2024-2025學(xué)年河北省保定市定州二中高二（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省保定市定州二中高二（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.與向量a=(2,0,?2)同向的單位向量為(

)A.(22,0,?22) 2.已知直線ax?2y?1=0與直線ax+(a+1)y+4=0平行，則a=(

)A.1 B.?3 C.0或1 D.0或?33.在數(shù)列{an}中，若a1=43，A.?2 B.?1 C.12 D.4.已知圓M：(x?1)2+(y?2)2=2與圓N：A.15 B.17 C.21 D.235.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S10A.12 B.18 C.24 D.326.在三棱柱A1B1C1?ABC中，已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(0,2,0)，且M(2,2,4)為平面AA.3 B.23 C.7.已知拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q(3,54)，記P到xA.34 B.54 C.748.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動點(diǎn)(包括表面)，若APA.[?1,1] B.[14,1] C.[1,2]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若點(diǎn)A(m,4)和點(diǎn)B(?1?m,3)關(guān)于直線l：x+ny?3=0對稱，則(

)A.m=0 B.m=1 C.n=1 D.n=?110.已知A，B分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)，P是C上位于第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1A.|PA|+|PB|為定值 B.C的漸近線方程為y=±3x

C.k111.已知數(shù)列{an}滿足an+1an=5an?3an+1?1，a1A.數(shù)列{1an?1}是等差數(shù)列 B.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a7

C.使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在四面體OABC中，空間的一個點(diǎn)M滿足OM=?OA+13OB+mOC，若M，A，B13.已知k>33，則關(guān)于x的不等式14.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn).若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|OP|=|OF四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓M的圓心在直線y=3x+1上，且點(diǎn)A(1,2)，B(?1,4)在M上．

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若傾斜角為π4的直線l經(jīng)過點(diǎn)C(0,4)，且l與圓M相交于D，E兩點(diǎn)，求|DE|．16.(本小題15分)

已知過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時，|AB|=4．

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|AB|=6，求直線l17.(本小題15分)

記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a4=14，S5=30．

(1)證明：數(shù)列{Sn18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E為AD的中點(diǎn)，M是線段PC上一點(diǎn)．

(1)證明：平面PBE⊥平面PAD．

(2)是否存在點(diǎn)M，使得EM//平面PAB？若存在，求PM的長；若不存在，說明理由．

(3)求平面PAD與平面MAB夾角的余弦值的最大值．19.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意一點(diǎn)P(x,y)，總存在一點(diǎn)Q(x′,y′)滿足關(guān)系式φ：x′=λx,y′=μy(λ>0,μ>0)，則稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換．

(1)在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換φ1，使得圓x2+y2=1變換為橢圓9x2+4y2=1．

(2)在同一直角坐標(biāo)系中，橢圓x216+y2=1經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換φ：x′=12xy′=3y得到曲線C．

(i)求曲線C的方程；

(ii)已知A(?2,0)，參考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.C

6.B

7.C

8.D

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.5313.[0,3]

14.22

15.解：(1)由題意設(shè)圓心M(a,3a+1,)，又因?yàn)辄c(diǎn)A，B在圓M上，

所以|MA|=|MB|，即(a?1)2+(3a+1?2)2=(a+1)2+(3a+1?4)2，

解得a=1，即M(1,4)，半徑r=|AM|=02+22=2，

所以圓M的方程為(x?1)2+(y?4)2=4；

(2)設(shè)傾斜角為16.解：(1)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(p2,0)，

令x=p2，解得y=±p，

故|AB|=2p=4，解得p=2，

故拋物線C的方程為y2=4x；

(2)由題意可知，直線l的斜率存在，

設(shè)直線l的方程為y=k(x?1)，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立y=k(x?1)y17.解：(1)證明：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)公差為d，

由a3+a4=14，S5=30，

可得2a1+5d=14，5a1+10d=30，

解得a1=d=2，

則an=2+2(n?1)=2n，Sn=n2+n，

即有Sn18.(1)證明：連接BD，

因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的菱形，且∠DAB=60°，

所以△ABD是等邊三角形，

又E為AD的中點(diǎn)，所以BE⊥AD，

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且BE?平面ABCD，所以PD⊥BE，

又AD∩PD=D，AD、PD?平面PAD，所以BE⊥平面PAD，

因?yàn)锽E?平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAD．

(2)解：取BC的中點(diǎn)F，連接DF，則DF⊥BC，DF⊥AD，

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD，DF?平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DF，

故以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

在Rt△PAD中，∠PAD=60°，AD=2，所以PD=23，

則P(0,0,23)，A(2,0,0)，B(1,3,0)，C(?1,3,0)，E(1,0,0)，

所以AB=(?1,3,0)，AP=(?2,0,23)，PC=(?1,3,?23)，

設(shè)平面PAB的法向量為m=(a,b,c)，則AB?m=?a+3b=0AP?m=?2a+23c=0，

取a=3，則b=c=1，所以m=(3,1,1)，

設(shè)PM=λPC=λ(?1,3,?23)，λ∈[0,1]，

則EM=EP+PM=(?1,0,23)+λ(?1,3,?23)=(?1?λ,3λ,23?23λ)，

19.解：(1)將伸縮變換φ1：x′=λ1x,y′=μ1y(λ1>0,μ1>0)代入9(x′)2+4(y′)2=1中，