人教版八年級數(shù)學上冊期末復習考點清單 專題03軸對稱（5個考點清單+8種題型解讀）

專題03軸對稱（考點清單，5個考點清單+8種題型解讀）【清單01】軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.要求歸納：成軸對稱的兩個圖形的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系要點歸納:軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點歸納：線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.【清單02】作軸對稱圖形1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.【清單03】等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點歸納：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.要點歸納：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理．2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點歸納：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【清單04】含30°角的直角三角形的性質（重點）（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．【清單05】最短路徑問題（重點）1.垂直線段最短問題動點所在的直線已知型方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。2.將軍飲馬問題方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．①兩定一動②一定兩動③兩定兩動3.“造橋選址”問題A方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．AMMNN【考點題型一】軸對稱與軸對稱圖形1．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）下面的圖形是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④3．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，以所在直線為對稱軸作，，則．4．（22-23八年級上·寧夏石嘴山·期末）如圖，點在內，點、分別是點關于、的對稱點，且與、分別相交于點、，若的周長為20，求的長．【考點題型二】線段的垂直平分線5．（24-25八年級上·全國·期末）下列條件中，不能判定直線是線段（M，N不在上）的垂直平分線的是（）A．， B．，C． D．，平分6．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，的邊的垂直平分線交于點D，連接，若，，則．7．（23-24八年級上·陜西安康·期末）如圖，在中，點D是的中點，連接，垂直平分，垂足為E，F(xiàn)是的中點，連接，求證：是的垂直平分線．

8．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）如圖所示，在中，，為的中點，且，已知的周長為，且，求、的長．【考點題型三】等腰三角形的性質與判定9．（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過點作于點，過點作于點，連接，過點作，交于點．與相交于點，若點是的中點，則下列結論中，①；②；③；④．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（21-22八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，，，的平分線相交于點，過作交于點，交于點，則的周長等于．11．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，中，，，的垂直平分線交于點E，交于點D，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求長．12．（20-21八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交，，于點，，，連接．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【考點題型四】綜合應用13．（24-25八年級上·全國·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．14．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖，在等邊三角形中，是延長線上一點，連接，且，點關于的對稱點為，連接，分別交于點，，(1)依題意補全圖形．(2)改變的大小，在變化過程中，的大小是否發(fā)生變化？若有變化，請寫出的變化范圍；若不變，請求出的大小；(3)試判斷線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【考點題型五】與邊或周長有關的問題15．（23-24八年級上·浙江金華·期末）已知等腰一邊長為3，另一邊長是化簡的結果，則該三角形的周長是（

）A．15 B．21 C．15或21 D．15或1216．（22-23八年級上·湖南常德·期末）一個等腰三角形一邊長為，另一邊長為，則這個等腰三角形的周長為（

）A． B． C．或 D．17．（23-24八年級上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為5，則它的第三邊的長為．18．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形．(1)若腰長比底邊長短，求它的三邊長；(2)能圍成有一邊的長是的等腰三角形嗎﹖若能，請求出它的另兩邊，若不能，請說明理由．【考點題型六】與角有關的問題19．（22-23八年級上·河北石家莊·期末）等腰三角形的兩內角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或20．（23-24八年級上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一個內角為另一個內角的2倍，那么該等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C．或 D．或21．（22-23八年級上·廣東汕頭·期末）一個等腰三角形的兩個內角的和為，則它的頂角度數(shù)為．22．（21-22八年級上·黑龍江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，點P在△ABC的三邊上運動，當△PAC成為等腰三角形時，其頂角的度數(shù)是多少度呢？請畫出圖形，在相應圖形下方直接寫出答案．23．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）是等腰腰上的高，且，則等腰底角的度數(shù)是多少？（畫出符合題意的圖形，并直接寫出結果）【考點題型七】與高有關的問題24．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或25．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點、點在線段的垂直平分線上，且，則的度數(shù)為．26．（22-23八年級上·湖北荊門·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中線將三角形的周長分成15和9兩部分，求這個等腰三角形的腰長及底邊長．（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，求這個等腰三角形的底角的度數(shù)．【考點題型八】綜合創(chuàng)新問題27．（22-23八年級上·湖北荊門·期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點，BD＝CE，AD與BE相交于點P，AP＝4，Q是射線PE上的動點．(1)求證：：(2)若△APQ為直角三角形，求PQ的值；(3)當△APQ為鈍角三角形時，直接寫出PQ的取值范圍．28．（21-22八年級上·吉林長春·階段練習）有一邊長為的正方形和等腰直角，，．點B，C，Q，當C，Q兩點重合時，t秒后正方形與等腰直角重合部分的面積為，解答下列問題：(1)當Q在線段上時，；當Q在線段延長線上時，（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當秒時，求S的值．(3)當重合部分為四邊形時，請用含t的代數(shù)式表示S，并注明t的取值范圍．29．（23-24八年級上·吉林延邊·期末）在中，，直線l過點A，且．與關于直線l對稱，點B的對稱點是點D，與的三邊圍成的圖形記作圖形“M”．(1)如圖①，若，則的度數(shù)為_______；(2)如圖②，點P在直線l上，且，過點P作，垂足為點F．求證：；(3)若，將直線l沿著方向向右平移1個單位長度，與、分別交于點F、G．點H在上方的直線l上，且．動點P從點H出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿射線向下勻速運動，運動時間為，點P關于直線的對稱點為點．①如圖③，若點恰好在邊上，連接，則線段的長度為______，______s；②當點落在圖形“M”的內部（不包括邊界）時，直接寫出t的取值范圍．

專題03軸對稱（考點清單，5個考點清單+8種題型解讀）【清單01】軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.要求歸納：成軸對稱的兩個圖形的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系要點歸納:軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點歸納：線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.【清單02】作軸對稱圖形1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.【清單03】等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點歸納：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.要點歸納：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理．2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點歸納：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【清單04】含30°角的直角三角形的性質（重點）（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．【清單05】最短路徑問題（重點）1.垂直線段最短問題動點所在的直線已知型方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。2.將軍飲馬問題方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．①兩定一動②一定兩動③兩定兩動3.“造橋選址”問題A方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．AMMNN【考點題型一】軸對稱與軸對稱圖形1．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）下面的圖形是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關鍵．根據軸對稱圖形的定義逐項分析即可，一個圖形的一部分，沿著一條直線對折后兩部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對稱圖形，選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形．故選C．2．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】本題考查的是軸對稱的性質，熟知如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線是解題的關鍵．根據軸對稱的性質對各結論進行逐一分析即可．【詳解】解：和關于直線對稱，∴，故①正確，和關于直線對稱，點D與點關于直線對稱的對稱點，∴，故②正確；和關于直線對稱，線段、、被直線垂直平分，直線垂直平分，故③正確；和關于直線對稱，線段、所在直線的交點一定在直線上，故④錯誤，∴正確的有①②③，故選：A．3．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，以所在直線為對稱軸作，，則．【答案】90°/90度【分析】本題考查了軸對稱性質．根據軸對稱性質，對應的角相等，．【詳解】解：與關于所在直線為對稱，，，又，，．故答案為：．4．（22-23八年級上·寧夏石嘴山·期末）如圖，點在內，點、分別是點關于、的對稱點，且與、分別相交于點、，若的周長為20，求的長．【答案】【分析】根據軸對稱的性質可得，，再根據線段的代換即可求解．【詳解】解：∵點M是P點關于的對稱點，∴，∵N是P點關于的對稱點，∴，∴的周長，∵的周長為20，∴．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，正確理解題意、熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵．【考點題型二】線段的垂直平分線5．（24-25八年級上·全國·期末）下列條件中，不能判定直線是線段（M，N不在上）的垂直平分線的是（）A．， B．，C． D．，平分【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質，根據線段垂直平分線的意義及性質進行分析、判斷即可，掌握線段垂直平分線的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】解：A、∴點和點都在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，故選項不符合題意；B、∴直線是線段的垂直平分線，故選項不符合題意；C、當時，是線段的垂直平分線，但直線不一定是線段的垂直平分線，故選項符合題意；D、平分，∴直線是線段的垂直平分線，故選項不符合題意；故選：C．6．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，的邊的垂直平分線交于點D，連接，若，，則．【答案】7【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等是解題的關鍵．根據的邊的垂直平分線交于點D，得出，再由求解即可．【詳解】解：∵的邊的垂直平分線交于點D，，，∴，∴，故答案為：7．7．（23-24八年級上·陜西安康·期末）如圖，在中，點D是的中點，連接，垂直平分，垂足為E，F(xiàn)是的中點，連接，求證：是的垂直平分線．

【答案】證明過程見詳解【分析】本題主要考查線段垂直平分線的判定和性質，利用條件證得是解題的關鍵．由垂直平分，可得，由D為中點，則可得，且F為的中點，則可證得結論．【詳解】證明：垂直平分，，∵D為的中點，，，∵F為的中點，即,垂直平分．8．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）如圖所示，在中，，為的中點，且，已知的周長為，且，求、的長．【答案】，【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握其性質．根據題意可知，然后根據，可得出、的長度．【詳解】解：∵的周長為8，∴∵的垂直平分線交于點D，交于點E，∴，∴，即，∵，∴，．【考點題型三】等腰三角形的性質與判定9．（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過點作于點，過點作于點，連接，過點作，交于點．與相交于點，若點是的中點，則下列結論中，①；②；③；④．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識的綜合運用，掌握等腰三角形判定和性質，全等三角形的判定和性質，數(shù)形結合分析是解題的關鍵．根據題意，利用角邊角證明，可得是等腰直角三角形，可判定結論①；過點作于點，證明，得，，可判定結論②；根據上述證明，設，則，，，可判定結論③；根據題意可證，得到，結合上述證明可得，則有，進而得到，可判定結論④；由此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故①正確；如圖所示，過點作于點由①的證明可得，，則，∵，∴，∵點是CD中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故②正確；由上述證明，設，則，，，∴，∴，故③正確；∵，∴，由①可知，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故④錯誤；綜上所述，正確的有①②③，共3個，故選：C．10．（21-22八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，，，的平分線相交于點，過作交于點，交于點，則的周長等于．【答案】18【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質．平行結合角平分線，推出，進而得到的周長為，即可得出結果．【詳解】解：∵和的平分線相交于點D，∴，∵過點D作的平行線交于點E，交于點F，∴，∴，∴的周長為；故答案為：18．11．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，中，，，的垂直平分線交于點E，交于點D，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求長．【答案】(1)(2)4【分析】（1）由線段垂直平分線的性質得到，再由等腰三角形的性質得出，結合等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出的度數(shù)，再用角的和差來計算求解；（2）由（1）得，結合等腰三角形性質得到的度數(shù)，再結合三角形外角性質得到，從而得出即可求解．【詳解】（1）解：∵是的垂直平分線，∴，∴．∵，，∴，∴．（2）解：由（1）得．．∵是的外角，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質和判定，三角形內角和定理和外角的性質，掌握線段垂直平分線的性質是解答關鍵．12．（20-21八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交，，于點，，，連接．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查等腰三角形的判定及性質、線段垂直平分線的性質、三角形的內角和定理和外角的性質．（1）連接，根據線段垂直平分線的性質，先求得，根據等腰三角形三線合一的性質，求得即可．（2）根據等腰三角形三線合一的性質，可求得，根據三角形內角和定理可求得的度數(shù)，結合即可求得答案．【詳解】（1）證明：連接，為線段的垂直平分線，．，點為的中點，為線段的垂直平分線．．．∴為等腰三角形；（2）解：，點為的中點，為的平分線．．．．∵為等腰三角形，．．【考點題型四】綜合應用13．（24-25八年級上·全國·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【答案】(1)①證明見解析；②(2)猜想，證明見解析(3)的最大值與最小值的差為【分析】（1）①先由等邊三角形的性質得到，，再根據“邊角邊”，證明三角形全等即可．②利用全等三角形的性質得到，再根據三角形的外角的性質即可解決問題；（2）在上取一點，使得，證明，得到，據此根據線段的和差關系可證明；（3）以為邊向外作等邊，連接，根據“邊角邊”，得出，再根據全等三角形的性質，得出，再根據三角形的三邊關系，求出的取值范圍，進而得出的取值范圍，即可得出的最大值和最小值，然后相減即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴；②解：∵，∴，∴；（2）解：猜想，證明如下：如圖2中，在上取一點，使得，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：如圖3中，以為邊向外作等邊，連接，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為，最大值為，∵，∴的最大值與最小值的差為．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質與判定、全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系和三角形外角的性質等知識，解本題的關鍵在正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖，在等邊三角形中，是延長線上一點，連接，且，點關于的對稱點為，連接，分別交于點，，(1)依題意補全圖形．(2)改變的大小，在變化過程中，的大小是否發(fā)生變化？若有變化，請寫出的變化范圍；若不變，請求出的大??；(3)試判斷線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)補全圖形見解析；(2)的大小不會發(fā)生變化，；(3)，理由見解析．【分析】（）依題意補全圖形即可；（）連接，，在上截取，由點關于的對稱點為，則垂直平分，所以，，，，由，則垂直平分，則，故，設，則，，由內角和定理得，從而有；（）由（）得：，則，，證明，根據全等三角形的性質得，最后由和差即可求解．【詳解】（1）如圖，（2）的大小不會發(fā)生變化，，理由，如圖，連接，，在上截取，∵點關于的對稱點為，∴垂直平分，∴，，，，由，則垂直平分，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，由得，∴，∴，設，∴，∴，在中，由內角和定理得，∵，∴，∴，∴，∴；（3），理由，如（）圖，由（）得：，∴，，∴，∴，由（）得：，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，等邊三角形的性質，垂直平分線的性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【考點題型五】與邊或周長有關的問題15．（23-24八年級上·浙江金華·期末）已知等腰一邊長為3，另一邊長是化簡的結果，則該三角形的周長是（

）A．15 B．21 C．15或21 D．15或12【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．【詳解】解：，∵等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為9，∴有兩種情況：①3為底，9為腰，那么，則三角形的周長；②9為底，3為腰，那么，不符合題意，∴該三角形的周長是21．故選：B．16．（22-23八年級上·湖南常德·期末）一個等腰三角形一邊長為，另一邊長為，則這個等腰三角形的周長為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】分邊長為4的邊為底邊和腰兩種情況結合構成三角形的條件進行求解即可．【詳解】解：當邊長為4的邊為底邊時，則這個三角形的三邊為4，，，∵，∴不能構成三角形，不符合題意；當邊長為4的邊為腰時，則這個三角形的三邊為4，4，，∵，∴能構成三角形，符合題意，∴這個等腰三角形的周長為，故選D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，構成三角形的條件，實數(shù)比較大小，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．17．（23-24八年級上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為5，則它的第三邊的長為．【答案】4或5【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關系．分4為腰和底邊兩種情況進行討論即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為5，∴當4為腰長時，第三邊的長也是4，，滿足題意；當4為底時，第三邊的長是5，，滿足題意；∴第三邊的長為4或5．故答案為：4或5．18．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形．(1)若腰長比底邊長短，求它的三邊長；(2)能圍成有一邊的長是的等腰三角形嗎﹖若能，請求出它的另兩邊，若不能，請說明理由．【答案】(1)，，(2)能，另外兩條邊長都是【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵，注意利用三角形三邊關系進行驗證．（1）設腰長為，則底邊長為，由條件列出方程，求解即可；（2）分腰長為和底邊長為兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：設腰長為，則底邊長為，．解得．∴它的三邊分別為，，．（2）解：能圍成有一邊長的長是的等腰三角形．理由如下：①如果長的邊為底邊，設腰長為，則．解得．②如果長的邊為腰，則另兩邊長為，．∵，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，故不能圍成腰長為的等腰三角形，綜上所述，能圍成有一邊長的長是的等腰三角形．它的另外兩條邊長都是【考點題型六】與角有關的問題19．（22-23八年級上·河北石家莊·期末）等腰三角形的兩內角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】沒有說明是頂角與底角的比還是底角與頂角的比，則應該分兩種情況進行分析，根據三角形的內角和定理即可求得其底角的度數(shù)．【詳解】解：當?shù)捉桥c頂角的比是時，設底角為，頂角為，根據三角形內角和得，，解得：，即底角為；當頂角與底角的比是，設頂角為，底角為，根據三角形內角和得，，解得：，，即底角為；所以底角的度數(shù)為或．故選D．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質及三角形的內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．20．（23-24八年級上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一個內角為另一個內角的2倍，那么該等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C．或 D．或【答案】A【分析】此題考查了等腰三角形的性質和三角形的內角和定理；設其中一個角的度數(shù)為，則另一個角為，分兩種情況由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【詳解】解：設其中一個角的度數(shù)為，則另一個角為，①頂角度數(shù)為時，則解得：，②當頂角為時，則∴，則頂角為，故選：A．21．（22-23八年級上·廣東汕頭·期末）一個等腰三角形的兩個內角的和為，則它的頂角度數(shù)為．【答案】或【分析】分兩種情況：當?shù)妊切蔚膬蓚€底角的和為時；當?shù)妊切蔚捻斀呛鸵粋€底角的和為時，即可求解．【詳解】解：當?shù)妊切蔚膬蓚€底角的和為時，它的頂角度數(shù)為，當?shù)妊切蔚捻斀呛鸵粋€底角的和為時，它的底角度數(shù)為，∴它的頂角度數(shù)為，綜上所述，它的頂角度數(shù)為或．故答案為：或【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．22．（21-22八年級上·黑龍江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，點P在△ABC的三邊上運動，當△PAC成為等腰三角形時，其頂角的度數(shù)是多少度呢？請畫出圖形，在相應圖形下方直接寫出答案．【答案】圖見解析，100°或70°或55°【分析】作出圖形，然后分點P在AB上與BC上兩種情況討論求解．【詳解】解：①如圖1，點P在AB上時，AP=AC，頂角為∠A=100°，②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，如圖2，點P在BC上時，若AC=PC，頂角為∠ACB=55°，如圖3，若AC=AP，則頂角為∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，綜上所述，頂角為100°或55°或70°．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，難點在于要分情況討論求解，作出圖形更形象直觀．23．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）是等腰腰上的高，且，則等腰底角的度數(shù)是多少？（畫出符合題意的圖形，并直接寫出結果）【答案】圖見解析，等腰底角的度數(shù)是或或．【分析】本題考查了等腰直角的性質，直角三角形的性質．分三種情況討論，分別畫出圖形，利用等腰三角形的性質以及直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：當為銳角三角形時，如圖，

∵，∴，∴；當為鈍角三角形，且時，如圖，

∵，∴，∴；當為鈍角三角形，且時，如圖，

∵，∴，∴；綜上，等腰底角的度數(shù)是或或．【考點題型七】與高有關的問題24．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義以及直角三角形兩銳角互余，進行分等腰三角形是銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案是正確解答本題的關鍵．【詳解】解：①當為銳角三角形時，如圖，高與左邊腰成夾角，由三角形內角和為可得，頂角為；②當為鈍角三角形時，如圖，此時垂足落到三角形外面，因為三角形內角和為，由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為，所以三角形的頂角為．故選D．25．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點、點在線段的垂直平分線上，且，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等邊對等角，分類計算，分點C，D在的同側和異側計算即可．【詳解】∵點、點在線段的垂直平分線上，∴，∴，，∵，∴，，當點C，D在的同側時，；當點C，D在的異側時，故答案為：或．26．（22-23八年級上·湖北荊門·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中線將三角形的周長分成15和9兩部分，求這個等腰三角形的腰長及底邊長．（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，求這個等腰三角形的底角的度數(shù)．【答案】（1）腰長為10，底邊長為4；（2）這個等腰三角形的底角的度數(shù)是或【分析】（1）設，則，分兩種情況：①當，時，②當，時，分別列方程求出x得到腰長，即可求出底邊；（2）分①若是銳角三角形，②若三角形是鈍角三角形兩種情況求解【詳解】解：（1）設，則，①當，時，則，∴，∴，，∴這個等腰三角形的腰長為10，底邊長為4；②當，時，則，∴，∴，，∵，∴此時不成立．

綜上，這個等腰三角形的腰長為10，底邊長為4；（2）在中，設于D．①若是銳角三角形，，∴底角；

②若三角形是鈍角三角形，，∴底角

綜上，這個等腰三角形的底角的度數(shù)是或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，等邊對等角求角度，三角形外角的性質，在解題時要注意找出等量關系是解題的關鍵．【考點題型八】綜合創(chuàng)新問題27．（22-23八年級上·湖北荊門·期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點，BD＝CE，AD與BE相交于點P，AP＝4，Q是射線PE上的動點．(1)求證：：(2)若△APQ為直角三角形，求PQ的值；(3)當△APQ為鈍角三角形時，直接寫出PQ的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)2或8(3)或【分析】（1）先利用等邊三角形的性質得出=即可得出結論；（2）先