廣東省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的?1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A：時(shí)，，舍去；對(duì)于B：時(shí)，，舍去；對(duì)于D：時(shí)，，舍去；經(jīng)檢驗(yàn)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故選：C.2.已知直線的斜率為，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)榈男甭蕿椋?，則.故選：B.3.已知是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為4，則（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】由題意知拋物線的準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為9，到軸的距離為4，即A點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，所以,解得.故選：D4.數(shù)列中，已知，則（）A.4 B. C.1 D.2【答案】A【解析】在數(shù)列中，已知，則.故選：A5.若圓與圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因恰有兩個(gè)公共點(diǎn),所以兩圓相交，所以，解得或，即的取值范圍是.故選：A6.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不共面，對(duì)于A項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因，故共面，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7.如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個(gè)正三角形的頂點(diǎn)都是其外接正三角形各邊的中點(diǎn)．現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個(gè)網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】由題可知，該三角形蜘蛛網(wǎng)中三角形周長從大到小是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.設(shè)最小的正三角形的邊長為米，則，則，即，得，故最小的正三角形的邊長為米.故選：B.8.已知直線與交于點(diǎn)，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得直線恒過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，且，所以，所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（不含點(diǎn)）．可設(shè)，且，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．故選：D二?多選題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是等差數(shù)列，公差不為0，若成等比數(shù)列，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，則，又不為0，所以，，符號(hào)不確定，故A錯(cuò)誤.，故B正確；所以，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知，在同一個(gè)坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)椋郧€為，直線為，當(dāng)時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．11.已知為正方體所在空間內(nèi)一點(diǎn)，且，，則（）A.B.三棱錐的體積為定值C.存在唯一的，使得平面平面D.存在唯一的，使得【答案】AB【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，,因?yàn)?，故，即有，即，故點(diǎn)在線段上，有，則有，，則，故，故A正確；由點(diǎn)在線段上，且，又平面，平面，故平面，故點(diǎn)到平面距離不變，故三棱錐的體積為定值，故B正確；在正方體中，平面，，又平面，故，又平面，且平面，故平面，又平面，故平面平面恒成立，故C錯(cuò)誤；，故，由，得，方程無解，故不存在實(shí)數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以由橢圓的對(duì)稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，，平行四邊中,，在中，.因?yàn)橹本€斜率存在，所以A，B兩點(diǎn)不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因?yàn)?，故A，C錯(cuò)誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則______.【答案】2【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以，所以，所以.故答案為：214.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】28【解析】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，解得，故答案為?815.若雙曲線的虛軸長為4，則該雙曲線的漸近線方程為________.【答案】【解析】由雙曲線的虛軸長為4，可得，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16.若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則______.【答案】24【解析】由題可知，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項(xiàng)，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項(xiàng)，若是等差中項(xiàng)，則，解得，則，故，若是等差中項(xiàng)，則，解得，則.故.故答案為：24四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)椋?又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，則，則，則.18.已知圓過點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.19.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切，記動(dòng)圓的圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）直線與都經(jīng)過點(diǎn)且互相垂直，與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，求的最小值.解：（1）設(shè)圓心，因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切,則，所以，整理得，故的方程為.（2）由題可知，與的斜率均存在且不為0，設(shè)的方程為的方程為.聯(lián)立方程組整理得，則，同理可得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為256.20.如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，且．（1）求的長;（2）求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由，得，，，．因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角的正弦值為．21.已知是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）在中，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在和之間插入k個(gè)，得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，比較與20000的大小關(guān)系．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，則，解得，所以，．（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，可知，且，令的前n項(xiàng)和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)和．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)（異于點(diǎn)）是上不同的兩點(diǎn)，且，證明直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題意得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以直線的斜率為，同理可得點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有，解得，直線的方程為．當(dāng)時(shí)，直線的斜率，