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第20講平面向量的概念及線性運(yùn)算

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算

2024年天津卷，第14題,5分

律數(shù)量積的坐標(biāo)表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算

2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握向量的概念，能夠熟練使用三角形法則與平行四邊形法則

2.能掌握向量共線的性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助建系解決線性表示與共線的問題

4.會(huì)利用共線定理解決含參問題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，運(yùn)用三角形的加減法法則進(jìn)行線性表示,

以及求參。

?考點(diǎn)梳理。

1

1.向量

2.零向量

3.單位向量

r知識(shí)點(diǎn)一.向量的有關(guān)概念《

4.平行向量考點(diǎn)一、平面向量的概念

5.相等向量

6.相反向量

平面向量的概念及線性運(yùn)算1加法

知識(shí)點(diǎn)二.向量的線性運(yùn)算2.減法考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算

3.數(shù)乘

知識(shí)點(diǎn)三.向量共線定理考點(diǎn)三、向量共線定理的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)四.向量的常用結(jié)論

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.向量的有關(guān)概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的摸.

2.零向量：長(zhǎng)度為小的向量，其方向是任意的.

3.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量共線.

5.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

6.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向根反的向量.

［注意］1.向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向.

2.任意向量”的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即|a|K）.

知識(shí)點(diǎn)二.向量的線性運(yùn)算

向量法則（或幾

定義運(yùn)算律

運(yùn)算何意義）

交換律：a+b=b+a；

/a

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則結(jié)合律：（〃+〃）+c=生

+（〃+）

ac

平行四邊形法則

減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a—b=a+(—b)

a

三角形法則

數(shù)乘求實(shí)數(shù)4與向量”的積|Aa\=W\a\,當(dāng)力＞0時(shí)，a)=；

2

的運(yùn)算腦與〃的方向相同;(A+//)?=?a；

當(dāng)ko時(shí)，筋與〃的X(a+b)=筋+肪

方向相反;

當(dāng)7=0時(shí)，

2a=0

知識(shí)點(diǎn)三.向量共線定理

向量a（存0）與6共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)使1a.

知識(shí)點(diǎn)四.向量的常用結(jié)論

1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即直房+

A2A3+A3A4+...+An-iA^=A1A?＞,特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.

2.若尸為線段48的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則舁=#@+份）.

3.若/,B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則居+協(xié)+此=0oP為A48C的重心，/=；（差+就）.

4.對(duì)于任意兩個(gè)向量〃，b,都有|同一步歸同+|A|.

考點(diǎn)一、平面向量的概念

5典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若同=同，則/=石B.若@＞同，則方＞/

C.若方=反則方/萬D.若力歷了//2,則可"

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A：若@=|同，貝呢是只是大小相同，并不能說方向相同，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若3=6,貝皈,b方向相同，C正確；

對(duì)于D：若可萬花/分,如果石為零向量，則不能推出N7平行，D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（22-23高三上?福建廈門?開學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

3

c.若a1都為非零向量，則使號(hào)+看=6成立的條件是方與了反向共線

D.若N=b,b=~S,則/='？

【答案】A

【分析】AB選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正

確；D選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

C選項(xiàng)，因?yàn)橛∴岫际菃挝幌蛄?，所以只有?dāng)印噌是相反向量，即g刃是反向共線時(shí)1T+1=了才成立,

\a\\b\\a\\b\\a\\b\

故c正確；

D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.

故選：A

即時(shí)檢測(cè)

.____________

1.（2018高三?全國(guó)?專題練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量

不能比較大小，但它們的模能比較大?。虎廴麴?6伏為實(shí)數(shù)），貝隊(duì)必為零；④已知九，四為實(shí)數(shù)，若歸=4,

則方與方共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】運(yùn)用向量定義、模、共線向量的定義及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可判斷.

【詳解】①錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).

②正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较?，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.

③錯(cuò)誤.因?yàn)榱?6,所以2=0或3=6.

④錯(cuò)誤.當(dāng)人=N=O時(shí)，宓=而,此時(shí)，方與了可以是任意向量.

所以錯(cuò)誤命題有3個(gè).

故選：C.

a_b

2.（2023?北京大興?三模）設(shè)I3是非零向量，W"是“"=3”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.

a_b

【詳解】由HW表示單位向量相等，則々花同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出。=各，

4

a_b

由。=?表示Z花同向且模相等，則WW,

a_b

所以“WW”是“a=3”的必要而不充分條件.

故選：B

3.（2022?江蘇?三模）已知向量"=（6,2）,與Z共線且方向相反的單位向量B=

（3VwVio^l

1010

【答案】＜

I

a

【分析】利用與之共線且方向相反的單位向量為“，即可得出答案.

【詳解】"g）,a=73674=2710;所以與￡共線且方向相反的單位向量是:

b=-

3屈Vio

io,-7(7

故答案為:

考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）中國(guó)文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖

（1）是八卦模型圖，將其簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形ABCDEFG”，若48=1,貝可荏一礪|=（）

C.3D.V2+1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理，計(jì)算出。力的值，根據(jù)向量運(yùn)算，把|萬一5同化成|前|,利用余弦定理

計(jì)算其長(zhǎng)度得答案.

【詳解】

5

FE

則/+x2-2X2COS45°=1,所以/=三生，

所以I屈-PB|=|AB+BD|=|AD|=V%2+x2-2x2cosl35°=J(2+V2)x2=夜+1.

故選：D.

2.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知非零平面向量房b,那么方=而”是“忖+同=鬧-|時(shí)的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】在向量甚了非零向量的情況下，

若|五+司=||a|-|^||，即區(qū)+同2=(0—?dú)v。2,

即有同2+2無了+歷|2=@2_2同的+向2,即五.1=一|訓(xùn)司.

Xa,b=|a||b|cos(a,故cos(H,b)=-1,

又值㈤G[o,7t],所以值⑥=兀，即或不方向相反,故3=11b,(〃<0),

即方=而”是“忖+同=忸|-|司的必要條件；

若五=屈,則工石共線，但方與了的方向可能相同也可能相反，

所以由工=而推不出忖+同=憫-|訓(xùn)，故充分性不成立；

綜上所述，2=)”是方+同=阿-同”的必要而不充分條件.

故選：B.

即時(shí)螂L

1.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))在平行四邊形4BCD中，AE=2EC,EF=FB,則()

A.AF=-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

3636

C.AF=-AB+-ADD.AF=-AB+-AD

6363

6

【答案】c

【分析】運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，結(jié)合線性運(yùn)算法則解題即可.

【詳解】如圖，由題意荏=2前,可知版=|前=式四+而）,F是BE的中點(diǎn),

所以赤=（而+￡荏=[9+^（AB+AD）=|XB+1ZD.

故選：C.

2.（2019高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，在正方形4BCD中，E為48的中點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn)，則#=（）

-AB+-AD

4444

C.-AB+ADD.-AB+-AD

242

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)镋為4B的中點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn)，

所以而=1（獲+而）=；6說+前+而）+

故選：D.

3.（2024?山西呂梁?三模）已知等邊△力BC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)O,E分別為的中點(diǎn)，若加=3而，貝1|赤=

（）

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】B

【分析】?。?。｝為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】在△ABC中，?。叮希秊榛?，

7

A

貝!11祠=\AB\=2,(AC,AB)=60°,

因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，DF^3EF,

所以麗=工尻=工前，

24

所以而=AE+EF=-(AB+AC)+-AC=-AB+-AC.

故選：B.

4.(2024?廣東汕頭?三模)已知四邊形ABC。是平行四邊形，BE=2EC,DF=FC,則而=()

A.--AB+-ADB.--AB--AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量求解即得.

【詳解】在口ABCD中，由南=2前，DF=FC,

得麗=FC+CF=-BC+-CD=--AB+-AD.

3223

故選：A

5.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)G是△A8C的重心，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，若前=4萬+〃尼，貝！M+〃=

()

A.—B.-C.--D.

126612

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)的=%短+4/，求得兒”，進(jìn)而求得正確答案.

［詳解］GM=|BM=|(AM-ZB)=-|XB+|ZC,

所以;l=一；,〃=："+〃=一：.

故選：C

8

A

考點(diǎn)三、向共線定理的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A,是直線1上相異的三點(diǎn)，。為直線汐卜一點(diǎn)，且2瓦J=3而+4沆，則

值

是z/

\(X-

1BC11

一---

2D.2

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)得少＜=|礪+;加，再利用三點(diǎn)共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.

【詳解】2=3赤+4萬，即瓦＜=日加+g反，

因?yàn)辄c(diǎn)4B,C是直線/上相異的三點(diǎn)，則點(diǎn)4B,C三點(diǎn)共線，

則|+（=1，解得2=—L

故選：A.

2.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）已知方，石是兩個(gè)不共線的向量，命題甲：向量法+1與方-共線；命題乙：t=-（

,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用向量共線定理即可判斷.

【詳解】對(duì)于命題甲，可設(shè)出+石=；1值一21），即玩+了=布一2/1萬，

則｛］：或，所以八a=.

對(duì)于命題乙，「=一泄，ta+b=-^（a-2b）,則有向量1+了與工一21共線.

故甲是乙的充要條件.

故選：C.

9

即時(shí)根（

1.（2024?廣東?二模）已知向量,與石能作為平面向量的一組基底，若方+歸與（k+1）五+石共線（keR）,則

k的值是（）

A—1+V5D-1±V5c-1-V5c1+V5

A.-------D.-------C.--------D.-----

2222

【答案】B

【分析】引入?yún)?shù)人由平面向量基本定理建立方程組即可求解.

【詳解】若N+質(zhì)與（k+l/+石共線，則設(shè)/+屈=/l［（k+l/+同=2（k+l）工+石，

因?yàn)橄蛄縉與石能作為平面向量的一組基底，

所以所以N+k—1=0,解得憶=言與

故選：B.

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知向量否是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且同=瓦+Ze2,BC=-3高+2瓦,

方=3面一6q，貝!I（）

A.4、B、C三點(diǎn)共線B.4、B、D三點(diǎn)共線

C.4、C、D三點(diǎn)共線D.B、C、D三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析】根據(jù)向量甚了共線則N=Ab（AeR）判斷即可.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)檎f=瓦+2&，就=-3瓦+2當(dāng)，不存在實(shí)數(shù)4使得同=4阮，故4、B、C三點(diǎn)不共

線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,因?yàn)橥?否+2&，DA=3ex-6e2,不存在實(shí)數(shù)4使得荏=4病，故力、B、C三點(diǎn)不共線，故B

錯(cuò)誤；

對(duì)C,因?yàn)榍?超+阮=-2擊+40，DA=3er-6e2,則前=一：瓦5,故4、C、。三點(diǎn)共線，故C正

確；

對(duì)D,因?yàn)槿?-3e1+2e2,BD=-DA-AB=DA=-3方1+6e2-er-2e2=-4若1+4e2>不存在實(shí)數(shù)4

使得近=4麗，故B、C、。三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.

故選：C

3.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，BD=2DC,過點(diǎn)D的直線分別交直線4B、力C于點(diǎn)E、F,且荏=

mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則m+2n的最小值為（）

A.2B.V2C.3D.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意以同，而為基底表示出前，再根據(jù)三點(diǎn)共線，利用共線定理可得止+j=1,再由

3m3n

10

基本不等式即可求得巾+2n的最小值為3.

【詳解】如下圖所示：

因?yàn)辂?2反，易知前=前+麗=荏+：或=屈+|（正—四）=^AB+^AC,

又族=血屈，衣=幾前，所以赤=工四+馬尼=工荏+凸存，

333m3n

易知E,F,D三點(diǎn)共線，利用共線定理可得;+：=1,

3m3n

又m>0,n>0,

所以TH+2n=（m+2九）（親+

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?算，即m=n=l時(shí)，等號(hào)成立，

3n3m

所以m+2n的最小值為3.

故選：C

4.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）在44BC中，D是BC的中點(diǎn),直線】分別與力B,AD,4c交于點(diǎn)M,E,N,且荏=^AM,

~AE=2ED,AC=AAN,則;I=（）

8575

c

----

A.5B.34D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，利用俞，麗表示族，結(jié)合向量三點(diǎn)共線的定理列式運(yùn)算求解.

【詳解】由荏=2前，得標(biāo)=（而=］（荏+而）=（住前+4麗）=［宿+（麗.

因?yàn)镸,E,N共線，所以3+（=1,解得2=|.

故選：B.

5.（2021?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三角形OPQ中，M、N分別是邊。P、OQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R在直線MN

上，且赤=久標(biāo)+y的（x,yeR）,則代數(shù)式J/+y2一比一丫+g的最小值為（）

11

P

M：

~~A---------------Q

A.立B.返C.立D.包

2642

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合共線向量定理的推論可得2x+2y=1,再消元借助二次函數(shù)求出最小值.

【詳解】由M、N分別是邊。P、0Q的中點(diǎn)，得而=2而，而=2而，而赤=茄？+丫麗，

于是礪=2久麗+2y而，又點(diǎn)R在直線MN上，因此2x+2y=l,即丫=1一久，

所以當(dāng)x=1時(shí)，]n+廿一”一丫+^取得最小值孑.

故選：C

IN.好題沖關(guān)

1.（21-22高三上?山東煙臺(tái)?開學(xué)考試）。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足而=

0A+A（AB+AC）,Ae[0,+oo）,則P的軌跡一定通過△4BC的（）

A.夕卜心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

【答案】D

【分析】取線段BC的中點(diǎn)E,則荏+m=2荏，依題可得下〃荏，即可得答案.

【詳解】取線段BC的中點(diǎn)E,則通+元=2版.

動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=0A+A（AB+AC）,Ae[0,+oo）,

則加一市=24版，即Q=22荏，所以而〃版，

又4PC4E=4,所以A,E,P三點(diǎn)共線，

則直線4P一定通過a4BC的重心.

故選：D.

A

12

2.（23-24高三上?安徽?階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AC的中點(diǎn)，

則宿=（）

A.-BN+-ACB.--BN+-AC

333

C.-BN+-ACD.--BN+-AC

333

【答案】D

【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算可得.

【詳解】作出圖形如圖，則麗=瓦？+前=—四+（前，

所以前=屈+前=同+（近=屈+］（而一同）=|AB+|xc=|（AB-|^4C）+|xc|B1V+

故選：D.

3.（2020?天津河?xùn)|?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非零向量方、及"2五=鏟是2,1共線”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用向量共線定理以及充分條件、必要條件的定義即可求解.

【詳解】由源=石，則方、了共線同向，充分性滿足；

非零向量正b,當(dāng)了共線時(shí)，則石=疝QeR）,必要性不滿足；

故"2元=鈔是2,石共線，，的充分不必要條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義、向量共線定理，理解充分條件、必要條件的定義是解題

的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.（23-24高三上?天津紅橋?階段練習(xí)）已知向量1=（-3,1）,則與石方向相反的單位向量是.

【答案】（甯,-噂）

【分析】利用給定向量，結(jié)合單位向量的意義求解.

【詳解】向量了=（一3,1）,則與方方向相反的單位向量是一卷=—含（-3,1）=（騫,一黨.

故答案為：（等,-噂）

5.（2022?天津河北?模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：AM^^AB+^AC.則△4BM

13

與△ABC的面積之比為.

【答案】|/0.4

【分析】根據(jù)給定的向量等式，確定點(diǎn)M的位置，再借助面積關(guān)系計(jì)算作答.

【詳解】因而=春而+：則?一而=（（庶一存），BPBM=|fiC,

于是得點(diǎn)M在邊BC上，并且|的|=（|猊有它=瞿=；

5、4ABCR3$

所以△力BA/與a力BC的面積之比為今

故答案為：!

6.（21-22高三上?山東日照?開學(xué)考試）在三角形。AB中，點(diǎn)P為邊AB上的一點(diǎn)，且而=2兩，點(diǎn)Q為直線0P

上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)。和點(diǎn)Q不重合），且滿足麗=%市+而成，則?=.

【答案】I

【分析】以DX磴為基底，其他向量用基底表示后，結(jié)合O,Q,P共線可得.

【詳解】由已知?dú)v=無？+而=旗+（麗=瓦5+|（加一瓦?）=（65+|麗，0Q=^OA+Z2OB,

麗，市共線，所以牛=字，所以？=

——Z?Z

33

故答案為：p

能力提升

1.（23-24高三上?天津南開?階段練習(xí)）△A8C是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)

較大的等邊三角形，若而=3而，\AF\=3,SJF=AAB+!1AC,則4+〃=（）.

【答案】A

【分析】由向量加減、數(shù)乘幾何意義用刀,前表示出赤，即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)赤=屈+濟(jì)=屈+|麗=四+：（前+而）=屈+：（阮+|次）

—>2—>4—?—?—>2—>4—>8—>

=AB+-BC+-（CA+AE）=AB+-BC+-CA+—AF

39I）3927

=ZB+-（ZC-ZB）--AC+—AF=-AB+-AC+—AF,

31J9273927

所以要而=工屈+白灰，即羽=2近+且前，

27391919

14

XAF=XAB+iiAC,故2+4=篙

故選：A

2.(23-24高三下?天津?階段練習(xí))在44BC中，設(shè)，方=反而=反其夾角設(shè)為仇平面上點(diǎn)D,E滿足前=2AB,

AE=3AC,BE,DC交于點(diǎn)0,則而用方是表示為.若而?反=，瓦?屁，則cos。的最小值

為.

【答案】10=|a+1h手

554

【分析】由和B,O,E三點(diǎn)共線，得到前=2m+(1—t)刃和40=aa+(3-3a)b,得出方程組

2t=U

%o0,求得￡,1/的值，得到而=打+打,再由而.反=!反.就,化簡(jiǎn)得到48本了=2022+9京,

H—t=3-3u555

得出cose=噂膽，結(jié)合基本不等式，即可求解.

481alM|

【詳解】因?yàn)镈,O,C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)t使得近=tAD+(l-t)AC=2ta+(l-市,

又因?yàn)锽,0,E三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)a使得力。=uAB+(1-u)AE=aa+(3-3u)b,

可得[2，解得t=：,"=：，所以前=》+],

U—t=3-3u5555

由礪=族一而=3b-Za,DCAC-AD-Za,BE=版一通=3b-a,

因?yàn)榍?而=3反.戰(zhàn)，

可得(靛+|b)?(3石-2a)=|(fo-2a)-(3fo-a),整理得48a-b=20a2+9b2,

,2

可得48同同cos。=20|a|z+9歷『，所以cos。=?。2"

2I2

又因?yàn)?0同2+9同＞2j20|a|2-9|b|=12代同同，

KCM「“A_20同斗9同212V5|a||h|_或

所以COS9-48同冏-獺可-7'

當(dāng)且僅當(dāng)20同2=9同時(shí)，即2而同=3同時(shí)，等號(hào)成立，

所以cose的最小值為好

故答案為：AO=a+

554

3.(2024?天津和平?一模)青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主流

品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為4,圓。

15

的圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)4B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。

對(duì)稱.（i）請(qǐng)用加，麗表示而=（ii）請(qǐng)寫出加?麗的取值范圍

圖一圖二

【答案】^MA+^MB[8,12]

【分析】（i）根據(jù)向量線性運(yùn)算可直接得到結(jié)果；

（ii）根據(jù)向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，可將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為|而|-4；根據(jù)正六邊形性質(zhì)可求得|而|

的范圍，由此可得結(jié)果.

【詳解】（i）：4B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對(duì)稱，.??。為力B中點(diǎn)，.?.麗=[祈才+[遠(yuǎn)；

222

（ii）=（JW+OA）-（M0+OS）=MO2+（0A+~0B）-Jw+0A-OB=\M0\-\0A\=|麗|-

4；

當(dāng)M為正六邊形頂點(diǎn)時(shí)，|麗|取得最大值；當(dāng)。M與正六邊形的邊垂直時(shí)，|防磯取得最小值；

六邊形為正六邊形，；.△ODE為正三角形，|而|=。。=4；

1'max

22

作。FlDE,貝沙為DE中點(diǎn)，|M0|mjn=\0F\=<4-2=2V3；

|M0|2-4G[8,12],即加?麗的取值范圍為[8,12].

故答案為：[8,12].

4.（23-24高三上?天津河西?期末）在△ABC中，NB4C=120°,\AB\=\AC\=2,AB=2荏，而=AXC（A>0）,

前=2的，且|宿|=?，則；I=；麗?演的值為.

【答案】|

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積定義及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)樗?2荏，AF=AACU>0）,而=2前，

16

所以前=X荏+祠=XT存+4硝=［荏+9幅

又I病|=/，在△ABC中，ABAC=120°,\AB\=\AC\=2,

所以尼?荏=\AC\■\AB\co^BAC=2x2x(-0=-2,

|畫2=(俞>=(海丫+次.屈+gxC)2=l-|+A2=J,

即2萬一4一3=0,解得2=弓或4=-1(舍去)，

故4的值為：|.

又加=BA+AF=-AB+XAC^CE^CA+AE^-AC+^AB,

2

~BF-CE=(-AB+4硝?(-前+

=(1+§(-2)-2-4A=-4-5A=-y,

故前?而的值為：一

故答案為：|:-

5.(23-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))在△ABC中，AD^^AB,AE^^AC,CD與BE交于點(diǎn)P,48=2,

AC=4,用說和元表示而,則而=；過點(diǎn)P的直線2交4B,AC于點(diǎn)M,N,設(shè)前=mAB,AN=nAC

(m>0,n>0),則m+ri的最小值為.

【答案】|ZB+|ZC

【分析】選取向量荏，前為基底，利用向量線性運(yùn)算把Q用基底表示出來即可；用弱，前表示出Q,再利

用共線向量的推論結(jié)合基本不等式求出最小值.

【詳解】如圖：

在△ABC中，AD=^AB,AE=^AC,設(shè)麗=4鋸=4兩+1硝，

則方=屈+前=(1-/l)AB+^AC=(2-2A)ZD+^AC,

由D,P,C三點(diǎn)共線，得2-24+(=1,解得4=|,因此而=|荏+：福

因?yàn)樗?小卷，AN=nAC,m>0,n>0,則有萬=三俞+上前，

57n5n

17

而MRN二點(diǎn)共線，因此+則??i+幾=（血+幾）（3-+白）

5m5M5m5n

=:（3+2+”）之《（3+2建）=畔，當(dāng)且僅當(dāng)生="，即血=魚九=審取等號(hào)，

5mn5ymn5mn5

所以當(dāng)m=卓與九=?六時(shí)，m+幾取得最小值過券.

故答案為：IAB+^AC；浣四

6.（23-24高三上?天津南開?階段練習(xí)）如圖，在△4BC中，前=^AB,AE=|XC,CD與BE交于點(diǎn)P,A8=2,

AC=4,AP-~BC=2,則四?尼的值為；過點(diǎn)P的直線1交AB,AC于點(diǎn)M,N,設(shè)前=機(jī)刀,

AN=nAC（m>0,n>0）,則+n的最小值為.

【答案】2號(hào)

—T——__>__>__?

【分析】選取向量4B,AC為基底，把4P,BC用基底表示出來，再求出數(shù)量積即可；用4M,AN表示出力P,再

利用共線向量的推論結(jié)合基本不等式求出最小值.

【詳解】在△4BC中，AD=^AB,荏=（前，設(shè)加=4就=2（筋+（照），

則方=AB+BP=（1-A）AB+^AC=（2-2A）ZD+|Zc,

由O,P,C三點(diǎn)共線，得2-24+（=1,解得;1=|,因此於=|屈+（福

因?yàn)榱=2,AC=4,APBC^l,于是族?阮=（|希+（近）?（前一瓶）

=|（XC2-2AB2+AB-AC）=1（42-2X22+AB-ZC）=2,解得南?尼=2；

因?yàn)樗?巾四，AN=nAC,m>0,n>0,則有而=2-碗+工前，

5m5n

而MP,N三點(diǎn)共線，因此總+2=1，則爪+n=（6+對(duì)喘+7

=j（3+-+-）>|（3+2/---）=當(dāng)且僅當(dāng)即巾=&71=增取等號(hào)，

所以當(dāng)TH=衛(wèi)襄,71=T也時(shí)，m+n取得最小值3+；夜.

故答案為：2；過臺(tái)

7.（20