內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理科試題含解析

Page20內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理科試題留意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、考生號(hào)寫在答題卡上.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合、，再去求即可解決.【詳解】，則故選：B2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求得，再去求即可解決.【詳解】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模，則故選：B3.下列說(shuō)法正確的是（）A.命題“若，則”的否命題為“若，則”B.“”是“”的必要不充分條件C.命題“，”的否定是“，”D.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】由否命題可推斷A；通過(guò)解方程可推斷B；由特稱命題的否定可推斷C；將命題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而可推斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，“，”的否定是“，”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槊}“，”是假命題，所以對(duì)恒成立，所以恒成立.因?yàn)?，所以，則，故，故D正確.故選：D.4.向量與共線，向量與垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量共線公式可得，依據(jù)垂直的坐標(biāo)公式可得，再依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】與共線則，解得，與垂直則，解得.故，，故.故選：B5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱與最短的棱所在直線所成角的正切值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三視圖的數(shù)據(jù)，畫出原幾何體的直觀圖，利用平移法即可求解異面直線所成角的正切．【詳解】解：如圖，由三視圖還原幾何體為三棱錐，由圖可知最長(zhǎng)的棱為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，最短的棱為，異面直線與所成的角為，由三視圖可得，，所以，即最長(zhǎng)的棱與最短的棱所在直線所成角的正切值為.故選：C．6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題首先依據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)得出，再依據(jù)平移的左正右負(fù)的原則得到的解析式，最終得到的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，，，，，將函數(shù)向左平移單位的解析式是，令,，結(jié)合所給的選項(xiàng)，令，則的一個(gè)增區(qū)間為，故選：B7.若項(xiàng)數(shù)為的等比數(shù)列的中間兩項(xiàng)正好是方程的兩個(gè)根，則此數(shù)列的各項(xiàng)積是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)可得，結(jié)合韋達(dá)定理可得其各項(xiàng)積.【詳解】項(xiàng)數(shù)為的等比數(shù)列的中間兩項(xiàng)為，它們正好是方程的兩個(gè)根，所以，由韋達(dá)定理可知，又由等比數(shù)列性質(zhì)可得，所以，此數(shù)列的各項(xiàng)積為.故選：C.8.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算、三角形的中位線及線段中點(diǎn)的向量表示進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.【詳解】如圖，連接，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則.故選：D.9.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，據(jù)此可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但許多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能干脆利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必需駕馭一些特別方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行推斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又精確．10.已知在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，則可得為二面角的平面角，得，過(guò)點(diǎn)D作與平面垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，從而可求得球的表面積.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，SD，因?yàn)椋?，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)锳B⊥BC，，所以，因?yàn)?，所以，過(guò)點(diǎn)D作與平面ABC垂直的直線，則球心O在該直線上，設(shè)球的半徑為R，連接OB，OS，可得，在△OSD中，∠ODS＝，利用余弦定理可得，解得R2＝，所以其外接球的表面積為.故選：D11.對(duì)隨意兩個(gè)非零的平面對(duì)量，定義，若平面對(duì)量滿意，的夾角，且和都在集合中，則=（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可可設(shè)，，，，得，對(duì)，進(jìn)行賦值即可得出，的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：，故．又由，可設(shè)，，令，，且又夾角，所以，對(duì)，進(jìn)行賦值即可得出所以．故選：C．12.設(shè)函數(shù)．若存在的極值點(diǎn)滿意，則m的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】由題意知：的極值為，所以，因?yàn)?，所以，所以即，所以，?，而已知，所以3，故，解得或，故選C.考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討的極值，考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的實(shí)力.第II卷二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若滿意約束條件則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時(shí)，.【詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題是高考中常考考點(diǎn)，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.14.若，則__________.【答案】【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把1換成，，分子分母同時(shí)除以，最終把的值代入即可求得答案．【詳解】即答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．解題的關(guān)鍵是把原式中的弦轉(zhuǎn)化成切，利用已知條件求得問(wèn)題的解決．15.函數(shù)（）的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】將所給函數(shù)的解析式變形為，再結(jié)合，并依據(jù)基本不等式求解即可得到結(jié)論．【詳解】由題意得，∵，∴．又，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴函數(shù)的最小值為．故答案為：.【點(diǎn)睛】（1）運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，留意運(yùn)用的前提是“一正、二定、三相等”，且這三個(gè)條件缺一不行．（2）在運(yùn)用基本不等式時(shí)，若條件不滿意運(yùn)用的條件，則要留意通過(guò)“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿意重要不等式中“正”“定”“等”的條件．16.已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可.【詳解】解：依據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，如圖：令，因?yàn)榉匠逃?個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故令，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn).所以，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，已知．（1）求的大??；（2）若，求cosB和a的值．【答案】（1）或（2），【解析】【分析】（1）由可求，再由，用正弦定理算出，可得.（2），結(jié)合已知條件可求值，再用余弦定理求a的值.【小問(wèn)1詳解】△ABC中，因?yàn)椋裕烧叶ɡ淼茫海?/p>

所以．所以或．【小問(wèn)2詳解】，則，所以（舍去）．此時(shí)，，，，所以．即．由余弦定理得：，即，由，解得：.18.已知函數(shù)=4tanxsin（）cos（）.（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；（Ⅱ）探討f（x）在區(qū)間[]上的單調(diào)性.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）先利用誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求定義域、最小正周期；（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，探討函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上單調(diào)性.試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?.所以,的最小正周期（Ⅱ）令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得設(shè)，易知.所以,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【考點(diǎn)】三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，擅長(zhǎng)用已知角表示所求角，即留意角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和與差的正、余弦公式、二倍角公式、協(xié)助角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，開方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證.對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，經(jīng)常是先化為y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等變換要堅(jiān)持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)；降次是一種三角變換的常用技巧，要敏捷運(yùn)用降次公式．19.已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系求出和，證明是等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意，，在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，解得或．∵∴．∵∴．兩式相減得．∴．∵，∴．即數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴即【小問(wèn)2詳解】由題意及（1）得，，在數(shù)列中，在數(shù)列中，∴．∴．∵恒成立，∴．∴的取值范圍為20.已知四棱錐，底面是、邊長(zhǎng)為2的菱形，又，且，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．（1）證明：DN//平面PMB；（2）證明：平面PMB平面PAD；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見詳解（2）證明過(guò)程見詳解（3）【解析】分析】（1）作協(xié)助線，利用線面平行判定定理證明（2）作協(xié)助線證明平面，進(jìn)而證明面面垂直（3）建立直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)而求出二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以且又因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，所以所以四邊形為平行四邊形，則.因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【小?wèn)2詳解】連接，因?yàn)榈酌媸?、邊長(zhǎng)為2的菱形，所以為等邊三角形，所以因?yàn)椋移矫?，所以又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?【小問(wèn)3詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.令，則，由（2）知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則所以由圖可知二面角的為銳角，所以余弦值為.21.已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，探討零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（1）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類探討，即可由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）依據(jù)的定義，利用導(dǎo)數(shù)分區(qū)間探討在上的零點(diǎn)分布狀況.【詳解】（1），故可得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，故簡(jiǎn)單得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）①當(dāng)時(shí)，，，明顯此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，若，，故是的零點(diǎn)；若，，故不是的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于在上實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).令，故可得，故簡(jiǎn)單得在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.且.故當(dāng)或時(shí)，在沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或，在有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性，以及求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬綜合困難題.22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程：（2）設(shè)直線與曲線交于點(diǎn),若點(diǎn)坐標(biāo)為,求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)可得