人教版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：基本不等式-重難點(diǎn)題型檢測(cè)

專題2.4基本不等式-重難點(diǎn)題型檢測(cè)

【人教A版2019】

考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分

姓名:班級(jí):考號(hào):

考卷信息：

本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較

高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！

選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）（2022春?韓城市期末）函數(shù)/（尤）=5x+S（x>0）的最小值為（）

A.10B.15C.20D.25

2.（3分）（2022春?鄲都區(qū)校級(jí)期末）若實(shí)數(shù)尤、y滿足/+/=1+犯，則下列結(jié)論中，正確的是（）

A.x+yWlB.x+y22C.D.x2+^2^2

3.（3分）（2022春?黃陵縣校級(jí)期末）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

19

A.y=%+1B.y=JT-2x+4

i______i

C.y=%2+-7D.y=Vx2+2+.

4.（3分）（2022秋?哈爾濱月考）設(shè)a>0,b>0,若a+36=5,則創(chuàng)羋等八的最小值為（）

\ab

A.9A/3B.2C.6A/2D.4百

41

5.（3分）（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）已知正實(shí)數(shù)〃，/?滿足+;~~~7=1，則。+2。的最小值為（）

a+bb+1

C.10D.12

6.（3分）（2021秋?澤普縣校級(jí)月考）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成

了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)

證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A3上，且OFLA5,設(shè)

AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

OC

ct+b/—

A.227ab(a>0,b>0)

B.。b>0)

a+bla2+b2

C.2—/--—（a>0，b>0）

D.+匕<VCLb（a>0,b>0）

7.（3分）（2022春?營(yíng)口期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作

為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“V”和符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的

11

引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)。，b滿足〃+。=4,且一+工>"亙成立，則實(shí)數(shù)

ab

/的取值范圍是（）

A.忘1B.t<lC.W2D.t<2

21

8.（3分）（2021秋?李滄區(qū)校級(jí)月考）若x>0,y>0,且一+-=1,X+2y>W+7加恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的

xy

取值范圍是（）

A.-8<m<lB.m<-8或小>1C.m<-1或相>8D.-l<m<8

二.多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

9.（4分）（2021秋?灤南縣校級(jí)月考）下列函數(shù)最小值為2的是（）

A1nX2+2

A.zy=x+-B.y=^=

XJx2+1

C.y=x^4—nD.y=y/x(4—x)

X乙

11

10.（4分）（2。21秋?建華區(qū)校級(jí)期中）若正數(shù)a,6滿足"b=l,則皿+訴的可能取值為（）

6421

A.-B.-C.-D.一

7774

11.（4分）（2021秋?煙臺(tái)期末）已知%>0,y>0,且x+y+盯-3=0,則錯(cuò)誤的是（）

A.孫的取值范圍是［1,9］B.x+y的取值范圍是［2,+8）

C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最小值是4a-3

12.（4分）（2021秋?呼蘭區(qū)校級(jí)期中）已知%>0,y>0，且2x+y=2,若----<----^對(duì)任意的%>0,

m-1xy

y>0恒成立，則實(shí)數(shù)徵的可能取值為（)

1912

A.-B.-C.—D.2

487

三.填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

13.（4分）（2021秋?石鼓區(qū)校級(jí)月考）已知尤>2,x+段（a>0）最小值為3.貝ija=.

14.（4分）（2022秋?新羅區(qū)校級(jí)月考）己知正實(shí)數(shù)a,b滿足M+a+b=3,則2°+6的最小值為.

15.（4分）（2022?衡南縣校級(jí)開學(xué)）直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5時(shí)，其面積有最（大或小）值，為.

16.（4分）（2022秋?余姚市校級(jí)月考）有下列4個(gè)關(guān)于不等式的結(jié)論：①若x<0,則x+《W-2；②若

xCR,則>2；③若xeR,則|x+白》2；④若。>0,貝￡1+a）（l+；）24.其中正確的序號(hào)是.

四.解答題（共6小題，滿分44分）

17.（6分）（2022?望花區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知在（0,+8）.

（1）求y=x+［的值域；

（2）求丫=/+jx+3的最小值,以及>取得最小值時(shí)x的值.

18.（6分）（2021秋?新泰市校級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)a>0,6>0,4+26=2.

12

（1）求一+r的最小值；

ab

（2）求/+4房+5浦的最大值.

19.（8分）（2022春?福田區(qū)校級(jí)期末）若a>0,b>0,a+6=l.求證:

41

(1)-+->9

ab

(2)(2a+1+72b+1<2V2.

20.（8分）（2021秋?洛陽期中）如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒有限制）的矩形

菜園.設(shè)菜園的長(zhǎng)為X7",寬為ym.

（1）若菜園面積為18〃，，則-y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小？

（2）若使用的籬笆總長(zhǎng)度為18加，求工+馬的最小值.

xy

12

2L（8分）⑵22春?河南期末）觀察下面的解答過程：已知正實(shí)數(shù)“滿足求1+薩最小值.

解：'：a+b=l,

1212b2a2a

：'a+b=(a+6)(-+—)=3+—+—>3+2=3+

abT

b2a—一

當(dāng)且僅當(dāng)一=一，結(jié)合a+b=1得a=V2—1,b=2—應(yīng)時(shí)等號(hào)成立,

ab

12「

...一+工的最小值為3+2V2.

ab

請(qǐng)類比以上方法，解決下面問題：

、11

（1）已知正實(shí)數(shù)x,V滿足嚏+1=1，求x+4y的最小值；

12

（2）已知正實(shí)數(shù)%,y滿足I+y=l,求-----+---的最小值.

2%+1y+1

gi

22.（8分）（2022春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)月考）（1）已知％>0,y>0,且滿足一+一.求X+2y的最小值;

xy

⑵當(dāng)。時(shí)，不等式%匕i2。恒成立’求實(shí)數(shù)加的最大值;

a2b

(3)已知a>0,b>0,求2a+b+2b+a的最大值.

專題2.4基本不等式-重難點(diǎn)題型檢測(cè)

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）（2022春?韓城市期末）函數(shù)f（x）=5%+當(dāng)（久>0）的最小值為（）

A.10B.15C.20D.25

【解題思路】利用基本不等式化簡(jiǎn)即可求解.

【解答過程】解：由題意/（x）=5x+§22』xxg=20,

當(dāng)且僅當(dāng)5x=與，即尤=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值為20,

故選：C.

2.（3分）（2022春?鄲都區(qū)校級(jí)期末）若實(shí)數(shù)x、y滿足/+y2=l+初，則下列結(jié)論中，正

確的是（）

A.x+yWlB.C.x2+y2^lD.x2+y2^2

【解題思路】由f+y2-孫=1可得，（x+y）2=l+3xyWl+3（------）2,x2+y2-1=xy<X

2/

分別求出x+y與/+/的取值范圍即可.

【解答過程】解：對(duì)于A,B,由/+/=1+孫可得，（x+y）2=1+3盯（1+3（等）2,

口

即rt-1（x+y）72<L

4

JG+y）”W4,???-2Wx+yW2,故A錯(cuò)，B錯(cuò),

對(duì)于C,D,由f+y2=l+xy可得，W+y2_]=盯入％/,

???X2+/W2,故C錯(cuò),。對(duì)，

故選：D.

3.（3分）（2022春?黃陵縣校級(jí)期末）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

1

A.y=%+1B.y=x9-2x+4

i______

C.y=%2+/D.y=V%2+2+

【解題思路】選項(xiàng)4利用排除法，當(dāng)xVO時(shí)，y<0；

選項(xiàng)8,由配方法，可得y23；

選項(xiàng)C,利用基本不等式，可得解；

選項(xiàng)。，采用換元法，令-22則y=f+（,再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

得解.

【解答過程】解：選項(xiàng)A,當(dāng)x<0時(shí)，y<0,即A不符合題意；

選項(xiàng)8,y=x1-2x+4=(x-1)2+3^3,即3不符合題意;

選項(xiàng)C,y=$+>22%2.==2,當(dāng)且僅當(dāng)/=勺，即尤=±1時(shí)，等號(hào)成立，即C符

XL\XLXL

合題意；

選項(xiàng)。，令f=+22/,則>=竹"在［a,+OO）上單調(diào)遞增，

所以y?VI+W=挈，當(dāng)且僅當(dāng)仁魚時(shí)，等號(hào)成立，即。不符合題意.

VL乙

故選：C.

（a+1）（3匕+1）

4.（3分）（2。22秋?哈爾浜月考）設(shè)4。，b>。,若a+3b=5,則一的最小值

為（）

A.9V3B.2C.6V2D.4g

【解題思路】由已知結(jié)合基本不等式即可求解.

【解答過程】解：a>0,b>0,a+3b=5,

則（^d+一l）片（3Z?-+l）-=-3-a-b--+a——+3匕+=13VH,F—+搐6223IVH7F—.搭6~=6V21,—

7aby/abQab\van

當(dāng)且僅當(dāng)3VHF=且。+3。=5,即4=2,。=1時(shí)取等號(hào).

故選：C.

41

5.（3分）（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足--+—=1,則a+2b

a+bb+1

的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

41

【解題思路】根據(jù)a+2b=a+b+b+l-1=（a+b+b+1）（----+----）-L結(jié)合基本不

a+bb+1

等式求解即可.

41

【解答過程】解：??,正實(shí)數(shù)。，。滿足「+廣=1,

a+bb+1

a+2b=a+b+b+1-1=（a+b+b+\）（——十——）-1=5+-1.

a+bb+1a+bb+1

5+2、,第T=8,當(dāng)且僅當(dāng)〃+b=2（。+1）時(shí)等號(hào)成立，

\卜a唾+b）b+1

故選：B.

6.（3分）（2021秋?澤普縣校級(jí)月考）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究

代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公

理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半

圓。上，點(diǎn)C在直徑A8上，且。尸，A8,設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字

證明為（）

F

C.(a>0,b>0)

2abI—

D.------<Vab^aX),b〉0)

a+b

【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算出OFOC,再在RtZ\OCT中，利用勾股定理得CR

再由可解.

1111

【解答過程】解：由圖形可知：OF==2(a+b),OC—々(a+b)—b=々(a—b),

在RtzXOCF中，由勾股定理得：CF2=VOC2+OF2=(a2+b2),

又CF^OF,

J^(a2+b2)>^(a+ft),(a,b>0),

故選：C.

7.(3分)(2022春?營(yíng)口期末)十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首

先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“>”符號(hào)，并

逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a,

11

6滿足a+6=4,且一+工〉竹亙成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

ab

A.0B.t<lC.W2D.t<2

11

【解題思路】利用“乘1法”，可得一+:>1,從而得解.

ab

【解答過程】解：工+[=工(a+b)(二+])=4(2+￡+/2J(2+2)=1,當(dāng)且僅

ab4abba4

ab

當(dāng)；；=一，即〃=。=2時(shí)，等號(hào)成立，

ba

11

因?yàn)樗砸?工>1,

ab

11

又一+工〉/恒成立，所以

ab

故選：A,

21

8.（3分）（2021秋?李滄區(qū)校級(jí)月考）若x>0,y>0,且一+-=1,1+2'>渥+7加恒成

xy

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.-8<m<1B.m<-8m>lC.m<-1或相>8D.-l<m<8

【解題思路】根據(jù)題意，分析可得x+2y=（x+2y）（-+-）=4++孚+'由基本不

等式的性質(zhì)求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得的取值范圍.

21

【解答過程】解：根據(jù)題意，x>0,y>0,且一+-=1,

xy

貝ljx+2y=（x+2y）（j+（）=4+岑+-24+2J岑.宗=8,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=4時(shí)等號(hào)成立，

即x+2y的最小值為8,

若1+2》>川+7機(jī)恒成立，必有加之+7wV8,解可得-8〈根<1.

即機(jī)的取值范圍為（-8,1）.

故選：A.

二.多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

9.（4分）（2021秋?灤南縣校級(jí)月考）下列函數(shù)最小值為2的是（）

1%2+2

尸

A./y=x+x-B.I--------

上2+1

C.y=x^H—nD.y=J%（4一%）

x乙

【解題思路】對(duì)于AZ）可以利用特殊值法判斷；對(duì)于5c利用基本不等式判斷即可.

【解答過程】解：對(duì)于A,當(dāng)工=-1時(shí)，>=-2,A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,>=與空=='±建=疹不1+下、？2/（H+i）.士=2,當(dāng)且僅當(dāng)

聲聲）、*+1

1

V%2+1=即1=0時(shí)取得等號(hào)，5正確.

對(duì)于C,尸/+5“口|=2,當(dāng)且僅當(dāng)/=5，即x=±l時(shí)取得等號(hào)，C正確.

對(duì)于〃，當(dāng)x=0時(shí)，很顯然最小值不是2,。錯(cuò)誤.

故選：BC.

11

10.（4分）（2。21秋?建華區(qū)校級(jí)期中）若正數(shù)a,b滿足"b=l,則皿+,的可

能取值為（）

6421

A.-B.-C.D.

7774

111

【解題思路】構(gòu)造/⑶+2+3H2）X（―+—運(yùn)用1的巧妙代換，結(jié)合基

本不等式求解.

【解答過程】解：'：a+b=l,：.3a+2+3b+2=l,

11111)=213b+23a+2、

=-X(3。+2+3。+2)X3a+2+3b+2(3a+2+3b+2

3a+23匕+27

.3b+23a+2

???m。都是正數(shù),>0,>0,

3a+23b+2

,3b+23a+2,13b+23a+2_,

由基本不等式可知二工+亞^3a+2,3FF2=2

112243b+23a+21

-------+>—+—=—,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=\,一;---時(shí)，即a=b=5時(shí)，取

3a+2----3b+2~77-7’3a+23b+22

等號(hào).

114

+的最小值為3

3a+23b+2

故選：AB.

11.（4分）（2021秋?煙臺(tái)期末）已知x>0,y>0,且x+y+孫-3=0,則錯(cuò)誤的是（）

A.孫的取值范圍是口，9]B.x+y的取值范圍是[2,+°0）

C.x+4y的最小值是3D.尤+2y的最小值是4/-3

【解題思路】由已知結(jié)合基本不等式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答過程】解：因?yàn)橛?gt;0,j>0,且無+y+盯-3=0,

所以尤+y=3-孫22c7，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)取等號(hào)，

解得，0V月W1,即0〈孫W1,

所以孫的取值范圍為（0,1],A錯(cuò)誤；

又孫=3-（x+y）W（學(xué)產(chǎn)，且僅當(dāng)x=y=l時(shí)取等號(hào)，

解得，x+y22,故5正確，

又x+y=3-xy<3；

由x+y+xy-3=0,得x=>0，

所以0VyV3,l<y+l<4,

所以x+4y=|^+4y=4（y+1）+9—5>3,此時(shí)等號(hào)無法取得，C錯(cuò)誤；

彳+2尸+2y=2y_y\；]4=2（y+1）+洋廠3221（2y+2）,—3=4上一3,當(dāng)

且僅當(dāng)2》+2=圭，即y=/—l時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x+2y取得最小值4立—3,。正確.

故選：AC.

771%+2V

12.（4分）（2021秋?呼蘭區(qū)校級(jí)期中）已知x>0,y>0,且2x+y=2,若---<------對(duì)

m-1xy

任意的x>0,y>0恒成立，則實(shí)數(shù)加的可能取值為（）

1912

A.-B.-C.—D.2

487

【解題思路】先結(jié)合基本不等式求出a亙的最小值，然后由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為一匕<

xym-1

x+2y

（--）min,解不等式可求機(jī)的范圍，結(jié)合選項(xiàng)可判斷.

xy

【解答過程】解：因?yàn)橛?gt;0,y>0,且2x+y=2,

%+2V1211212.x2v

所以--=-+-=-(-+-)(2x+y)=4(5+—+^）斗（5+2層2.9

xyyx2yx乙y%y=2'

2x2y9

當(dāng)且僅當(dāng)一=—且2x+y=2,即x=y=與時(shí)取等號(hào)，

yx§

m

廿工對(duì)任意的）>。,y>0恒成立,

右7

m-1xy

,m9

-<

則EI.2

7m—9

整理得-------->0,

m-1~

Q

解得加之q或加<1,

結(jié)合選項(xiàng)可知，ACD符合題意.

故選：ACD.

三.填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

13.（4分）（2021秋?石鼓區(qū)校級(jí)月考）已知尤>2,x+&（。>0）最小值為3.貝。a

1

4-,

【解題思路】先變形得至Ux+段=%-2+號(hào)+2,再利用基本不等式求最值.

【解答過程】解：??%>2,?,?％-2>0,

.*?x-\——=x-2H——7T+222VS+2,

%—2x—2

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=^2，即工=2+歷時(shí)取等號(hào)，

?，?x+（〃>0）最小值為2^\出+2,

??4+號(hào)（。>0）最小值為3,

.,?26+2=3,.\a=

,~一,1

故r答案為：二.

4

14.（4分）（2022秋?新羅區(qū)校級(jí)月考）已知正實(shí)數(shù)mb滿足M+〃+b=3,貝|2〃+匕的最

小值為4V2-3

【解題思路】利用已知關(guān)系式求出。=舒，則2a+b=2x洛+6=錯(cuò)+力=

8-猾D+6=魯+b-2=島+b+1-3,然后利用基本不等式即可求解.

【解答過程】解：因?yàn)?+。+。=3,所以〃=舒,

0_h6-2b78—2(b+l)j

貝1申+》=+b=-J+b

J2"b=2xb+1

=島+6-2=島+匕+1-322^4,9+1)-3=4夜-3,

8

當(dāng)且僅當(dāng)南=b+l,即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小值為4企-3,

故答案為：4V2-3.

15.（4分）（2022?衡南縣校級(jí)開學(xué)）直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5時(shí)，其面積有最大

25

或小）值，為—.

【解題思路】先設(shè)直角邊分別為x,?則/+『=25,然后結(jié)合基本不等式及三角形面積

公式可求.

【解答過程】解：設(shè)兩直角邊分別為x,y,則f+/=25,

因?yàn)?+y，2孫，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=竽時(shí)取等號(hào)，

故xy<竽，

1

故三角形面積5=<手

故答案為：大；冬.

4

16.（4分）（2022秋?余姚市校級(jí)月考）有下列4個(gè)關(guān)于不等式的結(jié)論：①若x<0,則

工2+211

-2；②若xER,則不宜>2;③若xER,則|x+（|N2；④若。>0,貝!J（1+a）（l+?）24.其

中正確的序號(hào)是①②④.

【解題思路】利用基本不等式逐個(gè)判斷4個(gè)結(jié)論即可，注意“一正，二定，三相等”3

個(gè)條件缺一不可.

【解答過程】解：對(duì)于①，若x<0,貝U-x>0,

???x+A—（7+七）三-257^=-2,當(dāng)且僅當(dāng)-=當(dāng)即x=-l時(shí)，等號(hào)成

立，故①正確，

X2+2(VX2+1)2+1L---1

2

對(duì)于②，若xER/Q=------1'-=Vx+1+/Q>

Vx2+1Vx72+1vx2+l

1=2,當(dāng)且僅當(dāng)衍TI=〒二，即x=0時(shí)，等號(hào)成立，故②正確,

Vx2+1Jx2+1

對(duì)于③，當(dāng)冗=0時(shí)，無意義，故③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，若〃>0,貝!J(1+〃)(1+—)=1+4+〃+122+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=工，即

aa7aa

a=l時(shí)，等號(hào)成立，故④正確，

所以正確的序號(hào)是①②④，

故答案為：①②④.

四.解答題(共6小題，滿分44分)

17.(6分)(2022?望花區(qū)校級(jí)開學(xué))已知疣(0,+8).

(1)求y=x+1的值域；

(2)求y="+}+3的最小值,以及>取得最小值時(shí)尤的值.

【解題思路】(1)由題意利用基本不等式即可求解.

(2)由已知可得y="+jx+3=2+(x+|),利用基本不等式即可求解.

【解答過程】解：(1)因?yàn)轲?0,+8),

所以丫=%+*22^^=2,

取等號(hào)條件：x=],x2=l.

因?yàn)樵?0,+8),

所以％=1,

1

所以函數(shù)y=x+(的值域?yàn)閇2,+8).

(2)產(chǎn)/+2X+3=2+(x+3),

yXX

因?yàn)閤E(0,+°°),

所以x+1>2*\/3,

所以y=2+(%+》22+2g，取等號(hào)條件：x=px2=3,

因?yàn)閤E(0,+8),

所以久二百，當(dāng)％=舊時(shí)，該函數(shù)取最小值2+2g.

18.(6分)(2021秋?新泰市校級(jí)期末)已知實(shí)數(shù)〃>0,b>0,a+2b=2.

12

(1)求一+工的最小值；

ab

(2)求6z2+4Z?2+5tz/?的最大值.

【解題思路】(1)利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出；

(2)利用a=2-2。將〃2+4廿+5〃。=-22+^,再利用二次函數(shù)求最大值即可得

出.

【解答過程】解：（1）???〃>0,Z?>0,且〃+2。=2,

1211212a2b12a2b9

A-+-=5(a+2b)[+])=(1+++4)(5+2)一,

ab2TT^2^b---a2

當(dāng)且僅當(dāng)M=一,即〃=。時(shí)等式成立,

ba

129

+工的最小值為1

ab2

(2)"：a>Q,b>0,a+26=2,

：.a=2-2b>0,可得

/+4/+5必=(2-26)-+4b2+5(2-26)b=-2b2+2b+4=-22+1,

19

當(dāng)b=授時(shí)，/+4戶+5成有最大值為一.

/2

19.（8分）（2022春?福田區(qū)校級(jí)期末）若a>0,b>0,a+b^l.求證:

（2）V2a+1+72b+1<2V2.

【解題思路】（1）由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可證明；

（2）利用基本不等式的結(jié)論（嗜/《生普即可證明.

【解答過程】證明：（1）因?yàn)椤?gt;0,b>0,〃+。=1,

所以3+工=（±+三）Q+6）=5+也+於5+2I也￡=9,

ababab7ab

4ba17

當(dāng)且僅當(dāng)一=r且q+b=l,即。=與，〃=工時(shí)取等號(hào)，

ab33

,,41

故一+,29;

ab

22a+12b+1

（2）因?yàn)椋ǎ?a+l；V2bM<+=2,當(dāng)且僅當(dāng)丑2a+1=?2b+1且a+b

=1,即a=6=2時(shí)取等號(hào)，

所以V2a+1+72b+1<2V2.

20.（8分）（2021秋?洛陽期中）如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒

有限制）的矩形菜園.設(shè)菜園的長(zhǎng)為初7,寬為即7.

（1）若菜園面積為18根2,則x,y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最?。?/p>

（2）若使用的籬笆總長(zhǎng)度為18m,求工+3的最小值.

xy

y

t____________________

x

【解題思路】(1)由題意得，孫=18,所用籬笆總長(zhǎng)x+2y舊2j2%y,從而可求；

12112

(2)由題意x+2y=18,—+—=—(-+-)(x+2y)展開后利用基本不等式可求.

xy18xy

【解答過程】解：(1)由題意得，孫=18,

則所用籬笆總長(zhǎng)x+2yN2j2xy=12,當(dāng)且僅當(dāng)元=2y且孫=18,即y=3,%=6時(shí)取等號(hào),

此時(shí)所用籬笆總長(zhǎng)最小；

(2)由題意x+2y=18,

所以:卜彳+:)(x+2y)x^=卷(5+§+爭(zhēng)(5+2層.爭(zhēng)

2V2,X1

當(dāng)且僅當(dāng)工二7且x+2y=18,即x=y=6時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小值為

21.(8分)(2022春?河南期末)觀察下面的解答過程：已知正實(shí)數(shù)〃，匕滿足〃+。=1,

求工+；的最小值.

ab

解：Va+b=l,

1212b2ab2CL/-

：.-+-=(a+b)(-+—)=3+—+—>3+2—?—=3+2V2,

ab'八aMabab

當(dāng)且僅當(dāng)一=―,結(jié)合a+b=l得a=V2—1,b=2—迎時(shí)等號(hào)成立,

ab

12L

A-+工的最小值為3+2V2.

ab

請(qǐng)類比以上方法，解決下面問題:

11

(1)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足一+-=1,求1+4y的最小值；

xy

12

(2)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,求-----+——的最小值.

2x+ly+1

11

【解題思路】(1)類比已知解題方法，將x+4y變?yōu)閤+4y=(x+4y)?+"),展開后

結(jié)合基本不等式，即可求得答案；

1214

(2)將x+y=l化為(2x+l)+(2y+2)=5,將----+——變形為-----+-----，類

2x+ly+12x+l2y+2

比所給解題方法，結(jié)合基本不等式，求得答案.

11

【解答過程】解：⑴由正實(shí)數(shù)X―滿引+廠1得:

%+4y=(x+4y)(-4--)=5+—+->5+2—--=9.

/八％y，xyxy

4vx11a

當(dāng)且僅當(dāng)一=一，結(jié)合一+-=1得％=3,y=亍時(shí)等號(hào)成立，的最小值為9.

xyxyz

(2)正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,得(2x+l)+(2y+2)=5,

1214114

/.----+----=-----+-----=一((2%+1)+