江蘇省常熟市2024-2025學年高二年級上冊期中考試數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省常熟市2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線》7-3=0的傾斜角是（）

712?！?兀

A.-B.—C.一D.

334T

2.等比數(shù)列｛4｝中，％=2,a2-a3=32,則為的值為（）

A.8B.16C.32D.64

3.直線/：工一2〉一2=0與圓。：（彳一1）2+3-2）2=9的位置關系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法判斷

4.在數(shù)列｛4｝中，4=＜，a?+l=1,則%）24等于（）

a

2n

1

A.-B.-1C.2D.3

2

5.若直線x+（l+"7）y—2=0和直線皿龍+2y+4=0平行，貝！|帆的值為（）

2

A.1B.-2C.1或-2D.——

3

6.等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為治,當品為定值時，2a2+%+%也是定值，則左的值為（

A.11B.13C.15D.不能確定

7.已知點尸在直線y=-x-3上運動，Af是圓V+丁=1上的動點，N是圓

（x-9）2+（y-2）2=16上的動點,則1PM+|PN|的最小值為（）

A.13B.11C.9D.8

8.已知數(shù)列｛0“｝的前”項和為S.,且為=1,猊?'則$2。的值為（）

[4+2,及為偶數(shù)，

A.300B.29C.210D.29-1

二、多選題

9.數(shù)列｛為｝的前"項和為S.則下列說法正確的是（）

A.若氏=-2"+11,則數(shù)列｛%｝的前5項和邑最大

試卷第1頁，共4頁

B.若等比數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，則公比q滿足0<4<1

C.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5相，若S2021>0，則4ou>O

D.已知｛%,｝為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列

10.下列結論中正確的是（）

A.已知直線/過點尸（2,3）,且在無，V軸上截距相等，則直線/的方程為x+y-5=0

B.已知圓。"2+r=4,圓C：（x-2）2+（y-3）2=l,則圓。和圓C有4條公切線

C.若直線/：x-y+〃?=0上存在點P,過點尸作圓O：f+y2=4的切線尸4,PB,切

點分別為A,B,使得為直角，則實數(shù)加的取值范圍為14,4]

D.已知圓心（工-6）2+產=9,點〃的坐標為（2,4）,過點N（4,0）作直線/交圓C于A,B

兩點，則網(wǎng)+畫的取值范圍是區(qū)12]

11.如圖1,在長度為1的線段上取兩個點C、D,使得以CD為邊在

線段的上方做一個正方形，然后擦掉8,就得到圖形2；對圖形2中的最上方的線段好

作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設圖1,圖2,圖3,

圖"，各圖中的線段長度和為%,數(shù)列｛%｝的前〃項和為耳，則（）

A.數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列B.

O

C.存在正數(shù)加，使得5“<加恒成立D.?！?lt;3恒成立

三、填空題

12.若直線4:x+“y-2=0和直線4：（"L3）X+2>+4=0垂直，則實數(shù)m的值為.

13.已知直線小：2x+y-l=0與直線”平行，且兩條直線之間的距離為右，則直線〃的方

程為.

14.幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，

試卷第2頁，共4頁

他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：

己知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項是2°，接下

來的兩項是2°，2、再接下來的三項是2°，21，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整

數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是.

四、解答題

15.已知點A的坐標為㈠,4),直線/的方程為3x+y-2=0,求：

(1)點A關于直線I的對稱點A'的坐標；

(2)直線/關于點A的對稱直線廠的方程.

16.已知數(shù)列｛冊｝和數(shù)列出n｝,為數(shù)列Sn｝的前〃項和，S—,

曲+i_("+1應=/eN*),g=4仇.

(1)求數(shù)歹U｛冊｝和數(shù)列｛九｝的通項公式；

1

(2)若數(shù)列匕,｝滿足c,=蒞3r,求數(shù)列｛c“｝的前”項和。

17.已知圓C過兩點尸(3,2),0(5,4),圓心在直線尸產1=0上.

⑴求圓。的方程；

⑵若過點”(4,1)的直線<與圓C交于點跖N兩點，且的初=26，求直線4的方程；

⑶若圓。的半徑為3,圓心在直線x-y+2=0上，且與圓C外切，求圓。的方程.

18.設數(shù)列｛&J的前〃項和為利,若對任意的"eN*,都有邑"=左3"(左為常數(shù))，則稱數(shù)列

｛%｝為“和等比數(shù)列”，其中左為和公比.已知｛幻｝是首項為1,公差不為0的等差數(shù)列，且｛“｝

是“和等比數(shù)列"，設與=/，數(shù)列仁｝的前〃項和為卻

(1)求數(shù)列｛與｝的和公比；

3Tl+4

(2)若不等式Tn-袈F>(-1)"m-2對任意的〃wN*成立，求實數(shù)?的取值范圍.

19.已知圓O:x?+/=1和點M

⑴過點M作圓。的切線，求切線的方程；

(2)已知次2,4),設P為滿足方程|尸/「+忸。「=34的任意一點，過點P向圓O引切線，切點

試卷第3頁，共4頁

\PB\"

為B,試探究：平面內是否存在一定點N,使得—為定值?若存在，則求出定點N的坐

戶M

標，并指出相應的定值；若不存在，則說明理由；

⑶過點M作直線/交圓。于兩個不同的點C,*0（線段CD不經(jīng)過圓心。），分別在點C,D

處作圓。的切線，兩條切線交于點￡,求證：點￡在一條定直線上，并求出該直線的方程.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBCBABDAACDBCD

題號11

答案BD

1.C

【分析】根據(jù)直線的方程求出斜率，再由斜率求出傾斜角即可.

【詳解】設直線X—>一3=0的傾斜角。，0<?<71,

因為直線、->-3=0<=>>=%-3,所以直線的斜率為1,

所以tana=1,

所以傾斜角為a=：.

故選：C.

2.B

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.

【詳解】設等比數(shù)列｛%｝的公比為9，

2

則axq.axq=32na；/=32,因為％=2,

所以包'=32=>/=8=>夕=2,

所以%=%q=16.

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)圓方程得出圓心坐標，求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較，即可得出結

論.

【詳解】圓。：（尤一1）2+（了-2）2=9的圓心為。（1,2）,半徑為3,

11-4-21廠

圓心到直線的距離為"+（_2）2="<3,

所以直線/與圓C相交.

故選:C.

4.B

【分析】運用代入法，求出數(shù)列的若干項，發(fā)現(xiàn)具有周期性，根據(jù)周期進行求解即可.

答案第1頁，共13頁

【詳解】由題意知％=1，??+1,當〃=1時，?2=1--=-1；

當〃=2時，。3=1~=2.當〃=3時，。4=1__~=T=aw

a2a32

當〃=4時，%=1---=-1=〃2；…，

%

所以數(shù)列｛冊｝是周期為3的周期數(shù)列，故出。24=〃女674+2=出=T.

故選：B

5.A

【分析】根據(jù)直線平行滿足的系數(shù)關系即可求解.

【詳解】由于x+（l+冽）＞一2=0和直線冽x+2y+4=0平行,

2=m(+m)

所以解得m=\,

4w-2m

故選：A

6.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質以及求和公式可得〃i+5d為定值，結合等差數(shù)列的通項公式

轉化2々2+%+為，列出關系式即可求解.

【詳解】因為甌=11（%+勺）,

112

當Sn為定值時，即4+勺=2&為定值，即％+5"為定值，

,.（（4+7））

2%+%+許=4al+依+7*—4+———d,

所以中=5,解得左=13.

4

故選：B.

7.D

【分析】根據(jù)圓的性質可得1PM+|尸網(wǎng)引尸。+|尸4-5,故求|PM|+|7W|的最小值,轉化為

求忸。|+|尸。|的最小值，再根據(jù)點關于線對稱的性質，數(shù)形結合解.

【詳解】如圖所示，

答案第2頁，共13頁

圓(尤-9)2+O-2)2=16的圓心為C(9,2),半徑為4,

圓*2+下=1的圓心為。(o,o),半徑為1,

可知|PC|-44pN區(qū)pC|+4,pO|-l?pM|<p。,1,

所以1PM+|則引尸。+1尸q-5,

故求|尸刈+|尸N|的最小值，轉化為求|尸。|+歸。|的最小值，

設0(0,0)關于直線y=-x-3的對稱點為G,設G坐標為(m,n),

Ai

則卜"=，解得["'=：，故G(-3,-3),

nm\n=-3

—=-------3i

[22

因為|PO|=|PG|,可得歸o|+|pcj=|PG|+仍44Gq=J(9+3)2+(2+3了=13,

當P,G,C三點共線時，等號成立，

所以1PM+|PN|的最小值為13-5=8.

故選：D.

8.A

【分析】由遞推關系得｛冊｝的奇數(shù)項是首項為q=1,公差為3的等差數(shù)列，再利用分組轉

化求和以及等差數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】若“為奇數(shù)，則"+1是偶數(shù)，〃+2是奇數(shù)，

則。,用=%+1，①

%+2=%+1+2，②

①+②得：“〃+2=%+3，

答案第3頁，共13頁

所以｛an｝的奇數(shù)項是首項為％=1,公差為3的等差數(shù)列；

所以5*20=（。1+。3+〃5+…+。19）+（“2+〃4++…+%0）

=（%+〃3+〃5+。19）+（〃1+1+。3+I+Q5+1+,?,+〃]9+1）

=2（〃]+〃3+。5+…+。19）+10

（1nxQ、

=210x1+^—x3+10=300.

故選:A.

9.ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質逐項判斷即可.

【詳解】選項A,由%=-2幾+11可得%＞0,”6＜。，故數(shù)列｛g｝前5項的和最大，故A

正確；

選項B,當%〈0,夕）1時,等比數(shù)列｛4｝也是遞減數(shù)列,故B錯誤;

選項G3嗎「=2。2"，若％＞。，則…。，故C正確；

選項D,若｛%｝為等差數(shù)列，則S"=%〃+加二'I/,.?.2=g〃+%-g,貝ij辿-2=g（

2n22n+1n2

為常數(shù)），，數(shù)列，9:也是等差數(shù)列，故D正確.

故選：ACD

10.BCD

【分析】對于A,當直線過原點時，直線也滿足條件，故可判斷A錯誤；

對于B,判斷兩圓的位置關系即可；

對于C,可判斷點尸的軌跡是圓心為O,半徑為OP的圓，又點尸在直線/上，故直線/與該

圓有公共點，易求出機的取值范圍；

對于D,弦4B中點。的軌跡是以NC為直徑的圓，求出的最值，即可求出|疝+施|的

取值范圍.

【詳解】對于A,當直線過原點時，直線方程為y=；x,滿足條件，A錯誤；

對于B,圓O：f+丁=4的圓心為。（0,0）,半徑外=2,

圓C：（x-2）2+（y-3）Jl的圓心為C（2,3）,半徑4=1,

答案第4頁，共13頁

則圓心距|。4=萬壽=又=3,

由屈>3,可知|OC|>:+o

.??兩圓相離，，圓。與圓C共有4條公切線，故B正確;

對于C,連接04,OB,0P,如圖,

則易知四邊形OAPB為正方形,

.一.|0尸|=友廠=2板，，點尸的軌跡是圓心為。，半徑為2板的圓,

又點尸在直線/上，故直線/與該圓有公共點,

m

圓心。到直線/的距離\\<2近,-4<m<4,

V2

???實數(shù)機的取值范圍為[-4,4],故C正確;

對于D,取4B中點。，連接CD,如圖所示:

...點。的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為G（5,0）,半徑r=l,

\MG\=7(2-5)2+(4-0)2=5,

:.\MG\-r<\MD\<\MG\+r,gp4<\MD\<6,

|M4+W|=2師卜[8,12],

答案第5頁，共13頁

，|加+標|的取值范圍是[8,12],故D正確.

故選：BCD.

11.BD

【分析】設圖〃中新構造出的每條線段的長度為則密=；，而

an=an_l+2bn_\n>2）,故根據(jù)這兩個遞推關系可求%=3-1/,再求出S”，逐項判斷后

可得正確的選項.

【詳解】設圖〃中新構造出的每條線段的長度為“（”22）,則導=；,其中&=!，

故?！?%.1+2，_1（"之2）.

n-\

而“=II…,

故

a=a

n\+（%-。1）+（。3-％）+…+（%

而q=1也符合該式,

止匕時％=1,%=2嗎=3，2片；，故不是等比數(shù)列，故A錯誤.

而0"=3-1曰<3>故D正確.

2LfiTl

7/1、〃-2189

而S“=3〃-'——j-^=3?-4+f-j，故S=15-4+1=不，故B正確.

~2

n7+4w7+4

對任意給定的正數(shù)”?，當時，必有5“>3"-4>3乂寸-4=加，故C錯誤.

故選：BD.

12.1

【分析】根據(jù)兩條直線垂直的充要條件得〃?-3+2%=0,解方程即可得答案；

答案第6頁，共13頁

【詳解】因為直線4：x+陽-2=0與直線4：(加一3)尤+2了+4=0垂直，

所以〃z-3+2〃?=0,解得m=\.

故答案為：1

13.2x+y+4=0或2x+y-6=0

【分析】設與直線機平行的直線n的方程為2x+y+t=0,再根據(jù)兩平行線距離公式求出/的

值即可求解.

【詳解】設與直線/平行的直線n的方程為2x+y+t=0,

所以二一'=若=>卜一|=5解得/=4或"-6.

V22+l2

所以所求直線〃的方程為2尤+尹4=0或2%+了-6=0.

故答案為：2x+y+4=0或2x+y-6=0.

14.440

【分析】由題意求得數(shù)列的每一項，及前〃項和5“=2用-2-〃，及項數(shù)，由題意可知：2向

為2的整數(shù)塞.只需將-2-〃消去即可，分別分別即可求得N的值.

【詳解】解：由題意可知：第一項2°，第二項20,21,第三項2°2,22?,第〃項2。,21-,2"；

根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式，求得每項和分別為：21-1,22-1123-1，…，2"-1，

每項含有的項數(shù)為：1,2,3,

總共的項數(shù)為N=l+2+3+...+〃=M"D,

2

所有項數(shù)的和為

l2323n2n+

SN:2-1+2-1+2-1+...+2"-\=(2'+2+2+...+2)-n=^-^--n=2'-2-n>

由題意可知：2e為2的整數(shù)幕，只需將-2-〃消去即可，

貝I]①1+2+(-2-〃)=0,解得：〃=1,總共有(1+；"1+2=3,不滿足N>100,

②1+2+4+(-2-〃)=0,解得：n=5,總共有^^+3=18,不滿足N>100,

2

③1+2+4+8+(—2—〃)=0,解得：?=13,總共有^|^+4=95,不滿足N>100,

@1+2+4+8+16+(-2-?)=0,解得：〃=29,總共有^^^+5=440,滿足N>100,

2

該款軟件的激活碼440.

答案第7頁，共13頁

故答案為：440.

【點睛】本題考查數(shù)列的應用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前〃項和，考查計算能力及數(shù)據(jù)分析

能力，屬于難題.

15.(1)(2,6)

（2）3x+j+18=0

【分析】（1）根據(jù)點關于線對稱列式求解即可;

（2）根據(jù)相關點法分析運算即可.

—x(-3)=-l

加+4」，解得f加=：?

【詳解】（1）設H（九〃），由題意可得《

cm-4〃+4c八〃=6

3x-------+----------2=01

22

所以點的坐標為（2,6）.

（2）在直線/上任取一點尸（x,力，設尸（x,y）關于點A的對稱點為尸

x+X

o=-4

2XQ=-8—x

則,解得

%=8-y

=4

2

由于「'（一8-》,8-田在直線3工+>-2=0上，貝心（一8-x）+（8-田一2=0,即3尤+>+18=0,

故直線/關于點A的對稱直線I'的方程為3x+y+18=0.

16.(1)??=2",b?=n\

n

⑵

2n+l

【分析】（1）利用鳳=s“-ST判斷｛an｝為等比數(shù)列，再求通項公式；又因為。2=44,解得

4=1,再證明緊一4為常數(shù)即可求解；

n+\n

（2）由（1）得然后利用裂項相消法即可.

【詳解】（1）已知S〃=2%-2①,

當〃=1時，S[=2%-2,得6=2,

當〃N2時，S,T=2a,_「2②，

①-②得：即a“=2%_],

答案第8頁，共13頁

又〃i=2w0,%wO,則——=l｛n>2,?eN),

a

n-\

所以｛冊｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，則〃“=2〃.

因為出=4%所以4=1,

又由必+i_(〃+l)4=n2+n,得組■-4=l(〃wN*),

n+\n'7

所以［4［是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則4=1+-1=〃，即。=六

InIn

⑵由⑴得「Si1_____二

(2?-l)(2w+l)2⑵-12?+1)

11111n

-+----+???+

335212〃+12及+1

17.(l)(x-3)2+(y-4)2=4

(2)x=4或4x+3y-19=0

⑶(x+1)2+(y_1)2=9或(x_6)2+(y_8)2=9

【分析】(1)依題意，設圓心C(a,a+1),半徑為,，|尸。=［0。=r，列得關于°的方程，

解得即可.

(2)弦長|MN|=2G可得圓C到直線4的距離為"=1,分斜率不存在和存在，分別求解即

可.

(3)依題意設。(私加+2),由兩圓外切，可知|CD|=3+2=5,所以J(m-3)2+(〃7+2-4)2=5,

解得m即可.

【詳解】(1)依題意，設圓心C(a,a+1),半徑為r,則忸。|=|。1=廠，

即J(a-3)2+(a+1-2)2=7(a-5)2+(a+l-4)2，解得“=3,

所以C(3,4),7?=|尸C|=2,得圓C：(X-3)2+3-4)2=4.

(2)設圓C到直線4的距離為力由pW|=242-〃2=26,得"=1,

若直線4的斜率不存在，即直線為x=4,符合題意,

若直線4的斜率存在，設>一1=左(》一4),即丘一y一4左+1=0,

答案第9頁，共13頁

3左一4—4左+14

由圓心c到直線4的距離為1,即J一…",得左二-三，

7k+13

所以直線方程為4x+3y-19=0,

綜上，所求直線4的方程為x=4或4x+3y-19=0.

(3)依題意設。團用+2),由兩圓外切，可知|CD|=3+2=5,

所以-3)2+(m+2-4)2_5,解得〃?=-1或機=6,

所以。(一1,1)或(6,8),

所以圓。的方程為(x+l)2+?-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.

18.(1)4

3

⑵(1,5)

【分析】(1)設等差數(shù)列｛%｝的公差為"，前〃項和為4，由仍?｝是“和等比數(shù)列“，所以

4"=叫,化簡可得左的值；

(2)由⑴可知%=號n，由錯位相減得出(，再設￡=(-不3n+丁4，計算得月+「月>0,再

分”為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況求解可得加的取值范圍.

【詳解】(1)解：設等差數(shù)列｛%｝的公差為1,前〃項和為4，

.n(n-1),<7,,,d.

則4,=曲+d=3#+(1—)",

所以&=2加+(2-9.

因為｛%｝是“和等比數(shù)列”，

所以4.=旦,，郎2dn2+(2-d)n=弓仔+(k-個"，對任意的〃eN*都成立,

f_kd

"=萬\k=4

所以2，解得，.，

2-d=k-^-N=2

I2

所以｛與｝的和公比為4.

(2)解：可知“=1+2(〃-1)=2"—1,則c“=^zr，

所以/=；+》》…十號，

答案第10頁，共13頁

n-1n

所以

22〃4

…3T1111?_I"]?

所以W1=2+2?+F+'"+

22“T22.122"4

1-F

323〃+4O3〃+4

即三(=47所以7,丁

4〃33x22〃!+1!-1,

3〃+483〃+43幾+48103〃+4

_____x_____

設匕=（一22

2"-'~9~9X2"'一"2^99

103n+7103〃+4

PP__x|___x%±12>o,

n+\~n=~

922B+192功一4〃

3〃+4

不等式＞（-l）"m-2對任意的〃eN*恒成立,

即不等式P,＞（-1）"加-2對任意的"eN*恒成立.

當"為奇數(shù)時，-M-ZvlQLnUqn-S,則加＞1；

13

當”為偶數(shù)時，〃L2＜（￡）1nto=4=F，貝ij機＜不.

3

綜上，冽的取值范圍是

19.⑴%=1和%-百》+2=0

⑵存在，定點郊-占-江定值）或定點N（T,-2）,定值工

V55762

⑶證明見解析，x+J5y=l

【分析】（1）先討論切線斜率不存在，再由切線斜率存在時，設切線為y=上（x-l）+若,

然后利用=1得至以=9即可;

i+r