四川省涼山州2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考理試題含解析

Page21四川省涼山州2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次月考（理）試題滿分：150分

考試時(shí)間：120分鐘第Ⅰ卷（選擇題

共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一商店有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)中僅有一等獎(jiǎng)?二等獎(jiǎng)?激勵(lì)獎(jiǎng)三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中中一等獎(jiǎng)的概率為0.05，中二等獎(jiǎng)的概率為0.16，中激勵(lì)獎(jiǎng)的概率為0.40，則不中獎(jiǎng)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)立事務(wù)的概念計(jì)算公式，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】中獎(jiǎng)的概率為，中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)互為對(duì)立事務(wù)，所以不中獎(jiǎng)的概率為.故選：B.2.某工廠為了對(duì)40個(gè)零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，將其編號(hào)為00，01，…，38，39.現(xiàn)要從中選出5個(gè)，利用下面的隨機(jī)數(shù)表，從第一行第3列起先，由左至右依次讀取，則選出來(lái)的第5個(gè)零件編號(hào)是（）034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A.36 B.16 C.11 D.14【答案】C【解析】【分析】依據(jù)隨機(jī)數(shù)表法抽樣的規(guī)則讀取數(shù)據(jù)即可.【詳解】從題中給的隨機(jī)數(shù)表第一行第3列起先從左往右起先讀取，重復(fù)的數(shù)字只讀一次，讀到的小于40的編號(hào)分別為36，33，26，16，11.所以出來(lái)的第5個(gè)零件編號(hào)是11.故選：C3.在慶祝中華人民共和國(guó)成立周年之際，某學(xué)校為了解《我和我的祖國(guó)》?《我愛(ài)你，中國(guó)》?《今日是你的生日》等經(jīng)典愛(ài)國(guó)歌曲的普及程度，在學(xué)生中開(kāi)展問(wèn)卷調(diào)查.該校共有中學(xué)學(xué)生人，其中高一年級(jí)學(xué)生人，高二年級(jí)學(xué)生人，高三年級(jí)學(xué)生人.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中學(xué)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，那么應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）A.30 B.31 C.32 D.33【答案】D【解析】【分析】干脆依據(jù)分層抽樣的概念可得結(jié)果.【詳解】由分層抽樣方法可得：應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為，故選：D.4.某公司為對(duì)本公司名員工的身體狀況進(jìn)行調(diào)查，先將員工隨機(jī)編號(hào)為，采納系統(tǒng)抽樣的方法（等間距地抽取，每段抽取一個(gè)個(gè)體）將抽取的一個(gè)樣本．已知抽取的員工中最小的兩個(gè)編號(hào)為，那么抽取的員工中，最大的編號(hào)應(yīng)當(dāng)是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解答：∵抽取的學(xué)生中最小的兩個(gè)編號(hào)為為5,21,∴樣本數(shù)據(jù)組距為21?5=16，樣本容量n=10，∴編號(hào)對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=5+16(n?1)，則當(dāng)n=10時(shí)，5+16×9=149，即抽取的最大編號(hào)是149.本題選擇C選項(xiàng).5.已知、、是三條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下面說(shuō)法中正確的是（）.A.若，，且，，則B.若，，且，則C若且，則//D.若，，且//，//，則//【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面平行、線面垂直、面面平行的判定定理推斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)//時(shí)，直線與平面不肯定垂直，只有、相交時(shí)才能得到，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖所示，把看作，看作，平面看作，平面看作，此時(shí)//，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若且，則//或在內(nèi)，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，∵//，//，∴//，若，，則//，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】對(duì)于空間點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的推斷問(wèn)題，一般可采納構(gòu)造法推斷，構(gòu)造長(zhǎng)方體或者正方體化抽象為直觀取推斷，這樣能避開(kāi)因考慮不全而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.6.統(tǒng)計(jì)與人類活動(dòng)休戚相關(guān)，我國(guó)從古代就形成了一套關(guān)于統(tǒng)計(jì)和整理數(shù)據(jù)的方法．據(jù)宋元時(shí)代學(xué)者馬端臨所著的《文獻(xiàn)通考》記載，宋神宗熙寧年間（公元1068－1077年），天下諸州商稅歲額：四十萬(wàn)貫以上者三，二十萬(wàn)貫以上者五，十萬(wàn)貫以上者十九……五千貫以下者七十三，共計(jì)三百十一．由這段內(nèi)容我們可以得到如下的統(tǒng)計(jì)表格：分組（萬(wàn)貫）合計(jì)合計(jì)73359551301953311則宋神宗熙寧年間各州商稅歲額（單位：萬(wàn)貫）的中位數(shù)大約為（）A.0.5 B.2 C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】將全部數(shù)據(jù)從小到大依次排列，確定中位數(shù)所在區(qū)間位置，即可確定中位數(shù).【詳解】總頻數(shù)為311，則中位數(shù)是全部數(shù)據(jù)從小到大第156個(gè)數(shù)據(jù)，，中位數(shù)大約在區(qū)間的中點(diǎn)處，所以中位數(shù)大約為2．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查樣本頻數(shù)分布表和中位數(shù)的概念，考查基本分析推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.7.在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，在所取的點(diǎn)恰好滿意的概率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意可知所取的點(diǎn)應(yīng)在圖中陰影部分.從而其概率為.故本題正確答案為C．考點(diǎn)：古典概型．8.如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個(gè)側(cè)面都是正方形，M、N分別是和的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系：令棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，，，則，，設(shè)與所成的角為，則故選：D9.正方體的棱長(zhǎng)為1，線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.二面角的大小為定值D.異面直線AE、BF所成角為定值【答案】D【解析】【分析】通過(guò)線面的垂直關(guān)系可證從而推斷A，依據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可推斷B，依據(jù)二面角即為二面角，可推斷C，計(jì)算異面直線所成的角可推斷D．【詳解】因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；因?yàn)闉槎ㄖ?，到平面的距離為，所以為定值，故B正確；因?yàn)槎娼蔷褪嵌娼?，所以其為定值，故C正確；當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)?，所以異面直線所成角為，且，當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成的角不是定值，故D錯(cuò)誤.故選：D10.某程序框圖如圖，該程序運(yùn)行后輸出的值是A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【詳解】由題設(shè)中供應(yīng)的算法流程圖可知程序執(zhí)行的是求和運(yùn)算：由于的周期是，所以，應(yīng)選答案B．11.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是（）A.4 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依據(jù)幾何體的三視圖還原空間幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出三角形的最大面積．【詳解】依據(jù)幾何體的三視圖還原得到該幾何體的直觀圖為：該幾何體為三棱錐體．如圖所示：由于，下底面為等腰直角三角形．可得，，，，所以該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形態(tài)時(shí)，要依據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不行見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形態(tài)以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.12.如圖，在棱錐中，底面是正方形，，平面．在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，則球的最大半徑為（）A. B.C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)球心為S，連接，、、、，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，利用這五個(gè)棱錐的體積之和等于棱錐的體積，則球的最大半徑可求.【詳解】解：由平面，，又，，所以平面，所以，，設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S，連接，、、、，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，它們的高均為R．四棱錐的體積，四棱錐的表面積，因?yàn)?，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】考查利用等體積法求四棱錐內(nèi)切球的半徑，基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷（非選擇題

共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.某中學(xué)實(shí)行了一場(chǎng)音樂(lè)學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，將參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.依據(jù)頻率分布直方圖，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)這次競(jìng)賽的平均成果為_(kāi)_____分.【答案】67.【解析】分析】本題依據(jù)頻率分布直方圖干脆求平均數(shù)即可.【詳解】解：這次競(jìng)賽的平均成果為：故答案為：67.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)，是基礎(chǔ)題.14.已知一組數(shù)據(jù)的方差為2，則這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_____.【答案】8【解析】【分析】由線性變換后新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間方差的關(guān)系計(jì)算．【詳解】的方差是．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查方差的概念，駕馭方差的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．?dāng)?shù)據(jù)的均值是，方差是，新數(shù)據(jù)滿意（），新數(shù)據(jù)的均值是，方差是，則，．15.五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別是，，，假定三人的選擇相互之間沒(méi)有影響，那么這個(gè)假期中至少有1人去北京旅游的概率為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)對(duì)立事務(wù)的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)這個(gè)假期中至少有1人去北京旅游為事務(wù)，因?yàn)?，所以，故答案為?6.如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于______．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)二面角的定義，結(jié)合空間向量加法運(yùn)算性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，又∵二面角的平面角等于120°，且，∴，，，∴，．故答案為：2．三、解答題：（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.2024年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將實(shí)行“3+1+2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門(mén)，再在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門(mén)．為了更好進(jìn)行生涯規(guī)劃，甲同學(xué)對(duì)高一一年來(lái)的七次考試成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中物理、歷史成果的莖葉圖如圖所示．（1）若甲同學(xué)隨機(jī)選擇3門(mén)功課，求他選到物理、地理兩門(mén)功課的概率；（2）試依據(jù)莖葉圖分析甲同學(xué)應(yīng)在物理和歷史中選擇哪一門(mén)學(xué)科？并說(shuō)明理由；【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）這是一個(gè)古典概型，先列舉出在物理、歷史中選擇1門(mén)，再在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門(mén)的基本領(lǐng)件數(shù)，然后從中找出選到物理、地理兩門(mén)功課的基本領(lǐng)件數(shù)，然后代入公式求解.（2）依據(jù)莖葉圖，利用平均數(shù)和方差公式分別求得物理成果和歷史成果的平均分和方差即可.【詳解】（1）記物理、歷史分別為，思想政治、地理、化學(xué)、生物分別為，由題意可知考生選擇的情形有，，，，，，，，，，，，共12種；他選到物理、地理兩門(mén)功課的情形有，共3種；甲同學(xué)選到物理、地理兩門(mén)功課的概率為（2）物理成果的平均分為歷史成果的平均分為由莖葉圖可知物理成果的方差歷史成果的方差故從平均分來(lái)看，選擇物理歷史學(xué)科均可以；從方差的穩(wěn)定性來(lái)看，應(yīng)選擇物理學(xué)科；從最高分狀況來(lái)看，應(yīng)選擇歷史學(xué)科.18.樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深化人心，已形成了全民自覺(jué)參加，造福百姓的良性循環(huán)．據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展?fàn)顩r的調(diào)查，現(xiàn)從參加調(diào)查的人群中隨機(jī)選出20人的樣本，并將這20人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）求a的值．（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)參加調(diào)查人群的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）．（3）若從年齡在的人中隨機(jī)抽取兩位，求兩人恰有一人的年齡在內(nèi)的概率．【答案】（1）；（2）42.14；（3）.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的小矩形的面積和為1求解.（2）由頻率分布直方圖得的頻率，的頻率，然后再利用中位數(shù)的定義求解。（3）這是一個(gè)古典概型，先求得從年齡在的5人中隨機(jī)抽取兩位的基本領(lǐng)件數(shù)，再得到兩人恰有一人的年齡在在內(nèi)的基本領(lǐng)件數(shù)，代入公式求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?解得（2）因?yàn)榈念l率為，的頻率為，所以估計(jì)參加調(diào)查人群的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.（3）20人中，年齡在中的有人，記為A，B，年齡在中的有人記為a，b，c，從年齡在的5人中隨機(jī)抽取兩位，基本領(lǐng)件有：，共10種，兩人恰有一人的年齡在在內(nèi)的基本領(lǐng)件有：，共6種，所以兩人恰有一人的年齡在內(nèi)的概率為..【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時(shí)，應(yīng)留意這三者的區(qū)分：(1)最高的矩形的中點(diǎn)即眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．19.已知如圖①，在菱形中，且，為的中點(diǎn)，將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用題中所給的條件證明，，因?yàn)?，所以，，即可證明平面，進(jìn)一步可得面面垂直；（2）先證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式即可求解【詳解】解：（1）在圖①中，連接，如圖所示：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以是等邊三角?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因?yàn)椋裕?又，，平面.所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，.因?yàn)?，，平?所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得.令，得，，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，由得令，，，得則，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明面面垂直的思路（1）利用面面垂直的定義，（不常用）（2）利用面面垂直的判定定理；（3）利用性質(zhì)：，.20.在三棱錐中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分別為、的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證即可；（2）面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用平面法向量與直線方向向量的夾角與線面角的關(guān)系即可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）在等腰直角三角形中，，所以．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴；（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作垂直于，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以．如圖，以為原點(diǎn)，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，．，，．設(shè)平面的法向量為，則，即．令則，，所以．直線與平面所成角大小為，．所以直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用線面垂直性質(zhì)證線線垂直，利用空間向量求線面角的正弦值，屬于中檔題.21.2024年新型冠狀病毒肺炎疫情期間，某市從2024年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠狀病毒肺炎人數(shù)y(人)的近5天的詳細(xì)數(shù)據(jù)，如表：第x天12345新增的新型冠狀病毒肺炎人數(shù)y(人)2481318已知2月份前半個(gè)月處于疫情爆發(fā)期，且新增病例數(shù)與天數(shù)具有相關(guān)關(guān)系.（1）求線性