河南省南陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若，則（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】由得，解得故選：B.2.點為兩條直線和的交點,則點到直線：的距離最大為（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】由得，即，直線：，所以直線過定點，所以當(dāng)直線與直線垂直時，此時點到直線的距離最大，且最大值為.故選：B.3.長時間玩手機可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令=“玩手機時間超過1小時的學(xué)生”，=“玩手機時間不超過1小時的學(xué)生”，=“任意調(diào)查一人，此人近視”，，且互斥，，依題意有，解得從每天玩手機不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為.故選：C4.已知焦點在軸上的雙曲線實軸長為4，漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，由于雙曲線的焦點在軸上，且漸近線方程為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D5.南陽市博物院為國家二級博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標(biāo)，是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館（節(jié)假日除外）.某學(xué)校計劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級的同學(xué)去南陽市博物院參觀研學(xué)，每天只能有一個年級參觀，其中高一年級需要連續(xù)兩天，高二、高三年級各需要一天，則不同的方案有（）A.20種 B.50種 C.60種 D.100種【答案】C【解析】因為博物院每周一閉館，所以高一年級可以從周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中選擇2日去參觀，共5種選擇，再從剩下的四天里安排高二、高三年級，有種安排方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，知不同的方案有種，故選：C.6.若橢圓和雙曲線的共同焦點為，，是兩曲線的一個交點，則的面積值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】A【解析】不妨設(shè)為左焦點，為右焦點，為兩曲線在第一象限的交點，則由已知得，則，，，則，所以.故選：A.7.已知過點且法向量為的平面的方程為.若平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線是平面與的交線，設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，得，則直線的方向向量為，因為平面的方程為，所以為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，得直線與平面所成角的正弦值為，故選：A8.在正方體中，點在底面所在的平面上運動.下列說法不正確的是（）A.若點滿足，則動點的軌跡為一條直線B.若，動點滿足，則動點的軌跡是圓C.若點到點與點的距離比為，則動點的軌跡是橢圓D.若點到直線的距離與到直線的距離相等，則動點的軌跡為拋物線【答案】C【解析】對于A，連接，因為平面，平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為，平面，所以平面，當(dāng)點直線上時，此時平面，可得，則動點的軌跡為直線，故A正確；對于B，連接，若，，所以，又因為，所以動點的軌跡在平面是在平面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓，故B正確；對于C，在平面內(nèi)，設(shè)正方向?qū)蔷€的交點為，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)Px,y因為，所以，化簡得，則動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故C錯誤；對于D，因為平面，平面，所以，所以點到直線的距離即點到點的距離，若點到直線的距離與到點的距離相等，根據(jù)拋物線定義，則動點的軌跡為在平面的拋物線，故D正確.故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知空間直角坐標(biāo)系中，點，，，則下列各點在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】，不共線，設(shè)為平面內(nèi)一點，則，，由于無解，所以不在平面內(nèi).，由，解得，所以在平面內(nèi).，由，解得，所以平面內(nèi).，由于，所以在平面內(nèi).故選：BCD10.下列說法不正確的是（）A.過點且在，軸上的截距相等的直線方程為B.過點與圓相切的直線有兩條C.若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式共有7項D.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】ABC【解析】對于A項，過點且在，軸上的截距相等的直線方程包括截距為0時的直線和截距不為0時的直線，故A項不正確，符合題意；對于B項，因點在圓上，故過點與圓相切的直線只有一條，故B項不正確，符合題意；對于C項，因二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，解得：，則展開式有項，故C項不正確，符合題意；對于D項，因，，則，故.故D項正確,不符題意.故選：ABC.11.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（）A.B.第2023行中從左往右第1011個數(shù)與第1012個數(shù)相等C.記第行的第個數(shù)為，則D.第20行中第12個數(shù)與第13個數(shù)之比為【答案】AB【解析】對于A：，A錯誤；對于B：第2023行中的數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第1011個數(shù)為，第1012個數(shù)為，，B錯誤；對于C：第行的第個數(shù)為，則，C正確；對于D：第20行中的數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第12個數(shù)為，第13個數(shù)為，則，D正確.故選：AB.12.已知拋物線：的焦點與橢圓的右焦點重合，過的直線交于、兩點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為2C.的面積為定值D.若在軸上，則為直角三角形【答案】ABD【解析】由橢圓方程可知，橢圓的右焦點坐標(biāo)為1,0，則拋物線焦點為1,0，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為，拋物線的焦點弦中，通徑最短，通徑長為，則，A選項正確；顯然直線AB的斜率為0時不合題意，則設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，，得，，所以，，則，因為與垂直，所以直線的斜率為，其方程為，聯(lián)立，解得，即，所以點M到直線AB的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，即選項B正確；的面積當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積最小值為4，即選項C錯誤；若在軸上，則，此時為通徑，設(shè)，，，AB=4，滿足，則為直角三角形，D選項正確.故選：ABD第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，即，，當(dāng)焦點在軸正半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點在軸負(fù)半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點在軸正半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點在軸負(fù)半軸時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.14.已知，且，記隨機變量為，，中的最小值，則______.【答案】0.09【解析】，且，相當(dāng)于6個1之間的5個空中插入兩個擋板，故共有種情況，的可能取值為，其中時，只有三個數(shù)為，故，則，所以，.故答案為：15.南陽素有“月季花城”的美譽，是“中國月季之鄉(xiāng)”和世界月季名城.某社區(qū)對一個街心公園進行改造，在公園中央有一個正方形區(qū)域如圖示，它由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)對該區(qū)域種植月季，有5種不同的月季可供選擇，要求相鄰區(qū)域種植的月季不同.在所有的種植方案中隨機選擇一種方案，該方案恰好只用到四種月季的概率是______.【答案】【解析】對該區(qū)域種植月季，有種不同的月季可供選擇，當(dāng)只選擇種或種月季種植，不可能相鄰區(qū)域種植的月季不同；當(dāng)選擇種月季種植時，第一步：先種植①④⑤區(qū)域，有種種植方法；第二步：再種植②區(qū)域，必和④區(qū)域相同，只有種種植方法；第三步：種植③區(qū)域，必和①區(qū)域相同，只有種種植方法；故選擇3種月季種植時，有種種植方法；當(dāng)選擇種月季種植時，第一步：先種植①④⑤區(qū)域，用了種月季中的種，有種種植方法；第二步：再把還沒有用過的種月季選種植下去，有②③兩個區(qū)域可供種植，有種種植方法；第三步，種植最后一個區(qū)域，只有種種植方法，故選擇種月季種植時，有種種植方法；，當(dāng)選擇全部的種月季種植時，有種種植方法；所以該方案恰好只用到四種月季的概率是.故答案為：.16.已知橢圓：，經(jīng)過原點的直線交于、兩點.是上異于、的一點，直線交軸于點，且.若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率______.【答案】【解析】依題意，直線、的斜率存在，由于，則直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)是的中點，連接，則，設(shè)，則，，由兩式相減并化簡得，由于直線、的斜率之積為，即，則，所以，所以橢圓的離心率.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在下列所給的兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.①與直線垂直；②一個方向向量為；問題：已知直線過點，且______.（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與圓相交于、兩點，求弦的長.解：（1）若選①，因為直線的斜率為，直線與直線垂直，所以直線的斜率為.依題意，直線的方程為，即；若選②，因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率為，直線的方程為，即.（2）由（1）可得：直線的方程為.圓的圓心到直線的距離為：.又圓的半徑為，所以.18.一個袋子里放有除顏色外完全相同的2個白球、3個黑球.（1）采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求兩個小球顏色不同的概率；（2）采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.解：（1）設(shè)事件：用放回抽樣方式摸出兩個顏色不同的小球.因為采取放回抽樣方式，所以每次摸一個白球的概率為，每一次摸一個黑球的概率為，所以.即用放回抽樣方式摸出兩個顏色不同的小球的概率為.（2）設(shè)事件為第一次摸到黑球，事件第二次摸到黑球，所以，，所以在第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率為：.19.已知平行六面體底面是邊長為1的正方形,,.（1）求對角線的長；（2）求直線與所成角的余弦值.解：（1）方法一：因為，又底面是正方形，，，，所以，所以；方法二：如圖所示，以為原點，，分別為、軸正方向，過點且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，所以；（2）方法一：因為，所以，又，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為；方法二：與（1）中的方法二，以為原點，，分別為、軸正方向，過點且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B1,0,0，，，，，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點為，，且經(jīng)過點，點為橢圓的右頂點，直線與橢圓交于（異于點）兩點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若以為直徑的圓過點，求證直線過定點，并求該定點坐標(biāo).解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，，，可得，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知：.若直線的斜率不為0時，設(shè)，Ax1,聯(lián)立方程，消去得，則，可得，，又因為，，由題意可知：，則，整理得，則，又因為，則，可得，整理得，即直線：過定點；若直線的斜率為0，則Ax1,y又因為，，由題意可知：，即且，解得，此時直線：，不合題意；綜上所述：直線過定點.21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到面的距離；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）由題意，可以為原點，，，分別為，，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（1）顯然為平面的一個法向量，而.因為，所以.又平面，所以平面；（2）設(shè)n=x,y,z為面的一個法向量，又，則，不妨取，則，記點到面的距離為，則.即點到面的距離為；（3）顯然為平面的一個法向量.設(shè)為面的一個法向量，則，不妨取，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則.即平面與平面的夾角的余弦值為.22.某省年開始將全面