廣東省東莞市2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市2024屆高三上學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知復數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，所以.故選：C.3.已知由小到大排列的個數(shù)據(jù)、、、，若這個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由小到大排列的個數(shù)據(jù)、、、，則，這四個數(shù)為極差為，中位數(shù)為，因為這個數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的倍，則，解得，所以，這四個數(shù)由小到大依次為、、、，因為，故這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：B.4.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】①當時，，此時A選項符合；②當時，，當時，，因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個交點，即函數(shù)在在上有一個零點，當時，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，故B選項符合；③當時，，當時，，因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個交點，即函數(shù)在在上有一個零點，當時，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，故C選項符合，D選項不可能.故選：D.5.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設首項為，公比為，易知，，可得，解得，而，故選：C6.已知，則的值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，即，由，故選：A.7.以拋物線C的頂點O為圓心的單位圓與C的一個交點記為點A，與C的準線的一個交點記為點B，當點A，B在拋物線C的對稱軸的同側(cè)時，OA⊥OB，則拋物線C的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設拋物線方程為，由題意得，，過點作⊥軸于點，因為OA⊥OB，所以，又，所以，則≌，故，令得，，解得，故，由勾股定理得，解得，故拋物線C的焦點到準線的距離為.故選：D.8.如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐．已知每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設每個直三棱柱高為，每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長為，設正四棱臺的高為，因為每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則，可得，可得，所以，該正四棱臺的體積為.故選：C.二、多項選擇題9.已知函數(shù)，，是的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.與對稱軸相同 B.與周期相同C.的最大值是 D.不可能是奇函數(shù)【答案】BC【解析】由題意知，所以，對A：的對稱軸為，，解得，；的對稱軸為，，解得，，所以與的對稱軸不相同，故A錯誤；對B：的周期為，的周期為，所以與的周期相同，故B正確；對C：，因為，所以，故C正確；對D：當，，，所以，此時為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：BC.10.已知圓：，圓：，P，Q分別是，上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，四邊形的面積可能為7B.當時，四邊形的面積可能為8C.當直線PQ與和都相切時，的長可能為D.當直線PQ與和都相切時，的長可能為4【答案】ACD【解析】圓：的圓心，半徑；圓：的圓心，半徑；可知，可知兩圓外離，對于選項AB：設，因為，可知梯形的高為，所以四邊形的面積為，可知四邊形的面積可能為7，不可能為8，故A正確，B錯誤；對于選項CD：設直線與x軸的交點為，根據(jù)對稱性可知：如圖，因為，可知，則，可知，所以；如圖，因為，可知，則，可知，所以；故CD正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若是的對稱軸，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是的對稱中心C.2是的周期 D.【答案】BD【解析】對于A，因為是的對稱軸，所以，又因為，所以，故，即為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，所以，又因為，聯(lián)立得，所以的圖像關于點中心對稱，故B正確；對于C，因為，，則，即；因為，則，即，則；顯然，所以2不是的周期，故C錯誤；對于D，因為是的對稱軸，所以，又因為，即，則，所以，所以，即，所以周期為4，因為周期為4，對稱中心為，所以，當時，代入，即，所以，所以，又是的對稱軸，所以，所以，故D正確，故選：BD.12.如圖幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，已知點是圓弧的中點，點是圓弧上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點，使得平面B.不存在點，使得平面平面C.存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為D.不存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】由題意可將圖形補全為一個正方體，如圖所示：不妨設，以點為坐標原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、、、，，設點，其中，對于A選項，假設存在點，使得平面，，，，則，可得，因，則，即當點與點重合時，平面，A對；對于B選項，由A選項可知，平面的一個法向量為，假設存點，使得平面平面，則，，則，可得，又因為，解得，即當點為的中點時，面平面，B錯；對于C選項，若存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為，則直線與平面的所成角的正弦值為，且，所以，，整理可得，因為函數(shù)在時的圖象是連續(xù)的，且，，所以，存在，使得，所以，存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為，C對；對于D選項，設平面的法向量為，，，則，取，可得，假設存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即，可得或，因為，則，則，所以，，故當時，方程和均無解，綜上所述，不存在點，平面與平面的夾角的余弦值為，D對.故選：ACD.三、填空題13.雙曲線C：（，）的漸近線方程為，則其離心率______________．【答案】【解析】由題意可得，則.故答案為：.14.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．【答案】（答案不唯一）【解析】因為，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）15.用試劑檢驗并診斷疾病，表示被檢驗者患疾病，表示判斷被檢驗者患疾病．用試劑檢驗并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實患疾病的概率______________．【答案】【解析】由條件概率公式可得，，由條件概率公式可得，所以，，所以，.故答案為：.16.若函數(shù)的圖象關于對稱，則__________，的最小值為______________．【答案】【解析】因為函數(shù)的圖象關于對稱，令，可得，可得或，由對稱性可知，方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，可得，所以，，則，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，因為，令，令，所以，.故答案為：；.四、解答題17.數(shù)列前n項積為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前2n項和．解：（1）因為，若，則；若，則，且符合，綜上所述：數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可知：，可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．（1）證明：平面平面；（2）若，，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，求點E到平面ACF的距離．（1）證明：連接，與相交于點，連接，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則，為和的中點，，則，平面，，平面，平面，所以平面平面（2）解：四邊形ABCD是邊長為2的正方形，，，，，則有，，以為原點，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，則有，令，得，即.，點E到平面的距離.19.中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，且D為△ABC外接圓劣弧上一點，求的取值范圍．（1）解：因為，由余弦定理得，整理得，可得，又因為，可得.（2）解：由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，可得，設，則，在中，由正弦定理得，所以，所以，因為，可得，可得，所以的取值范圍為.20.已知橢圓：（），連接C的四個頂點所得四邊形的面積為，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓的右焦點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，試問軸上是否存在定點，使得的內(nèi)心也在軸上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）因為直線過右焦點且斜率不為零，設直線的方程為，，，聯(lián)立，得，恒成立，所以，，設軸上存在定點使得的內(nèi)心在軸上，則直線和關于軸對稱，所以直線和的傾斜角互補，所以，即，所以，即，整理得，即，即對所有恒成立，所以，所以存在定點符合題意.21.某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個物種C，統(tǒng)計其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗的結(jié)果；②重復進行這個試驗n次（其中），記第i次試驗中的A種數(shù)目為隨機變量（）；③記隨機變量，利用的期望和方差進行估算．設該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗都相互獨立．（1）已知，，證明：，；（2）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（），并計算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．（?。┱堄煤头謩e代替和，估算和；（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值．解：（1）由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項分布，則，，，，所以，.（2）（ⅰ）由（1）可知，則的均值，的方差，所以，解得或，由題意可知：，則，所以，；（ⅱ）由（?。┛芍海瑒t，則，由題意可知：，解得，且，則，所以的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值為15.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有、兩個根，且，求實數(shù)的值．（1）解：函數(shù)的定義域為，.當時，由可得，由可得，此時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當時，由可得，由可得，此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）解：由，則方程的兩根分別為、，等價于方程的兩根分別為、，所以，，①，，②，因為，將代入②式可得。即，③，由①式可得，④，由③④可得，易知，不是方程根，故，所以，，所以，，下面驗