河南省濮陽市2023-2024學年高二上學期期末考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽市2023-2024學年高二上學期期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線得：焦點在x軸上，開口向右，p=2，所以其準線方程為，故選：B2.已知向量與共線，則（）A. B.0 C.2 D.6【答案】C【解析】因為向量與共線，顯然：,所以，所以，故．故選：C.3.已知是公比為2的等比數列，若，則（）A.100 B.80 C.50 D.40【答案】B【解析】設的公比為，則，所以，所以.故選：B.4.已知直線與垂直，則（）A.0 B.0或 C. D.0或【答案】B【解析】因為，則有，解得或，故選：B.5.記數列的前項和為，已知，且，則（）A.6 B.5 C.3 D.1【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C6.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為棱中點，且，則（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】底面為菱形，，,為棱的中點,，解得.故選:A.7.若數列滿足，當時，，則稱為斐波那契數列．令，則數列的前100項和為（）A.0 B. C. D.32【答案】B【解析】由數列的前兩項都是奇數，因為兩奇數之和為偶數，偶數與奇數之和為奇數，可得各項依次為奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，，所以數列的前若干項依次為，將，，看作一組，每組個數的和為，所以數列的前100項的和為．故選：B.8.橢圓具有如下光學性質：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關于的對稱點為，若，，則（）（注：表示面積.）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】如圖，由橢圓的光學性質可得三點共線.設，則.故，解得.又，所以，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數列前項和，則（）A. B. C.是等差數列 D.是遞增數列【答案】AC【解析】，故A正確；當時，，當時，，不適合上式，故B錯誤；從第2項開始為等差數列，所以其偶數項構成等差數列，故C正確；因為，故D錯誤.故選：AC.10.已知曲線，則（）A.當時，曲線是橢圓B.當時，曲線是以直線為漸近線的雙曲線C.存在實數，使得過點D.當時，直線總與曲線相交【答案】ABC【解析】當時，，所以方程表示的曲線是橢圓，故A正確；當時，方程為，所以，其漸近線方程為，即，故B正確；令，整理得且，此方程有解，故C正確；當時，曲線為雙曲線，直線為的一條漸近線，此時無交點，故D錯誤.故選：ABC.11.已知圓和圓，則（）A.圓與軸相切B.兩圓公共弦所在直線的方程為C.有且僅有一個點，使得過點能作兩條與兩圓都相切的直線D.兩圓的公切線段長為【答案】ACD【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.對于A，顯然圓與軸相切，故A正確；對于B，易知兩圓相交，將方程與相減，得公共弦所在直線的方程為，故B錯誤；對于C，兩圓相交，所以兩圓的公切線只有兩條，又因為兩圓半徑不相等，所以公切線交于一點，即過點可以作出兩條與兩圓都相切的直線，故C正確；對于，因為，所以公切線段長為，故D正確.故選：ACD12.已知正方體的棱長為分別是棱和的中點，是棱上的一點，是正方形內一動點，且點到直線與直線的距離相等，則（）A.B.點到直線的距離為C.存在點，使得平面D.動點在一條拋物線上運動【答案】AD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.對于選項A，易知，設，所以，又，得到，所以，故選項A正確；對于選項，因為，所以，又，則在方向上的投影向量的模為，又，所以點到直線的距離為，故選項B錯誤；對于選項C，設平面的一個法向量為，由選項A知，，，由，得到，取，所以平面的一個法向量為，由，得到，所以不存在點，使得平面，故選項C錯誤；對于選項D，因為平面平面，所以，所以點到直線的距離即點到點的距離，又點到直線與直線的距離相等，即點到點的距離等于點到直線的距離,又面，面,由拋物線定義知，點的軌跡是以為焦點，所在直線為準線的拋物線的一部分，故選項正確，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在空間直角坐標系中，向量，分別為異面直線方向向量，若所成角的余弦值為，則__________.【答案】【解析】設所成的角為.由題意知，解得.故答案為：.14.記等比數列的前項和為，已知，且，寫出滿足條件的一個的通項公式：____________.【答案】（或者）【解析】由可知公比不為1，所以，當時，，所以當時，，所以，故答案為：（或者）15.已知是雙曲線的左?右焦點，為上一點，且（為坐標原點），，則的離心率為__________.【答案】【解析】設雙曲線的半焦距為，則，因為，所以，在中，，所以為等邊三角形，所以，根據雙曲線定義可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以，解得，所以的離心率為.故答案為：.16.已知數列的通項公式為，其前項和為，不等式對任意的恒成立，則的最小值為__________.【答案】【解析】由題意可得，當為奇數時，，隨著值的增大而減小，所以，當為偶數時，，隨著值的增大而增大，所以，所以，又因為函數在上單調遞增，所以當，時，，所以，所以的最小值為.故答案為：四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知公比不為1的等比數列滿足，且是等差數列的前三項.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.解：（1）設的公比為，因為成等差數列，則，即，解得或1（舍去），所以.（2）由（1）可知的前三項為，則等差數列的首項為，公差為，所以，即.所以.18.如圖，在四棱錐中，為棱的中點，平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）因為平面，平面，所以，又，由題可知兩兩互相垂直，所以以所在直線為軸，過與平行的直線為軸，所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標系.又，為棱的中點，易知.所以，所以，所以.（2）因為平面，平面，所以.由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一個法向量.又因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為，且.（1）求的值；（2）過點作兩條互相垂直的直線，分別與圓交于不同于點的兩點，若，求直線的方程.解：（1）由題意可知圓的圓心為，半徑.因為，所以，從而，即，兩邊平方整理得，又因為，所以.（2）由（1）知圓，點在圓上，又因為，所以線段為圓的直徑，即直線過圓心，顯然直線的斜率不為0，設其方程為，點到直線的距離為.根據三角形的面積公式可得.所以，解得，所以直線方程為或.20.已知數列的各項都是正數，前項和為，且.（1）證明：是等差數列；（2）求數列的前項和.解：（1）在中，令，得，當時，由，得，整理得，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列.（2）由（1）知.所以①，②①-②，得，所以.21.如圖,在斜三棱柱中,,且三棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）若平面平面為銳角，求二面角的余弦值.解：（1）設三棱柱的高為，因為，所以，又因為三棱錐的體積為，可得，解得，即三棱柱的高為.（2）過點作于點，連接，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）知，又因為為銳角，所以，在中，，所以.以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為平面，可得平面的一個法向量為，所以，所以二面角的余弦值為.2