山東省煙臺(tái)市福山區(qū)（五四制）2024-2025學(xué)年九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

初四數(shù)學(xué)第一學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)題

一、單選題（每題3分）

1.在RtZkABC中，已知a邊及ZA,則斜邊應(yīng)為（）

aa

A.asinAB.------C.acosAD.-------

sinAcosA

2.一位籃球運(yùn)動(dòng)員跳起投籃，籃球運(yùn)行的高度y（米）關(guān)于籃球運(yùn)動(dòng)的水平距離x（米）的

函數(shù)解析式是y=-g（X-2.5）2+3.5.已知籃圈中心到地面的距離3.05米，如果籃球運(yùn)行

高度達(dá)到最高點(diǎn)之后能準(zhǔn)確投入籃圈，那么籃球運(yùn)行的水平距離為（）

A.1米B.2米C.4米D.5米

3.AABC為等腰直角三角形，ZC=9O°,D為BC上一點(diǎn)，且AD=2CD,則NDAB=（）

A.30°B.45°C.60°D.15°

4.若二次函數(shù)y="2+6x+c的部分圖象如圖所示，貝U關(guān)于x的方程a/+6x+c=0的解為

B.須=—1,々=3

C.須=0,工2=3D.玉=1,x?~3

5.函數(shù)＞="2+及（。±0）與歹=辦+6的圖象可能是（）

試卷第1頁(yè)，共8頁(yè)

6.若實(shí)數(shù)x、y滿足2N-6x+y=0,則N+y+2x的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

7.已知/a為銳角，且sina=cosa,則的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.如圖，要測(cè)量一條河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A,8之間的距離，我們可以在岸邊取點(diǎn)C和。，

使點(diǎn)5,C,。共線且直線8。與48垂直，測(cè)得/ZC5=56.3。，ZADB=45°,CD=10m,

則ZB的長(zhǎng)約為（）

（參考數(shù)據(jù)sin56.3°?0.8,cos56.3°x0.6,tan56.3°?1.5,sin45°?0.7,cos45°?0.7,

1tan45°=l）

D

A.15mB.30mC.35mD.40m

9.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中,tani的值等于（）.

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

10.如圖，考古隊(duì)在/處測(cè)得古塔2C頂端C的仰角為45。，斜坡/。長(zhǎng)10米，坡度1=3：

4,AD長(zhǎng)12米，請(qǐng)問古塔2c的高度為（）米.

11.如圖，等邊△NBC的邊長(zhǎng)為2cm,點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)（到

達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)），同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)/出發(fā)，以lcm/s的速度沿/8-3C的方向向點(diǎn)C移動(dòng)

（到達(dá)點(diǎn)C后停止），若△/P0的面積為S（cm2）,則下列最能反映S（cn?）與移動(dòng)時(shí)間*s）

之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是圖2（）

試卷第3頁(yè)，共8頁(yè)

12.如圖，拋物線》=辦2+云+。的圖象與X軸交于點(diǎn)，與〉軸的交點(diǎn)在（0,2）和（0,3）

之間（包含端點(diǎn)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為以下判斷：①當(dāng)x>3時(shí)，><0；②3a+6>0；③

2Q

-l<i7<-y;（4）-<?<4.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

二、填空題（每題3分）

13.如圖，矩形N8CD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線4乙，4,4上.若直線4〃/2〃/3〃乙且間距

相等，AB=4,BC=3,貝Utana的值為.

n

14.將二次函數(shù)y=/+l圖像向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的解析式為.

15.如圖，已知二次函數(shù)》=-2無2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,10）,矩形的頂點(diǎn)/、。在x

軸上，2、C恰好在二次函數(shù)的圖象上，矩形長(zhǎng)和寬的比為2：1,則圖中陰影部分的面積之

和為?

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

16.二次函數(shù)玲=心-2工+2的圖象經(jīng)過4-2,%）、8（3,%）、C（0,%）三點(diǎn)，則%,%，%

的大小關(guān)系是.（用“〈”連接）

17.如圖，CD是△43C的角平分線，過點(diǎn)。分別作AC、3c的平行線，交BC于點(diǎn)交/C

于點(diǎn)尸，若乙4c8=60。，CD=V3cm,則四邊形CED尸的周長(zhǎng)是

18.如圖，在直角三角形N8C紙片上剪出如圖所示的正方體的展開圖，直角三角形的兩直

角邊與正方體展開圖左下角正方形的邊重合，斜邊恰好經(jīng)過兩個(gè)正方形的頂點(diǎn).已知

SC=12cm,則這個(gè)展開圖中正方形的邊長(zhǎng)是cm.

三、解答題（66分）

3

19.已知：如圖，在ZUBC中，ZABC=45°,sin/=M，AB=14,AD是NC邊上的中

線.

（1）求A/BC的面積；

（2）求―48。的余切值.

20.某數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組在學(xué)校無人機(jī)社團(tuán)的幫助下，在操場(chǎng)上對(duì)無人機(jī)進(jìn)行了一次測(cè)

試卷第5頁(yè)，共8頁(yè)

高實(shí)驗(yàn).如圖，兩臺(tái)測(cè)角儀分別放在/,8位置，且離地面高均為1加（即4D=BE=1m）,

兩臺(tái)測(cè)角儀相距50m（即/B=50m）.在某一時(shí)刻無人機(jī)位于點(diǎn)C（點(diǎn)/,B,C所在平面

與地面垂直），點(diǎn)/處測(cè)得其仰角恰好為45。，點(diǎn)3處測(cè)得其仰角為60。.

PC

/r----/入、

//\

*//'\

■■MMri4/4發(fā)峽B

DE

（1）求該時(shí)刻無人機(jī)離地面的高度；（單位：m,結(jié)果保留整數(shù)）

⑵無人機(jī)沿胡方向水平飛行2s后到達(dá)點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)/,B,C在同一平面內(nèi)），此時(shí)丁N

處測(cè)得無人機(jī)的仰角/尸4臺(tái)=65。，求無人機(jī)水平飛行的平均速度.（單位：m/s,結(jié)果精確

到O.lm/s）（參考數(shù)據(jù)：72?1.41，5ABl.73,sin65°?0.91,cos65°?0.42,

tan65°?2.14）

21.某超市有甲、乙兩種商品，若買1件甲商品和4件乙商品，共需130元；若買2件甲商

品和3件乙商品，共需135元.

（1）求甲、乙兩種商品每件售價(jià)分別是多少元？

⑵甲商品每件的成本是20元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：若按（1）中求出的單價(jià)銷售，該超市每天銷

售甲商品100件，若銷售單價(jià)每上漲1元，甲商品每天的銷售量就減少5件.求甲商品每件

售價(jià)為多少元時(shí)，甲商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

22.如圖，二次函數(shù)了=；/+云-3的圖象與軸交于2、C兩點(diǎn)（點(diǎn)2在點(diǎn)C的左側(cè)），一

次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)8和二次函數(shù)圖象上另一點(diǎn)/，點(diǎn)/的坐標(biāo)（4,3）.

（1）求一次函數(shù)解析式；

（2）若點(diǎn)尸是直線N2下方，拋物線上第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，求%PA4的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

23.請(qǐng)先閱讀這段內(nèi)容.再解答問題

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

三角函數(shù)中常用公式sin(a+/?)=sina-cos/?+cosa-sin/?^sin75。的值,

即sin75°=sin(30°+45°)=sin30°-cos45°+cos30°-sin45°=啦;C.

試用公式cos(a+⑶=cosa?sin夕-sina-cos尸，求出cos75。的值.

24.圖(1)為某大型商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯、圖(2)中的43為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面

示意圖.小明站在扶梯起點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得天花板上日光燈C的仰角為37。，此時(shí)他的眼睛。

與地面的距離1.8m,之后他沿一樓扶梯到達(dá)頂端&后又沿瓦：(BL〃MN)向正前方

走了1m,發(fā)現(xiàn)日光燈C剛好在他的正上方.已知自動(dòng)扶梯的坡度為1:2,的長(zhǎng)度是

15m.(結(jié)果精確到十分位.參考數(shù)據(jù)：sin37°ss0.6,cos37°?0.8,tan370?0.75,

V5?2.24)

(1)求圖中B到一樓地面的高度；

(2)求日光燈C到一樓地面的高度.

25.如圖，已知二次函數(shù)4ax+c的圖像交x軸于/、2兩點(diǎn)(其中/點(diǎn)在8點(diǎn)的左

側(cè))，交y軸于點(diǎn)C(0,3).

2

(1)若tan乙4co=],求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若0c為。4、05的比例中項(xiàng).

①設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P,求△PBC的面積；

②若M為y軸上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，問：是否存在這樣的M、N,使得以“、N、B、C

為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

試卷第7頁(yè)，共8頁(yè)

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

1.B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可解答.

【詳解】在Rt^ABC中，由銳角三角函數(shù)的定義可得，sinA=3,所以斜邊=’).

斜邊sinA

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

2.C

【詳解】試題分析：令y=3.05得：(x-2.5)2+3.5=3.05,解得：x=4或x=1.5(舍

去).

所以運(yùn)行的水平距離為4米.故選C.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.

3.D

CD1

【分析】在Rt^ADC中，由一=一得到4ADC=60。，而NADC=45O=4B+ZDAB,根據(jù)

^4.D2

等腰直角三角形即可求出NADC.

CD1

【詳解】解：在RtaADC中，zC=90°,sinzCAD=—=-,

AD2

??ZCAD=3O°,

??ZADC=6O°

而NADC=/B+NDAB

???△ABC為等腰直角三角形，ZC=9O°,

??.ZB=45°

."DAB=15°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握

這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.B

【分析】先利用拋物線的對(duì)稱性寫出拋物線與％軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為然后根據(jù)拋物

線與X軸的交點(diǎn)問題可得到關(guān)于X的方程辦2+區(qū)+c=0(“/0)的解.

【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線X=l,拋物線與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

答案第1頁(yè)，共21頁(yè)

所以拋物線與無軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（T,0），

即x=-l或3時(shí)，函數(shù)值y=0,

所以關(guān)于x的方程辦2+&+。=0（0*0）的解為%=3,x2=-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)>="2+為+°（應(yīng)伉。是常數(shù)，"0）

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

5.B

【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)。，6與0的大小關(guān)

系以及交點(diǎn)情況進(jìn)行討論.

根據(jù)二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)判斷出。，6與0的大小關(guān)系，進(jìn)而推出一次函

數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，再利用二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)情況即可作出判斷.

【詳解】解：由四個(gè)選項(xiàng)可知，二次函數(shù)開口均向上，對(duì)稱軸在歹軸右側(cè)，

?,.Q>0,b<0,

???一次函數(shù)圖像應(yīng)該經(jīng)過第一、三、四象限，

當(dāng)ax2+bx=0時(shí)，即石=0,x=—,

2a

當(dāng)"+6=0時(shí)，即％=—2,

a

則二次函數(shù)與一次函數(shù)在X軸上有一交點(diǎn)，且為（-2,0）

a

A.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意.

B.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，且有一交點(diǎn)在x軸上，故本選項(xiàng)符合題意.

C.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，但交點(diǎn)均不在x軸上，故本選項(xiàng)不符合題意.

D.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)題意可用x表示出外再代入f+y+2x中，化為頂點(diǎn)式即得出答案.

【詳解1由2x?-6x+y=0,得了=-2x2+6x,

*'?x?+y+2x—x~-2x2+6x+2x——（x—4）?+16,

答案第2頁(yè)，共21頁(yè)

???當(dāng)x=4時(shí)，x2+y+2x的最大值是16.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的最值.根據(jù)題意將得出的二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式是解題關(guān)

鍵.

7.B

【分析】由/a為銳角，且sina=cosa,直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答，即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：為銳角，且sina=cosa,

Xsin45°=cos45°,

Zcr=45°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的

變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各

邊特殊值規(guī)律去記.

8.B

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，設(shè)=在RM45。中由乙4。5=45。知

x2

AB=BD=x,在Rt△45c中由tan//C5=——知BC=-------------=-----------,根據(jù)

BCtanZACBtan56.33

3。+。。=5。建立關(guān)于1的方程，解之可得答案.

【詳解】解：設(shè)=x,

在中，ZADB=45°f

AB=BD=x,

在RM/5C中，ZACB=563°且tan/ZC3=——，

9BC

c—4Bx2

二.BC=------------=---------7b—%,

tanZACBtan56.33

2

由+=得§x+10=x,

解得久=30,

/.45的長(zhǎng)約為30m,

故選：B.

9.C

答案第3頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】如圖，根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可.

Ar3

【詳解】解：如圖，在直角三角形/3C中，tana===K

JDC2

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】作NE18C,AFLBD,由=3：4,可設(shè)正=3x,DF=4x,結(jié)合/。=10,利用勾

股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)/作/E12C于點(diǎn)E,過點(diǎn)/作/FLBD,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，

由i=3：4,

可設(shè)//=3x,DF=4x,

-AD=10,

.-.9x2+16x2=100,

解得：x=2（負(fù)值舍去），

貝!/=BE=6,DF=8,

：,AE=DF+BD=8+12=20,

??2G4E=45。，

??.CE=AE=20,

貝！JBC=CE+BE=20+6=26,

答案第4頁(yè)，共21頁(yè)

故選8.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意構(gòu)造直

角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

11.C

【分析】由三角形23c為等邊三角形，得到乙4=NC=60。，在三角形/尸。中，利用特殊

角的三角函數(shù)值，勾股定理及三角形的面積公式列出關(guān)于S和/的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式判

斷其圖像即可.

【詳解】(1)如圖1,當(dāng)0W2時(shí)，作。8垂直于NP于點(diǎn)區(qū)即"為△/尸。的高，底為

AP,

三角形ABC為等邊三角形，

ZA=60°,

AP=AQ=t,AH=^AQ=;％，

???QH='AQ?-AH2=~-f>

:.S=；AP?QH=與廣；

(2)如圖2,當(dāng)2</W4時(shí)，作0H垂直于AP于點(diǎn)X,即映為△/尸0的高，底為

AP=4C,

?:等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2cm,

??,ZC=60°,

.-.AP=AC=2,

BQ=t—2,

.-.CQ=BC-BQ=2-(t-2)=4-t,

22

.■.QH=^CQ-CH=^(4_z),

:?S=；AC?QH=一2+2道.

綜上，關(guān)于S和f的函數(shù)圖像應(yīng)是c.

故選C.

答案第5頁(yè)，共21頁(yè)

BB

圖1圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，借助二次函數(shù)和一次函數(shù)解決實(shí)

際問題，難度較大，關(guān)鍵是分類列出面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式判斷

函數(shù)的圖像.此題還考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理等知識(shí)點(diǎn),

利用了分類討論及方程的思想，

12.B

【分析】①由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,一個(gè)交點(diǎn)N（TO）,得到另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利

用圖象即可對(duì)于選項(xiàng)①作出判斷；②根據(jù)拋物線開口方向判定。的符號(hào)，由對(duì)稱軸方程求

得6與。的關(guān)系是6=-2a,將其代入3a+6,并判定其符號(hào)；③利用一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系可得。=-鼻，然后根據(jù)c的的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來求。的取值范圍；?

4

把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到"=“+6+c=§c,利用c的取值范圍可以求得〃的取值范

圍.

【詳解】解：???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。,”），

???對(duì)稱軸直線是X=1,

,??拋物線y=。尤2+6x+c與X軸交于點(diǎn)N（-l,0）,

???該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,0）,

觀察圖象得：當(dāng)x>3時(shí)，y<0,故①正確；

觀察圖象得：拋物線開口方向向下，

???Q<0,

???對(duì)稱軸X=-g=l,

2a

,,,.b——2a,

.?.3。+6=3。-2。=。<0,即3a+6<0,故②錯(cuò)誤；

?拋物線歹=Q'2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（一1,0）,（3,0）,

答案第6頁(yè)，共21頁(yè)

???方程ax?+bx+°=O的兩根為一1,3,

—1x3=—3,BP（2=——,

a3

???拋物線與歹軸的交點(diǎn)在（0,2）、（0,3）之間（包含端點(diǎn)），

2<c<3,

22

c即故③正確；

7CC

,**.D——2a，。=，

3

7C2。

b=-2a=—,

3

??,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（,〃）,

4

...當(dāng)x=l時(shí)，n=a+b+c=~c?

2<c<3,

Q4Q

.---<jc<4,即故④正確；

綜上所述，正確的有①③④，共3個(gè).

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)了=。/+云+。的系數(shù)

符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與了軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定是解題

的關(guān)鍵.

31

【分析】過C作C尸于點(diǎn)F,交4于點(diǎn)E,設(shè)C3交4于點(diǎn)G,證ACEGsACFB,得

*=要=!，則G8=CG=：，再由平行線的性質(zhì)得然后由銳角三角函數(shù)定

CBCF22

3

義求出tan乙&4G=三，即可求解.

O

【詳解】解：過C作CFl。于點(diǎn)尸，交4于點(diǎn)E，設(shè)C8交4于點(diǎn)G,

答案第7頁(yè)，共21頁(yè)

由題意得：GE〃BF,CE=EF,

:?△CEGMCFB,

CGCE1

?:BC=3,

^CG=-BC=\,

2

3

:?GB=CG=一,

2

,?*I3〃I4,

-,-Z-a=Z-GAB,

???四邊形/BCD是矩形，/B=4,

.-.z^5G=90°,

BG3

.,.tanZ^G=——=一,

AB8

3

???tana=tanz5^4G=—,

8

3

故答案為：—.

o

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)

定義等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明△CEGsaCES是解題的關(guān)鍵.

14.y=x2-4

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖像平移的規(guī)律“左加右減（橫

軸），上加下減（縱軸）”即可求解.

【詳解】解：二次函數(shù)y=x2+i圖像向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，

y—x~+1—5=x~—4,

???平移后的解析式為了=犬-4,

故答案為：y=x2-4.

15.”

4

【分析】根據(jù)點(diǎn)（0,10）求出拋物線的解析式，根據(jù)矩形長(zhǎng)和寬的比為2：1判斷四邊形OECD

是正方形，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，陰影部分的面積等于正方形OECD的

答案第8頁(yè)，共21頁(yè)

面積，

即可求得陰影部分的面積.

【詳解】???此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,10),

???4=10.

???此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是V軸，且矩形N2CD的長(zhǎng)和寬的比為2:1,陰影部分的面積等

于正方形OECD的面積，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(%-2〃2+10),

,??四邊形OECD是正方形，

???一2/+10=，解得再二一2(舍去負(fù)值)，％2=萬，

.??點(diǎn)c的坐標(biāo)是

_55_25

"陰影=S矩形OEC。=5乂5=彳.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物線的對(duì)稱性及其性質(zhì)是關(guān)鍵.

錯(cuò)因分析：中等題.失分原因：①?zèng)]有掌握二次函數(shù)圖象對(duì)稱的性質(zhì)；②解一元二次方程

出錯(cuò).

16.%<%<必

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到對(duì)稱軸為直線x=l,再利用對(duì)稱性得到8(3,%)的對(duì)稱

點(diǎn)坐標(biāo)為(T,%),最后利用增減性即可得到答案.

【詳解】解:yy=x2-2x+2,

??.對(duì)稱軸為直線X=-§=1,

2a

8(3,%)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(T,%)，

,/tz=1>0,

拋物線開口向上，有最小值，在對(duì)稱軸左側(cè)，>隨x的增大而減小，

0>—1>—2,

為<〈必，

故答案為：%<%<%.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)

答案第9頁(yè)，共21頁(yè)

的對(duì)稱性及增減性.

17.4

【分析】本題考查是三角形角平分線及菱形性質(zhì)和判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握

平行線性質(zhì)，證明四邊形CED尸是菱形.連接斯交CD于O,證明四邊形CEZ汨是菱形，

可得尸，ZECD=-ZACB=30°OC=-CD=—cm,在Rt^CO￡中，可得

2f22

2/23

S

2=lcm,故四邊形CEZ）廠的周長(zhǎng)是4CE=4cm.

【詳解】解：連接斯交CD于。，如圖:

四邊形C比正是平行四邊形，

???CD是△/呂。的角平分線，

ZFCD=ZECD,

?:DE〃AC,

ZFCD=ZCDE,

ZECD=NCDE,

:.CE=DE,

二.四邊形廠是菱形，

CD1EF,ZECD=-ZACB=30°,OC=-CD=~cm,

222

在RtZiCOE中，

長(zhǎng)

2

ococm

-耳-1C

cosZECDcos30°一

2

，四邊形CEDF的周長(zhǎng)是4CE=4cm,

故答案為：4.

31

18.H￥#1.5##1-

22

答案第10頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí).注意掌握輔助線的作法,

注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

設(shè)這個(gè)展開圖中正方形的邊長(zhǎng)為xcm,然后延長(zhǎng)隹交45于點(diǎn)。，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，

可求得45的長(zhǎng)，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)這個(gè)展開圖中正方形的邊長(zhǎng)為'em,

延長(zhǎng)FE交4B于點(diǎn)D,

則EF=2xcm,EG-xcm,DF=4xcm,

???DF〃BC,

??.ZEFG=ZC,

,:在RLGEF中，tan/EFG=-----=—=—,

EF2x2

tanC=tan/EFG=—,

2

二在RtZXZBC中,AB=BC-tanC=12x；=6(cm),

AD=AB-BD=6-2x(cm),

?：DF〃BC,

MADFSAABC,

DFAD

口口4x6-2x

即——二-----，

126

3

解得：x=j，

3

即這個(gè)展開圖中正方形的邊長(zhǎng)為2cm.

3

故答案為：—.

19.(1)42

答案第11頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】本題考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，三角形中位線定理.

3

(1)作垂足為點(diǎn)〃.先由sin/=g,可設(shè)CH=3x,那么/C=5x,根據(jù)勾股

定理得出/〃=4x,在直角△助中，由48c=45。，得出3H=C〃=3x,再根據(jù)

AB=AH+HB,列出關(guān)于x的方程，解方程求出x=2,得到C〃=6,然后根據(jù)。的

面積=即可求解；

(2)作。垂足為點(diǎn)先由。M〃C“，得到由。為NC中點(diǎn),

得出M為的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出。M=3,則NM=4,BM=10,然后在直

角ABDM中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出NABD的余切值.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)C作必點(diǎn)”為垂足，

在RtABCH中,/BHC=90°,ZCBH=45°,

△助是等腰直角三角形,

:.CH=BH,

在RM/C〃中，ZAHC=90°,

.,CH

sin4=,

AC

?，3

sm4=-,

5

:?設(shè)CH=BH=3x,則ZC=5x,

：AH2CH2=AC2,

AH=4x,

/.AB=AH+BH=4x+3x=14,

解得x=2,

CH=6,

.-.sA?lz>C=-2/15.C/f=-2xl4x6=42，；

（2）解：過點(diǎn)。作DM148,點(diǎn)M為垂足,

答案第12頁(yè)，共21頁(yè)

c

DM//CH,

：.^ADMs2iCH,

ADAMDM

ACAHCH

,?,。為/c中點(diǎn),

AD1

AC~2

由(1)知：CH=6,AH=8,

:.DM=3,AM=4,

:.BM=AB-AM^10,

在Rt^BDM中,ZDMB=90°,

,cotZABD=^~10

DM3

20.⑴約為33m

(2)8.5m/s

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)

用.

(1)過點(diǎn)c作48,垂足為點(diǎn)”，由等角對(duì)等邊可得出/〃=C〃，設(shè)CH=x，則/a=X,

解RMCHB可得出BH,再根據(jù)48=50m列出關(guān)于X的一次方程，求解后再加上距離地面

的高度即可得出答案.

(2)過點(diǎn)尸作尸垂足為點(diǎn)根據(jù)題意可得產(chǎn)四="=32,解放求出

再根據(jù)等量代換以及線段的和差求出尸C,最后根據(jù)速度等于距離除以時(shí)間即可得出答

案.

【詳解】(1)解：如圖，過點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)〃,

???ZCAB=45°,

AH=CH.

設(shè)CH=x,則=

:在RMCHB中,ZCBH=60°.

X，

tan6003

答案第13頁(yè)，共21頁(yè)

百

x-----x—50f

3

150”

x=-------f=~25?32

3+V3

「.32+1=33.

答：無人機(jī)離地面高度約為33m.

DE

(2)過點(diǎn)尸作尸河，45,垂足為點(diǎn)

???無人機(jī)沿創(chuàng)水平飛行,

PM=CH=32.

PM

在Rt—PM中,ZtanPAM

AM

3232

?——?14.95

tanZ.PAMtan65°2.14

又尸C=MH——MB32—14.95=17.05.

.,.17.05+2?8.5m/s.

?/\i、

史一旦必應(yīng)

DE

答：無人機(jī)水平飛行的平均速度約為8.5m/s.

21.(1)甲種商品每件售價(jià)是30元，乙種商品每件售價(jià)是25元

(2)甲商品每件售價(jià)為35元時(shí)，甲商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1125元

【分析】(1)設(shè)甲、乙兩種商品每件售價(jià)分別是x元，y元，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論;

(2)設(shè)甲商品每件售價(jià)為加元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為"元，由題意列出關(guān)于力,〃的函數(shù)關(guān)

系式；把函數(shù)關(guān)系式配方即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)甲種商品每件售價(jià)是x元，乙種商品每件售價(jià)是y元,

x+4y=130

根據(jù)題意得:

2x+3y=135

答案第14頁(yè)，共21頁(yè)

x=30

解得

7=25，

答：甲種商品每件售價(jià)是30元，乙種商品每件售價(jià)是25元.

(2)解：設(shè)甲商品每件售價(jià)為加元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為〃元,

n=（m-20）［100-5（m-30）］

=-5m2+350m-5000

=-5（冽-35）2+1125

va=-5<0,

???此二次函數(shù)的圖象的開口向下，

當(dāng)加=35時(shí)，〃有最大值，最大值為1125元，

答：甲商品每件售價(jià)為35元時(shí)，甲商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1125元.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題意，列出二

次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

127

22.(1)y——x+1；(2)(1,-3),—

22

【分析】(1)將4代入二次函數(shù)解析式中，求得b的值，當(dāng)丁等于0時(shí)求得3坐標(biāo)，將4

和B的坐標(biāo)代入中，求出加和〃的值即可；

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為，,過點(diǎn)/作/DLx軸于點(diǎn)。，過P作尸//垂直于x軸

交42于〃點(diǎn)，則,利用之利=%必求出心"=-|(-1)2+：即可得

出答案.

【詳解】解：將A(4,3)代入夕=；/+加-3中得，

3=-X42+4ZJ-3,

2

b,

2

1,1

?'?y=-x2--x-3

J22

當(dāng)y=0時(shí)

—x2--x-3=0,

22

解得xj=3X2=-2

答案第15頁(yè)，共21頁(yè)

0)、C(3,0)

將A(4,3)、B(-2,0)代入y=加x+〃得:

f3=4加+n

[0=—2m+n

一1

,,m=一

解得,2

n=1

1

,?少=

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為，，2一?_3),過點(diǎn)/作ADlx軸于點(diǎn)，過P作尸〃垂直于x軸

交于〃點(diǎn)，則〃上,}+1),

...尸/7=0+11_&2_$_31=_?2+/+4,

???S”1HAFHP=；PH?DM+；PH?BM=；PH?BD

SAABP=產(chǎn)+/+4)X6=_；J+3f+i2=_；?-I)"+4，

乙\乙J乙乙乙

27

.,.當(dāng)t=l,坐標(biāo)為(1,-3)時(shí)，鼠郎最大，此時(shí)風(fēng)笛=萬；

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）

的解析式，三角形的面積，兩點(diǎn)間的距離公式，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離等重

要知識(shí)點(diǎn)，難度不是很大.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵.

”巫6

L3、-------------------.

44

【分析】將75?；癁?0。和45。兩個(gè)特殊角，然后根據(jù)給出的公式及特殊角的三角函數(shù)值來解

比口?

【詳解】cos（a+尸）=cosacosj3-sinasinp,

cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°

答案第16頁(yè)，共21頁(yè)

V3V21V2V6V2

=----x---------x-----=------------

222244

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答此題要熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能把“新

定義''的問題轉(zhuǎn)化為己知問題解答.

24.(l)6.7m

(2)12.6m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角

問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)B作于E,設(shè)8E=xm,根據(jù)坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可

求出BE,從而求得答案；

(2)過點(diǎn)C作于尸交困于G,過點(diǎn)。作ZVLC尸于J交BE于先根據(jù)(1)

的結(jié)論求出/尸，再根據(jù)/CZ"的正弦值即可求出C7,從而求出CF即可.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)&作兒W于E,如圖(2)所示：

???的坡度為1:2,

,BE\

??=一，

AE2

/.BE=xm,AE=2BE=2xm

在中，由勾股定理得*+4/=152,

解得：x=3亞,

BE?6.7m,AE?13.4m.

答：B到一樓地面的高度為6.7m；

(2)解：