘法計數(shù)原理可得所有的安排方法數(shù)為315；

故答案為：315.

13.某小組共有4名男生和3名女生A,民C.若選一名男生和一名女生分別擔任組長和干事，共有

種不同的結(jié)果.

【答案】24

【分析】根據(jù)題意結(jié)合分步乘法計數(shù)原理分析求解.

【解析】因為4名男生選一名男生共有4種不同的結(jié)果；

3名女生A,民C選一名女生共有3種不同的結(jié)果；

一名男生和一名女生分別擔任組長和干事共有2種不同的方法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知：共有3x4*2=24種不同的結(jié)果.

故答案為：24.

14.(x-1)6展開式中/的系數(shù)為.

【答案】15

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接求出結(jié)果.

【解析】"-球展開式中令x4的項為C*4(T)2=15X4,

所以(x-l)6展開式中/的系數(shù)為15.

故答案為：15

15.［五+1］的展開式中只有第六項的系數(shù)最大，則〃=.

【答案】10

【分析】利用二項展開通項公式分析得的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，從而得解.

【解析】因為+的展開通項公式為乙*"(r<M,reN),

所以4+上的展開式中項的系數(shù)為該項對應的二項式系數(shù),

因為的展開式中只有第六項的系數(shù)最大，

所以］的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,

則的展開式中一共有11項，所以〃=10.

故答案為：10.

16.若（2-ax）5（x+l）2展開式中/的系數(shù)為272,則實數(shù)。=.

【答案】3或一1

【分析】首先求出為（2-G丫二項式的展開式的通項公式，然后結(jié)合多項式的乘法運算即可求出

（2-6丫（尤+1）2展開式中X2的系數(shù)，然后列出方程求解即可.

【解析】因為（2-G丫（x+以=（/+2X+1）（2-OX）5,

又因為（2-6丫二項式的展開式的通項公式為（2-冰丫Tr+i=C：25T（_依），=Q25T（_/f，

所以（2-or）5（x+l）2展開式中尤2的系數(shù)為

C^x25+C5x24-（-a）x2+C5x23-（-a）2=272,

解得：1=3或〃=—1,

故答案為：3或一1

20232023

0223

17.已知（1+2尤）+（2—X）=Ct0+a^X+Cl^X^H------^~^2O22^~^^2023-^°,貝U40，生，的，3、。2022，°2023中正數(shù)的

個數(shù)為.

【答案】1518

【分析】根據(jù)二項展開式的通項可得4=C；儂［21+22°23T.（-I/］,討論Z的奇偶性，結(jié)合以＞0分析求解即

可.

【解析】二項式（1+2x）2023的通項為二1=C；°23（2x）'=C；023.2,=0,1,2,…,2023,

023

二項式色一才⑵的通項為圖+LC蠹32硼一2八）"一。驅(qū)"〃?（-l）F2，=0,l,2,L,2023,

23

所以以=C^023-24+CM?220T-(-1/=CM[2?+22023T,(_1/],左e{0,1,2,L,2023},

若%>0,則有：

當人為奇數(shù)時，此時為=c￡（于-22°23-）即力一22（3>0,

2023

貝U女>2023—左，可得上〉——=1011.5,

2

又因為左為奇數(shù)，所以％的最小值取為1013；從1013到2023共計506個奇數(shù)，

當上為偶數(shù)時，此時，=C；O23伍+22023）>0,符合題意；丘｛0,1,2,L,2023｝中，共計1012個偶數(shù)

綜上所述：4，4，。2，?，。2022，“2023中正數(shù)的個數(shù)為1012+506=1518

故答案為：1518.

18.設集合A是由所有滿足下面兩個條件的有序數(shù)組（冷々,下,%，毛，%）構(gòu)成：①%e｛-l,0,l｝；②

”聞+在+聞+闖+國+聞43；則集合A中的元素共有個.

【答案】232

【分析】從條件②入手分類討論，應用排列組合知識即可得到有序數(shù)組的個數(shù)即可.

【解析】當聞+闖+國+闖+國+聞=1時,%?=1,2,3,4,5,6）有五個數(shù)是+

另一個數(shù)為1或-1,這樣^^^馬辱^^^有仁仁二口個；

當國+國+國+闖+闖+聞=2時,x,（7=1,2,3,4,5,6）中有四個數(shù)是0,

另兩個數(shù)為兩個1或兩個-1或一個1和一個-1,

這樣W，尤4,天，尤6）有或+或+=60個；

當國+國+國+同+國+聞=3時，玉（i=1,2,3,4,5,6）中有三個數(shù)是0,

另三個數(shù)為三個1或三個-1或一個1和兩個-1或兩個1和一個-1,

這樣（石，孫看,看,%，％）有C：+C：+2xC：C：=160個；

綜上集合A中的元素共有232個.

故答案為：232

二、單選題

19.教學大樓共有4層，每層有東西兩個樓梯，由1層到4層共有（）種走法.

A.8B.4C.16D.2

【答案】A

【分析】由分步計數(shù)原理可得.

【解析】由1層到4層分3步：由1層到2層，由2層到3層，由3層到4層，每步都有東西兩個樓梯2種

方法可選.

由分步乘法計數(shù)原理可得，由1層到4層共2x2x2=8種走法.

故選：A.

20.在200件產(chǎn)品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法種數(shù)是（）

A.C"；97B.CX%C.C；°°-C：97D.C'C：97+C〉C；97

【答案】D

【分析】由題意知，至少有2件次品包含兩類情況，再利用分類分步計數(shù)原理計算即可.

【解析】根據(jù)題意可知，至少2件次品包含兩類：

2件次品，3件正品，共C]C：97種抽法，

3件次品，2件正品，共C；-C■種抽法，

由分類計數(shù)原理得，抽法共有C；+C；-C：97種，

或利用間接法G。。-C；?C；97-或.「7種.

故選：D.

21.S=（x-l）4+4（x-l）3+6（x-l）2+4（x-l）+l,它等于下式中的（）

A.（x-2）4B.（x-1）4C.x4D.（x+1）4

【答案】C

【分析】根據(jù)二項式展開式的特征即可求解.

4

【解析】（x-l）4+4（%-1丫+6（尤-I）?+4（彳-1）+1=[（%-1）+1了=x,

故選：C

22.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或

右下移動，而一■條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：1玲2好3~>5->7玲8玲9玲10玲11就是一■條

移動路線.從1移動到數(shù)字“5=2,3,11）的不同路線條數(shù)記為乙，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字

〃S=2,3,10）的概率記為P“，則下列結(jié)論正確的是（）

①芍=34,②21>9，③。5=菽，@^9>Pio-

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析，不難得到U=l，g=2,%]=/+*|("?3),按照規(guī)律寫出各項，即可判斷①，②正

確；對于③，結(jié)合樹狀圖，考慮對立事件所包含的樣本點數(shù)，利用古典概型概率公式計算即得，同法求出

P9，Pio即可判斷.

【解析】由題意可知4=l,g=2,rn+l=rn+rn_x(n>3),

則4=3,4=5,%=8,弓=13,4=21,芍=34,2=34,。=55,弓］=89,

則①正確；顯然%1>小故②正確；

115-11的所有路線

因為％=89,經(jīng)過數(shù)字5的路線共有5x13=65條

理由:如上樹狀圖所示，分別計算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條,

利用分步乘法計數(shù)原理可得，過數(shù)字5的路線共有5x13=65條.

則Ps=89aq65=卷,故③正確；

ovoy

―r，曰89—34x22189—55x134目口上.zcx>

同理可待。9=--——=茄，“。=一n—=記，即有「9<”。，故④錯尻a

ovoyoyoy

故選:A.

三、解答題

23.(1)解不等式C「>34；

⑵解方程cM+ca=Lp2.

【答案】(1){7,8}；(2){4}

【分析】（1）利用組合數(shù)的性質(zhì)可得答案;

（2）利用組合數(shù)性質(zhì)、排列數(shù)公式計算可得答案.

n\8!。8!

【解析】（1）根據(jù)組合數(shù)公式C：=,原不等式CU>3C；可化為>3x------------.

%!(〃_%)!(x-l)!(8-(x-l))!x!(8-x)!

1

化簡可得>3x——-

(x-l)!(9-x)!x!(8-x)!,

進一步變形為/Ki與

xx(x-l)!(8-x)!〉3

根據(jù)階乘的性質(zhì)〃!="x（〃-l）!,則

(x-l)!(9-x)x(8-x)!

Y27

約分后得到。>3,解這個不等式得，>下

又因為x-IWO且x<8（組合數(shù)中x的取值范圍要求），即xNl且xV8,

綜合可得x=7或x=8,故不等式解集為{7,8}.

⑵原方程可化為即CL=5P，，

(x+3)!(x+3)!11

團---------=--------,團------------=---------------------,

5!(x-2)!10-x!120(x-2)!10-X(X-1)-(A:-2)!

EIX2-%-12=0,解得X=4或X=-3,經(jīng)檢驗：x=4是原方程的解.

故方程解集為{4}

24.已知（4+也）"的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為1024,

（1）求〃的值；

（2）求展開式的所有有理項（指數(shù)為整數(shù)），并指明是第幾項.

【答案】⑴"=10

⑵7；=爐,7；=210/

【分析】（1）由二項式系數(shù)和公式可得答案；

（2）求出（?+”的通項，利用x的指數(shù)為整數(shù)可得答案.

【解析】（1）+也，'的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和C：+C：++C：=2"=1024,

所以〃=10.

⑵T-i=C：o（6）（五）=G/6,r=0,l,,10>

5544

因此r=0,6時，有理項為7；=C°0X=X,T7=C?X=210X,

有理項是第一項和第七項.

25.現(xiàn)某學校共有34人自愿組成數(shù)學建模社團，其中高一年級13人，高二年級12人，高三年級9人.

⑴選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法？

⑵每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？

⑶選兩人作為社團發(fā)言人，這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？

【答案】（1）34；（2）1404；（3）381.

【分析】（1）用分類計數(shù)原理，分3種情況討論，①選出的是高一學生，②選出的是高二學生，③選出

的是高三學生，由各年級的人數(shù)易得各種情況的選法數(shù)目，由分類計數(shù)原理，相加可得答案；

（2）用分步計數(shù)原理，分3步進行，先從高一學生中選出1人，再從高二學生中選出1人，最后從高三學

生中選出1人，根據(jù)各年級的人數(shù)易得每一步的選法數(shù)目，由分步計數(shù)原理，相乘可得答案；

（3）用分類計數(shù)原理，分3種情況討論，①若選出的是高一、高二學生，②若選出的是高一、高三學生，

③若選出的是高二、高三學生，先計算各種情況的選法數(shù)目，由分類計數(shù)原理，相加可得答案.

【解析】（1）根據(jù)題意，選其中一人為負責人，有3種情況，

若選出的是高一學生，有13種情況，

若選出的是高二學生，有12種情況，

若選出的是高三學生，有9種情況，

由分類計數(shù)原理可得，共有12+13+9=34種選法.

（2）根據(jù)題意，從高一學生中選出1人，有13種情況；

從高二學生中選出1人，有12種情況；

從高三學生中選出1人，有9種情況；

由分步計數(shù)原理，可得共有12x13x9=1404種選法.

（3）根據(jù)題意，分三種情況討論：

若選出的是高一、高二學生，有12x13=156種情況，

若選出的是高一、高三學生，有13x9=117種情況，

若選出的是高二、高三學生，有12x9=108種情況，

由分類計數(shù)原理可得，共有156+117+108=381種選法.

【點睛】本題考查分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理的運用，解題的關鍵要合理的對事件分類或分步.

26.12月31日是某校藝術(shù)節(jié)總匯演之日，當天會進行隆重的文藝演出，已知高一，高二，高三分別選送了

4,3,2個節(jié)目，現(xiàn)回答以下問題：（用排列組合數(shù)列式，并計算出結(jié)果）

⑴為了活躍氣氛，學校會把20個熒光手環(huán)發(fā)給臺下的12名家長代表，每位家長至少一根，共計有多少種

分配方案；

（2）若高一的節(jié)目彼此都不相鄰，高三的節(jié)目必須相鄰，共計有多少種出場順序；

⑶演出結(jié)束后，學校安排甲、乙等9位志愿者打掃A,B,C三個區(qū)域的衛(wèi)生，每個區(qū)域至少需要2名志愿

者，則共有多少種安排方式？甲、乙打掃同一個區(qū)域的概率是多少？

【答案】⑴75582

⑵5760

,、39

⑶11508,—

【分析】（1）由題意根據(jù)隔板法求解；

（2）根據(jù)相鄰與不相鄰問題可用捆綁法與插空法求解；

（3）分別按2,2,5;2,3,4;3,3,3分類求解，再按不同分組求出甲乙在一組的種數(shù)，由古典概型求解.

【解析】（1）利用隔板法：C?=75582.

（2）根據(jù)捆綁、插空：高三2個節(jié)目視作1個節(jié)目，與高二3個節(jié)目全排列,

再把高一的4個節(jié)目插入所成的5個空中的4個，所以共有P：片P；=5760.

「2r2「5

（3）①.若按2,2,5分組，則有:j9G7yxP；=2268種,

②.若按2,3,4分組,則有：CjC；C：xP；=7560種,

r3r3r3

③.若按3,3,3分組，則有:L9yL3xPf=1680種,

P；

故共有2268+7560+1680=11508種安排方式.

13r2r2

若按2,2,5分組,甲、乙在同一組的安排方式有C；?xP/+xP/=756種,

若按2,3,4分組,甲、乙在同一組的安排方式有C；c：XP；+C；或C：XP；+C；C；C；XP；=2100種,

C；c：c；

若按3,3,3分組,甲、乙在同一組的安排方式有x以=420種,

756+2100+42039

故甲、乙在同一組的概率為

11508137

27.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有"數(shù)學王子"的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為

世界三大數(shù)學家，為了紀念他，人們把函數(shù)y=[x](xeR)稱為高斯函數(shù)，其中因表示不超過尤的最大整

數(shù).已知：力(x)=(x+君),(neN,n>l)

⑴若力(一1)=%+后或，3,或eZ,求g+%的值;

(2)若力⑴=c"+后如g,4eZ,求證：港-3%=4"；

翌1202平+2024ka.以，，.人皿

(3)設S=￡——------,求S除以2023的余數(shù).

(-1)-2023

【答案】⑴12

(2)見解析

⑶ion

【分析】(1)將(-1+百『展開，由題意可得a4+6%=28-16百，即可求出％+仇的值;

(2)計算信-卜2“+島2》結(jié)合力(x)=(x+⑹”即可證明.

(3)先求得每項除以2023的余數(shù)，求每項除以2023的余數(shù)時，分奇偶項進行討論，余數(shù)求和后再求除以

2023的余數(shù)即可.

【解析】(1)因為力(-1)=凡+△2，/?(x)=(x+V3)",

所以當"=4時，力(―1)=卜1+\/^)=a&+布b4,

而卜1+可=卜1+可卜1+可=(4-2由『=28-16后

因為%,b“三Z,%+收>4=28-166，

所以〃4=28,4=-16,%+84=28—16=12.

(2)因為力(x)=(x+石)“，力(l)=c“+四”，c“，d“eZ,

則<-3%=(c2n-島2J瓜+島2.)=(1--廣(1+呵"

=[(1一@(1+@『=(一2戶=4".

故a-3嚀=4".

2024~+2024k_(2023+1)'+2023左+k

(-1)'-2023(-1/-2023

又(2023+1)&=C：2023?+C；20234