材料力學（第2版）課件：平面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形的幾何性質(zhì)Geometricpropertiesofplanefigure

平面圖形的幾何性質(zhì)GeometricpropertiesofplanefigureA.1靜矩與形心A.2慣性矩與慣性積A.3平行移軸公式A.4轉(zhuǎn)軸公式*A.1靜矩與形心A.1靜矩與形心

設任意形狀平面圖形如圖所示，其面積為A，建立圖示Oyz直角坐標系。

任取微面積dA，其坐標為(y,z)，則積分

分別稱為平面圖形對軸y與軸z的靜矩或一次矩（Momentofarea）。

平面圖形的靜矩是對某一坐標軸而言的，同一平面圖形對不同的坐標軸，其靜矩也就不同。因此靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負，也可能為零。靜矩的量綱為長度的三次方。A.1靜矩與形心

設想有一個厚度很小的均質(zhì)薄板，薄板板面形狀如圖所示。均質(zhì)薄板的重心:

均質(zhì)板重心與其平面圖形的形心重合。

若

yC

=0或zC=0，則Sz=0或Sy

=0；平面圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過平面圖形的形心。通過平面圖形形心的坐標軸稱為形心軸。A.1靜矩與形心【例題A.1】

求如圖所示半圓形的靜矩

Sy，Sz及形心

C位置。已知圓的半徑為R

。A.1靜矩與形心解（1）求靜矩取平行于軸的狹長條為微面積dA，則（2）求形心坐標A.1靜矩與形心

根據(jù)靜矩的定義可知，圖形各組成部分對某一軸的靜矩的代數(shù)和，等于整個圖形對同一軸的靜矩。

Ai和

yCi，zCi分別表示任一組成部分的面積及其形心的坐標。組合圖形形心坐標的計算公式為A.1靜矩與形心【例題A.2】

試確定如圖所示圖形形心C

的位置。A.1靜矩與形心

選取圖示參考坐標系Oyz，并將圖形劃分為Ⅰ和Ⅱ兩個矩形。

得組合圖形形心

C的縱坐標為A.2慣性矩與慣性積A.2慣性矩與慣性積

設任意形狀平面圖形如圖所示。其圖形面積為A，任取微面積dA，則積分

分別稱為平面圖形對軸y與軸z

的慣性矩或二次矩（Momentofinertia）。慣性矩

Iy和Iz

恒為正，其量綱為長度的四次方。

iy和iz分別稱為平面圖形對軸y和軸z

的慣性半徑（Radiusofinertia）。慣性半徑的量綱為長度。A.2慣性矩與慣性積

若以

r

表示微面積dA到坐標原點的距離，則下述積分

定義為平面圖形對坐標原點的極慣性矩或二次極矩（Polarmomentofinertia）。

平面圖形對任意兩個互相垂直軸的慣性矩之和，等于它對該兩軸交點的極慣性矩。A.2慣性矩與慣性積

定義積分

定義為平面圖形對軸y,z的慣性積

Iyz可能為正，為負或為零。量綱是長度的四次方。

如果圖形有一個（或一個以上）的對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的任一對正交軸的慣性積必為零。A.2慣性矩與慣性積【例題A.3】求實心和空心圓對形心的極慣性矩和對形心軸的慣性矩。(1)實心圓極慣性矩圖形對稱，慣性矩A.2慣性矩與慣性積(2)空心圓極慣性矩令慣性矩A.2慣性矩與慣性積【例題A.4】求矩形圖形對形心軸的慣性矩。

微面積取寬為dy

，高為h且平行于軸z的狹長矩形，即

矩形圖形對軸z的慣性矩為

矩形圖形對軸y的慣性矩為A.2慣性矩與慣性積組合圖形的慣性矩

當一個平面圖形是若干個簡單的圖形組成時，根據(jù)慣性矩的定義，可先計算出每一個簡單圖形對同一軸的慣性矩，然后求其總和，即得整個圖形對于這一軸的慣性矩。用公式表達為A.2慣性矩與慣性積【例題A.5】計算圖示工字形圖形對形心軸y的慣性矩本例可采用負面積法A.3平行移軸公式A.3平行移軸公式

如圖所示，設C為平面圖形的形心，yC和zC

是通過形心的坐標軸，圖形對形心軸的慣性矩和慣性積已知

若軸y平行于軸yC，且兩者的距離為a；軸z

平行于軸zC，且兩者的距離為b

。圖形對軸y

和軸z

的慣性矩和慣性積分別為A.3平行移軸公式A.3平行移軸公式

上式稱為慣性矩和慣性積的平行移軸公式。應用時要注意a

和b是圖形的形心C在Oyz坐標系中的坐標，它們有正負。由上式可知，平面圖形對所有平行軸的慣性矩中，以對形心軸的慣性矩為最小。A.3平行移軸公式【例題A.6】計算例A.2圖形對水平形心軸yC

的慣性矩解：將圖形分解為矩形Ⅰ(綠色)和矩形Ⅱ(紫色)A.4轉(zhuǎn)軸公式*A.4轉(zhuǎn)軸公式設有面積為A的任意平面圖形，

若將坐標軸繞點O旋轉(zhuǎn)角a，且以逆時針轉(zhuǎn)角為正，旋轉(zhuǎn)后得到新的坐標軸為y1

，z1

，而圖形對軸y1

，z1

的慣性矩和慣性積應分別為A.4轉(zhuǎn)軸公式

微面積dA在新舊兩個坐標系中的坐標關系為

代入并展開A.4轉(zhuǎn)軸公式A.4轉(zhuǎn)軸公式將上述Iy1與Iz1相加得

圖形對于通過同一點的任意一對直角坐標軸的兩個慣性矩之和恒為常數(shù)。A.4轉(zhuǎn)軸公式當一對坐標軸繞原點轉(zhuǎn)動時，慣性積隨坐標軸轉(zhuǎn)動變化而改變

總可以找到一個特殊角度a0，以及相應的坐標軸y0，z0。使得圖形對這一對坐標軸的慣性積

Iy0z0

為零，則稱這一對坐標軸為圖形的主慣性軸，簡稱主軸。圖形對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。A.4轉(zhuǎn)軸公式求出a0的角度，代入經(jīng)簡化后得主慣性矩的計算公式為A.4轉(zhuǎn)軸公式由以上分析還可推出（1）若圖形有2個以上（大于2）對稱軸時，任一對稱軸都是圖形的形心主軸，且圖形對任一形心軸的慣性矩都相等。（2）若圖形有兩個對稱軸時，這兩個軸都是圖形的形心主軸。（3）若圖形只有1個對稱軸時，則該軸必是1個形心主軸，另1個形心主軸為通過圖形形心且與對稱軸垂直的軸。（4）若圖形沒有對稱軸時，可通過計算得到形心主軸及形心主慣性矩的值。下面通過例題說明。A.4轉(zhuǎn)軸公式確定如圖所示圖形的形心主慣性軸位置，并計算形心主慣性矩。【例題A.7】A.4轉(zhuǎn)軸公式（1）確定形心位置（2）求圖形對與軸y,z平行的形心軸yC和zC的慣性矩和慣性積A.4轉(zhuǎn)軸公式（3）確定形心主軸位置A.4轉(zhuǎn)軸公式（4）求形心主慣性矩A.4轉(zhuǎn)軸公式（4）求形心主慣性矩A.4轉(zhuǎn)軸公式求形心主慣性矩的一般步驟：（1）將組合圖形分解為若干簡單圖形，確定組合圖形的形心位置；（2）以形心C為為坐標原點，如有可能，使過形心的坐標軸yC,zC與簡單圖形的形心主軸平行。確定簡單圖形對自身形