三角形等高模型與鳥頭模型（一）

4-37.三角形等高模型與鳥頭模型

板塊一三角形等高模型

我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底、高:2

從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.

如果三角形的底不變，高越大（?。?，三角形面積也就越大（小）；

如果三角形的高不變，底越大（?。切蚊娣e也就越大（?。?/p>

這說明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化.但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生

變化時(shí)，三角形的面積不一定變化.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼?，則三角形面積與原來的一

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樣.這就是說：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同時(shí)

也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個(gè)不同的形狀.

在實(shí)際問題的研究中，我們還會常常用到以下結(jié)論:

①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；

兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

如左圖S]:S?=。:6

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖S&ACD=S&BCD；

反之，如果S*=S—，則可知直線AB平行于C”

④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.

【例1】你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成：⑴3個(gè)面積相等的三角形；⑵4個(gè)面積相等的三角形;

（3）6個(gè)面積相等的三角形.

【例2】如圖，8。長12厘米，。。長4厘米，B、C和。在同一條直線上.

（1）求三角形ABC的面積是三角形A3。面積的多少倍？

⑵求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？

A

BC

【例3】如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，筋的長是4厘米，BC的長是3厘米，那么圖中陰影部分的

面積是平方厘米.

【鞏固】（2009年四中小升初入學(xué)測試題）如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是

平方厘米.

【鞏固】如下圖，長方形AFEB和長方形EDGE拼成了長方形長方形MCD的長是20,寬是12,則

它內(nèi)部陰影部分的面積是.

【例4】如圖，長方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長方形ABC。邊上的中點(diǎn)，H為

AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.

【鞏固】圖中的E、F、G分別是正方形ABC。三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長是12,那么陰影部

分的面積是.

【例5】長方形ABCD的面積為36,E、F、G為各邊中點(diǎn)，”為AD邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積是

多少？

【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)尸，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分,

分別與尸點(diǎn)連接，求陰影部分面積.

【例6】如右圖，E在上，AD垂直BC,AD=12厘米，DE=3厘米.求三角形ABC的面積是三角形

EBC面積的幾倍？

【例7】如圖，在平行四邊形A8CD中，平行AC,連結(jié)BE、AE.CF、BE那么與△8EC等積的三角形

一共有哪幾個(gè)三角形？

【鞏固】如圖，在△ABC中，。是BC中點(diǎn)，E是中點(diǎn)，連結(jié)BE、CE,那么與AABE等積的三角形一

共有哪幾個(gè)三角形？

【鞏固】如圖，在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對?

【例8】如圖，三角形的面積為1,其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面積是多少？

【例9】如右圖，AD=DB,AE=EF=FC,已知陰影部分面積為5平方厘米，AABC的面積是平

方厘米.

【鞏固】圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，。是3c的中點(diǎn)，AD的長是AE長的3倍，E尸的長是跖

長的3倍.那么三角形田的面積是多少平方厘米？

【鞏固】如圖，在長方形中，丫是8D的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果AB=24厘米，3C=8厘米，求

三角形ZCT的面積.

【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是24,D、E和尸分別是BC、AC和A。的中點(diǎn).求三角形。跖的面積.

【鞏固】如圖，在三角形A8C中，3c=8厘米，高是6厘米，E、尸分別為A8和AC的中點(diǎn)，那么三角形

EBF的面積是多少平方厘米？

【例10］如圖所示，A、B、C都是正方形邊的中點(diǎn)，ACOD比A大15平方厘米。AAC?的面積為

平方厘米。

【例11］如圖A8C。是一個(gè)長方形，點(diǎn)￡、尸和G分別是它們所在邊的中點(diǎn).如果長方形的面積是36個(gè)平

方單位，求三角形EFG的面積是多少個(gè)平方單位.

【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是1,M是AD邊的中點(diǎn)，N在AB邊上，且2RV=3N.那么，陰影部

分的面積是多少？

【例12］如圖，大長方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長方形

組合而成.求陰影部分的面積.

AB

CD

【例13】圖中A8CD是個(gè)直角梯形(ND4B=NA8C=90。)，以4D為一邊向外作長方形ADEF,其面積為6.36

平方厘米。連接BE交AD于尸，再連接PC。則圖中陰影部分的面積是()平方厘米。

(A)6.36(8)3.18(Q2.12(。)1.59

【例14］如圖，3c是半徑為6的圓。上的弦，且3c的長度與圓的半徑相等，A是圓外的一點(diǎn)，Q4的長

度為12,且。4與3C平行，那么圖中陰影部分的面積是o(7r=3.14)

【鞏固】在下圖中，A為半徑為3的。。外一點(diǎn)。弦5C〃A0且BC=3。連結(jié)AC。陰影面積等于.（乃=3.14）

【例15］如圖，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形ABC

的面積是多少？

【例16］如圖，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面積分別是89,28,26.那

么三角形DBE的面積是.

【例17］如圖，梯形ABC3被它的一條對角線BO分成了兩部分.三角形B3C的面積比三角形的面積

大10平方分米.已知梯形的上底與下底的長度之和是15分米，它們的差是5分米.求梯形A8CO

的面積.

【例18】圖中AA08的面積為15cm2,線段08的長度為。。的3倍，求梯形ABC。的面積.

【例19］如圖，把四邊形ABCD改成一個(gè)等積的三角形.

【例20】一個(gè)長方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的15%,黃色三角形面積是

.問：長方形的面積是多少平方厘米？

【例21］。是長方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知AOBC的面積是5cm"公。鉆的面積是2cm?,求AO應(yīng)）的面積是

多少？

【例22］如右圖，過平行四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)尸作邊的平行線￡F、G”,若APa）的面積為8平方分米,

求平行四邊形PHCF的面積比平行四邊形PG，石的面積大多少平方分米？

【例23］如右圖，正方形ABCD的面積是20,正三角形ABPC的面積是15,求陰影的面積.

【鞏固】如右圖，正方形ABCD的面積是12,正三角形ABPC的面積是5,求陰影ABPD的面積.

【例24】在長方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)O,形成等腰AAO3的面積為16,等腰ADOC的面積占長方形面積的

18%,那么陰影AAOC的面積是多少？

【例25］如右圖所示，在梯形ABCD中，E、F分別是其兩腰AB、CD的中點(diǎn)，G是所上的任意一點(diǎn)，

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已知AADG的面積為15cm2,而ABCG的面積恰好是梯形ABCD面積的一，則梯形ABCD的面積

是________

【例26］如圖所示，四邊形ABCD與AEG尸都是平行四邊形，請你證明它們的面積相等.

【鞏固】如圖所示，正方形45CD的邊長為8厘米，長方形EBGF的長BG為10厘米，那么長方形的寬為幾厘米?

【例27］如圖，正方形的邊長為6,AE=1.5,C尸=2.長方形EFGH的面積為

H

A

E

G

B

【例28］如圖，ABC。為平行四邊形，平行AC,如果△ADE的面積為4平方厘米.求三角形CDF的面

積.

【鞏固】如右圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交互于E,交ZM延長線于尸，若以,=1，求ABEF

的面積.

【例29】梯形ABCD中，AE與DC平行，SMBE=15,S^CF=.

【例30】圖中兩個(gè)正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米.

【例31］如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)D、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GEEB的邊長為10厘米,

求陰影部分的面積.

DC

P

K

ABE

【鞏固】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形ABC的面積.

【鞏固】如圖，A5CD與3G均為正方形，三角形ABH的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積

為?

【鞏固】正方形A3C。和正方形CEFG,且正方形A2CD邊長為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米?

【鞏固】已知正方形MCD邊長為10,正方形3￡FG邊長為6,求陰影部分的面積.

【例32］于CF的三分之一，三角形田G的面積等于6平方厘米，求五邊形ABGEb的面積.

【例33】如下圖，E、尸分別是梯形ABCD的下底和腰CD上的點(diǎn)，DF=FC,并且甲、乙、丙3個(gè)三

角形面積相等.已知梯形ABCD的面積是32平方厘米.求圖中陰影部分的面積.

【例34］如圖，已知長方形ADEF的面積16,三角形AD3的面積是3,三角形ACF的面積是4,那么三角

形ABC的面積是多少？

【例35］如圖，在平行四邊形ABCD中,BE=EC,CF=2FD.求陰影面積與空白面積的比.

B

【例36］如圖所示，三角形ABC中，。是AB邊的中點(diǎn)，E是AC邊上的一點(diǎn)且他=3EC,O為DC與BE

的交點(diǎn).若ACEO的面積為。平方厘米，AZ犯。的面積為6平方厘米.且8-。是2.5平方厘米，那

么三角形ABC的面積是平方厘米.

【例37］如圖，在梯形ABCD中，AD:BE=4:3,3E:EC=2:3,且ABOE的面積比AAOD的面積小10平

方厘米.梯形ABCD的面積是平方厘米.

【鞏固】如圖，是梯形ABCD的一條對角線，線段AE與DC平行，AE與相交于。點(diǎn).已知三角形

3OE的面積比三角形AOD的面積大4平方米，并且EC=yBC.求梯形MC。的面積.

ADAD

【例38】如右圖所示，在長方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中陰影

部分的面積是多少？

【例39]圖中是一個(gè)各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.將它的短直角邊對折到斜邊上

去與斜邊相重合，那么圖中的陰影部分（即未被蓋住的部分）的面積是多少平方厘米？

【例40】如圖，長方形MCD的面積是2平方厘米，EC=2DE,尸是DG的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少

平方厘米？

【例41]如圖，三角形田地中有兩條小路隹和CF,交叉處為。，張大伯常走這兩條小路，他知道。尸=OC,

且AD=2DE.則兩塊地ACF和CFB的面積比是.

【例42］如圖，BC=45,AC=21,AABC被分成9個(gè)面積相等的小三角形，那么a+m=

【鞏固】如圖，在角MON的兩邊上分別有A、C、E及B、D、尸六個(gè)點(diǎn)，并且AQ45、\ABC.NBCD.

ACDE、AD￡F的面積都等于1,則ADCF的面積等于.

【例43】分別為直角梯形ABCD兩邊上的點(diǎn)，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5,3C=7,AE=5,

EB=3.求陰影部分的面積.

【例44】已知ABC為等邊三角形，面積為400,D、E、P分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為

143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形HBC）

A

【例45］如圖，已知CD=5,DE=1,E產(chǎn)=15,FG=6,線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是

38,右邊部分面積是65,那么三角形4X7的面積是.

【鞏固】如圖，點(diǎn)。、E、尸在線段CG上，已知CD=2厘米，QE=8厘米，￡F=20厘米，AG=4厘米,

將整個(gè)圖形分成上下兩部分，下邊部分面積是67平方厘米，上邊部分面積是166平方厘米，則

三角形ADG的面積是多少平方厘米？

【例46］如圖，正方形的邊長為10,四邊形瓦G”的面積為5,那么陰影部分的面積是

【鞏固】如圖，正方形的邊長為12,陰影部分的面積為60,那么四邊形EFG”的面積是

【例47］如圖所示，長方形MCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,49=15,四邊形EFGO的面

積為.

【鞏固】如圖所示，矩形ABCD的面積為24平方厘米.三角形ADM與三角形BCN的面積之和為7.8平方

厘米，則四邊形PMON的面積是平方厘米.

【鞏固】如圖所示，矩形ABCD的面積為36平方厘米，四邊形PMON的面積是3平方厘米，則陰影部分的

面積是平方厘米.

【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是36,E是AD的三等分點(diǎn)，AE=2￡D,則陰影部分的面積為

【例48］如圖，如果長方形ABC。的面積是56平方厘米，那么四邊形MVP。的面積是多少平方厘米?

DQ3C

AN6B

【例49］如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為10cm的正方形，則陰影部分四邊形的面積是

cm2.

【鞏固】如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為12厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積是多少平方

厘米？

DGC

【鞏固】已知正方形的邊長為EC=3BF=2,四

10,f貝！ISI邊-

【例50]如圖，三角形AEF的面積是17,DE、所的長度分別為11、3.求長方形ABCD的面積.

【例51]如圖，長方形ABCD中，AB=61,3c=30.E、尸分別是心5C邊上的兩點(diǎn)，BE+BF=49.3P

么，三角形DER面積的最小值是.

【例52】ABCD是邊長為12的正方形，如圖所示,尸是內(nèi)部任意一點(diǎn)，BL=DM=4、BK=DN=5,那

么陰影部分的面積是.

【例53］如圖所示，在四邊形A3CD中，E,F,G,4分別是各邊的中點(diǎn)，求陰影部分與四邊形

PQRS的面積之比.

【鞏固】如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，F(xiàn)G與FH交于點(diǎn)O,5、S?、員及此

分別表示四個(gè)小四邊形的面積.試比較'+S3與$2+S4的大小.

【例54］如圖，四邊形ABCD中，DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1,AD:BC=1:2,已知四邊

形ABCD的面積等于4,則四邊形EFHG的面積=

【拓展】如圖，對于任意四邊形/WCO,通過各邊三等分點(diǎn)的相應(yīng)連線，得到中間四邊形EFGH,求四邊形

EFGH的面積是四邊形ABCD的幾分之幾？

【例55】有正三角形ABC,在邊AB、BC、C4的正中間分別取點(diǎn)乙、M.N,在邊A￡、BM、CN上

分別取點(diǎn)P、Q、R,使LP=MQ