遼寧省2025屆高三年級上冊期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（含答案）

遼寧省“沈文新高考研究聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合&={1,2,3},集合8={2,4},則(CM)CB=()

A.0B.{2}C.{4}D.{2,4}

2.若p:-l<x<2,q-.-l<x<1,則p為勺的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D,既不充分又不必要條件

3.幕函數(shù)y=/(乃的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2也,2),則/Q)=()

1111

A.-ZB.—4C.-oD.—lo

4.已知復(fù)數(shù)z=節(jié)3，萬是z的共輾復(fù)數(shù)，貝吻-z=

5—I

11

A.~B.——C.1D.-1

5.如圖所示，已知x軸上一點(diǎn)2(1,0)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，1秒鐘時(shí)間轉(zhuǎn)過。角

(0<e<7T),經(jīng)過2秒鐘點(diǎn)4在第三象限，經(jīng)過14秒鐘，與最初位置重合，則角。的弧度數(shù)為()

6.在正方形4BCD中，BC-DC+AB=()

A.BDB.DBC.ADD.DA

1

7.已知函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，且％20時(shí)，/(x)=x+-sinx,則關(guān)于％的不等式/(%)>/(2]-1)的解集為

A.{x|l<x<3}B.{x\x<1}

C.{x\x</或%>1}D.{%停<%<1]

8.已知函數(shù)/(%)=sin2%+cos%下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

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A./（久）是偶函數(shù)B.函數(shù)/（%）最大值為]

TT

C.貌函數(shù)/（尤）的一個(gè)周期D.函數(shù)/（%）在（0可）內(nèi)是增函數(shù)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知小，門是兩條不同直線，a,￡是兩個(gè)不同平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若nca,貝!]m〃a

B.若mua,riua且n//p,貝！|a〃S

C.若m1a,幾〃￡且0：〃0,則m1n

D.若a1/?,aC6=I,mua,mil,則ni1§

10.下列計(jì)算中正確的是（）

A.^sinl5°—^cosl5°=-乎B.sin20°cosl0°—cosl60°sinl0°=

C.sin*一4cos^=一也D.sinl05°=亞："

11.已知圓錐P。的軸截面P4B是等邊三角形，AB=4,M是圓錐側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足線段PM與4M的長度

相等，則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)M到此定點(diǎn)的距離為定值

B,存在點(diǎn)M,使得PM1AM

C.存在點(diǎn)M,使得乙4MB=60。

D.存在點(diǎn)M,使得三棱錐P-2M8的體積為竽

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移y（單位：機(jī)）與時(shí)間t（單位：s）滿足關(guān)系式y(tǒng)=2〃+1,那么該物體在t=2s時(shí)

的瞬時(shí)速度是m/s.

13.如圖，在三棱錐4-BCD中，底面邊長與側(cè)棱長均為a,點(diǎn)M,N分別是棱4B,CD上的點(diǎn)，且

MB=2AM,CN=^ND，則MN的長為.

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14.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樟卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字

立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90。榨卯起來.若正四棱柱

的高為8,底面正方形的邊長為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為

(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留兀)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知數(shù)列｛冊｝滿足的=1,a2=3,數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列,且滿足列(an+i-an)=原+i.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為S”若,記數(shù)列｛4｝滿足cn=眈；;褊爵:求數(shù)列｛4｝的前如項(xiàng)和T2n.

在①2s2=$3-2,@b2,2a3,久成等差數(shù)列，③56=126這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中，并對

其求解.

16.(本小題15分)

某?！白闱蛏鐖F(tuán)”調(diào)查學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了80k(k6N*)人，若被

抽查的男生與女生人數(shù)之比為5:3,男生中喜歡足球的人數(shù)占男生的2女生中喜歡足球的人數(shù)占女生的！

經(jīng)計(jì)算，有95%的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)，但沒有99%的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān).

(1)請完成下面的列聯(lián)表，并求出k的值；

悍歡足球|不喜歡足球|合計(jì)

踞

阿

而

(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從全校男學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記其中喜歡足球的人數(shù)為X,求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：/=9+6)(：黑程)3+到其中n=口+b+c+d-

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P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

17.(本小題15分)

在平行六面體ABC?！?/1的。1中，AB=AC,平面即停停1底面力BCD,點(diǎn)M是線段44i的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是

線段BC的中點(diǎn).

(1)求證：47/平面MBCi；

(2)求證：AF1DD4

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(%)=(x2—2x)lnx+ax2+2,g(x)=f(x)—x—2.

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求〃>)在(1/(1))處的切線方程；

(2)若a>0且函數(shù)。(久)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)在(2)的條件下，若e-2<x<e時(shí)，g(x)W?n恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(久)=kex+(lnx)2—x,其中k>0.

(1)當(dāng)k=1時(shí),證明：/(%)>0;

(2)若對任意x￡(0,+8),都有f(x)>(%+lnk)2,求k的取值范圍.

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參考答案

1.C

2.C

3.5

4.C

5.C

6.C

7.0

8.C

9sB

10.ABCD

11.50

12.8

13.亨a

14.84兀

15.解：(1)b?(an+i—an)=g+1，的=1,a2=3,

令?i=1,2bl=b2,

又?jǐn)?shù)列｛4J為等比數(shù)列，[6?+1=2勾，

.■.an+1-an=2,；.數(shù)列｛即｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

???an=2n—1；

(2)由⑴知數(shù)列也｝為公比為2的等比數(shù)列,

若選(J)2s2=S3—2,則2(歷+2Z>i)=歷+2歷+4/)i—2,

n

???b1=2,???bn=2；

若選②82，2a3,毛成等差數(shù)列,則4a3=82+84,

n

???2bl+8b1=20,bi=2,bn=2；

若選③56=126,則當(dāng)手="6,

n

???bi=2,「?bn=2,

,_[2九一1,九為奇數(shù)

??%=3,71為偶數(shù)，

???數(shù)列｛0｝的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，

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偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列，

???T2n=(。1+。3-----1"a2n-l)+(力2+力4+…+九)

=幾+中X4+華善=2*f+隼3

Z1—43

16.⑴

解：由題意，得到2X2的列聯(lián)表,

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生30k20k50k

女生10k20k30k

合計(jì)40k40k80k

將數(shù)值代入公式可加2的觀測值為/=5黑黑<=竽，

因?yàn)橛?5%的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)，但沒有99%的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)，可得3.841<

-1Gk

詈<6.635,解得0.72<k<1,244,

因?yàn)閗￡N*,所以k=1.

(2)

解：由(1)知，樣本的男生中喜歡足球的頻率為右

用樣本估計(jì)總體，從全校男生中隨機(jī)抽取一人，喜歡足球的概率為|,則X?8(4,|),

可得P(X=0)=嫉|)°胡=蔑,P(X=1)=以針針=券,P(X=2)=Cl(|)2(|)2=|i|,P(X=3)

?針=建，「儂=4)=「怎4(|)°=挑,

則X的分布列為

X01234

169621621681

P

625625625625625

所以期望為EX=4x|=『

17.(1)取BCi的中點(diǎn)G,連接MG、GF

在4BCC1中，

G為線段BQ的中點(diǎn)；F為線段BC的中點(diǎn)

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???FG[|cCi

???在平行六面體ABCD—&BiCiDi中

AA!!CCi

又?:點(diǎn)M是線段A4i的中點(diǎn)

AM〃jtCi

???FG[AM

四邊形FGM4為平行四邊形

AF〃MGAFC平面MBCiMGu平面

4F〃平面M8C1；

(2)在44BC中，AB=AC,點(diǎn)尸是線段BC的中點(diǎn)

AF1BC又?.?平面B81cle1底面2BCD,平面BB?。C底面ABCD=BC,AFu平面ABC

AF1平面BBiCQCQu平面BB?C

AF1CCr

???在平行六面體4BCD—AiBiCiDi中，CC、“DD\

???AF1DDi

18.(1)

當(dāng)a=-1時(shí)，/(%)=(x2—2x)lnx-x2+2,x>0,

f'(x)=(2x—2)lnx+(x—2)—2x=(2x—2)lnx—x—2,

所以r(1)=—3,又f(l)=l,

所以切線斜率k=-3,且經(jīng)過點(diǎn)(1,1),

所以切線方程為y-l=-3(x-l),即3x+y-4=0；

(2)

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令9(%)=/(%)—%—2=0,貝!!(第2—2汽)1九%+ax2—x=0,

即0=1一(久一2)10,

X

設(shè)h(x)=2g久>0,

則”(久)=~2inx~x+1,

設(shè)力(%)=—2\nx—x+1,%>0,則t'(%)=---1<0恒成立，

所以t(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又t(l)=0,所以當(dāng)0<%Vl時(shí)，t(x)<0,即//(%)<0,無(%)單調(diào)遞減，當(dāng)％>1時(shí)，t(x)>0,即//(%)

>0,/i(%)單調(diào)遞增，

所以h(%)max=九⑴=1>0,

又九(工)=1—e<0,h(e2)=5~^e<0,且a>0,

所以當(dāng)函數(shù)g(%)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=1；

(3)

由(2)得a=1,g(x)=(%2—2x)lnx+x2—x=0,e~2<x<e,

g'(x)=(2x—2)lnx+3x-3=(%—l)(21nx+3),

3

令<?'(%)=。，解得%=1或久=?一區(qū)，

所以g㈤在(e，eT)和(l,e)上單調(diào)遞增，在卜一1,1)上單調(diào)遞減，

所以比=之時(shí)，g(x)取極大值為g(ef=-1e-3+2e-l,

又g(e)=2e2-3e>g(e-E),

2

所以當(dāng)。-2<%<e時(shí)，g(x)<2e-3ef

又g(%)<TH恒成立，所以m>2e2-3e.

19.解：(1)證明：當(dāng)時(shí)，f(x)=e'T+(lnx)2—x,所以尸(x)=〃一1+竿—1,

當(dāng)xG(0,1)時(shí)，ex~1<l,Inx<0,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，ex-1>